Este documento presenta un módulo teórico-práctico de álgebra para estudiantes de cuarto año. El colegio agradece a su planta docente por elaborar este módulo para mejorar la enseñanza de álgebra. El director agradece a los estudiantes por confiar en la calidad educativa del colegio.

1. PRESENTACIÓN
El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA
GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico-
Práctico, del curso de Álgebra correspondiente al área de Ciencias, el cual permitirá a
nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de sostenerla y
aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educación del
país.
Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana
Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido
lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las
personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible.
Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su
preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la
calidad en servicios educativos, está asegurada.
La Dirección
4to Año Razonamiento Matemático 2

3. ALGEBRA
I Bimestre
POTENCIAS Y RADICALES EN  an
4.- a n am an m
am
5.- am .an am n
POTENCIACIÓN
Y En radicación n 2 , n 
RADICACIÓN 1
n
Son
a a n . Propiedades:
n
m
OPERACIONES INVERSAS 1.- an am
m m
Que consisten en 2.- a n .b p .c q .... a n .m b p .m c q .......
a n m .b p m .c q m .....
Dados dos números base Dados dos números 3.- m a m
a a1 m
a b m
y exponente, determinar radicando e índice, b m
b b1 m
un tercer número llamado determinar un tercer 1
potencia número llamado raíz m n p m.n. p ....u
4.- .....u a a a ( m.n. p....u )
Eejmplos:
an b n
b a 1. 3 4
x 24
x
Potenciación y Radicación
2. 4 3
10 3 4
10 12
10
En potenciación n 1 , n  .se tiene: 3. Reducir: M 2 3 4 5
x120
Propiedades: Solución:
1.- Dados a , n  , se tiene: a 0 1 2 3 4 5 2.3.4.5
M x120 x120
2.- Dados a , n  ,a 0 , se tiene: 120
2.3.4.5
x x. M x
1 2. 2
a n .a n
a n .a n 1 a n
3.- 4.- Calcular: M 2. 2. 2
an
Solución
z ..... f
x y La expresión dada es:
a a x. y . z ..... f 2. 2 4
M 2. 2. 2 2. 2. 2
2
2. 2. 2 2. 2.2
n
4.2 2.2 4
3.- a p .b q .......x m a p .n .b q .n ......x m.n
M 4
4to Año Razonamiento Matemático 2

4. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
TAREA DE CLASE Se obtiene
1. x2 . x3 . x4 = ________
Rpta.
2. 23 . 33 . 53 = ________
12. Si xn = 3
A que es igual x2n
54 Rpta.
3. = ________
24
20 6 13. Si xx = 2, calcular x–x
4. = ________
10 6
Rpta.
2 5 14. Reducir
5. 23 = ________ 3
33 . 2
27 . 11 3
6. 3
2 . 3 4 = ________
Rpta.
15. Reducir:
5 25 210 312
5 23 2 5 310
7. 2–3 = ________
Rpta.
4
2 16. Reducir:
8. = ________ 1 1 1 3
3 6 3 2 22
Rpta.
0
1 1
9. = ________
2 3 17. Cual es el exponente de x x en x5x
Rpta.
2
10. 2 = ________
3
18. Reducir:
4 1
4
25 3
8
5
2 16 4
2
11. Luego de operar
5 4 2 –3 –3 –2
3 .2 .7 .3 .2 .7
3

5. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
Aprendiendo a resolver…..resolviendo 27 32 16
a) b) c)
32 27 27
27 e) N.A.
1. Después de operar d)
16
45 . 34 . 82 . 4–3 . 3–3 . 8–2
Se obtiene: 8. Reducir
4 1
4 36
38
6
3 25 4
3
a) 16 b) 24 c) 48
a) 1 b) –1 c) 2
d) 8 e) 32
d) –2 e) 3
9. Simplificar:
6n 1 6n
P
2. Si xn = 7, hallar el valor de x2n 6n
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
a) 14 b) 21 c) 49
d) 16 e) 1 10. Simplificar
7n 2 7n 1
Q
7n
x –x
3. Si x = 5, Calcular x
a) 32 b) 42 c) 49
d) 21 e) 7
1 1 1
a) b) c)
2 3 4
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1 1
d) e)
5 6
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
4. Reducir es un
3
44 . 3 CONJUNTO DE TÉRMINOS
3
QUE REPRESENTA UNA
16 . 11 CANTIDAD
CONSTITUIDA
a) 10 b) 12 c) 16 POR
d) 8 e) 64
5. Cual es el exponente final de “a” en:
2 5
a5 . a3 . a1 , a 0 VARIABLES CONSTANTES
representada por dadas por
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
NÚMEROS
LETRAS
6. Reducir
7 23 312 515 OPERACIONES
7 21 310 513 MATEMÁTICAS
ELEMENTALES
a) 11 b) 22 c) 33
d) 44 e) 55
TÉRMINO ALGEBRAICO (Monomio)
Definición.- Es la mínima parte de una expresión
7. Reducir
1 1 1 2 3 algebraica, en el no existen operaciones de
8 4 2 2
adición o sustracción.
4

6. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
1.- ¿Cuántas de las expresiones son algebraicas?
3
3 xy 2 3x 2 x 1
;3 x
3; 3 x 3
x 5; 28; x 2 4x 1
Ejem: 5 x 2 y; 7x 2
y6 ;
z Solución
Todo termino algebraico presenta tres partes, las Son expresiones algebraicas:
cuales son: Exponentes 3x 2 x 1
; 3x 3
x 5; 28
2.- Si los términos : 4 x a 3
yb 1
x5 a
y 2b
7 x5 y 3 7
Son semejantes; calcular a.b
Variables Solución
Coeficiente Podemos plantear:
TÉRMINOS SEMEJANTE 4 xa 3
yb 1
 x5 a
y 2b
Definición.- Son aquellos términos que presentan a 3 5 a 2a 8 a 4
las mismas variables e iguales exponentes Donde: b 1 2b b 1 b 1
respecto a la Variable común. a.b 4
Ejem: 7 xy 5 4 xy 5 son semejantes
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
GRADO DE UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICAS ALGEBRAICA
A.- Según su Naturaleza
1.- Expresión Algebraica Racional. es un
EXPONENTE QUE CARACTERIZA A
Es aquella expresión en donde los LA EXPRESION ALGEBRAICA
exponentes de las variables son números enteros.
Estas a su vez se dividen en:
RELATIVO ABSOLUTO
1.A Expresión Algebraica Racional Entera SI SE REFIERE A UNA SI SE REFIERE A
SOLA VARIABLE TODAS LAS VARIABLE
Ejem: 7 xy 4 4 x2 y 4x 2y 1
2.A Expresión Algebraica Racional Fraccionaria
Ejem: 7 xy 2 2
5 xy 1
x SÓLO UN TODA LA
TÉRMINO EXPRESIÓN
2.- Expresión Algebraica Irracional
Es aquella expresión en donde existe al menos
una variable afectada de algún signo radical o VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES
exponente fraccionario. ALGEBRAICAS
5x2 y Definición.- Es aquel valor que se obtiene al
Ejem: 2 xy x 3
2x 1 4
y 3xy 4
3x 15
2 reemplazar las variables por constantes o
B.- SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS variables y efectuar dichas operaciones.
Monomio……………….1 término Ejem: Sea P( x) 5x 3 . Hallar:
Binomio…………………2 términos P(0); P(1); P( x 3)
Trinomio…………………3 términos Solución
……………………………………. si :
x 0 P (0) 5(0) 3 3
Polinomio………………más de 3 términos
x 1 P (1) 5(1) 3 8
EXPRESION ALGEBRAICA TRASCENDENTE x x 3 P( x 3) 5( x 3) 3 5x 18
y
Ejem: 2 xy 5x 5x 3
VALORES NUMERICOS NOTABLES
2x senx cos 2 x
Si P( x) es un polinomio, se cumple:
Ejercicios resueltos
5

7. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
P(0) = término independiente Ejem: P( x) 9 x5 2x4 4 x3 3x 2 x 5
P(1) = suma de coeficientes
Ejem: Si P( x 3) 5x 16 P( x, y ) 9x4 y x3 y 2 4x2 10 xy y2
Calcular: T. Independiente y suma de coeficientes Propiedad
Solucion En todo polinomio completo y de una sola variable,
Se pide P(0) + P(1) el número de términos es equivalente al grado
aumentado en uno.
P(0) : i) x 3 0 x -3 . Reemplazando
Es decir: número de términos = Grado + 1
en:
4.- Polinomios Idénticos.- Dos polinomios de las
P( 3 3) 5( 3) 16 1
mismas variables son idénticos si tienen el mismo
P(0) 1
valor numérico para cualquier valor o valores
P(1) : i) x 3 1 x -2 . Reemplazando en: asignados a sus variables.
P( 2 3) 5( 2) 16 6 Ejemplos: P( x) (x 2) 2 Q( x) x2 2x 8
P(1) 6
P( x, y) x3 y3 Q( x, y) x y x2 xy y2
FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE
5.- Polinomio Idénticamente Nulo.- Son aquellas
VARIABLE X
expresiones que son equivalentes a cero. Estando
P( x) a0 x n a1 x n 1
a2 x n 2
................... an 1 x an
reducidas se cumple que cada coeficiente es igual
Donde: a cero. Notación: P( x) 0
n  ; n grado del polinomio
a0 , a1 , a2 ,.........., an 1 , an : son los coeficientes
TAREA DE CLASE
tales que:
1. Si R(x,y) = ax2y3 + bx4y5
a0 0 : Coeficiente Principal (C.P)
an : Término Independiente (T.I) Hallar G.R.(x) = _ _ _ _ _
POLINOMIOS ESPECIALES
1.- Polinomio Homogéneo.- Es aquel polinomio G.R.(y) = _ _ _ _ _
que tiene todos sus términos el mismo grado.
G.A. =_____
Ejem: P( x, y ) x3 3x 2 y 4 xy 2 y3
2.- Polinomio Ordenado.- Es aquel polinomio que 2. Ordenar el polinomio P(x) de manera
decreciente.
esta ordenado con respecto a una variable P(x) = 1 + 2x3 + 3x2 + 5x + 6x 4
llamada ordenatriz, donde los exponentes de la
mencionada variable van aumentando o
disminuyendo.
Ejemplos:
P( x, y ) 9 x5 y 2 x3 y 3 4x2 y 2 3y4 1. ¿ Efectuar:
P( x, y ) 9x 4
2x y 3
4x y 2 2
xy 3
y 4 8x – (2x - 3) – (–x + 6)
Q( x ) 5 x17 2 x12 x6 x 1
Rpta.
3.- Polinomio Completo.- Es aquel polinomio en el
que el grado de todos sus términos van desde un
máximo valor hasta el de exponente cero (término
2. Reducir:
independiente) a – (2,3b – 5,2a) – (–3,5a + 4,
6

8. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
Rpta.
9. Simplificar:
3. Si: P(x;y) = 2yx m+1 m n
– 3x y + 5 . y n+2
. x. –(– 4x + y) + (5x + 3y) – (x – y)
Tiene el Simplificar:
(6x – 3y + 5z) – (–4y – 6z – 3x) + x – y +
z Rpta.
Rpta.
10. Reducir:
–b – {– c – [– d – {– c –(– d b ) + a} – d]
– a}
4. Efectuar:
1 3
p – (p – 0,2q) + (0,222.....q – p) + q
4 6 Rpta.
Rpta.
4
Simplificar: –{–q + [–p + q – (– 3p –
3
1
5. Reducir: 6q) + p] – 0,3333....q}
2
12a – [– 9a –(–2a + 7) + 3a] – 26
11. Reducir:
8x2y + 16x2y – 10x2y
Rpta.
Rpta.
6. Efectuar:
– [ – 0,2x –[0,4x2 + (0,05x2 + 0,7x)]] – x
12. Reducir:
4 3 2 4 3 2 4 3 2
17x y z + 16x y z – 28x y z
Rpta.
Rpta.
13. Reducir:
7. Efectuar: 10x2y + 12xy2 + 2x2y – 6xy2 –
{[(2p – 3) – (3p + 4q)]} – {2q – (3p + q) – p} 8x2y
2 2
1. Sea P(x) = x + x – a , P(a) = 3.
Hallar el término independiente
de P(x)
Rpta.
8. Efectuar Rpta.
3 2 3 4 2 1
a– b c + c b a
4 4 7 5 3 4
2. Sea P(x) = 2x + 3, Hallar
P(x–2)
7

9. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
Rpta. a) –16 b) –3 c) –12
d) –7 e) –4
5. Los 3/2 de:
x 2
3. Si P(x + 1) = 5x + 2, Hallar P(x) 3y 2 x 2
; Cuando: y 3
1 3
a a 1
2
Es:
Rpta. a) 69 b) –46 c) –69
d) 60 e) –63
2x 2
4. Si f(x) = , hallar f f 3
x 1 b–3 10
6. Si los términos 6xy ; 2xy son semejantes,
calcular el valor de “b”
Rpta.
a) 12 b) 11 c) 13
d) 14 e) 10
5. Si R(x) = x + 2, R(2n) = 4. Hallar n2 7. Hallar m N, sabiendo que el polinomio
P(x) es de grado 36.
] + 7 [x ]
5m+3 2 m+1 3
P(x) = 0,2[x
Rpta.
a) 3 b) 6 c) 2
d) 5 e) 8
6. Sea P(x) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x3. Hallar P(0)
8. La expresión:
+ P(1)
3 3
0,2x + y + x – 0,25 y equivale a:
4 5
2 1 b) 0,8x – 0,5y
Rpta. a) x y
5 4
4 4
c) x–y d) x + 0,5y
Aprendiendo a resolver…..resolviendo 5 5
e) 0,6x – 0,5y
1. Hallar el grado absoluto del polinomio: 9. Al resolver:
2 3 4 4 7 9 5
P(x;y;z) = 5x y z + 7x y z + 9x y2z
7 x – [x – {y – (2x – y)} + x – (–y)]
Se obtiene:
a) 14 b) 9 c) 20 a) 3x –y b) x – 3y c) x + y
d) 18 e) 15 d) x + y e) y – x
2. El monomio: 3xa+b–5 yb–3 10. Si: a = 2; b = – 4; c = – 3; d = 9; entonces el
b d
Es de G.R.(x) = 5 y G.R.(y) = 2 valor de 2db es:
a c
Entonces “a” vale:
a) –67 b) –71 c) –72
d) –73 e) –77
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Sean:
4 m
3. En el polinomio P(x,y) = 4x y
P(x) = xm + 3 + xm + 1 + 7 n+2 5
Q(x,y) = 10x y,
El grado absoluto es 10, entonces el
valor de “m” es: Hallar m + n,
a) 6 b) 7 c) 4 Si son términos semejantes
d) 5 e) 9 a) 2 b) 3 c) 7
4. Si: x = 2, y = –1, el valor de la expresión 2x 2y – d) 8 e) 1
3xy2 + xy, es:
8

10. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
12. Si el coeficiente principal de: a) 3x+5 b) 5x+3 c) 3x–5
4 5
Q(x) = x + (k + 2)x + 2x + k, es 5, d) 3x e) 5
calcular su término independiente:
PRODUCTOS NOTABLES
a) 8 b) 6 c) 3
d) 1 e) 5 PRODUCTOS
NOTABLES
son
nn 2 RESULTADOS DE DETERMINADAS
13. Sea: R(x) = x + nx + x + n, un
3 MULTIPLICACIONES, OBTENIDOS
SIN EFECTUAR LA OPERACIÓN
polinomio de 3er grado, calcular P(3)
Por ejemplo
a) 30 b) 40 c) 50
d) 60 e) 70
14. Sean: BINOMIO SUMA
2
A(x) = Kx2
AL CUADRADO a b a 2 2ab b2
k+3
B(x) = 5x
2
Si A y B tienen el mismo coeficiente, calcular BINOMIO DIFERENCIA a b a 2 2ab b2
el exponente de x en “B” AL CUADRADO
a) 6 b) 7 c) 8
d) 16 e) 1 BINOMIO SUMA
AL CUBO
15. Si Q(x)= x800 – 2x799 + 3. Hallar Q(2) a b
3
a3 3a 2b 3ab2 b3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6 BINOMIO DIFERENCIA 3
a b a3 3a 2b 3ab2 b3
AL CUBO
16. Sea:
R(x) = (K + 2) x K–1 + 3x2 + 6
Un polinomio de 5to grado, hallar el coeficiente
del término principal.
a) 2 b) 4 c) 6 Definición.- Se denominan así a todas aquellas
d) 8 e) 9 multiplicaciones o potenciaciones cuyos
17. Sea: resultados:
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Productos o potencias, tienen una frecuencia que
Además
las hace reconocibles en una inspección.
a b c
P(1) = 0, Hallar Algunos resultados mas:
d
1.- DIFERENCIA DE CUADRADOS
a) 0 b) 1 c) –1
d) 5 e) 4 a b a b a2 b2
2
18. Si P(x) = ax + b, a 0 y además P(3) = a m bn a m bn a 2m b2n
b 2.- TRINOMIO AL CUADRADO
a, Calcular
a 2
a) 5 b) 6 c) –7 a b c a2 b2 c2 2 ab ac bc
d) 8 e) –8 a b c
2
a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
19. Sea P(x) = 3x + 5, hallar P(x+1) 2 2 2 2
a b c a b c 2ab 2ac 2bc
2
a b c a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
a) 3x-2 b) 2x+3 c) 3x+2
d) 3x e) 2 3.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
3
a b a3 3a 2b 3ab 2 b3
20. Si P(x+3) = 3x + 4, Hallar P(x) 3
a b a3 3a 2b 3ab 2 b3
9

11. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
3 3
8. Si a + b = 4 y ab = 3, hallar a + b
TAREA DE CLASE
1. Simplificar:
N x2 2xy y2
Rpta.
3 3
9. Si: a – b = 2 y ab = 15, Hallar a – b
Rpta.
2. Reducir:
P a b a b b2 Rpta.
10. Smplificar:
x 3 x 5
N
x 2 8x 15
Rpta.
3. Si: a + b = 2 y ab = 1, hallar a2 + b2 Rpta.
11. Simplificar:
N x2 2xy y2
Rpta.
Rpta.
1 1
4. Si x 3 , hallar x 2
x x2
12. Reducir:
P a b a b b2
5. Sabiendo que: Aprendiendo a resolver…..resolviendo
(x + 1)2 =3, Calcular x 2 + 2x – 2
1. Reducir:
Q x y x y y2
2
a) x b) x c) xy
Rpta. d) y2 e) y
2
a 2. Simplificar:
6. Si (a + 2b) ( a – 2b) = 0: b 0. calcular
b x 4 x 5 20
N
x 2 9x
a) 0 b) 1 c) 4
3. Si:
x 3
1972 11 ;
Rpta.
7. Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1, calcular (x + y)
2
y 1969 11
Hallar el valor de:
9 3 3 9
x – 9x y – y
10

12. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
a) 27 b) 72 c) 30 a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4
d) 20 e) 25 d) 0,5 e) 0,6
13. Reducir:
4. Si: x + y = 5 y x . y = 6, Hallar x 2 + y2 N 8 3.11 . 72 42 7 4 44 48
a) 7 b) 8 c) 9
a) 11 b) 12 c) 13 d) 10 e) 4
d) 14 e) 15 14. Efectuar:
Q 85 1 5 1 8
5 1 4
5 1
1
5. Si: x 4 , Hallar x 2 a) 1 b) 2 c) 3
x x2 d) 4 e) 5
15. Siendo:
a) 12 b) 13 c) 14 x 3 5 3 5
d) 15 e) 16
2
Hallar x
6. Sabiendo que: (x + 2)2 = 36, hallar x 2 + 4x – 2
a) 12 b) 11 c) 10
d) 9 e) 8
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50 16. Reducir:
x 3a 2 3x a 2
a
2
Z
7. Si (a + 3b) (a – 3b) = 0, b 0, calcular x a x a 2a 2
b
a) 3 b) 6 c) 9
d) 12 e) 15 a) 5 b) 10 c) 15
8. Si (a + b) = 6 y ab = 8, hallar a3 + b3 d) 20 e) 25
a) 36 b) 72 c) 144 17. Efectuar:
d) 216 e) 108
5 3 5 3
M
5 3 5 3
9. Si (a + b + 1) (a + b – 1) = 3, hallar (a +
b)2
a) 2 b) 4 c) 5
a) 6 b) 7 c) 8 d) 6 e) 8
d) 9 e) 10 18. Efectuar:
2 2 2
10. Si x – y = 4 Q 3 5 1 5 2 1 2 5
Simplificar: N x y 2
4xy a) 33 b) 44 c) 55
d) 66 e) 77
a) 5 b) 3 c) 2
d) 1/2 e) 4
11. Simplificar:
5x 1 2 5 x 12
N
5x 2 1
a) 2 b) 4 c) 6
d) 7 e) 8
2 2
12. Si se cumple que: x + y + 4xy
Reducir:
x y 2
x y 2
R
x y 2
x y 2
11

13. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
ALGEBRA
II Bimestre
DIVISIÓN ALGEBRAICA 3. Coeficientes del cociente que se obtienen de
dividir la suma de los elementos de cada
Definición.- Operación que se realiza entre
polinomios que consiste en hallar dos columna entre el primer coeficiente del divisor.
polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO,
Cada coeficiente del cociente se multiplica por
conociendo otros dos polinomios denominados
DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra los demás coeficientes del divisor para colocar
ligados por la relación:
dichos resultados a partir de la siguiente
columna en forma horizontal.
. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .
4.- Coeficientes del residuo que se obtienen de
Donde: sumar
D(x) : Dividendo la columnas finales una vez obtenidos todos los
d(x) : Divisor coeficientes.
Q(x) : Cociente
R(x) : Residuo o Resto
Propiedades de la División
Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo.
(Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))
Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))
Además: Máximo Gdo. (R(x)) =
Gdo. (d(x)) – 1
PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN
OBSERVACIÓN:
MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER
LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO
Pasos a seguir: TANTOS TÉRMINOS DE LA PARTE FINAL DEL
DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:
1. Coeficiente del dividendo ordenado
decrecientemente en una variable completo o
completado. MÉTODO DE PAOLO RUFFINI
2.- Coeficiente del divisor ordenado
Pasos a seguir:
decrecientemente en una variable, completo o
completado, con signo contrario salvo el 1.-Coeficientes del dividendo ordenado
primero.
12

14. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
decrecientemente, completo o completado, TAREA DE CLASE
con
respecto a una variable. 1. Indicar el residuo de la siguiente división
2.- Valor que se obtiene para la variable 2x 7 4x 6 2x 3
x 2
cuando el
divisor se iguala a cero Rpta.
3.-Coeficientes del cociente que se obtienen de
sumar cada columna, luego que el coeficiente 2. Efectuar la siguiente división
Indicar el residuo
anterior se ha multiplicado por (2), y colocado
6x 3 5x 2 4x 4
en
x 1
la siguiente columna.
4.- Resto de la división que se obtiene de sumar
la
Rpta.
última columna
3. Indicar el término independiente del resto
de la siguiente división
6x 3 x 2 2x 6
3x 2 2x 1
Rpta.
4. Indicar la suma de coeficientes del
cociente luego de efectuar:
2x 4 x3 3x2 20x 10
OBSERVACIÓN: 2x2 3x 1
5. Calcular “n”, si el resto de la división es – 15
SI EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES
2x 3 nx 2 4x n
DIFERENTE DE LA UNIDAD, EL COCIENTE
2x n
OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE
VALOR.
Rpta.
TEOREMA DEL RESTO 6. Al dividir x4 – 2x2 – 6 entre
x + 3, el residuo es:
Se utiliza para obtener el resto de una división.
Consiste en igualar a cero al divisor y despejar
la mayor potencia de la variable, para que sea
reemplazada en el dividendo. Rpta.
7. Hallar el cociente en:
OBSERVACIÓN: x5 6x 4 2x 3 x 1
x 3
3x 2 1
DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO, DEBE
COMPROBARSE QUE EL GRADO DEL POLINOMIO
OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL GRADO DEL DIVISOR. Rpta.
13

15. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
8. Cual es el valor que deberá tener “K” para que Aprendiendo a resolver…..resolviendo
al dividir 4x 5 – 2x3 + K – 2 entre x – 2, el
residuo sea cero
1. Indicar el residuo en la siguiente división:
2x 3 x2 3
9. El cociente de la siguiente división:
x3 + 3x2 – x – 3 entre x2 + 2x – 3 es: x 1
a) 1 b) –1 c) 0
Rpta. d) 2 e) –2
2. Efectuar la siguiente división:
6x 2 x 2
2x 1
10. Hallar el residuo en
2x 4 5x 3 3x 6 E indicar el cociente
x 2
a) x+1 b) 3x–2 c) 3x+2
d) 2x+3 e) 2x–3
Rpta.
3. Indicar el término independiente del resto
en la siguiente división
6x 2 9x 27
11. Hallar el cociente en: 3x 9
38x 4 65x 3 27
a) 1 b) 2 c) –2
2x 2 5x 3
d) 3 e) 0
4. Calcular la suma de coeficientes del cociente,
después de efectuar.
Rpta.
x2 15x 56
12. Hallar el coeficiente del término x 8
cuadrático en:
2x 4
x 3 7x 3 a) 5 b) –5 c) 6
2x 3 d) –6 e) 7
5. Calcular “n” si el resto de la división es cero
13. Hallar el cociente aplicando Horner 2x 3 11x 2 18x n
x 5 27x x 4 7x 2 10 x 4
x2 x 5
a) 12 b) 36 c) 42
d) 6 e) 24
Rpta.
6. Al dividir:
x 6 7x 3 12
x3 3
14. Hallar el cociente aplicando Ruffini El residuo es:
x4 – 3x3 + 5x – 8 entre x + 2
a) x3–4 b) X3+4 c) x2–5
d) x2–3 e) 2x3+1
Rpta.
7. Hallar el cociente en:
x3 10 x2 14 x 9
x 2 4x 3
15. Hallar el cociente aplicando Horner
5 4 3 2 3 2 a) x+1 b) x–1 c) x+6
6x + 2x – 23x + 11x + 12x – 3 entre 3x – 5x
d) x–6 e) x+7
+3
8. Dividir usando Horner
14

16. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
5 4 6 3 2
5y 9y 3y 10 y 3y 4 8y 15. Efectuar la división
e
3y 3 2 y 2 5 y 4
indicar la suma de coeficientes del
cociente
x 4 2x 2 6
x 3
a) 0 b) 1 c) –1
d) 2 e) 3 e indicar el resto
9. Dividir usando Ruffini a) 69 b) 62 c) 59
3 2
2x – 11x + 18x – 24 entre d) 57 e) 54
x- 4
e indicar el término 16. Al efectuar la división
independiente del cociente x 5 2x 4 x 2 3
a) 1 b) 3 c) 6 x 2 2x 1
d) 9 e) –3
Indicar la suma de coeficientes del
10. Dividir usando Horner residuo
31x 2 x 6 8x 5x 5 21
a) 3 b) 4 c) 5
x 3 7 2x
d) 6 e) 7
e indicar el coeficiente del
término cúbico 17. Efectuar la división e indicar el
término independiente del
a) 0 b) 1 c) –1 residuo
d) 2 e) –2
2x 4 x 3 4x 2 x 5 1
11. Dividir e indicar la suma de coeficientes 2x 2 x 1
del residuo
Indicar el término
11x 3 3x 5 46x 2 32 independiente del resto
8 3x 2 6x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a) 1 b) 5 c) 0
d) 4 e) 6
18. Utilizando el Método de Horner,
12. Efectuar la división
efectuar la división
x 4 2x 2 6 6x 5 7x 4 18x 3 10x 2 7x 9
x 3 3x 3
x2
2
Indicar el coeficiente del
e indicar el resto término lineal del cociente
a) 69 b) 62 c) 59
d) 57 e) 54 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Al efectuar la división
x 5 2x 4 x 2 3 19. Aplicando el Método de Horner,
efectuar la división e indicar
x 2 2x 1 coeficiente del el término
Indicar la suma de coeficientes del cúbico del cociente
5x 4 2x 4 5x 3 6x 2 6x 1
residuo
4x 2 2x 1
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
a) 1 b) 2 c) 3
14. Dividir e indicar la suma de coeficientes d) 4 e) 5
del residuo
11x 3 3x 5 46x 2 32
8 3x 2 6x
a) 1 b) 5 c) 0
d) 4 e) 6
15

17. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
COCIENTES NOTABLES
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
Definición.- Son aquellos cocientes que se PARA OBTENER UN C.N.
pueden obtener en forma directa sin necesidad
xm yn m n
de efectuar la operación de división. De: se debe cumplir: r;r Z+
xp y q
p q
xm ym
Condiciones que debe cumplir: FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN
x y
C.N.
Donde
Es una fórmula que nos permite encontrar un
x; a bases iguales término cualquiera en el desarrollo de los C.N.,
sin necesidad de conocer los demás.
m Z +; m 2
CASOS xn yn
De la división:
x y
xm yn
1. Si: R = 0 q x cociente Si d(x) = x – y: . tk = xn–kyk–1 .
x y a)
entero o exacto (C.N.)
xm yn R x b) Si d(x) = x+y: . tk = (–1)k–1xn–kyk–1 .
2. Si: R = 0 q x
x y x y Donde:
cociente completo
tk término del lugar k
x 1er. término del divisor.
También según la combinación de signos se y 2do. término del divisor.
puede analizar 4 casos. n número de términos de q(x)
DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES Ejemplos:
DIVISIÓN COCIENTES n Z+
x5 y5
x4 x 3y x 2y 2 xy 3 y 4 (C.N.)
INDICADA x y
xn yn x4 y4 2y 4
x y
=xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+; n (C.N.) x3 x 2y xy 2 y3
x y x y
(Cociente Completo)
2y n
x n
y n
=xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+yn-1+ ; n
x y x 12 y 12
x y x6 x 6y 3 x 3y 6 y8 (C.N.)
(cociente completo) x3 y3
xn 1
x n 2y x n 3y 2 ... y n 1 ; n impar C.N.
xn yn TAREA DE CLASE
2y n
x y xn x n 2y x n 3y 2 ... y n ; n par cociente completo
1 1
x y
1. Efectuar
x 5 32
y hallar la suma de coeficientes
x 2
xn 1
x n 2y x n 3y 2 ...ny n 1; n par C.N.
xn yn del resultado
2y n
x y xn 1
x n 2y x n 3y 2 ... y n 1
x y
; n impar cociente completo
Rpta.
16

18. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
9. Hallar el valor de “P” para que:
xP 4 y6
2. Calcular el tercer término de: , sea C.N
x4 yP 4
84x 4 1
3x 1
Rpta.
Rpta.
10. Efectuar:
x 6 64y 6
e indicar el cuarto término
x 2y
3. Calcular el segundo término de
125x 3 27 Rpta.
5x 3
Rpta. 11. Cual es el tercer término en el cociente
x 10 32y 5
4. Desarrollar
x 2 2y
x 23 8
E
x 12. Hallar el número de términos del
siguiente cociente notable:
5. Desarrollar
x 63 . y n
x 3 4 16
N xn . y7
x 1
Rpta.
Rpta.
13. Efectuar:
6. Si:
x 3 64
xm 1 ym 1
, es C.. Hallar “m” x 4
x3 y2
Y dar la suma de los coeficientes del
cociente.
Rpta.
Rpta.
7. Hallar el término de lugar 34 en
x 48 y 48
14. Hallar el cuarto término de:
x y
x7 y7
x y
Rpta
8. Hallar el valor de “n” para que: Rpta.
xn 5 yn 2
sea Cociente Notable
x3 y2
15. Hallar el tercer término de:
Rpta.
x 4 4 16
x 2
17

19. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
Aprendiendo a resolver…..resolviendo
8. Hallar el valor de “K” para que
x 3K 2 n 16
1. Hallar la suma de coeficientes del , sea C.N.
xK 1 n2
desarrollo de:
a) 1 b) 1,5 c) 2
x 10 32y 5 d) 2m5 e) 5
x 2 2y
9. Hallar el V.N. del quinto término del desarrollo
a) 10 b) 11 c) 12 x9 y9
de , para que x = 3,
d) 13 e) 14 x y
y=2
2. Calcular el cuarto término del desarrollo
de:
a) 646 b) 340 c) 648
x9 y9 d) 343 e) 548
x y 10. Hallar el término central de
a) x y3 3 3 3
b) –x y 4 4
c) x y x 21 y 21
d) –x2y3 e) –x3y2 x3 y3
9 8 8 9 7 7
3. Calcular el quinto tercer término del a) x y b) x y c) x y
d) x9y9 e) x8y8
desarrollo de:
y8 x8 11. El número de términos que tendrá el
y x siguiente cociente notable:
m 4 a 12 n 4 a 3
4 3 3 4 3 4 ; es:
a) y x b) y x c) –y x ma 8 n a 9
4 3 4 4
d) –y x e) x y
a) 10 b) 12 c) 25
4. Desarrollar y dar el valor numérico del tercer d) 15 e) 18
término para x = 2 del siguiente Cociente
Notable 12. Efectuar:
x 3 4
16 64x 6 y 6
x 1 2x y
a) 10 b) 15 c) 20 y dar la suma de los coeficientes del
d) 25 e) 30 cociente
5. Si: a) 13 b) 21 c) 31
x 3n 1 y n 2
d) 41 e) 51
, es un Cociente Notable, hallar
x3 y4
13. Hallar el tercer término de:
“n” 81x 4 1
a) 1 b) 2 c) 3 3x 1
d) 4 e) 5
a) 2x2 b) 3x4 c) 3x
6. Hallar el término de lugar 47 en d) x4 e) 4x4
x 61 y 61
14. hallar el cuarto término de:
x y
x 5 5
32
x
13 15 12 43 14 46
a) x x b) x y c) x y 3
11 51 15 40
d) x y e) x y
a) 8x – 40 b) 8x + 40
7. Hallar el término de lugar 30 en
c) 8x – 20 d) 8x + 50
x 36 a 36
e) 8x – 30
x a
5 28 6 29 6 29
a) x .a b) –x .a c) x .a
6 30 6 40
d) x .a e) x .a
18

20. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
FACTORIZACIÓN
3. Factorizar:
3x2y + 6xy2 – 3x2y2
Definición.- Proceso inverso de la multiplicación
por medio del cual una expresión algebraica
racional entera es presentada como el productos
de dos o más factores algebraicos. 2. Factor Común Polinomio
El factor común es un polinomio.
Factor Divisor: Un polinomio no constante es TAREA DE CLASE
factor de otro cuando lo divide exactamente,
por lo cual también es llamado divisor. 1. Factorizar:
7x + 7y
Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel
polinomio que no se puede descomponer en
Rpta.
otros factores. Racionales dentro del mismo
campo.
Ejemplo: 2 2
2. El factor común de x – x y es:
El proceso
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab Rpta.
es una multiplicación.
En cambio el proceso
3. Factorizar
2 24x3 – 16x2 + 8x
x + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)
es una factorización
Rpta.
Donde:
4. Factorizar:
18x3 + 6x2y + 4xy2 – 10xy
(x + a), (x + b), son factores primos.
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Rpta.
Factor Común Monomio
1. Común Monomio
Se determina el MCD de los coeficientes y se
toma la variable común con el menor 5. Al factorizar
3 2 4 5
exponente. 16z + 20z + 4z + 12z , se obtiene
Ejemplos:
1. Factorizar:
6. Factorizar:
3 2
2. Factorizar 6x – 15x 1 1
x
5 5
Hallamos el M.C.D. de 6 y 15 es 3
El menor exponente de x es 2 el factor
común es 3x2 Rpta.
Luego
2
3x (2x – 5)
19

21. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
7. Factorizar: Aprendiendo a resolver…..resolviendo
–a – b + 2(a + b)
1. En la expresión
2 3 3 2
7x y + 14x y
Rpta. El factor común es:
a) x2y2 b) 7xy c) 7x2y2
d) x3y3 e) 7x3y3
2. En la siguiente expresión
8. Si: x – y = 5 y m = 4. Hallar mx + my x2n3 + m3x2 + m5n4, al factorizar, el factor
común es
Rpta. 2 2
a) m . n b) m n c) mn
2 2 3 2
d) m . n e) m n
9. Factorizar cada una de las expresiones: 3. Si factorizamos
2
9y – 81y
a. 8x2 – 16x = ______________
3 2
b. x + 3x – 5x =____________ el factor que no es monomio es:
c. m + x – m3 = ____________
5 4
a) 9 – y b) y2 – 9 c) y – 9
d. 6y4 + y3 – 12y2 = __________ d) y + 9 e) 9y
e. 3x – 6x2 + 9x3 =___________
4 5 3 2
f. 4x y – 2x + 6x y = _______ 4. Uno de los factores de:
(a+2b) (2a+b) – (a–2b) (5b-3), es:
a) 2a + 3b + 3 b) 2a + b + 3
10. Factorizar cada uno de los polinomios:
c) 2a – 4b + 3 d) 2a +b
a. 2(a+b)+x(a+b) = __________
e) 2a – b
b. x2(a–1)–y2(a–1) = _________
c. 3b(2x+3)+2x+3 = ________ 5. Después de factorizar
d. (a+b)x–(a+b)7–a–b = _____ (3x+1) (2a+3) + (2a+3) (4x+2)
e. x2+y2–5y(x2+y2) = ________ Uno de los factores es:
a) 7x–3 b) 7x+3 c) 7x+1
d) 7x–1 e) 7x+5
11. Factorizar: 6. Si a – b = 5 y m = 4, hallar el valor de ma –
xz + yz + x + y mb
12. Factorizar: a) 10 b) 20 c) 30
ab + bx + ay + xy d) 15 e) 16
7. Si p + q = 3, x + y = 16, hallar el valor de
(p + q)x + (p + q)y
Rpta.
a) 16 b) 3 c) 48
d) 16 e) 12 19
13. Factorizar 8. Si: m + n = 4; a – b = 2, hallar el valor de:
a2b3 – a2 + 2b3 – 2 (m + n)a – (m + n)b
a) 10 b) 16 c) 8
d) 4 e) 5
Rpta.
9. Si: x2 + y2 = 5; p + q = 3, hallar el valor
de:
2 2
(p + q)x + (p + q)y
14. Factorizar: a) 10 b) 15 c) 17
6b2x2 – 3x2 + 4b2 – 2 d) 9 e) 5
10. Factorizar
2 2 2 2
(a + b ) (x + y) + (a + b )
(x – 3y) + (a2 + b2) (y – 2x)
Rpta. Uno de los factores es:
20

22. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
2 2n + 1 n+1 n+3 n 3
a) x(a + b) b) x (a + b) x + 3x +x – x + 3x - 3
2 2 2
c) x(a + b) d) –y(a + b )
e) x(a – b2)
2
a) (xn+1–3) b) (xn–3) c) (x4+3)
11. Al factorizar la expresión:
d) (xn+1) e) (xn–1)
x2 – 2x + cx – 2x
19. ¿Cuál es el factor primo de
Uno de los factores primos es:
mayor grado de:
P = (x–8) (x–7) (x–6) + (x–7) (x–6) – (x–6)
a) x+2 b) x–c c) x–2
d) c–x e) 2–x
a) (x–8)2 b) (x–6)2 c) (x–4)2
12. Hallar la suma de los términos d) (x–3)2 e) x3
independientes de los factores primos
20. Uno de los factores primos de:
de: m+a m b a n n+b a p p b
x –x .y +x .y –y –x z +z y
2yz + 7y – 2z – 7
Es:
a) (xa+yb) b) (xa–yb) c) (xb+ya)
a) 7 b) 8 c) 5
d) (x+y) e) (x–y)
d) 6 e) 1
13. ¿Cuántos factores primos tiene:
mx – m – x + 1
Método de Agrupación
a) 1 b) 3 c) 2 Se usa este método cuando el polinomio posee un
d) 4 e) 5
factor común de 2 a mas términos por lo general
14. Al factorizar la siguiente expresión:
se encuentran luego de agrupar.
mx – m – x + 1
Ejemplos:
Uno de los factores primos es:
a) (x+1) b) (m+1) c) (2x+1)
d) (x–1) e) (2m+1) 1. ax + bx + ay + by
15. La suma de los coeficientes de uno de los
factores primos de: agrupando
3ax – 3ay – 2bx + 2by; es:
x(a+b) + y(a+b)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5 factor común
16. El factor primo de mayor grado de:
2ax2 + 2ax + 2x – a2 – a – 1; es:
Factorizando:
2 2
a) x + x + 1 b) a + a + 1 (a+b)(x+y)
2 2
c) x + 1 d) a + 1
e) a3 + 1
2. 6ax + 3a + 1 + 2x
3a(2x + 1) + 1 + 2x
17. Hallar el producto de los términos Factor
independientes de los factores primos de:
común
1
x2 3x 1
3x
Factorizando:
a) 2 1 c) 3
b) (2x + 1)(3a + 1)
3
2 e) 1
d)
3
18. Uno de los factores primos de:
21

23. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
3) xy2 + xz2 + yz2 + x2y
TAREA DE CLASE
2 2 2 2 2
xy + yz + xz + x y = y(xy + z ) + 01) Señalar un factor de:
2
x(z + xy)
= (xy + z2)(y + x) ax + a + bx + b
Método de las Identidades Rpta.:
a) Trinomio Cuadrado Perfecto 02) Señale un factor de:
a2 + 2ab +b2 = (a + b) 2 (a + 1)(a - 2) + 3b(a + 1)
2 2 2
a - 2ab +b = (a - b)
Rpta.:
Ejemplo:
03) Factorizar:
1. Factorizar
16x2 + 40x + 25 ax + x – 3a – 3 y señala un factor.
Raíz 4x 2(4x)(5) 5 = Rpta.:
2
(4x + 5)
04) Factorizar y señale uno de los factores
de:
Doble producto Si es T.C.P. az – aq + bz – bq
b) Diferencia de Cuadrados Rpta.:
2 2
a – b = (a + b)(a -b) 05) Señale uno de los factores de:
Ejemplo:
xy + yz + wy - x - z – w
1. Factorizar
Rpta.:
4 2
x - 4b
06) Después de factorizar. Señale un factor.
Raíz x2 2b x4 – 4b2 = (x2 + 2b)(x2 – 2b)
ax – ay – bx + by + cx – cy
Método del Aspa Simple
Rpta.:
07) Después de factorizar.
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
n2ax + m2ax + n2by + m2by El factor de 2do
ax2 + bx + c grado es:
22

24. COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”
08) Factorizar: 4x2 + 12xy + 9y2
Aprendiendo a resolver…..resolviendo
01) Señale un factor de:
Rpta.:
09) 2 2 2
P = ax + bx – ay - by
Factorizar: a x + 2abx + b
a) a – b b) x + y c) a + b d) 1
e) 2
02) Señale un factor de:
Rpta.:
(x + 1)(y -2) + 3x(x + 1)
10) Factorizar: P = a2 + 2a + 1
a) (x + 1) b) (x - 1)
c) (y - 2) d) (y + 2) e) 1
Rpta.:
03) Señalar un factor de:
11) Factorizar:
nx + ny + x + y
Q = x2y2 + 2xy2 + y2 e indicar el factor
primo de menos términos.
a) (n - 1) b) (x - y) c) (x + y) d) x
e) y
04) Factorizar y señalar uno de los factores
Rpta.:
de:
12) Factorizar y hallar la suma de los factores
xy + wz – wy + xz
de: N = 64x4 – 36y2z6
a) (x + w) b) (w - x)
c) (y + z) d) (y - z)
Rpta.:
e) (z - y)
13) Factorizar; e indicar la suma de los
05) Señalar uno de los factores de:
factores primos:
xm – xp + xn + my – py + ny
a) (m - n + p) b) (m – n - p)
N = x2 + x – 12
c) (m + n - p) d) (x - y)
Rpta.:
e) (m + n)
14) Factorizar e indicar uno de los factores
2
de: M = x + 3x – 18
06) Después de factorizar. señalar uno de los
factores:
ax – ay – bx + by – cx + cy
Rpta.:
15) Factorizar e indicar uno de los factores a) (x + y) b) (y – x)
de: P = x2 + 6x – 30 c) (a + b + c) d) (a – b - c)
e) (a – b + c)
Rpta.:
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