ALGEBRA 1º

PRESENTACIÓN

El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA
GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico-
Práctico, del curso de Álgebra correspondiente al área de Ciencias, el cual permitirá a
nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de sostenerla y
aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educación del
país.

Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana
Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido
lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las
personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible.

Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su
preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la
calidad en servicios educativos, está asegurada.

La Dirección

4to Año Razonamiento Matemático 2

ALGEBRA

I Bimestre

POTENCIAS Y RADICALES EN  an
4.- a n am an m

am
5.- am .an am n

POTENCIACIÓN
Y En radicación n 2 , n 
RADICACIÓN 1
n
Son
a a n . Propiedades:
n
m
OPERACIONES INVERSAS 1.- an am
m m
Que consisten en 2.- a n .b p .c q .... a n .m b p .m c q .......
a n m .b p m .c q m .....

Dados dos números base Dados dos números 3.- m a m
a a1 m
a b m

y exponente, determinar radicando e índice, b m
b b1 m
un tercer número llamado determinar un tercer 1
potencia número llamado raíz m n p m.n. p ....u
4.- .....u a a a ( m.n. p....u )
Eejmplos:

an b n
b a 1. 3 4
x 24
x
Potenciación y Radicación

2. 4 3
10 3 4
10 12
10

En potenciación n 1 , n  .se tiene: 3. Reducir: M 2 3 4 5
x120
Propiedades: Solución:
1.- Dados a , n  , se tiene: a 0 1 2 3 4 5 2.3.4.5
M x120 x120
2.- Dados a , n  ,a 0 , se tiene: 120
2.3.4.5
x x. M x
1 2. 2
a n .a n
a n .a n 1 a n
3.- 4.- Calcular: M 2. 2. 2
an
Solución
z ..... f
x y La expresión dada es:
a a x. y . z ..... f 2. 2 4
M 2. 2. 2 2. 2. 2
2
2. 2. 2 2. 2.2

n
4.2 2.2 4
3.- a p .b q .......x m a p .n .b q .n ......x m.n
M 4

4to Año Razonamiento Matemático 2

COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
TAREA DE CLASE Se obtiene
1. x2 . x3 . x4 = ________

Rpta.

2. 23 . 33 . 53 = ________

12. Si xn = 3
A que es igual x2n

54 Rpta.
3. = ________
24

20 6 13. Si xx = 2, calcular x–x
4. = ________
10 6
Rpta.

2 5 14. Reducir
5. 23 = ________ 3
33 . 2
27 . 11 3

6. 3
2 . 3 4 = ________
Rpta.
15. Reducir:
5 25 210 312
5 23 2 5 310
7. 2–3 = ________
Rpta.

4
2 16. Reducir:
8. = ________ 1 1 1 3
3 6 3 2 22

Rpta.

0
1 1
9. = ________
2 3 17. Cual es el exponente de x x en x5x

Rpta.
2
10. 2 = ________
3

18. Reducir:
4 1
4
25 3
8
5
2 16 4
2
11. Luego de operar
5 4 2 –3 –3 –2
3 .2 .7 .3 .2 .7

3

Aprendiendo a resolver…..resolviendo 27 32 16
a) b) c)
32 27 27
27 e) N.A.
1. Después de operar d)
16
45 . 34 . 82 . 4–3 . 3–3 . 8–2
Se obtiene: 8. Reducir
4 1
4 36
38
6
3 25 4
3
a) 16 b) 24 c) 48
a) 1 b) –1 c) 2
d) 8 e) 32
d) –2 e) 3
9. Simplificar:
6n 1 6n
P
2. Si xn = 7, hallar el valor de x2n 6n
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
a) 14 b) 21 c) 49
d) 16 e) 1 10. Simplificar
7n 2 7n 1
Q
7n
x –x
3. Si x = 5, Calcular x
a) 32 b) 42 c) 49
d) 21 e) 7
1 1 1
a) b) c)
2 3 4
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1 1
d) e)
5 6
EXPRESIÓN ALGEBRAICA

4. Reducir es un
3
44 . 3 CONJUNTO DE TÉRMINOS
3
QUE REPRESENTA UNA
16 . 11 CANTIDAD

CONSTITUIDA
a) 10 b) 12 c) 16 POR
d) 8 e) 64
5. Cual es el exponente final de “a” en:
2 5
a5 . a3 . a1 , a 0 VARIABLES CONSTANTES

representada por dadas por
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
NÚMEROS
LETRAS

6. Reducir
7 23 312 515 OPERACIONES
7 21 310 513 MATEMÁTICAS
ELEMENTALES

a) 11 b) 22 c) 33
d) 44 e) 55
TÉRMINO ALGEBRAICO (Monomio)
Definición.- Es la mínima parte de una expresión
7. Reducir
1 1 1 2 3 algebraica, en el no existen operaciones de
8 4 2 2
adición o sustracción.

4

1.- ¿Cuántas de las expresiones son algebraicas?
3
3 xy 2 3x 2 x 1
;3 x
3; 3 x 3
x 5; 28; x 2 4x 1
Ejem: 5 x 2 y; 7x 2
y6 ;
z Solución
Todo termino algebraico presenta tres partes, las Son expresiones algebraicas:
cuales son: Exponentes 3x 2 x 1
; 3x 3
x 5; 28

2.- Si los términos : 4 x a 3
yb 1
x5 a
y 2b
7 x5 y 3 7
Son semejantes; calcular a.b
Variables Solución
Coeficiente Podemos plantear:
TÉRMINOS SEMEJANTE 4 xa 3
yb 1
 x5 a
y 2b
Definición.- Son aquellos términos que presentan a 3 5 a 2a 8 a 4
las mismas variables e iguales exponentes Donde: b 1 2b b 1 b 1
respecto a la Variable común. a.b 4

Ejem: 7 xy 5 4 xy 5 son semejantes
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
GRADO DE UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICAS ALGEBRAICA

A.- Según su Naturaleza
1.- Expresión Algebraica Racional. es un
EXPONENTE QUE CARACTERIZA A
Es aquella expresión en donde los LA EXPRESION ALGEBRAICA
exponentes de las variables son números enteros.
Estas a su vez se dividen en:
RELATIVO ABSOLUTO
1.A Expresión Algebraica Racional Entera SI SE REFIERE A UNA SI SE REFIERE A
SOLA VARIABLE TODAS LAS VARIABLE
Ejem: 7 xy 4 4 x2 y 4x 2y 1

2.A Expresión Algebraica Racional Fraccionaria
Ejem: 7 xy 2 2
5 xy 1
x SÓLO UN TODA LA
TÉRMINO EXPRESIÓN
2.- Expresión Algebraica Irracional
Es aquella expresión en donde existe al menos
una variable afectada de algún signo radical o VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES

exponente fraccionario. ALGEBRAICAS

5x2 y Definición.- Es aquel valor que se obtiene al
Ejem: 2 xy x 3
2x 1 4
y 3xy 4
3x 15
2 reemplazar las variables por constantes o

B.- SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS variables y efectuar dichas operaciones.

Monomio……………….1 término Ejem: Sea P( x) 5x 3 . Hallar:

Binomio…………………2 términos P(0); P(1); P( x 3)

Trinomio…………………3 términos Solución
……………………………………. si :
x 0 P (0) 5(0) 3 3
Polinomio………………más de 3 términos
x 1 P (1) 5(1) 3 8
EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE x x 3 P( x 3) 5( x 3) 3 5x 18
y
Ejem: 2 xy 5x 5x 3
VALORES NUMERICOS NOTABLES
2x senx cos 2 x
Si P( x) es un polinomio, se cumple:
Ejercicios resueltos
5

P(0) = término independiente Ejem: P( x) 9 x5 2x4 4 x3 3x 2 x 5

P(1) = suma de coeficientes

Ejem: Si P( x 3) 5x 16 P( x, y ) 9x4 y x3 y 2 4x2 10 xy y2

Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes Propiedad

Solucion En todo polinomio completo y de una sola variable,

Se pide P(0) + P(1) el número de términos es equivalente al grado
aumentado en uno.
P(0) : i) x 3 0 x -3 . Reemplazando
Es decir: número de términos = Grado + 1
en:
4.- Polinomios Idénticos.- Dos polinomios de las
P( 3 3) 5( 3) 16 1
mismas variables son idénticos si tienen el mismo
P(0) 1
valor numérico para cualquier valor o valores
P(1) : i) x 3 1 x -2 . Reemplazando en: asignados a sus variables.
P( 2 3) 5( 2) 16 6 Ejemplos: P( x) (x 2) 2 Q( x) x2 2x 8
P(1) 6
P( x, y) x3 y3 Q( x, y) x y x2 xy y2
FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE
5.- Polinomio Idénticamente Nulo.- Son aquellas
VARIABLE X
expresiones que son equivalentes a cero. Estando
P( x) a0 x n a1 x n 1
a2 x n 2
................... an 1 x an
reducidas se cumple que cada coeficiente es igual

Donde: a cero. Notación: P( x) 0
n  ; n grado del polinomio

a0 , a1 , a2 ,.........., an 1 , an : son los coeficientes
TAREA DE CLASE
tales que:
1. Si R(x,y) = ax2y3 + bx4y5
a0 0 : Coeficiente Principal (C.P)
an : Término Independiente (T.I) Hallar G.R.(x) = _ _ _ _ _
POLINOMIOS ESPECIALES
1.- Polinomio Homogéneo.- Es aquel polinomio G.R.(y) = _ _ _ _ _

que tiene todos sus términos el mismo grado.
G.A. =_____
Ejem: P( x, y ) x3 3x 2 y 4 xy 2 y3

2.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que 2. Ordenar el polinomio P(x) de manera
decreciente.
esta ordenado con respecto a una variable P(x) = 1 + 2x3 + 3x2 + 5x + 6x 4
llamada ordenatriz, donde los exponentes de la
mencionada variable van aumentando o
disminuyendo.
Ejemplos:
P( x, y ) 9 x5 y 2 x3 y 3 4x2 y 2 3y4 1. ¿ Efectuar:
P( x, y ) 9x 4
2x y 3
4x y 2 2
xy 3
y 4 8x – (2x - 3) – (–x + 6)

Q( x ) 5 x17 2 x12 x6 x 1
Rpta.
3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en el
que el grado de todos sus términos van desde un
máximo valor hasta el de exponente cero (término
2. Reducir:
independiente) a – (2,3b – 5,2a) – (–3,5a + 4,
6

Rpta.

9. Simplificar:
3. Si: P(x;y) = 2yx m+1 m n
– 3x y + 5 . y n+2
. x. –(– 4x + y) + (5x + 3y) – (x – y)
Tiene el Simplificar:
(6x – 3y + 5z) – (–4y – 6z – 3x) + x – y +
z Rpta.

Rpta.
10. Reducir:
–b – {– c – [– d – {– c –(– d b ) + a} – d]
– a}
4. Efectuar:
1 3
p – (p – 0,2q) + (0,222.....q – p) + q
4 6 Rpta.

Rpta.
4
Simplificar: –{–q + [–p + q – (– 3p –
3
1
5. Reducir: 6q) + p] – 0,3333....q}
2
12a – [– 9a –(–2a + 7) + 3a] – 26
11. Reducir:
8x2y + 16x2y – 10x2y

Rpta.
Rpta.
6. Efectuar:
– [ – 0,2x –[0,4x2 + (0,05x2 + 0,7x)]] – x

12. Reducir:
4 3 2 4 3 2 4 3 2
17x y z + 16x y z – 28x y z

Rpta.
Rpta.

13. Reducir:
7. Efectuar: 10x2y + 12xy2 + 2x2y – 6xy2 –
{[(2p – 3) – (3p + 4q)]} – {2q – (3p + q) – p} 8x2y

2 2
1. Sea P(x) = x + x – a , P(a) = 3.
Hallar el término independiente
de P(x)
Rpta.
8. Efectuar Rpta.
3 2 3 4 2 1
a– b c + c b a
4 4 7 5 3 4

2. Sea P(x) = 2x + 3, Hallar
P(x–2)

7

Rpta. a) –16 b) –3 c) –12
d) –7 e) –4
5. Los 3/2 de:
x 2
3. Si P(x + 1) = 5x + 2, Hallar P(x) 3y 2 x 2
; Cuando: y 3
1 3
a a 1
2
Es:

Rpta. a) 69 b) –46 c) –69
d) 60 e) –63
2x 2
4. Si f(x) = , hallar f f 3
x 1 b–3 10
6. Si los términos 6xy ; 2xy son semejantes,
calcular el valor de “b”
Rpta.
a) 12 b) 11 c) 13
d) 14 e) 10

5. Si R(x) = x + 2, R(2n) = 4. Hallar n2 7. Hallar m N, sabiendo que el polinomio
P(x) es de grado 36.
] + 7 [x ]
5m+3 2 m+1 3
P(x) = 0,2[x
Rpta.
a) 3 b) 6 c) 2
d) 5 e) 8

6. Sea P(x) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x3. Hallar P(0)
8. La expresión:
+ P(1)
3 3
0,2x + y + x – 0,25 y equivale a:
4 5
2 1 b) 0,8x – 0,5y
Rpta. a) x y
5 4
4 4
c) x–y d) x + 0,5y
Aprendiendo a resolver…..resolviendo 5 5
e) 0,6x – 0,5y

1. Hallar el grado absoluto del polinomio: 9. Al resolver:
2 3 4 4 7 9 5
P(x;y;z) = 5x y z + 7x y z + 9x y2z
7 x – [x – {y – (2x – y)} + x – (–y)]
Se obtiene:

a) 14 b) 9 c) 20 a) 3x –y b) x – 3y c) x + y
d) 18 e) 15 d) x + y e) y – x

2. El monomio: 3xa+b–5 yb–3 10. Si: a = 2; b = – 4; c = – 3; d = 9; entonces el
b d
Es de G.R.(x) = 5 y G.R.(y) = 2 valor de 2db es:
a c
Entonces “a” vale:
a) –67 b) –71 c) –72
d) –73 e) –77
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Sean:
4 m
3. En el polinomio P(x,y) = 4x y
P(x) = xm + 3 + xm + 1 + 7 n+2 5
Q(x,y) = 10x y,
El grado absoluto es 10, entonces el
valor de “m” es: Hallar m + n,

a) 6 b) 7 c) 4 Si son términos semejantes
d) 5 e) 9 a) 2 b) 3 c) 7
4. Si: x = 2, y = –1, el valor de la expresión 2x 2y – d) 8 e) 1
3xy2 + xy, es:
8

12. Si el coeficiente principal de: a) 3x+5 b) 5x+3 c) 3x–5
4 5
Q(x) = x + (k + 2)x + 2x + k, es 5, d) 3x e) 5
calcular su término independiente:

PRODUCTOS NOTABLES
a) 8 b) 6 c) 3
d) 1 e) 5 PRODUCTOS
NOTABLES

son
nn 2 RESULTADOS DE DETERMINADAS
13. Sea: R(x) = x + nx + x + n, un
3 MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS
SIN EFECTUAR LA OPERACIÓN
polinomio de 3er grado, calcular P(3)
Por ejemplo
a) 30 b) 40 c) 50
d) 60 e) 70
14. Sean: BINOMIO SUMA
2
A(x) = Kx2
AL CUADRADO a b a 2 2ab b2
k+3
B(x) = 5x
2
Si A y B tienen el mismo coeficiente, calcular BINOMIO DIFERENCIA a b a 2 2ab b2
el exponente de x en “B” AL CUADRADO

a) 6 b) 7 c) 8
d) 16 e) 1 BINOMIO SUMA
AL CUBO
15. Si Q(x)= x800 – 2x799 + 3. Hallar Q(2) a b
3
a3 3a 2b 3ab2 b3

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6 BINOMIO DIFERENCIA 3
a b a3 3a 2b 3ab2 b3
AL CUBO
16. Sea:
R(x) = (K + 2) x K–1 + 3x2 + 6
Un polinomio de 5to grado, hallar el coeficiente
del término principal.
a) 2 b) 4 c) 6 Definición.- Se denominan así a todas aquellas
d) 8 e) 9 multiplicaciones o potenciaciones cuyos
17. Sea: resultados:
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Productos o potencias, tienen una frecuencia que
Además
las hace reconocibles en una inspección.
a b c
P(1) = 0, Hallar Algunos resultados mas:
d
1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS
a) 0 b) 1 c) –1
d) 5 e) 4 a b a b a2 b2
2
18. Si P(x) = ax + b, a 0 y además P(3) = a m bn a m bn a 2m b2n
b 2.- TRINOMIO AL CUADRADO
a, Calcular
a 2
a) 5 b) 6 c) –7 a b c a2 b2 c2 2 ab ac bc
d) 8 e) –8 a b c
2
a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
19. Sea P(x) = 3x + 5, hallar P(x+1) 2 2 2 2
a b c a b c 2ab 2ac 2bc
2
a b c a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
a) 3x-2 b) 2x+3 c) 3x+2
d) 3x e) 2 3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
3
a b a3 3a 2b 3ab 2 b3
20. Si P(x+3) = 3x + 4, Hallar P(x) 3
a b a3 3a 2b 3ab 2 b3
9


3 3
8. Si a + b = 4 y ab = 3, hallar a + b
TAREA DE CLASE
1. Simplificar:
N x2 2xy y2
Rpta.
3 3
9. Si: a – b = 2 y ab = 15, Hallar a – b

Rpta.
2. Reducir:
P a b a b b2 Rpta.
10. Smplificar:
x 3 x 5
N
x 2 8x 15

Rpta.
3. Si: a + b = 2 y ab = 1, hallar a2 + b2 Rpta.

11. Simplificar:
N x2 2xy y2

Rpta.
Rpta.
1 1
4. Si x 3 , hallar x 2

x x2

12. Reducir:
P a b a b b2

5. Sabiendo que: Aprendiendo a resolver…..resolviendo
(x + 1)2 =3, Calcular x 2 + 2x – 2

1. Reducir:
Q x y x y y2
2
a) x b) x c) xy
Rpta. d) y2 e) y
2
a 2. Simplificar:
6. Si (a + 2b) ( a – 2b) = 0: b 0. calcular
b x 4 x 5 20
N
x 2 9x
a) 0 b) 1 c) 4
3. Si:
x 3
1972 11 ;
Rpta.
7. Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1, calcular (x + y)
2
y 1969 11

Hallar el valor de:
9 3 3 9
x – 9x y – y
10

a) 27 b) 72 c) 30 a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4
d) 20 e) 25 d) 0,5 e) 0,6
13. Reducir:

4. Si: x + y = 5 y x . y = 6, Hallar x 2 + y2 N 8 3.11 . 72 42 7 4 44 48

a) 7 b) 8 c) 9
a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 4
d) 14 e) 15 14. Efectuar:
Q 85 1 5 1 8
5 1 4
5 1
1
5. Si: x 4 , Hallar x 2 a) 1 b) 2 c) 3
x x2 d) 4 e) 5
15. Siendo:
a) 12 b) 13 c) 14 x 3 5 3 5
d) 15 e) 16
2
Hallar x
6. Sabiendo que: (x + 2)2 = 36, hallar x 2 + 4x – 2
a) 12 b) 11 c) 10
d) 9 e) 8
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50 16. Reducir:
x 3a 2 3x a 2
a
2
Z
7. Si (a + 3b) (a – 3b) = 0, b 0, calcular x a x a 2a 2
b
a) 3 b) 6 c) 9
d) 12 e) 15 a) 5 b) 10 c) 15
8. Si (a + b) = 6 y ab = 8, hallar a3 + b3 d) 20 e) 25

a) 36 b) 72 c) 144 17. Efectuar:
d) 216 e) 108
5 3 5 3
M
5 3 5 3
9. Si (a + b + 1) (a + b – 1) = 3, hallar (a +
b)2
a) 2 b) 4 c) 5
a) 6 b) 7 c) 8 d) 6 e) 8
d) 9 e) 10 18. Efectuar:
2 2 2
10. Si x – y = 4 Q 3 5 1 5 2 1 2 5
Simplificar: N x y 2
4xy a) 33 b) 44 c) 55
d) 66 e) 77
a) 5 b) 3 c) 2
d) 1/2 e) 4

11. Simplificar:
5x 1 2 5 x 12
N
5x 2 1

a) 2 b) 4 c) 6
d) 7 e) 8
2 2
12. Si se cumple que: x + y + 4xy
Reducir:
x y 2
x y 2
R
x y 2
x y 2

11


ALGEBRA

II Bimestre
DIVISIÓN ALGEBRAICA 3. Coeficientes del cociente que se obtienen de
dividir la suma de los elementos de cada
Definición.- Operación que se realiza entre
polinomios que consiste en hallar dos columna entre el primer coeficiente del divisor.
polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO,
Cada coeficiente del cociente se multiplica por
conociendo otros dos polinomios denominados
DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra los demás coeficientes del divisor para colocar
ligados por la relación:
dichos resultados a partir de la siguiente
columna en forma horizontal.
. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .
4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de
Donde: sumar
D(x) : Dividendo la columnas finales una vez obtenidos todos los
d(x) : Divisor coeficientes.
Q(x) : Cociente
R(x) : Residuo o Resto

Propiedades de la División
Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo.
(Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))

Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))

Además: Máximo Gdo. (R(x)) =
Gdo. (d(x)) – 1

PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN

OBSERVACIÓN:
MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER
LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO
Pasos a seguir: TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL
DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:
1. Coeficiente del dividendo ordenado
decrecientemente en una variable completo o
completado. MÉTODO DE PAOLO RUFFINI
2.- Coeficiente del divisor ordenado
Pasos a seguir:
decrecientemente en una variable, completo o
completado, con signo contrario salvo el 1.-Coeficientes del dividendo ordenado

primero.
12

decrecientemente, completo o completado, TAREA DE CLASE
con
respecto a una variable. 1. Indicar el residuo de la siguiente división
2.- Valor que se obtiene para la variable 2x 7 4x 6 2x 3
x 2
cuando el

divisor se iguala a cero Rpta.

3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de
sumar cada columna, luego que el coeficiente 2. Efectuar la siguiente división
Indicar el residuo
anterior se ha multiplicado por (2), y colocado
6x 3 5x 2 4x 4
en
x 1
la siguiente columna.
4.- Resto de la división que se obtiene de sumar
la
Rpta.
última columna
3. Indicar el término independiente del resto
de la siguiente división
6x 3 x 2 2x 6
3x 2 2x 1

Rpta.
4. Indicar la suma de coeficientes del
cociente luego de efectuar:
2x 4 x3 3x2 20x 10
OBSERVACIÓN: 2x2 3x 1
5. Calcular “n”, si el resto de la división es – 15
SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES
2x 3 nx 2 4x n
DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE
2x n
OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE

VALOR.

Rpta.
TEOREMA DEL RESTO 6. Al dividir x4 – 2x2 – 6 entre
x + 3, el residuo es:
Se utiliza para obtener el resto de una división.
Consiste en igualar a cero al divisor y despejar
la mayor potencia de la variable, para que sea
reemplazada en el dividendo. Rpta.
7. Hallar el cociente en:
OBSERVACIÓN: x5 6x 4 2x 3 x 1
x 3
3x 2 1
DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE
COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO

OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR. Rpta.

13

8. Cual es el valor que deberá tener “K” para que Aprendiendo a resolver…..resolviendo
al dividir 4x 5 – 2x3 + K – 2 entre x – 2, el
residuo sea cero
1. Indicar el residuo en la siguiente división:
2x 3 x2 3
9. El cociente de la siguiente división:
x3 + 3x2 – x – 3 entre x2 + 2x – 3 es: x 1

a) 1 b) –1 c) 0
Rpta. d) 2 e) –2

2. Efectuar la siguiente división:
6x 2 x 2
2x 1
10. Hallar el residuo en
2x 4 5x 3 3x 6 E indicar el cociente
x 2
a) x+1 b) 3x–2 c) 3x+2
d) 2x+3 e) 2x–3
Rpta.
3. Indicar el término independiente del resto
en la siguiente división
6x 2 9x 27
11. Hallar el cociente en: 3x 9
38x 4 65x 3 27
a) 1 b) 2 c) –2
2x 2 5x 3
d) 3 e) 0

4. Calcular la suma de coeficientes del cociente,
después de efectuar.
Rpta.
x2 15x 56
12. Hallar el coeficiente del término x 8
cuadrático en:
2x 4
x 3 7x 3 a) 5 b) –5 c) 6
2x 3 d) –6 e) 7
5. Calcular “n” si el resto de la división es cero
13. Hallar el cociente aplicando Horner 2x 3 11x 2 18x n
x 5 27x x 4 7x 2 10 x 4
x2 x 5
a) 12 b) 36 c) 42
d) 6 e) 24
Rpta.
6. Al dividir:
x 6 7x 3 12
x3 3
14. Hallar el cociente aplicando Ruffini El residuo es:
x4 – 3x3 + 5x – 8 entre x + 2
a) x3–4 b) X3+4 c) x2–5
d) x2–3 e) 2x3+1
Rpta.
7. Hallar el cociente en:
x3 10 x2 14 x 9
x 2 4x 3
15. Hallar el cociente aplicando Horner
5 4 3 2 3 2 a) x+1 b) x–1 c) x+6
6x + 2x – 23x + 11x + 12x – 3 entre 3x – 5x
d) x–6 e) x+7
+3
8. Dividir usando Horner

14

5 4 6 3 2
5y 9y 3y 10 y 3y 4 8y 15. Efectuar la división
e
3y 3 2 y 2 5 y 4
indicar la suma de coeficientes del
cociente
x 4 2x 2 6
x 3
a) 0 b) 1 c) –1
d) 2 e) 3 e indicar el resto
9. Dividir usando Ruffini a) 69 b) 62 c) 59
3 2
2x – 11x + 18x – 24 entre d) 57 e) 54
x- 4
e indicar el término 16. Al efectuar la división
independiente del cociente x 5 2x 4 x 2 3
a) 1 b) 3 c) 6 x 2 2x 1
d) 9 e) –3
Indicar la suma de coeficientes del
10. Dividir usando Horner residuo
31x 2 x 6 8x 5x 5 21
a) 3 b) 4 c) 5
x 3 7 2x
d) 6 e) 7
e indicar el coeficiente del
término cúbico 17. Efectuar la división e indicar el
término independiente del
a) 0 b) 1 c) –1 residuo
d) 2 e) –2
2x 4 x 3 4x 2 x 5 1
11. Dividir e indicar la suma de coeficientes 2x 2 x 1
del residuo
Indicar el término
11x 3 3x 5 46x 2 32 independiente del resto
8 3x 2 6x

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a) 1 b) 5 c) 0
d) 4 e) 6
18. Utilizando el Método de Horner,
12. Efectuar la división
efectuar la división
x 4 2x 2 6 6x 5 7x 4 18x 3 10x 2 7x 9
x 3 3x 3
x2
2
Indicar el coeficiente del
e indicar el resto término lineal del cociente
a) 69 b) 62 c) 59
d) 57 e) 54 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Al efectuar la división
x 5 2x 4 x 2 3 19. Aplicando el Método de Horner,
efectuar la división e indicar
x 2 2x 1 coeficiente del el término
Indicar la suma de coeficientes del cúbico del cociente
5x 4 2x 4 5x 3 6x 2 6x 1
residuo
4x 2 2x 1
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
a) 1 b) 2 c) 3
14. Dividir e indicar la suma de coeficientes d) 4 e) 5
del residuo
11x 3 3x 5 46x 2 32
8 3x 2 6x

a) 1 b) 5 c) 0
d) 4 e) 6

15


COCIENTES NOTABLES
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
Definición.- Son aquellos cocientes que se PARA OBTENER UN C.N.
pueden obtener en forma directa sin necesidad
xm yn m n
de efectuar la operación de división. De: se debe cumplir: r;r Z+
xp y q
p q
xm ym
Condiciones que debe cumplir: FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN
x y
C.N.
Donde
Es una fórmula que nos permite encontrar un
x; a bases iguales término cualquiera en el desarrollo de los C.N.,
sin necesidad de conocer los demás.
m Z +; m 2

CASOS xn yn
De la división:
x y
xm yn
1. Si: R = 0 q x cociente Si d(x) = x – y: . tk = xn–kyk–1 .
x y a)

entero o exacto (C.N.)
xm yn R x b) Si d(x) = x+y: . tk = (–1)k–1xn–kyk–1 .
2. Si: R = 0 q x
x y x y Donde:
cociente completo
tk término del lugar k

x 1er. término del divisor.

También según la combinación de signos se y 2do. término del divisor.

puede analizar 4 casos. n número de términos de q(x)
DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES Ejemplos:
DIVISIÓN COCIENTES n Z+
x5 y5
x4 x 3y x 2y 2 xy 3 y 4 (C.N.)
INDICADA x y

xn yn x4 y4 2y 4
x y
=xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+; n (C.N.) x3 x 2y xy 2 y3
x y x y
(Cociente Completo)
2y n
x n
y n
=xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+ ; n
x y x 12 y 12
x y x6 x 6y 3 x 3y 6 y8 (C.N.)
(cociente completo) x3 y3

xn 1
x n 2y x n 3y 2 ... y n 1 ; n impar C.N.
xn yn TAREA DE CLASE
2y n
x y xn x n 2y x n 3y 2 ... y n ; n par cociente completo
1 1

x y
1. Efectuar
x 5 32
y hallar la suma de coeficientes
x 2
xn 1
x n 2y x n 3y 2 ...ny n 1; n par C.N.
xn yn del resultado
2y n
x y xn 1
x n 2y x n 3y 2 ... y n 1

x y
; n impar cociente completo

Rpta.

16


9. Hallar el valor de “P” para que:
xP 4 y6
2. Calcular el tercer término de: , sea C.N
x4 yP 4
84x 4 1
3x 1
Rpta.

Rpta.
10. Efectuar:
x 6 64y 6
e indicar el cuarto término
x 2y

3. Calcular el segundo término de
125x 3 27 Rpta.
5x 3

Rpta. 11. Cual es el tercer término en el cociente
x 10 32y 5
4. Desarrollar
x 2 2y
x 23 8
E
x 12. Hallar el número de términos del
siguiente cociente notable:
5. Desarrollar
x 63 . y n
x 3 4 16
N xn . y7
x 1

Rpta.
Rpta.

13. Efectuar:
6. Si:
x 3 64
xm 1 ym 1
, es C.. Hallar “m” x 4
x3 y2
Y dar la suma de los coeficientes del
cociente.
Rpta.

Rpta.

7. Hallar el término de lugar 34 en
x 48 y 48
14. Hallar el cuarto término de:
x y
x7 y7
x y

Rpta
8. Hallar el valor de “n” para que: Rpta.
xn 5 yn 2
sea Cociente Notable
x3 y2

15. Hallar el tercer término de:
Rpta.
x 4 4 16
x 2
17


Aprendiendo a resolver…..resolviendo
8. Hallar el valor de “K” para que
x 3K 2 n 16
1. Hallar la suma de coeficientes del , sea C.N.
xK 1 n2
desarrollo de:
a) 1 b) 1,5 c) 2
x 10 32y 5 d) 2m5 e) 5
x 2 2y
9. Hallar el V.N. del quinto término del desarrollo
a) 10 b) 11 c) 12 x9 y9
de , para que x = 3,
d) 13 e) 14 x y
y=2
2. Calcular el cuarto término del desarrollo
de:
a) 646 b) 340 c) 648
x9 y9 d) 343 e) 548
x y 10. Hallar el término central de
a) x y3 3 3 3
b) –x y 4 4
c) x y x 21 y 21
d) –x2y3 e) –x3y2 x3 y3
9 8 8 9 7 7
3. Calcular el quinto tercer término del a) x y b) x y c) x y
d) x9y9 e) x8y8
desarrollo de:
y8 x8 11. El número de términos que tendrá el
y x siguiente cociente notable:
m 4 a 12 n 4 a 3
4 3 3 4 3 4 ; es:
a) y x b) y x c) –y x ma 8 n a 9
4 3 4 4
d) –y x e) x y
a) 10 b) 12 c) 25
4. Desarrollar y dar el valor numérico del tercer d) 15 e) 18
término para x = 2 del siguiente Cociente
Notable 12. Efectuar:

x 3 4
16 64x 6 y 6
x 1 2x y

a) 10 b) 15 c) 20 y dar la suma de los coeficientes del
d) 25 e) 30 cociente
5. Si: a) 13 b) 21 c) 31
x 3n 1 y n 2
d) 41 e) 51
, es un Cociente Notable, hallar
x3 y4
13. Hallar el tercer término de:
“n” 81x 4 1
a) 1 b) 2 c) 3 3x 1
d) 4 e) 5
a) 2x2 b) 3x4 c) 3x
6. Hallar el término de lugar 47 en d) x4 e) 4x4
x 61 y 61
14. hallar el cuarto término de:
x y
x 5 5
32
x
13 15 12 43 14 46
a) x x b) x y c) x y 3
11 51 15 40
d) x y e) x y
a) 8x – 40 b) 8x + 40
7. Hallar el término de lugar 30 en
c) 8x – 20 d) 8x + 50
x 36 a 36
e) 8x – 30
x a
5 28 6 29 6 29
a) x .a b) –x .a c) x .a
6 30 6 40
d) x .a e) x .a

18

FACTORIZACIÓN
3. Factorizar:
3x2y + 6xy2 – 3x2y2
Definición.- Proceso inverso de la multiplicación
por medio del cual una expresión algebraica
racional entera es presentada como el productos
de dos o más factores algebraicos. 2. Factor Común Polinomio
El factor común es un polinomio.
Factor Divisor: Un polinomio no constante es TAREA DE CLASE
factor de otro cuando lo divide exactamente,
por lo cual también es llamado divisor. 1. Factorizar:
7x + 7y
Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel
polinomio que no se puede descomponer en
Rpta.
otros factores. Racionales dentro del mismo
campo.

Ejemplo: 2 2
2. El factor común de x – x y es:
El proceso

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab Rpta.

es una multiplicación.

En cambio el proceso
3. Factorizar
2 24x3 – 16x2 + 8x
x + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)

es una factorización
Rpta.
Donde:
4. Factorizar:
18x3 + 6x2y + 4xy2 – 10xy
(x + a), (x + b), son factores primos.

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Rpta.
Factor Común Monomio

1. Común Monomio
Se determina el MCD de los coeficientes y se
toma la variable común con el menor 5. Al factorizar
3 2 4 5
exponente. 16z + 20z + 4z + 12z , se obtiene
Ejemplos:
1. Factorizar:

6. Factorizar:
3 2
2. Factorizar 6x – 15x 1 1
x
5 5
Hallamos el M.C.D. de 6 y 15 es 3
El menor exponente de x es 2 el factor
común es 3x2 Rpta.

Luego
2
3x (2x – 5)

19


7. Factorizar: Aprendiendo a resolver…..resolviendo
–a – b + 2(a + b)
1. En la expresión
2 3 3 2
7x y + 14x y
Rpta. El factor común es:
a) x2y2 b) 7xy c) 7x2y2
d) x3y3 e) 7x3y3
2. En la siguiente expresión
8. Si: x – y = 5 y m = 4. Hallar mx + my x2n3 + m3x2 + m5n4, al factorizar, el factor
común es
Rpta. 2 2
a) m . n b) m n c) mn
2 2 3 2
d) m . n e) m n

9. Factorizar cada una de las expresiones: 3. Si factorizamos
2
9y – 81y
a. 8x2 – 16x = ______________
3 2
b. x + 3x – 5x =____________ el factor que no es monomio es:
c. m + x – m3 = ____________
5 4
a) 9 – y b) y2 – 9 c) y – 9
d. 6y4 + y3 – 12y2 = __________ d) y + 9 e) 9y
e. 3x – 6x2 + 9x3 =___________
4 5 3 2
f. 4x y – 2x + 6x y = _______ 4. Uno de los factores de:
(a+2b) (2a+b) – (a–2b) (5b-3), es:
a) 2a + 3b + 3 b) 2a + b + 3
10. Factorizar cada uno de los polinomios:
c) 2a – 4b + 3 d) 2a +b
a. 2(a+b)+x(a+b) = __________
e) 2a – b
b. x2(a–1)–y2(a–1) = _________
c. 3b(2x+3)+2x+3 = ________ 5. Después de factorizar
d. (a+b)x–(a+b)7–a–b = _____ (3x+1) (2a+3) + (2a+3) (4x+2)
e. x2+y2–5y(x2+y2) = ________ Uno de los factores es:
a) 7x–3 b) 7x+3 c) 7x+1
d) 7x–1 e) 7x+5
11. Factorizar: 6. Si a – b = 5 y m = 4, hallar el valor de ma –
xz + yz + x + y mb

12. Factorizar: a) 10 b) 20 c) 30
ab + bx + ay + xy d) 15 e) 16
7. Si p + q = 3, x + y = 16, hallar el valor de
(p + q)x + (p + q)y
Rpta.
a) 16 b) 3 c) 48
d) 16 e) 12 19
13. Factorizar 8. Si: m + n = 4; a – b = 2, hallar el valor de:
a2b3 – a2 + 2b3 – 2 (m + n)a – (m + n)b
a) 10 b) 16 c) 8
d) 4 e) 5
Rpta.
9. Si: x2 + y2 = 5; p + q = 3, hallar el valor
de:
2 2
(p + q)x + (p + q)y

14. Factorizar: a) 10 b) 15 c) 17
6b2x2 – 3x2 + 4b2 – 2 d) 9 e) 5
10. Factorizar
2 2 2 2
(a + b ) (x + y) + (a + b )
(x – 3y) + (a2 + b2) (y – 2x)
Rpta. Uno de los factores es:

20

2 2n + 1 n+1 n+3 n 3
a) x(a + b) b) x (a + b) x + 3x +x – x + 3x - 3
2 2 2
c) x(a + b) d) –y(a + b )
e) x(a – b2)
2

a) (xn+1–3) b) (xn–3) c) (x4+3)
11. Al factorizar la expresión:
d) (xn+1) e) (xn–1)
x2 – 2x + cx – 2x
19. ¿Cuál es el factor primo de
Uno de los factores primos es:
mayor grado de:
P = (x–8) (x–7) (x–6) + (x–7) (x–6) – (x–6)
a) x+2 b) x–c c) x–2
d) c–x e) 2–x
a) (x–8)2 b) (x–6)2 c) (x–4)2
12. Hallar la suma de los términos d) (x–3)2 e) x3
independientes de los factores primos
20. Uno de los factores primos de:
de: m+a m b a n n+b a p p b
x –x .y +x .y –y –x z +z y
2yz + 7y – 2z – 7
Es:
a) (xa+yb) b) (xa–yb) c) (xb+ya)
a) 7 b) 8 c) 5
d) (x+y) e) (x–y)
d) 6 e) 1
13. ¿Cuántos factores primos tiene:
mx – m – x + 1
Método de Agrupación
a) 1 b) 3 c) 2 Se usa este método cuando el polinomio posee un
d) 4 e) 5
factor común de 2 a mas términos por lo general
14. Al factorizar la siguiente expresión:
se encuentran luego de agrupar.
mx – m – x + 1
Ejemplos:
Uno de los factores primos es:
a) (x+1) b) (m+1) c) (2x+1)
d) (x–1) e) (2m+1) 1. ax + bx + ay + by
15. La suma de los coeficientes de uno de los
factores primos de: agrupando
3ax – 3ay – 2bx + 2by; es:

x(a+b) + y(a+b)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5 factor común
16. El factor primo de mayor grado de:
2ax2 + 2ax + 2x – a2 – a – 1; es:
Factorizando:
2 2
a) x + x + 1 b) a + a + 1 (a+b)(x+y)
2 2
c) x + 1 d) a + 1
e) a3 + 1
2. 6ax + 3a + 1 + 2x
3a(2x + 1) + 1 + 2x

17. Hallar el producto de los términos Factor
independientes de los factores primos de:
común
1
x2 3x 1
3x
Factorizando:
a) 2 1 c) 3
b) (2x + 1)(3a + 1)
3
2 e) 1
d)
3
18. Uno de los factores primos de:
21

3) xy2 + xz2 + yz2 + x2y
TAREA DE CLASE

2 2 2 2 2
xy + yz + xz + x y = y(xy + z ) + 01) Señalar un factor de:
2
x(z + xy)
= (xy + z2)(y + x) ax + a + bx + b

Método de las Identidades Rpta.:

a) Trinomio Cuadrado Perfecto 02) Señale un factor de:

a2 + 2ab +b2 = (a + b) 2 (a + 1)(a - 2) + 3b(a + 1)
2 2 2
a - 2ab +b = (a - b)
Rpta.:
Ejemplo:
03) Factorizar:
1. Factorizar
16x2 + 40x + 25 ax + x – 3a – 3 y señala un factor.

Raíz 4x 2(4x)(5) 5 = Rpta.:
2
(4x + 5)
04) Factorizar y señale uno de los factores
de:

Doble producto Si es T.C.P. az – aq + bz – bq

b) Diferencia de Cuadrados Rpta.:

2 2
a – b = (a + b)(a -b) 05) Señale uno de los factores de:

Ejemplo:
xy + yz + wy - x - z – w

1. Factorizar
Rpta.:
4 2
x - 4b
06) Después de factorizar. Señale un factor.

Raíz x2 2b x4 – 4b2 = (x2 + 2b)(x2 – 2b)
ax – ay – bx + by + cx – cy

Método del Aspa Simple
Rpta.:
07) Después de factorizar.
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
n2ax + m2ax + n2by + m2by El factor de 2do
ax2 + bx + c grado es:

22


08) Factorizar: 4x2 + 12xy + 9y2

01) Señale un factor de:

Rpta.:
09) 2 2 2
P = ax + bx – ay - by
Factorizar: a x + 2abx + b
a) a – b b) x + y c) a + b d) 1
e) 2
02) Señale un factor de:
Rpta.:
(x + 1)(y -2) + 3x(x + 1)
10) Factorizar: P = a2 + 2a + 1

a) (x + 1) b) (x - 1)
c) (y - 2) d) (y + 2) e) 1

Rpta.:
03) Señalar un factor de:
11) Factorizar:
nx + ny + x + y
Q = x2y2 + 2xy2 + y2 e indicar el factor
primo de menos términos.
a) (n - 1) b) (x - y) c) (x + y) d) x
e) y
04) Factorizar y señalar uno de los factores
Rpta.:
de:
12) Factorizar y hallar la suma de los factores
xy + wz – wy + xz
de: N = 64x4 – 36y2z6

a) (x + w) b) (w - x)
c) (y + z) d) (y - z)
Rpta.:
e) (z - y)
13) Factorizar; e indicar la suma de los
05) Señalar uno de los factores de:
factores primos:
xm – xp + xn + my – py + ny

a) (m - n + p) b) (m – n - p)
N = x2 + x – 12
c) (m + n - p) d) (x - y)
Rpta.:
e) (m + n)
14) Factorizar e indicar uno de los factores
2
de: M = x + 3x – 18
06) Después de factorizar. señalar uno de los
factores:

ax – ay – bx + by – cx + cy
Rpta.:
15) Factorizar e indicar uno de los factores a) (x + y) b) (y – x)

de: P = x2 + 6x – 30 c) (a + b + c) d) (a – b - c)
e) (a – b + c)

Rpta.:
23

e) (x - 1)
07) Después de factorizar señale el factor
común de 2do grado. 12) Indicar la suma de los factores:

2 2 2 2 2
N = kx – ky + px + py N = x – 9x + 20
a) (x + 9) b) (2x - 9)
2 2 2 2
a) (x + y ) b) (y – x ) c) (2x - 4) d) (2x + 5)
2 2 2 2
c) (x - y ) d) (p + k ) e) (2x - 1)
2 2
e) (p – k ) 13) Indicar uno de los factores de:
N = 6x2 + 5xy – 6y2 – 2x + 23y – 20
08) Factorizar:
a) 2x + 3y – 4 b) 3x + 2y - 5
4 6
N = 36x – 16y c) 6x – 2y - 5 d) 5x – 4y + 8
Hallar la suma de sus factores primos: e) 8x – 2y + 3

a) 10x2 b) 12x2 14) Después de factorizar, indicar la suma de
2 3
c) 6x d) 8y los factores de.
3
e) 12y N = 4x2 – 9y2 + 24y – 16
a) 2x b) 3x
09) Hallar la diferencia de los factores c) 4x d) 6y
mínimos de: e) 8y

64x4y6 – 36z6 15) Factorizar, e indicar un factor

a) 12x2 y2 b) 12z3 P = 2x2 – 7xy + 6y2 + 8x – 13y + 6
c) 12x2 d) 12y3
e) 12 x3y2 a) x – 2y + 3 b) x + 2y - 3
c) x – 2y - 3 d) –x - 2y - 3
10) Al factorizar la expresión, uno de los e) 2x + 3y – 2
factores es:

2 2 2 2
P = (a x + 2abxy + b y )

a) (ax + by)2 b) (ax + by)
c) (ax - by) d) (ay - bx)
e) (ax - bx)

11) Factorizar e indicar uno de los factores
de:
2
N = x – 5x – 24

a) (x + 8) b) (2x + 3)
c) (x - 8) d) (x - 3)

24


ALGEBRA

III Bimestre
MÍNIMO COMÚN NULTIPLO y MÁXIMO
COMÚN DIVISOR
Solución

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
72 96 120 2
36 48 60 2
Para calcular el M.C.D de dos o más
expresiones, se factorizan estas y el M.C.D 18 24 30 2
estará formado por los factores comunes, 9 12 15 2
elevados a su menor exponente, 9 6 15 2

Ejemplo 1: 9 3 15 3

3 1 5 3
Hallar el M.C.D de: 24a2b ; 18a3bx ;
30a4bx2
1 1 5 5
1 1 1
Resolución:
M.C.M = 25 . 32 . 5 = 1440

24 18 30 2 M.C.M = 1440 x4 y5 z7

12 9 15 3
TAREA DE CLASE
4 3 5 2.3=6

Entonces: M.C.D(24,18,30) = 6 a2b 01) Hallar el M.C.D de:

P(x ; y) = x2 – xy
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (M.C.M)
Q(x ; y) = 3x2 – 3y2
Para calcular el M.C.M de dos o más 2
expresiones se factorizan estas y el M.C.M R(x ; y) = xy – y
se formará con los factores comunes y no
comunes con su mayor exponente.

02) Hallar el M.C.D de:
Ejemplo 1:
3 4 4 2 2 3
Hallar el M.C.M de 72x y z ; 96x y x ; P(x) = x2 + x – 12
120x4y5z7
Q(x) = x2 – 9

25

R(x) = x2 – 4x + 3
2
x ; 2xy
12) Hallar el M.C.M de:
2
A(x) = 12(x - 2)
2
3ax ; 2x
B(x) = 6(x3 - 8)
C(x) = 15x2 - 60

04) Hallar el M.C.D de: 2a ; 4ab

05) Hallar el M.C.D de: P = a2x3b
Q = a5x4y
2
x ; 3ax
R = a4b2x3
2 2 3
a) a x b) a x
2
06) Hallar el M.C.D de: c) ax d) a
e) 1
xy ; x2y2

P = 3x3y
07) Hallar el M.C.D de: Q = 5x2y2
R = 2abxy
3a3b3 ; 5a2bx ; 4ab2z
a) x2y b) xy2
08) Hallar el M.C.D de: c) xy d) x
e) y

P(x) = 3x + 6
03) El M.C.D de los siguientes monomios es:
Q(x) = x2 – 4
2
R(x) = (x + 2)
2
P(x ; y ; z) = 28x y
09) Hallar el M.C.D de los siguientes Q(x ; y ; z) = 42x 3y
polinomios.
R(x ; y ; z) = 14x4y3

N(x) = x2 – y2
M(x) = 2x2 – 2xy a) 14y2 b) 14z2
c) 14z d) 14x2
2
O(x) = 3xy – 3y e) 14
2
P(x) = (x + 2)
P(x) = x2 + 4x + 3 Q(x) = (4 - x2)
Q(x) = x2 – 1 2
R(x) = (x + x – 2)
R(x) = x2 + 5x + 4
a) x - 2 b) x + 2
c) x + 1 d) x - 1
e) x + 4

26


Dar como respuesta el V.N. del M.C.M para x = 1
05) El M.C.D de los siguientes polinomios es: a) 360 b) 180
c) -360 d) 240
P(x) = x2 + 7x + 12 e) -120
Q(x) = x2 + x – 6 10) Hallar el M.C.M de:
2
R(x) = x – 2x – 15 P(x) = (x + 3)2 (x - 1)
2
Q(x) = (x - 1) (x + 3)
a) x + 4 b) x - 2 a) (x + 3)2 (x + 1)
c) x - 5 d) x + 3 2
b) (x + 3) (x + 1)
e) x - 1 2
c) (x + 3) (x - 1)
2
d) (x + 3) (x - 1)
2 2
06) Hallar el M.C.D de los siguientes e) (x + 3) (x - 1)
polinomios 11) Hallar el M.C.M de:
P(x) = x + 1
A(x) = x2 – 16 Q(x) = x - 1
B(x) 2(x + 4)
C(x) = x2 + 8x + 16 a) x + 1 b) x - 1
a) x - 4 b) x + 2 c) x2 + 1 d) x2 - 1
c) x + 4 d) x - 3 e) 1
e) x - 2
A(x) = x - 4

P(x) = x2 + ax – bx – ab B(x) = x + 4

Q(x) = x2 + ax + bx + ab C(x) = x2 – 16

R(x) = x2 + ax – xc + ac
2 2
a) (x - 4) (x + 4)
b) (x - 4)(x + 4)
a) x + a b) x - a
c) (x + 4) 2
c) x - c d) x + b
d) (x - 4) 2
e) x + c
e) (x2 - 4)
08) Hallar el M.C.M de los siguientes
monomios
P(x) = x2 - 1
36x3y2 ; 24x2y5 ; 28x4y3
2
Q(x) = x - 2x + 1
2
a) 257x4y5 b) 504x4y5 R(x) = x + 2x + 1
2 5
c) 24x y d) 28x
e) 1
09) Hallar el M.C.M de los siguientes a) (x2 - 1) 2 b) (x2 + 1) 2
polinomios: c) (x2 - 2) 2 d) (x - 1) 2
e) (x + 1) 2
2
P(x) = x - 4
Q(x) = x2 - 9 A(x) = ab + ax + bx + x 2
2
R(x) = x - 16
27


B(x) = a + x
FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción algebraica.- Es toda expresión de la
a) (a + x)(b + x) forma:
b) (a + x)(b - x)
c) (a - x)(b + x)
P (X )
Numerador
d) (a - x)
Q (X )
Denominador
e) (b - x)
Donde Q(x) ≠ 0

15) Hallar el M.C.M de: Simplificación de Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es reducible (se puede
P(x) = x2 + 2x + 1
simplificar) si su numerador y su denominador se
2
Q(x) = x + 6x + 9 pueden dividir por un mismo factor.
2
R(x) = x + 4x + 4
Ejemplo: 1
2
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)
b) (x + 1)(x + 2) 2 36 x 3 y 6 3x12 x.x 2 y 6 3x 2 3x 2
c) (x + 1)(x + 3)
2 24 xy 8 2 x12 xy 6 . y 2 2 y2 2 y2
2
d) (x + 2)(x + 5)
e) (x + 1)3
Ejemplo: 2

4 x 12 y 4( x 3 y) 4
2
2x 6 y 2( x 3 y) 2

TAREA DE CLASE

01) Simplificar la siguiente fracción

20 x 3 y 4
P
15 xy 6

02) Al simplificar la siguiente fracción

42ab 4c7
N
21a 3b 2c9


x2 4x 4
Q
x 2

Se obtiene:

28

13) Multiplicar las fracciones
x 2 18x 15
x 2
6x 8 A ,
R x2 x 6
x 4
x2 3x 18
B
05) Simplificar x2 3x 10

x2 9 14) Dividir las fracciones
N
x2 x 6
x2 x 6
06) Hallar el valor numérico de: N Entre
x 2 x 30
x2 6x 9
Q x 2 x 12
x 3 M
x 2 5x 6
Para x = -3
15) Simplificar

07) Cual es el valor de: 1
P
x
x2 5x 6 1
N 2
x 2
16) Simplificar
Para x = -2
x
1
08) Simplificar Q 2
x2
1
x 2 81 3x 4
N
3x 2 27 x 17) Simplificar

09) Simplificar 2
x
R x
x2 x 6 2
Q x
x 2 8x 15 x
18) Simplificar
1
Q
10) Simplificar 1
1
1 x
3x 2 y 3 9 xy 4
Z 19) Simplificar
21x 3 y 4
11) Sumar las siguientes fracciones 2
2x 3 x N 2
N M 2
2
x 1 x 1 x 1

12) Sumar las siguientes fracciones 20) Simplificar

x 1 x 1
P Q 1
3x 2x Q x x 1
1
1
x

29

x 5
e)
x 5
05) Al simplificar

01) Simplificar x2 4
N 2
x x 2
40 x 6 y8
R
25x 2 y 3
a) x 1 b) x 2
8x 4
8x 4
x 2 x 1
a) b)
y5 5y5 x 2 x 1
c) d)
8x 3
x 3 x 1 x 2
c) d)
5y3 y5 e) x 2
4
5x
e)
8y5 06) Al sumar las fracciones algebraicas

02) Simplificar la siguiente fracción x 2
P Q
x 2 x 2
2
x 4x 12
Queda:
x 2 4x 4
b) x + 2 b) 2
5
a) -3 b) c) -1 d) x - 2
3
e) 1
x 6 x 6
c) d)
x 2 x 2 07) Al sumar las siguientes fracciones
e) Es irreductible
4 x2
M N
03) La expresión 2 x x 2
x y x 6 Quedará:
3 6
c) x + 2 b) x - 1
Equivale
c) x -2 d) x
x y x y e) 1
a) b)
6 2 6
x y 2 x 3y 08) Multiplicar las siguientes fracciones
c) d)
6 3
2 x 3y
d) x 2 4x 3 x2 x 2
2 P yQ
x 2 3x 2 x 2 2x 3
04) Simplificar
Quedará:
2
x x 12
Q
x2 2x 15 x 1 x 1
2

A) b)
x 4 x 4 x 1 x 1
a) b) 2 2
x 3 x 5 x 1 x 1
c) d)
x 4 x 4 x x 1
c) d)
x 5 x 4

30

2
x 12) Simplificar
e)
x 1 1 1 1 x2
P
1 x 1 x 2x
09) Al dividir las siguientes fracciones 2
a) 1 – x b) x2 - 1
algebraicas
c) x - 1 d) x
2
x 6x 7 e) 1
R
x2 6x 16
Entre 13) Simplificar
1 2 x2 1
x 2 8x 7 Q
x 1 x 1 3x 1
S
x 2 11x 24 a) x + 1
2
b) x - 1
1
c) x d)
Quedará: x
e) 1
2 2
x 4x 3 x 4x 3 14) Simplificar
a) b)
x2 3x 2 x2 3x 2
x2 3x 4 x2 3x 1
1
c) d)
x2 x 1 x 1 N a . a 1
1 a 1
x2 5 1
e) a
x 2
a 1
a) b) a + 1
10) Simplificar a 1
1
1 c) a d)
N
1
a
1 e) 1
1
1
x
15) Simplificar
Queda:
a x
a) x - 1 b) x - 1
c) x -2 d) x b b
P .
e) 1 b x a
a
11) Simplificar
a x a x
a) b)
1 a x b x
a
1 b x x
a
a c) d)
P a x b
1
a x
1
a e)
a a

a2 1 a2 2
a) b)
a2 1 a2 2
a2 1 a2 4
c) d)
a2 1 a2 4
e) a2

31

Ejemplos:

1) 3 5y y 7 8z
RADICACIÓN
2) 9a3 3 x2 y y 2b3 3 z
Sabemos que la raíz n-esima de x; denotado por
n
x es el numero “r” si se cumple que r n = x 2) Heterogéneos: Son aquellos radicales que
tiene distinto índice
n
x r rn x Ejemplos:

1) 3ab3 xy y 5a 4 xy
3
Clasificación Considerando su Naturaleza 2) x y 2 y

3) Semejantes: Dos o más radicales son
1) Racionales: Son aquellos en los cuales las semejantes si tienen el mismo índice y la
raíces son exactas. misma parte subradical, solo se diferencian
por los coeficientes.
Ejemplos: 4) Ejemplos:
5)
1) 9x2 3x 6) 1) 3ab 3 2 x y 5m3 2 x
2)
3
8 x3 2x 1
7) 2) x
2
4b 2 y 4b 2
3

02) Irracionales: Son aquellos en los cuales las
TAREA DE CLASE
raíces son inexactas.
01) Efectuar:

Ejemplos: 81a 4b 2

1) 7x
3
2) 14x 2 02) Efectuar:

1 6 3
03) Reales: Son aquellas cuyas raíces son pares 3 x y
y los subradicales son positivos. 8

Ejemplos:
03) Extraer los factores fuera del radical
1) 33
2)
4
14x 2 48x5 y3
04) Imaginarios: Son aquellos en los cuales los
índices son números pares y cuyos
04) Extraer la raíz
subradicales son negativos.

Ejemplos: N= 25x8 y 4

1) 4x 2
2)
4
9x 8 05) Extraer la raíz de:

3
P= 64x12
Clasificación Considerando su Especie

1) Homogéneos: Son aquellos radicales que
tiene el mismo índice.
06) Simplificar

32


16) Indique los radicales homogéneos en:
N= 6 x6 y x6

07) Simplificar a 5 3x 2 ;
6
3ab ;
N= a 2b4 x a 2b4 y
2
2x a 1 ;
08) Simplificar a 10 x ;

Q= 25a 3b3 100a 2b 2 x 5
a 3b 2 ;

3ay6 5b2
09) Simplificar 17) Simplificar

Q= x a
2
x a
2 a 8b
N= .
2b 3a

10) Introducir el coeficiente en:

2 18) Simplificar
P = 3x 2a
5 5
P=
11) Introducir dentro del sub radical en: x x

a b a b
Q=
a b a b 19) Que numero falta en el círculo

12) Simplificar
3
x8 6
x

2 x2 y2
R=
x 4 4 20) Que número falta en el círculo

13) Reducir a índice común 
16
x6 x3
3a ; 3
5a ; 4
a2

Dar como respuesta el número mayor Aprendiendo a resolver……resolviendo

01) Efectuar:
14) Reducir a índice común
Q 25x8 y 4 16 x8 y 4
4 2 3 2 6
ab ; 2a b ; 5a
a) 9 b) 9x4y2
c) 9x2y4 d) 9xy
e) 9x
15) Simplificar
02) Efectuar
N= 3ax 2 30ax 75a
1 6 12
R 3 x y
125
33

06) Simplificar
1 1 2
a) x b) x
5 5 x y x y
N
1 2 4 1 x y x y
c) x y d)
5 5
Queda:
1 2 4
e) x y
5 x y x y
a) b)
03) Después de extraer los factores fuera del x y x y
radical en.
Q 3
54 x 4 y5 x x y
c) d)
x y x
Nos queda:

x
a) 3xy 3 2 xy 2 b) 2 xy 3 2 xy e)
y
2
c) 5xy3 xy d) 3x y 2 3 3xy 07) Simplificar

e) 3x y 3 2xy
3 3 1
P a2 b2
04) Luego de introducir los coeficientes, a b
dentro del signo del radical:
a b a b
Q 3 x 2 2a a) b)
a a b
Queda
a a b
c) d)
a) 18 x 4 a b) 18 x 2 a a b a b

c) 18x 5a d) 18 x 6 a a
e)
b
e) 18 x8 a 08) Simplificar

05) Simplificar N 4a 2 12a 9
a) 2a – 3 b) 2a + 4
a 13 a 1 c) 2a + 3 d) 2a - 5
N
a 1 a 1 e) 2a + 5

09) Simplificar
2
a 1 a 1
a) 3 b) 3
a 1 a 1 N 18a 2 24a 8

3 2
a 1 a 1 a) 3a 2 2 b) 3a 2 3
c) 3 d) 3
a 1 a 1
c) 3a 2 5 d) 3a 2 6
a 1
e) 3
a e) 3a 2 8

10) Simplificar

N 1 10 x 25 x 2

34

a) 1+ 5x b) 1- 5x
c) 5x+1 d) 5x – 1
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES
e) 5x A SIMPLES

No todo radical doble podrá transformarse a una
11) Simplificar
suma o resta de radicales sencillos, podrá hacerse
con aquellos que cumplan ciertas condiciones o
3
N 64b10 128ab 9 requisitos.

Si b3 3
b 2a = n Radicales de la forma. A B
Formula General
a) 2n B) 3n
c) 4n d) 5n
e) 6n A C A C
A B
2 2
12) Simplificar

N 45x 4 27 x5 y
C A2 B
2
Si x 5 3xy P Ejemplo:

a) P b) 2P Transformar a radicales simples:
c) 3P d) 4P
e) 5P 8 2 7

Calculamos C:
13) Simplificar
2
N 3
686 x y 8 10 C 82 2 7 64 28 36 6

Luego:
2
a) 7 x y 3 3 2 x 2 y b) 7 xy 2 xy c) 7 xy3 xy
8 6 8 6
2 8 2 7 7 1
d) 7 xy 5xy e) 7 xy 3 y 2 2

TAREA DE CLASE
14) Que numero falta en el cuadradito
01) Trasformar a radicales simples.
12 12 4
x X
9 4 5
a) 6 b) 7
c) 8 d)9
e) 10 02) Trasformar a radicales simples.

15) Que numero falta en el cuadradito 7 4 3

12
y16 3 y
03) Trasformar :
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4 13 48
e) 5

35


04) Trasformar : 6 5

9 4 5
14) Trasformar :

05) Trasformar : 6 2 5

2 3
15) Trasformar :


15 10 2
07) Trasformar : 16) Trasformar :

7 2 10 9 4 2

08) Trasformar : 17) Trasformar :

3 5 12 6 3

09) Trasformar :
18) Trasformar :
12 8 2
30 10 5

10) Trasformar :

19) Trasformar :
13 4 3
56 14 7

11) Simplificar :

N 9 80 7 48

20) Trasformar :


11 4 7

13) Trasformar :

36


06) Simplificar:
Aprendiendo a resolver……resolviendo 9 80 7 48
Q
5 3

01) Transformar: a) 3 b) 5
c) 1 d) 6
e) 0
9 4 5
07) Simplificar:

a) 5 2 b) 5 2 Q 2 2 12 8 2
c) 5 1 d) 5 1 a) -4 b) -3
e) 5 3 c) -1 d) 0
e) -2

02) Simplificar: 08) Simplificar:
Q 5 7 2 10
N 7 4 3 3
a) 5 b) 5

a) 2 b) 3 c) 1 d) 2
c) 3 d) 2 3
e) 3
e) 2 3 09) Simplificar:

03) Simplificar: Ñ 1 6 2 5

N 13 48 2 3 a) 2 b) 3
c) 5 d) 7
a) 1 B) 2 3 e) 11
c) 1 d) 3 1
10) Simplificar:
e) 0
S 12 6 3 3
04) Simplificar:
a) -1 b) 0
c) 1 d) 2
P 9 4 5 5 2 e) 3

11) Simplificar:
a) 2 b) 1
c) 0 d) 5 Q 9 4 2 6 3
e) 5 a) 9 b) 6
c) 0 d) 1
05) Simplificar: e) 5

6 5
P 12) Simplificar:
7 5
Q 11 4 7 7
2
a) 5 b) 3
a) 2 b) 3 c) 1 d) 0
c) 1 d) -1 e) 2
e) 4

37


13) Simplificar:
7 5 7 5
2
Q 2 3 5 5 5
3 1
Casos que se presentan:
a) 5 b) 3
c) 2 d) 1
1
e) 1) Cuando el denominador es una raíz
2
cuadrada basta multiplicar los dos términos
de la fracción por dicha raíz.
14) Simplificar:
12 6 3
N
3 3
Ejemplo:
a) 2 b) 1
c) 3 d) 4
3a 3a x 3a x
e) 2 2 x 2 x x 2x

15) Simplificar:
Q 6 2 5 1 2) Cuando el denominador presenta radicales
de cualquier índice con radicandos monomios.
a) 2 b) 3 Usaremos el factor racionalizante (FR)
c) 5 d) 7 Ejemplo:
e) 11 4
RACIONALIZACIÓN Racionalizar:
5
x2 y3
Denominamos fracción irracional, a aquellas que Hallamos el factor racionalizante de la siguiente
manera:
tienen en el denominador uno o mas radicales.
Racionalizar una fracción es trasformarla en otra
equivalente, eliminando los radicales del
denominador.
5
x2 y3 F.R. 5
x5 2
y5 3 5
x3 y 2

Factor Racionalizante (F. R). es otra expresión Luego:
irracional que multiplicada por el numerador y
4 4 5
x 3 y2 45 x 3 y 2
denominador de una fracción permite que uno de
estos
5
x 2 y3 5
x 2 y3 5
x 3y2 x.y

(El denominador) se transforme en una expresión
racional. TAREA DE CLASE

Ejemplo: 01) Racionalizar:
7
Dado El factor 2
5
3
racionalizante es 5 , luego:
Rpta.:

02) Racionalizar:
38

3ab
1 5 x 2a
2 Rpta.:
Racionalizar:
Rpta.:
3
03) Racionalizar: 3
4
4
Rpta.:
5
12) Racionalizar:
Rpta.:
5
04) Racionalizar: 5
x2
x 3 Rpta.:
2
13) Racionalizar:
Rpta.:
6
05) Racionalizar: 5
x3 y 2
3
Rpta.:
5
Rpta.: 14) Racionalizar:
06) Racionalizar:
5
9 6
32
2 3
Rpta.:
Rpta.:
15) Racionalizar:
07) Racionalizar:
1
12 3
x
5 6
Rpta.:
Rpta.:
16) Racionalizar:
08) Racionalizar:
2
4 5
x
11 2
Rpta.:
Rpta.:
3
09) Racionalizar: 17) Racionalizar:
10
23
2
Rpta.:
3 x
Rpta.: 1
18) Racionalizar:
5
2
10) Racionalizar:
Rpta.:

39

1
19) Racionalizar: e) 1
6
3

Rpta.:

11 05) Simplificar:
20) Racionalizar:
6 4
11
4 2 2
M .11
Rpta.: 11 2 11
Aprendiendo a resolver……resolviendo
a) 2 2 b) 3 3
01) Efectuar: c) 4 2 d) 5 2
e) 1
2 2 3
N
3 2 06) Simplificar:

2 3 4 3 2x
a) b) Q
3 3 5
x2
c) 4 3 d) 3 5 3 5 2
a) 2 x B) 2 x
e) 2 3
5 4
c) 2 x d) x
02) Simplificar: 05) Simplificar

9 N 4a 2 12a 9
P 3
3 a) 2a – 3 b) 2a + 4
c) 2a + 3 d) 2a - 5
a) 5 3 b) 4 3
e) 2a + 5
c) 3 d) 1
06) Simplificar
e) 2 3
N 18a 2 24a 8
03) Simplificar:
a) 3a 2 2 b) 3a 2 3
5 56 81
Q 6
9 3 c) 3a 2 5 d) 3a 2 6
a) 1 b) 0
e) 3a 2 8
c) -1 d) 81
07) Simplificar:
e) 4
04) Simplificar: 31
5
1 16
N 5
3 10
3 128 2 2
N 10
6
8 2
5
a) 5
2 b) 231
10
a) 3 b) 8
5
c) 31 d) 0
10
c) 3 d) 6
e) 1
40

e) 3 3 2
08) Simplificar:
13) Simplificar:
6
N xy 2
5
x3 y 2 7 5
R 2 35
7 5
a) 5
x2 y3 b) 65 x2 y3 a) 9 b) 10

c) 55 x2 y 2 d) 43 xy c) 11 d) 12

e) 13
e) 35 xy
09) Simplificar:
14) Simplificar:

2 2 5
Q 5 1 1
5 5 N xy
x y
a) 4 b) 5
a) y x x y
5
c) 4 5 d)
2 b) y y x x
e)1
10) Simplificar:
c) x y
2 1
Z 21 7 3
7 3 d) x y
a) 7 3 b) 6 7 y
e) x x y
c) 7 6 d) 7
15) Simplificar:

e) 7 6 1 1
Q 28
11) Simplificar: 7 14

2
6 8
Q 4 3 a) 4 7 2 14
6 8

a) 7 b) 14 b) 2 7 14

c) 21 d) 28 c) 7 14
e) 1
d) 7 14
12) Simplificar:
e) 1
1 1
Z 6 2 3
2 3
a) 3 3 b) 3 2

c) 3 5 d) 3 2 3

41


ALGEBRA

IV Bimestre
TEORÍA DE ECUACIONES Ejemplo:

Consideremos primero los siguientes conceptos: Resolver 3x – 5 = 7
3x – 5 + 5 = 7 + 5

I) Igualdad (=).- Son dos expresiones 3x = 12

aritméticos o algebraicas, que gozan del
mismo valor.
2do Sin alterar las soluciones de una ecuación,
Ejemplos:
se puede multiplicar o dividir por una
1) una docena = 12 unidades
misma cantidad a ambos miembros.
2) 9 + 4 = 16 – 3 3) 5x = 20

Ejemplo:
II) Identidad ( ).- Es una igualdad por si misma
Resolver 4x + 1 = 21
evidente.
2(4x + 1) = 21 . 2 ~ 8x + 2 = 42
Ejemplos:
1) 8 8 2) 5k 5k 3) y + 7 y+7 Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

Toda ecuación de Primer Grado con una
III) Ecuación.- Es una igualdad de expresiones de
incógnita, puede reducirse a la forma:
las cuales una encierra cantidades
desconocidas (incógnitas), a las cuales le ax + b = 0
corresponden unos valores condicionados,
pero determinados.
Donde: x : incógnita
Por ejemplo:
ayb : coeficientes (a y b R)
2x = 10
Las cantidades desconocidas están Despejando a incógnita "x" se tendrá: a.x = -b

expresados por medio de letras, generalmente Ejemplo : Resolver la ecuación:
las ultimas del alfabeto, como lo son: x, y, z,
3x + 1 = x + 17
etc.
Solución
Principios Generales de las ecuaciones
3x + 1 = x – 17; transponemos términos,
cambiando de signo
1ro Sin alterar las soluciones de una ecuación,
3x – x = 17 – 1; reducimos términos semejantes.
se puede añadir o quitar una misma
cantidad a sus dos miembros.

42

16
2x ; Despejamos "x"; dividendo los
2
miembros entre el coeficiente de "x" Planteo de un problema: Por plantear un
problema se entiende a acomodar todos sus
x = 16 x = 8 (valor de la raíz)
términos conocidos y desconocidos con
b respecto a la incógnita, de tal suerte que
x
a obtenga una ecuación, expresando fielmente el
sentido del problema dado.
a) Resolución de Problemas utilizando
Ecuaciones de Primer grado con una 2
Ejemplo: ¿Cuál es el numero cuyos
Incógnita 5
3
aumentando en 3 es igual a sus disminuido
4
Problema: Problema es la investigación de
en 4?
términos desconocidos por medio de los
conocidos. Raciocinio: El numero buscado es "x"
Resolver un problema: Quiere decir: Hallar
el valor de la incógnita, hallar una igualdad la
2x 3x
cual se desarrollada, satisfaga al valor de la +3 = -4
5 4
incógnita. Y así toda clase de ecuación es un
expresión más sencilla de un problema 2x 3x
Planteo 3 4 ; transponemos
dando por ejemplo la siguiente ecuación: 3x + 5 4
5 = 11; puede ser expresión algebraica de términos

este problema. 2x 3x 4.2 x 5.3x 8x 15x
4 3 7 7
5 4 5.4 20
-7 x -7.20 x = 20
¿Cuál es el numero cuyo triple, aumentado en
Rpta.: El número buscado es 20
5 sea igual a 11?

- Luego el numero desconocido es "x"
- Cuyo triple es: 3x
TAREA DE CLASE
- Aumentando en 5 es: 3x + 5
- Es igual a 11; o sea: 3x + 5 = 11
01) Resolver la ecuación:

3x + 1 = x + 17
Resolviendo la ecuación:

3x + 5 = 11 ; tenemos que:
02) Resolver:
6
3x = 11 – 5 = 6 x= =2 x=2 5x + 3 = 2x + 15
3

03) Resolver la ecuación:

(x + 1)(x + 2) – x(x + 5) = 6
Rpta. El número es 2

04) Resolver:

43


5x – {6x + 8- (x + 1) } = -2x + 1 Aprendiendo a resolver……resolviendo
01) Hallar "x" en:
05) Resolver: 5x
4 x 12
7
15 – (2x - 1) = 8 – (2 – 3x) a) 16 b) 28
c) 20 d) 30
e) 18
06) Resolver:

2x + 1 = 4(x - 6) 02) Resolver:

5(2x - 4) = 2(3x + 4)
07) Resolver:
a) 3 b) 5
7 – 3(x + 1) = x – 3 (x - 1) c) 7 d) 9
e) 11

08) Resolver:
03) Resolver:
5x – 2(x - 6) = 2x + 2(x - 1)
8x + 2(x + 1) = 7(x – 2) + 3(x + 1) + 13

09) Resolver:
a) –2 b) 4
5 – (2x – 1) = 9 – (2 + 3x) c) 3 d) -1
e) indeterminado

10) Resolver:
04) Hallar el valor de "x" en la siguiente
(3x + 2) + (x + 1)=(2x + 4) + (x + 3) ecuación:

x 3 x 5
11) Resolver: 6 2 2 3

3(5x + 1) – 2(6x + 3) = 2(x - 1) a) 1/2 b) 1/4
c) –1/4 d) –1/2
e) 1
12) Resolver:

(5x + 4)–(3x + 1)=(4x + 2)–(3x - 7) 05) Hallar el valor de "x" en:

8x 1 5x
13) Hallar el conjunto solución de: 2
3 2 4

x 27
x 3 a) 9 b) 8
4 c) 7 d) 6
14) Resolver: e) 5

x 3x
1 06) Hallar "x" en:
2 6
15) Hallar "x" x x 5
2 3 6
15 x 1
x 2

44

a) 0 b) -1 e) 32
c) 1 d) 2
e) 6

07) Resolver:
12) Hallar el valor de:
2
(6x + 7)(5x - 4) = 6(5x - 1)
x x
x 9
2 4
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) -2 a) 10 b) 11
c) 12 d) 14
e) 16
08) Resolver:
13) Hallar el valor de "x" en:
7x
2 x 19 5
3 3x 2x x 13
3
7 15 3 3
Dar como respuesta x
6

a) -15 b) -25
a) 14 b) 42 c) -35 d) -45
c) 7 d) 2 e) -55
e) 1
09) Hallar el valor de "x" en:

5 2 95 14) Hallar "x" en
2x 3x 2x 2
x 3 x 1 x
1
4 2 6
a) 12 b) 13
c) 14 d) 15
e) 16
a) 1/5 b) 2/5
c) 3/5 d) 4/5
e) 1

10) Hallar el valor de:
15) Hallar "x"
9 2
1
5x 13 3 6 3 7x
7
x2 2x 3 x 1 x 3
a) 6 b) 7
c) 8 d) 9
e) 10 a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) 5

11) Resolver:

x 2x 10 x
2
3 5 15

a) 16 b) 20
c) 25 d) 30

45

ecuaciones el sistema debe quedar
SISTEMA DE ECUACIONES así:

El siguiente es un sistema de ecuaciones: 3x 4y 18
5x 4y 2
2x y 1 ....... (1)
5x y 13........( 2)
Donde los coeficientes de “y” son 4 y -
4; respectivamente.
Este sistema esta conformado por 2
ecuaciones con 2 incógnitas. Resolver un
3. En seguida sumamos miembro a
sistema significa encontrar; valores de las
miembro ambas ecuaciones;
incógnitas que las satisfagan
eliminándose los términos con
simultáneamente.
incógnitas “y”
En nuestro ejemplo; al resolver el sistema; tales 4. La ecuación que resulta solo tiene a
valores de las incógnitas son: “x”, como incógnita, lo cual
procedemos a despejar.
x=2 e y = -3
5. El valor de “x”; hallado en el paso
METODOS PARA HALLAR LA SOLUCIÓN anterior se reemplaza en cualquiera
COMÚN de las ecuaciones del sistema; de
donde despejamos ahora “y”.
I. MÉTODO DE REDUCCIÓN.-
Ejemplos: Resolver el sistema:
Procedimiento a seguir:

1. Preparamos las ecuaciones del x 2y 17 ......... (1)
x y 1 .......... (2)
sistema; eliminando signos de
colección; reduciendo términos
semejantes; suprimiendo Solución: Si multiplicamos (2) por 2,
denominadores y transponiendo tendremos los términos en y con
términos; hasta que el sistema tenga coeficientes opuestos:
la siguiente forma:
2x – 2y = -2 …… (3)
ax by c ......... (1)
dx ey f ......... (2)
Sumamos miembro a miembro las
Donde x e y son las únicas incógnitas ecuaciones (1) y (3)
y a, b, c , d, e y f son los coeficientes.
x 2y 17
2. Aplicando las propiedades de 2x 2y 2
3x 0 15
ecuaciones; hacemos que los
coeficientes de la incógnita que se
desea eliminar; sean números opuesto Despejamos x de la nueva ecuación:
en ambas ecuaciones. Por ejemplo; x 5
luego de aplicar las propiedades de

46

Reemplazamos el valor de x obtenido en ¿Hallar “x + 3y”?
cualquiera de las ecuaciones del Rpta.:
sistema:
08) Resolver la ecuación
x 2y 17
2x + 9y = -38 ….. (1)
5 2y 17 y 6 x – 9y = 35 ….. (2)

Rpta.:
Respuesta: La solución común que satisface al
09) 5a - 3b = 7 …… (1)
sistema es x = 5 e y = 6
7a + 3b = 17 ….. (2)
Rpta.:
TAREA DE CLASE
10) x + 2y = 15
x – 2y = -5
01) Resolver el sistema:
Rpta.:
x y
y 13 ........ (1) 11) Resolver la ecuación:
3 3
2x 18 3 y ......... (2) x + 2y = 15
x – 2y = -7
Rpta.: Rpta.:
02) x + y = 6 ……. (1)
x – y = 2 ……. (2) 12) 7m – 2n + 34 = 0 ….. (1)
5m + 3n + 11 = 0 ….. (2)
Hallar “x + 2y”
Rpta.:
Rpta.:

03) Resolver el sistema: 13) Resolver la ecuación:

2x – y = 0 ……. (1) 5(x + y) + 3(y – x) = 32 … (1)
3x + y = 5 ……. (2) (x – y) / 3 = -4 / 3 … (2)

Rpta.: Rpta.:
14) (7y – x) + 1(x – 1) = -25 (1)
5m – t = 16
(2y – x) + 7(y – 1) = -31 (2)
2m – 3t = 9

Rpta.: Rpta.:

05) Resolver: el sistema:
2(a – b) + 5(a + b) = 13 … (1)
7a + 2 – b = 2a + b + 3 …. (2) 4(x + 1) – 5(y + 2) = -12 ….. (1)
5(x – 1) + 4(y – 2) = -5 ….. (2)
Rpta.:
06) Resolver el sistema: Rpta.:
x y
y x 8 …. (1)
3 3
2x = y – x + 15 …. (2)

Rpta.: x 4y 12 ........ (1)
5x 3y 26 ......... ( 2)
07) x 1 y 1 7 …. (1)
(y 22) Calcule: (x + y)2
0,5 1 ..... (2)
x

47

09) Resolver:
Aprendiendo a resolver……resolviendo x y
y x 8 ….. (1)
5 5
01) Resolver el sistema: 2x – y = 40 ….. (2)

(2x 1) 3y ........ (1) a) x = 25 ; y = 15
b) x = 20 ; y = 15
x 7y 9 ......... ( 2)
c) x = 30 ; y = 10
d) x = 15 ; y = 10
Hallar “(2x + y)”:
e) x = 25 , y = 10
a) -3 b) -5 c) -6 d) -2 e) 3
10) 7 – [(2y – 3) + 4(x – 1)] = 22
02) Resolver: [5(x + 2) – 3(y – 2)] – 8 = x
x y Hallar (x + y)
y x 8
3 3 a) -3/5 b) 4
2x = y – x + 15 c) -2/5 d) 1/5
e) 2/3
Hallar x + 3y
11) Resolver:
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
3[x – 4y] + 7[2x – y] = 0
03) Resolver: a + 7b = 15 14x – 3x = 4
3a – 7b = -11
Hallar: x – y + y
Hallar: b/a
a) 80/3 b) 215/6 c) 76 d) 90/2 e) 76/125
3 5
a) 4 b) c) d) 2 e) 3 12) Resolver:
2 2
04) Resolver: 3x x2 3y 2
, si: x2 = 6x
2
2x + 9y = -38 2x 6x 7
x – 9y = 35 7 1
a) x ; y b) x = 3 ; y = 6/4
18 2
Hallar “x + y” c) x = 5 ; y = 6/4 d) x = 3 ; y = 1/19
a) -6 b) -7 c) -9 d) -8 e) -5
9 3
e) x ; y
a 14 5b 4 2
05)
2a 3b 11
13) Resolver:
Del sistema de ecuaciones, hallar “a – 2b” 1
a) 32 b) 28 c) 35 d) 21e) 30 30x [ x 3 y 7] 3
2
22x 3( x y ) 4
(x 2y ) (2x y) 8
06) , hallar: (x + y)
x 1 [y 2x ] 1 Hallar: x + y
a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 1 1 1
a) b) -3 c) 5 d) e)
07) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 3 2 2
3x – 2[(x – 1) – (y – 1)] = 18 7m 2n 34 0
x + y = 10 5m 3n 11 0
a) x=2;y=6
b) x=4;y=6 Hallar m + n
c) x=2;y=8
d) x=5;y=5 a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1
e) x=3;y=6
15) Resolver:
08) x = 5 + 3y ..…. (1)
7x – 39 = 9y …… (2) 5( x y) 3( y x) 32
(x y) / 3 4/3
Hallar “x + y”
a) 20/3 b) 19/3 c) 21/3 d) 18/3 Hallar “x + 3y”
e) 22/3 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

48

solo valores mayores que
INECUACIONES 4. Entonces: x + 3 > 7 es
una inecuación cuya

Desigualdad: Sean 2 números a y b Q, tal que solución es x > 4.

a b. Desigualdad es una relación entre a y b que
Propiedades de la Desigualdad.-
se representa así:

a>b ; “a es mayor que b”, si (a – b) es 1. Siendo una cantidad mayor que otra y esta
positiva. mayor que una tercera; entonces la primera
a<b ; “a es menor que b”, si (a – b) es cantidad será mayor que la tercera
negativa. (PRINCIPIO DE TRANSITIVIDAD)

Ejemplos: Es decir: Si a > b y b > c; entonces: a > c

(1) 7 > 4 es correcto ya que 7 – 4 = 3
Ejemplo:
(2) 5 > -3 es correcto ya que 5 – (-3) = 8
Si 15 > 6 y 6 > 2; entonces 15 > 2

Tipos de Desigualdad
2. Si una cantidad es mayor que otra; entonces
1. Desigualdad Absolutas esta será menor que la primera.

Son aquellas que son indiscutiblemente
Es decir: Si a > b; entonces b < a
ciertas.

Ejemplos: (1) 10 > 0 (2) -8 < 1 Ejemplo:
o también: (1) Si 18 > 10; entonces 10 < 18
(2) Si 2 < x; entonces x > 2
Son aquellas que se verifican para
cualquier número racional que le
3. Si ambos miembros de una desigualdad se le
asignemos a sus variables.
suma o resta una misma cantidad el sentido
2 2 de la desigualdad NO SE ALTERA
Ejemplos: (1) x 0 (2) (x + 1)
+5 0
Si: a > b y m Q
Entonces: a + m > b + m
2. Desigualdad Relativas

Ejemplos: (1) Dado la desigualdad
Son aquellas que se verifican o satisface solo
6>2
para ciertos valores de sus variables. Estos
Adicionemos 5 a
reciben también el nombre de inecuaciones:
6+5>2+5
Ejemplos:
Cada miembro
11 > 7 ¡Cierto!
(1) x+3>7 Si x recibe e valor 2;
tendríamos 2 + 3 > 7 ó 5 >
(2) Dado la desigualdad
7, lo cual no es cierto. En
3 > -9
este caso; x puede admitir

49

Restemos 4 a cada
miembro 3 – 4 > -9 – 4 Ejemplo:

-1 > -13 Si: 30 > 18 y m = 6

¡Cierto! 30 18
Entonces: ó5>3
6 6

4. Si multiplicamos a ambos miembros de una Además: Si a > b y m < 0
a b
desigualdad por una misma cantidad positiva; Entonces:
m m
el sentido de la desigualdad no se altera.
Ejemplo:

Es decir: Si a > b y m > 0 Si 12 > 6 y m = -2
Entonces: am > bm
12 6
Entonces ó -6 < -3
2 2
Veamos algunos ejemplos:
(1) Dado la desigualdad entonces:
5 > 3 y además; m = 8 TAREA DE CLASE

5x8>3x8 01) Resolver la siguiente inecuación:
3x – 5 > 2(x + 7)
40 > 24
¡Verdadero!
Rpta.:
5. Si multiplicamos a ambos miembros de una
02) Resolver: 4x + 8 < 3(x – 9)
desigualdad por una misma cantidad negativa;
el sentido de la desigualdad. SE ALTERA
Rpta.:
03) Resolver: (x + 3)2 – 2x x2
Es decir: Si a > b y m < 0
Entonces: am < bm
Rpta.:
2
Ejemplo: Dado la desigualdad 04) (x – 5) (x + 2) x –7

7 > 2 y m = -4 Resolver la inecuación
7(-4) < 2(-4)
Rpta.:
¡Se invierte el sentido! 05) Resolver:
2(x – 7)(x + 1) > (2x + 1)(x + 3)
-28 < -8

6. Si dividimos a ambos miembros de una Rpta.:

desigualdad por una misma cantidad m * Resolver las siguientes inecuaciones en el conjunto
R.
positiva; el sentido de la desigualdad NO SE
06) 3x + 10 < 18 + x
ALTERA. Si dicha cantidad m es negativa el
sentido de la desigualdad. ¡SE ALTERA!
Rpta.:

Es decir: Si a > b y m > 0 07) 6 – x < 26 + 3x

a b
Entonces:
m m
Rpta.:
50


08) 1 + 7x > 2(43 + x)
Aprendiendo a resolver……resolviendo

Rpta.: 01) Hallar el conjunto solución de:
5x – 8 < 4 + 2x
8 x 2
09) x
3 3 3 a) C.S. = - ;4
b) C.S. = - ;3
c) C.S. = - ;2
Rpta.: d) C.S. = - ; 4/3
e) C.S. = - ;8
x x 2
10) 6
3 4 02) Resolver la inecuación:
5(1 + x) < 23 + 7x
Rpta.:
x 4 x 2 x a) C.S. = - ;9
11)
2 3 2 b) C.S. = -6 ;
c) C.S. = -9 ;
d) C.S. = -7 ;
Rpta.: e) C.S. = - ; -9

12) x(x – 4) x(x – 7) + 12 1 x
03) Resolver: (x 5) 2 1 , entonces el
3 4
conjunto solución es:
Rpta.:
a) - ; 8 b) - ; 7
13) 3x(x – 5) – 13 > 3x2 – 2x
c) - ; d) - ; 9
e) N.A.
Rpta.: 04) Cual es el conjunto solución (C.S.) de:
2 2
14) x – (x + 6) 48 5x(x + 1) - 5x2 < 5x2 < 30 + 9x

15
Rpta.: a) ; b) 3/2 ;
2
2
15) (x + 9)(x – 9) < x c) -15 ; d) -30 ; 30
e) - ; 15/2
2 3
Rpta.: 05) Resolver la inecuación: ( x 1) (x 2)
5 10
16) (2x – 3)2 > (2x + 5)(2x – 1)
a) C.S. = - ;8
Rpta.: b) C.S. = - ; -8
c) C.S. = - ; -5
3 2
17) (x – 1) < x(x + 3x) d) C.S. = - ; 10
e) C.S. = - ; 10

Rpta.: 2
06) ( x 8 )2 (x 8 )2 (x 49) , ¿Cuál es el
3
18) (x + 4)(x – 4) – (x + 5)(x + 1) > 2x – 7
intervalo de x?

a) 1 ; b) -1 ;
Rpta.:
c) - ; 1 d) - ; -1
1 3 e) - ; -1
19) (x 5) 2x x 1 2
4 2 07) 2( x 5)( x 2) 8 (x 2)(3x 1) ¿Cuál es el
3
intervalo de x?

x 3 x 2 a) - ; b) - ;20/3
20) 2 c) - ; 10 d) - ; 5
4 3
e) N.A.
51


08) Resolver la inecuación
x 5 x 2 1 INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON
x 3 y dar el intervalo de x. UNA INCÓGNITA
3 2 6
Una inecuación de segundo grado con una incógnita
a) 16 ; b) 17 ; es aquella desigualdad condicional que reducida a su
c) - ; 17 d) 17 ; 30 más simple expresión tiene la forma:
e) N.A.
ax2 bx c 0 ó ax2 bx c 0
09) Hallar el conjunto solución de:
Donde los coeficientes a, b y c son números reales;
2 2 1 5 2 siendo a 0. Es recomendable que a sea siempre
(x 5) (x 4)( x 6) x positivo, pero si fuera negativo, se multiplica ambos
3 6 6 miembros por -1 para hacerlo positivo, con lo cual se
cambia el sentido de la desigualdad.
a) C.S. = - ; 20/3
b) C.S. = - ; 23 1ra Propiedad para completar cuadrados:
c) C.S. = - ; 28/21 Si x2 < a entonces a x a
d) C.S. = - ; 25/26 Ejemplos:
e) C.S. = - ;
* Si x2 < 16 16 x 16
-4 < x < 4
* Hallar el conjunto de x para las siguientes
inecuaciones. * Si x2 81 81 x 81
-9 x 9
10) 3x – 2 < x + 6
25 25 25
* Si x2 x
a) - < x < – 3 49 49 49
b) -9 < x < 4 5 5
c) -4 < x < x
7 7
d) - < x < 4
e) N.A. 2da Propiedad
11) 5x – 9 2x + 15 Si x2 > a; entonces x a x a
a) - ; 9 b) 9 ; 30 Ejemplos:
c) - ; 8 d) - ; * Si x2 > 64 x 64 x 64
e) N.A. x > 8 v x < -8
12) 9x + 12 > 2x – 2 * Si x2 > 3 x 3 x 3

36 36 36
a) -2 ; b) -3 ; * Si x2 x x
c) -4 ; d) 2 ; 100 100 100
e) 1 ; 6 6
x x
10 10
13) 123 – 321x 122 – 320x x
3
x
3
5 5
a) - ; 2 b) - ; 1
c) - ; -1 d) - ; -3 TAREA DE CLASE
e) - ; 4
Resolver:
x 4 01) x2 + 4x > 5
14) 2 x
3
a) - ; 6 b) - ; 7 Rpta.:
c) - ; 5 d) - ; 8
e) - ; 9 02) x2 + 6x > 0
5x 1 Rpta.:
15) 1 x
6
2
03) x + 8x > 33
a) - ; 9 b) - ; 7
c) - ; 8 d) - ; 9 Rpta.:
e) - ; 10
04) x2 – 10x < -9
52


Rpta.: 06) Si x [-2 ; 3], hallar: a + b, si a 2–3x
b
05) x2 + 2x – 63 < 0 a) 1 b) 2
Rpta.: c) -1 d) -2
e) 3
2
06) -x + 5x + 4 < 0
07) Resolver:
Rpta.: 2[x2 – 7x + 12] < [x2 – 4x + 3]
2
07) 2x – x – 3 0 a) 7 ; 3 b) 3 ; 5
Rpta.: c) 3 ; 7 d) 10 ; 12
e)

08) 3x2 – 2x – 8 0 08) Resolver:
2 2
Rpta.: (x – 3) (x + 1) – (x + 3) (x - 1) < 0

a) R b) 0 ; 3
09) 2x(x – 3) < 5
c) [0 ; 3] d) R– 0 ; 3
Rpta.: e)

09) Hallar m + 2n, si el conjunto solución de la
10) (x + 3)2 – 3x > 8 inecuación cuadrática en x:
Rpta.:
x2 + mx + n < 0, es: C.S. = 13
;

11) (x + 5) (3x – 2) x a) 4 b) -6
c) 6 d) -8
Rpta.:
e) 8
12) 4x(x – 5) 12

Rpta.: 10) Resolver:

x2 + x + 3 > 0

Aprendiendo a resolver……resolviendo a) R b) Z
c) N d) Z–
e) Q

01) Resolver: 11) Si “x” es un número entero y además 5 <
x2 – 3x – 4 < 0 x < 7, calcular (x + 3)
Rpta.: a) 7 b) 9
c) 11 d) 13
02) Resolver: e) 15
2
x – 2x – 2 0
12) Si: x -1 ; 2 3x – 5 > 2x – 4, por
Rpta.: lo tanto x pertenece al intervalo:
03) x2 – 6x + 9 0
a) -2 ; 1 b) -1 ; 2
Rpta.: c) [2 ; 4 d) 1 ; 2
e) N.A.
04) Resolver:
(x – 4)2 > 0 13) Resolver:
2
(x + 1) + 3 > 0
Rpta.:
a) 0 b) {0 ; 1}
– +
05) Resolver: c) R d) R
(3x – 1)
2
0 e) R

Rpta

53

x/3 y y / 3 13 ..... (1)
MISCELANEA 2x 18 3y ...... (2)

Rpta.:
01) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x 3y 4 10) Resolver el sistema:
x 2y 5 x y
y 13 ...... (1)
3 3
Rpta.: 2x 18 3 y ...... (2)
Rpta.:
3x 5y 4 11) Resolver el sistema:
7x 4y 8
2x 9y 38
Rpta.: x 9y 35

03) Resolver el sistema: Rpta.:
5x y 16
2y 3x 10 12) Resolver el sistema:

Rpta.: 5a 3b 7
7a 3b 17
5x y 16 Rpta.:
2x 3y 9
xy 6
Rpta.: 13)
x y 5

Rpta.:
2( x y) (x y) 13
7x 2 y 2x y 3 14) Resolver el sistema:

Rpta.: x y 7
x y 119

x/3 y y/3 x 8 Rpta.:
2x y x 15
Rpta.:
x y 5
x 1 y 1 7 ...... (1) x y 1
07) y 22
2 ...... (2) Rpta.:
x 16) Resolver el sistema:
Rpta.:
3 4
1
08) Resolver el sistema: x y
21 2
2
x 2y 17 ...... (1) x y
x y 1 ...... (2)
Dar como respuesta
Rpta.:
Rpta.:

54

* Resolver las siguientes inecuaciones, indicando 31) Hallar el C.S.:
el intervalo de x. 9x – 7x + 5x 56

Rpta.:
17) 3x – 2 < x + 6
32) Hallar el C.S.:
Rpta.: 7x + 2x – 1 < 7 + 2 – x

18) 5x – 9 2x + 15 Rpta.:

Rpta.: 33) Hallar el C.S.:
3x + 5 + x 3 + 5x + 1
19) 9x + 12 > 2x – 2
Rpta.:
Rpta.:
34) Hallar el conjunto solución de: 3x – 4x + 5x –
6x < -200
20) 12x – 3 4x + 21
Rpta.:
Rpta.:
35) 8x + 7x – 6x – 5x 28, hallar el conjunto
21) 3x + 2 + 2x < 7x solución:

Rpta.: Rpta.:

22) 4x – 5 + x 5x – 4 + x 36) Hallar el conjunto solución: 3x + 4x + 5x +
6x 36
Rpta.:
Rpta.:
23) 21x – 20 > 20x – 21
37) 1 – 2x + 3 – 4x > 2x – 28; Hallar el conjunto
Rpta.: solución:

24) 123x – 321x 122 – 320x Rpta.:

Rpta.: 38) Hallar el conjunto solución de: 2x + 3 + 4x + 5
68
25) 9 – 5x + 10 < 7 – 3x + 6
Rpta.:
Rpta.: 39) Hallar el conjunto solución de: 5x + 2x + x <
7x + 1
26) 8 + 9x + 10 < 11 + 12x + 13
Rpta.:
Rpta.:
40) Hallar el conjunto solución de: 3(x + 2) + 1 >
27) Hallar el conjunto solución (C.S.) de: 22
-2 – 3x – 4 -5 – 6x – 7
Rpta.:
Rpta.:
41) Hallar el conjunto solución de: 4(x – 5) + 3 < 7
28) Hallar el conjunto solución: 5x + 4x + 3x <
108 Rpta.:

Rpta.: 42) Hallar el conjunto solución de: 5(x + 2) – 4 -
9
29) 7x + 5x + 3x > 25
Rpta.:
Rpta.:
43) Resolver la inecuación y dar su conjunto
30) Hallar el C.S.: solución: 6(x – 7) + 8 20
2x – 3x + 4x 21
Rpta.:
Rpta.:

55


56


57

ALGEBRA 1º

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