U.a.i algebra i

INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR PEDAGÓGICO PÚBLICO
“VÍCTOR ANDRÉS BELAUNDE”
JAÉN
Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
FICHA DE INFORMACION Nº05
Practica Dirigida
1. Factorizar: F(x; y) = x
2
y
2
+ x
2
y + xy
2
+ xy
El número de factores primos es:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
3
y
2
+ x
2
y + x
2
y
3
+ xy
2
El factor primo de 2do grado es:
a) xy + 1 b) xy + y
2
c) x
2
+ y
2
d) x
2
– y
2
e) x
2
+ xy
4
y – x
2
y
3
– x
3
y
2
+ xy
4
El número de factores primos binomios es:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Factorizar e indicar un factor primo:
Q(x, y) = x
3
+ 2x
2
y + 4xy
2
+ 8y
3
a) x + y b) x – y c) x + 2y
d) x – 2y e) x
2
+ y
2
5. Factorizar:
P(a; b; c) = a
2
– abc – ac – ab + b
2
c + bc
Indicar el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Factorizar:
P(a; b; c) = ab
2
+ ac
2
+ bc
2
+ a
2
b + a
2
c + b
2
c +
3abc
Indicando un factor primo.
a) a
2
+ b
2
+ c
2
b) a – b – c
c) a + b + c d) a
3
+ b
3
+ c
3
e) a + b
7. Factorizar: F(x) = (x
2
+ 2)
2
– (2x - 1)
2
El factor que más se repite es:
a) x + 1 b) x – 1 c) x + 2
d) x – 2 e) x – 3
8. Factorizar: F(x; y) = (x
2
– y
2
)
2
– (y
2
– z
2
)
2
Un factor primo es:
a) x + y b) x – y c) x + z
d) x
2
+ y e) y - z
9. Factorizar: F(x) = (x + 1)
4
– (x - 1)
4
La suma de coeficientes del factor primo
cuadrático es:
a) 1 b) 2 c) 3
d) -2 e) -1
10.Factorizar: F(x) = x
3
+ x
2
– 9x - 9
Indicando un factor primo.
a) x – 1 b) x – 2 c) x - 3
d) x + 5 e) x + 7
11.Factorizar: P(x, y) = x
2
– y
2
+ 6y - 9
Indicando el factor primo de mayor suma de
coeficientes.
a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) x + y + 2
d) x + 2y – 1 e) 3x + y + 2
12.Factorizar: (a
3
+ b
3
+ c
3
)
3
– a
3
– b
3
– c
3
Indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13.Factorizar: F(x) = (x + 1)
4
– 5(x + 1)
2
+ 4
e indicar el término independiente de un
factor primo.
a) 1 b) 2 c) 4
d) -2 e) -3
14. Factorizar:
Q(x) = (x
2
+ 5)
2
+ 13x(x
2
+ 5) + 42x
2
Indique la suma de coeficientes de un factor
primo.

ALGEBRA I 2013 FACTORIZACION
Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera
a) 5 b) 6 c) 2
d) 4 e) Hay 2 respuestas
15. Factorizar:
G = x
6
– 6x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
– 6x + 1
E indicar el coeficiente del termino lineal de
un factor primo.
a) -1 b) -2 c) 1
d) 2 e) 3
16. Factorizar:
F(x, y) = 3x
2
+ 7xy + 2y
2
+ 11x + 7y + 6
Entonces un factor primo es:
a) 3x + 2y + 1 d) x + 2y + 3
b) x + 3y + 2 e) x + y + 6
c) 3x + 2y + 2
17. Factorizar:
F(x; y) = 3x(x - y) – 2y(x + y) + 7(2x + y) - 5
El término de un factor primo es:
a) 2y b) 2x c) -y
d) -5 e) 3x
18. Factorizar:
F(x; y) = (x + 3y)
2
+ 2(x - 3) + 3(2y - 3)
La suma de sus factores primos es:
a) 2x + 6y + 3 d) 2x + 5y - 14
b) 2x + 6y + 2 e) 2x + 10y - 1
c) 2x + 10y + 2
19. Factorizar:
F(x; y) = (3x - y)(x – 4y) + 5x(y + 2) – 8y + 3
La suma de coeficientes de un factor primo es:
a) -2 b) -1 c) 3
d) 1 e) 2
20. Factorizar:
F(x; y) = 4x
2
– 13xy + 10y
2
+ 12x – 15y
Señalar un factor primo:
a) x + 2y + 3 b) 4x + 5y c) 4x – 5y
d) 4x + 2y + 3 e) 4x – 2y + 3
21. Factorizar:
F(x) = x
4
+ 5x
3
+ 13x
2
+ 17x + 12
Uno de sus factores primos es:
a) x
2
+ 3x – 4 d) x
2
+ 3x + 4
b) x
2
+ 2x + 2 e) x
2
+ 3x + 3
c) x
2
+ 2x + 4
22. Factorizar:
F(x) = (x
2
+ 2x)(x
2
– x) + 7x + 3
La suma de sus factores primos es:
a) 2x
2
+ 3x + 1 d) 2x
2
+ 5x + 4
b) 2x
2
+ 2x + 3 e) 2x
2
+ x + 2
c) 2x
2
+ x + 4
23. Factorizar: F(x) = x
4
– 5x
3
+ 16x + 8
El coeficiente del término lineal de uno de sus
factores primos es:
a) 0 b) -1 c) -3
d) 3 e) 2
24. Factorizar:
F(x) = x
4
+ 1 – 3x(x + 1)(x - 1)
La suma de coeficientes de uno de sus
factores primos es:
a) -3 b) -2 c) 2
d) 3 e) 0
25. Factorizar:
F(x) = x
3
(x - 4) + (2x + 7) (2x - 7)
La suma de los términos lineales de sus
factores primos es:
a) 4x b) -2x c) 2x
d) 0 e) -4x
26. Factorizar: F(x) = x
3
+ 2x
2
– 5x - 6
La suma de factores primos lineales es:
a) 3x + 2 b) 3x – 2 c) 2x - 1
d) 3x + 4 e) 3x + 5
27. Factorizar:
F(x) = x
3
– 5x
2
– 2x + 24

La suma de los términos independientes de
sus factores primos es:
a) -11 b) -10 c) -5
d) 11 e) 2
28. Factorizar:
F(x) = 2x
3
+ 7x2 + 7x + 2
Indicar uno de sus factores lineales.
a) x + 3 b) x – 1 c) 2x + 1
d) 2x – 1 e) x - 2
29. Factorizar:
F(x) = 2(x + 1)(x
2
– x + 1) – x(5x - 1)
El coeficiente principal de uno de sus factores
primos es:
a) -2 b) 2 c) -1
d) 3 e) -3
30. Factorizar:
F(x) = x(x + 1)(x - 1) + 2 – 2x
El factor primo que mas se repite es:
a) x + 2 b) x – 2 c) x + 1
d) x – 1 e) x + 3
Practica Grupal
1. Factorizar: P(x; y) x
5
y
4
+ x
5
y
2
+ x
3
y
4
+ x
3
y
2
e indicar un factor primo.
a) x + y b) x
2
+ y
2
c) x + 1
d) xy + 1 e) y
2
+ 1
2. Indicar un factor primo al factorizar la suma
de los factores primos de:
P(a; x) abx
2
+ aby
2
+ xya
2
+ xyb
2
a) a + y b) b + x c) x + y
d) a – b e) b – x
3. Factorizar:
F(x) (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 2) – (x - 1)
e indicar la suma de sus factores primos.
a) 2x – 4 b) 3x – 5 c) 3x - 6
d) 2x – 3 e) 3x - 4
4. Señale un factor primo de:
M(a; b) = a
2
– 4 + 2ab + b
2
a) a + 2 b) b – 2c) a + b - 4
d) a + b + 2e) a - b
5. Factorizar: P(x; y) = y
2
– x
2
+ 6x - 9
e indicar el factor primo de mayor suma de
coeficientes
a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) y + x + 3
d) x + y – 3e) 3 – x + y
6. Factorizar:
P(x) = x
2
+ 2(a + b)x + a
2
+ 2ab + b
2
Indicando la suma de coeficientes de un
factor primo.
a) 3 b) a + b + 1 c) 2
d) a + b e) 1
7. Factorizar:
P(x) = x
2
– (ac - b)x - abc
e indicar un factor primo.
a) x – ac b) x + b c) x + a
d) x – b e) x - a
8. Factorizar:
F(x; y) = 12x
2
+ 6y
2
+ 17xy
e indicar el valor numérico de uno de sus
factores primos para x = 3; y = 2.
a) 13 b) 16 c) 20
d) 18 e) A D
9. Factorizar:
P(x) = 9x
2
– 18x + 8
Q(x) = 12x
2
+ x - 6
e indicar la suma de sus factores primos no
comunes.
a) 6x – 4 b) 7x + 1c) 13x - 5
d) 7x – 1 e) 6x + 1

10. Indicar un factor primo en:
F(a; b) = (a + b + 2)
2
+ 11a + 11b + 40
a) a + b + 5 b) a + b + 8
c) a + b + 9 d) a + b – 7
d) a + b + 4
11. Factorizar:
a) 2x
2
+ 7xy + 6y
2
+ 11x + 19y + 15
b) 6x
2
+ 17xy + 5y
2
+ 19x + 28y + 15
c) 10x
2
+ xy – 2y
2
+ 17x – 5y + 3
12. Indicar un factor primo de:
6(x
2
– y
2
) + 7(x - y) + 2(3y + 1)
a) 3x + 3y + 1 d) 2x + 3y + 1
b) 3x – 3y + 2 e) 3x + 2y + 2
c) 2x – 2y + 1
13. Factorizar:
a) x
4
+ 8x
3
+ 19x
2
+ 14x + 3
b) x
4
+ 11x
3
+ 33x
2
+ 26x + 6
c) 2x
4
+ 3x
3
+ 2x
2
+ 14x + 3
14. Indicar un coeficiente de un factor primo de:
3(2x
4
- 1) + 11x(x
2
+ x + 1)
a) 5 b) 6 c) 4
d) -5 e) 7
15. Indique la suma de coeficientes de un factor
primo de:
3(x
4
+ x
2
+ 2) + x
2
(7x + 2)
a) 6 b) 8 c) 7
d) 5 e) 9
16. Indicar la suma de factores primos de:
2x
4
– 7x + 3(x
3
– x
2
- 1)
a) 5x + 6 b) 4x – 1 c) 3x - 2
d) 4x e) 5x
17. Dar la suma de factores lineales de:
2x
4
– 13x – 3(x
3
– x
2
- 2)
a) No tiene b) 2x – 3 c) 3x - 3
d) 3x + 1 e) 3x - 1
18. Factorizar:
a) x
3
+ 2x
2
– 8x - 21
b) x
3
+ 7x
2
+ 15x + 12
c) x
3
– 3x
2
– 16x - 12
6x
3
+ x
2
– 9x - 9
a) 3x
2
– 5x + 3 b) 2x + 3 c) 2x - 3
d) 3x
2
+ 5x -3 e) 3x - 2
3x
3
+ 7x
2
– 10x - 4
a) x – 2 b) x
2
– 2x + 4 c) 3x - 1
d) x
2
+ 2x – 4 e) x + 1
21. Si: a + b = 5
ab = 2
Calcular: a
3
+ b
3
a) 83 b) 64 c) 78 d) 81 e) 95
22. Si: 5
x
1
x
Calcular:
32
23
x
1
x
1
xxE
a) 133 b) 121 c) 89
d) 76 e) 98

Practica Calificada
Nombre:_______________________________________________ Fecha: ____/05/2013
A B
1. Resuelve:
Dado el polinomio:
P(x; y) = x
a-2
y
b+5
+ 2x
a-3
y
b
+ 7x
a-1
y
b+6
Donde: G.A. = 17 G.R.(x) = 4
Calcular: (a - b)
2
Si: G.A. = 45
Además:
3
2
GR
GR
)y(
)x(
P(x) = abx
2a-b
y
a-2b
Halle el coeficiente del monomio:
2. Hallar:
a.
)12)(12(
)13)(13()15)(15(
P
b. P = (x + 1)(x
2
– x + 1) – (x - 1)(x
2
+ x + 1)
a. R = (x + n)(x - n)(x
2
+ n
2
)(x
4
+ n
4
)(x
8
+ n
8
) + n
16
b. (x + 3)(x
2
– 3x + 9) + (x
2
+ 3x + 9)(x - 3)
3. Resuelve:
Factoriza e indica el número de factores primos de:
3xy + mz + cy +3xz + my + cz
mx
2
+ 3mx – 3my –mxy + x
2
z +3xz – 3yz - xy
4. Resuelve:
Factorizar:
P(x, y) = x
2
– y
2
+ 6y - 9
coeficientes.
¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar:
a
4
m + a
4
n – b
4
m – b
4
n?
5. Resuelve:
Factorizar:
F(x, y) = 3x
2
+ 7xy + 2y
2
+ 11x + 7y + 6
Factorizar:
F(x) = x
4
– 5x
3
+ 16x + 8
6. Resuelve:
Factorizar:
6x
3
+ x
2
– 9x - 9
Factorizar:
3x
3
+ 7x
2
– 10x - 4
Practica Calificada

Nombre:____________________________________________ Fecha: ____/05/2013
A B
7. Resuelve:
Dado el polinomio:
P(x; y) = x
a-2
y
b+5
+ 2x
a-3
y
b
+ 7x
a-1
y
b+6
Donde: G.A. = 17 G.R.(x) = 4
Calcular: (a - b)
2
Si: G.A. = 45
Además:
3
2
GR
GR
)y(
)x(
P(x) = abx
2a-b
y
a-2b
Halle el coeficiente del monomio:
8. Hallar:
c.
)12)(12(
)13)(13()15)(15(
P
d. P = (x + 1)(x
2
– x + 1) – (x - 1)(x
2
+ x + 1)
c. R = (x + n)(x - n)(x
2
+ n
2
)(x
4
+ n
4
)(x
8
+ n
8
) + n
16
d. (x + 3)(x
2
– 3x + 9) + (x
2
+ 3x + 9)(x - 3)
9. Resuelve:
3xy + mz + cy +3xz + my + cz
mx
2
+ 3mx – 3my –mxy + x
2
z +3xz – 3yz - xy
10.Resuelve:
Factorizar:
P(x, y) = x
2
– y
2
+ 6y - 9
coeficientes.
¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar:
a
4
m + a
4
n – b
4
m – b
4
n?
11.Resuelve:
Factorizar:
F(x, y) = 3x
2
+ 7xy + 2y
2
+ 11x + 7y + 6
Factorizar:
F(x) = x
4
– 5x
3
+ 16x + 8
12.Resuelve:
Factorizar:
6x
3
+ x
2
– 9x - 9
Factorizar:
3x
3
+ 7x
2
– 10x - 4

1. PRODUCTO CARTESIANO
1.1. Par Ordenado: Es un conjunto de dos elementos, denotado por , que tiene la
propiedad de que el elemento es la primera componente y el elemento es la
segunda componente del par.
Ejemplo 1: etc.
1.2. Igualdad de Pares Ordenados: Dos pares ordenados y son iguales si
sus correspondientes componentes son iguales, esto es:
Análogamente, dos pares ordenados son diferentes si una de sus
correspondientes componentes es diferente, esto es:
Ejemplo 2: Determinar los valores de e de modo que:
a)
b)
1.3. Producto Cartesiano de dos Conjuntos: Dados dos conjuntos y , se llama
producto cartesiano de por , al conjunto formado por todos los pares ordenados
tales quetienen por primera componente a un elemento de y por segunda
componente a un elemento de .
Notación: Al producto cartesiano de por se denota por y simbólicamente
se representa:
ó
Ejemplo3: Sean los conjuntos y Hallar:
a)
b)
Ejemplo4: Sean los conjuntos y Hallar:
a) b)
Solución: Por extensión: y , entonces:
a)
b)
Observaciones:
1) no se cumple la propiedad conmutativa.
2) Cuando , denotaremos el producto cartesiano por .Particularmente,
si entonces el producto cartesiano de se denotará por , donde
es el conjunto de los números reales.

XX
A
B
Y
2 4 6
6
2
B
A
Y
2 6
6
4
2
3) Cuando los conjuntos y son finitos, el número de elementos del conjunto
es igual alnúmero de elementos del conjunto por elnúmero de elementos
del conjunto . Esto es:
Ejemplo 5: Del ejemplo 3, tenemos:
1.4. Producto Cartesiano : Dado el conjunto de los números reales, el
producto de por es el conjunto formado por todos los pares ordenados tales
que e pertenecen al conjunto de los números reales. Esto es:
1.5. Representación Geométrica del Producto
Cartesiano
Para graficar los pares ordenados del producto
cartesiano o , se usa el sistema coordenado
rectangular o sistema coordenado cartesiano en el
plano, o el plano cartesiano, donde representa al
conjunto de los números reales.
Ejemplo 6: Si y . Graficar y
Ejemplo 7:Si , Graficar y
Solución:
y

Ejemplo8: Graficar: y nombrar el cuadrante en que
queda cada uno.
Solución:
Seanlos puntos:
El punto A está en el I cuadrante
El punto B está en el II cuadrante
El punto C está en el eje Y
El punto D está en el IV cuadrante
1.6. Ejercicios Resueltos
1. Determinar los valores de e , en cada caso:
a)
b)
Sumando las ecuaciones (1) y (2) de dos variables, tenemos:
Reemplazamos el valor de en la ecuación (1):
2. Dados los conjuntos y Hallar:
3. Si y Graficar y

4. Sean: y
; Hallar los conjuntos:
a) b) c)
Solución:Determinando los conjuntos por extensión:
a)
b)
c) ,
5. Que parte del plano cartesiano se obtiene si se presenta gráficamente los
siguientes productos cartesianos:
a)
b)
c)
d)

a) b)
c) d)
1.7. Actividades de Aprendizaje
I. Determinar los valores de e , en cada caso:
1)
2)
3)
4)
5)
II. En cada caso hallar los conjuntos y graficar:
1) Sea
2) Sean: y
; Graficar:
a) b) c)
3) Sean: y
; Hallar el conjunto
4) Si y Hallar
5) Si y Graficar y

FICHA DE INFORMACION Nº 02
2. RELACIONES
2.1. Definición: Dados dos conjuntos y no vacíos, decimos que es una relación
de en si essubconjunto del producto cartesiano . Simbólicamente, se
denota:
En toda relación existe:
 Un conjunto de partida, el conjunto
 Un conjunto de llegada, el conjunto y
 Unaregla de correspondencia o proposición ,la cual nos indica la condición
que deben cumplir los pares ordenado de la relación.
Notación:
Conjunto de Partida Conjunto de Llegada
Regla de Correspondencia
Si , la proposición es verdadera entonces .
Ejemplo 1: Dados los conjuntos , se define la relación
Hallar los pares ordenados de .
Solución:
El conjunto de partida es:
El conjunto de llegada es:
La regla de correspondencia “ ” nos dice que: “la primera componente es
menor que la segunda componente de cada par ordenado de esto es:
Ejemplo 2: Sean y , entonces
Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de en :
, , ,
Pero los siguientes conjuntos de pares ordenados no son relaciones de en :
, ,Puesto que , .
Por lo tanto, , .
2.2. Dominio y Rango de una Relación: Sea una relación, se definen:
Dominio de por el conjunto

Rango de por el conjunto
Es claro que y que
Ejemplo 3: Si entonces:
y
Ejemplo 4: Dado Se define:
Representar como un conjunto de pares ordenados,
hallar su dominio y rango.
Solución: Determinamos por extensión los conjuntos: y ,
la relación es:
Por lo tanto, y
2.3. Criterio para el calculo del Dominio y Rango de una Relacion en
- Para determinar el dominio de la relación, despejamos la variable , enseguida
se analiza los valores que puede tomar para que la variable sea real.
- Para determinar el rango dela relación, despejamos la variable , enseguida se
analiza los valores que puede tomar para que la variable sea real.
Ejemplo 6: Sea una relación, definida por:
Estaes una relación con infinitos elementos ya que los elementos e ,
entonces
Ejemplo 8: Determinar el dominio y rango de la siguiente relación:
Solución:
- Para determinar el dominio de , despejamos la variable de la ecuación
, esto es: , completando cuadrado
Ahora analizamos los valores que pueda tomar para que sea un número
real, esto es:
Por lo tanto,
- Para determinar el rango de , despejamos la variable de la ecuación
esto es:
Ahora analizamos los valores que pueda tomar para que sea un número
real, esto es:
Por lo tanto,

1. Si y , hallar el dominio y rango de las relaciones
y
Determinamos las relaciones:
Por lo tanto, , , y
2. Sea y una relación dada por
Entonces: y
3. Hallar el dominio y rango en:
Para calcular el dominio despejamos
Ahora, analizamos los valores que pueda tomar para que sea real, en este
caso debe cumplirse:
Por lo tanto el dominio es:
Para calcular el rango despejamos
Ahora, analizamos los valores que pueda tomar para que sea real, en este
caso debe cumplirse:
Por lo tanto el rango es:
1. Sea una relación definida por:
a) Exprese como un conjunto de pares ordenados b) Hallar y el
2. Sean y , verifica si los siguientes conjuntos de pares
ordenados son relaciones de en :
a)
b)
c)
d)
3. Sea , . Entonces , y son todas
relaciones de en . Hallar el dominio y rango de cada relación.
4. Sean y dos relaciones definidas por:
; . Encuentre el dominio y rango de: , y
.
5. Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones:
a)
b)
c)
d)

2.6. Grafica de una Relación de en : Llamaremos gráfica de una relación de en
al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación,
teniendo en cuenta que una relación puede estar expresada en una de las
siguientes formas de ecuación:
, , , ,
Para trazar la gráfica de una relación dada por la ecuación , seguiremos el
siguiente criterio:
1. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados:
- Intersección con el eje :
- Intersección con el eje :
2. Determinación de la simetría con respecto a los ejes coordenados:
- Simetría con respecto al eje : Existe simetría con respecto al eje si se
cumple:
- Simetría con respecto al eje : Existe simetría con respecto al eje si se
cumple:
- Simetría con respecto al origen: Existe simetría con respecto al origen si se
cumple:
3. Determinación de la extensión de la curva: Consiste en determinar el
dominio y el rango.
4. Determinación de las ecuaciones de las Asíntotas:
- Asíntotas verticales: Despejamos la variable de e igualamos el
denominador a cero.
- Asíntotas horizontales: Despejamos la variable de e igualamos el
denominador a cero.
5. Tabulación: Consiste en determinar un número de pares ordenados a partir de
la ecuación
6. Trazado de la curva: Mapeo de los pares ordenados

Ejemplo 1: discutir y graficar la relación:
Solución: La relación dada es de la forma:
1. Intersección con los ejes:
- Con el eje : hacemos en
2. Simetrías:
Con respecto al eje :
Por lo tanto, no existe simetría en el eje
Con respecto al eje :
Por lo tanto, no existe simetría en el eje
Con respecto al origen:
Por lo tanto, no existe simetría con el origen
3. Extensión:
Dominio: Despejamos en , tenemos:
Por lo tanto,
Rango: Despejamos en , tenemos:
Por lo tanto,
4. Asíntotas:
Vertical: Despejamos en , tenemos:
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota vertical es
Horizontal: Despejamos en , tenemos:
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal

5. Tabulación: 6. Trazado de la gráfica:
Ejemplo 2: Discutir y graficar :
Solución: La relación dada es de la forma:
1. Intersección con los ejes:
2. Simetrías:
- Con respecto al eje :
Por lo tanto, existe simetría en el eje
- Con respecto al eje :
Por lo tanto, existe simetría en el eje
- Con respecto al origen:
Por lo tanto, existe simetría en el origen
3. Extensión:
- Dominio: Despejamos en , tenemos:
Por lo tanto,
-3 0.6
-2 0.5
-1 0.3
0 0
1 -1
3 3
4 2

- Rango: Despejamos en , tenemos:
Por lo tanto,
4. Asíntotas:
- Vertical: Despejamos en , tenemos:
Por lo tanto, la asíntota vertical es
- Horizontal: Despejamos en , tenemos:
Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal
5. Tabulación: 6. Trazado de la gráfica:
1. Discutir y graficar :
-4
-3
0 0
3
4

Función
ReglaEntrada
Salida
f
fA
.
.
.
.
.
B
.
.
.
.
.
3. FUNCIONES
3.1. Introducción: Los matemáticos inventaron el concepto defunciónde manera
sumamente útil para describirsituaciones de la “vida real” en las que una cantidad
depende de otra cantidad. Por ejemplo:
a) En la producción de un cierto artículo, el costo fijo es de S/.850 y todos los otros
costos adicionales son de S/. 20 por unidad producida. La siguiente igualdad
expresa que el costo total de producción , dependen de la
cantidad de artículos a producir .
b) El área de un círculo , depende del radio . La fórmula para hallar el área del
círculo es .
c) La distancia recorrida durante 120 minutos de unmóvil depende de la
velocidad alcanzada . La forma de calcular la distancia es
Estos ejemplos tienen en común dos características, la primera es que en cada
uno se encuentran dos variables, una variable independiente que representa las
entradas y unavariable dependiente que representa las salidas; y la segunda
característica es que en cada uno hay una regla de correspondencia, según la cual
cada entrada determina una salida, esto es:
Ejemplos
Primera Característica Segunda Característica
Entradas Salidas Regla de correspondencia
a) Tiempo Interés simple
b) Cantidad de artículos Costo total
c) Radio Área del circulo
d) Velocidad Distancia recorrida
Estassituaciones se pueden expresar
como relaciones funcionales que en general
se especifican mediante una fórmula que
muestra lo que debe hacerse con la entrada
para determinar la salida. La definición
formal de función tiene las mismas características (entrada/regla/salida), con la
terminología, esto es: una función es una regla que asigna a cada número de
entrada ( ) exactamente un número de salida ( ).
3.2. Función de dos conjuntos:Una
función es una regla de
correspondencia que asigna a cada
elemento de (entrada) exactamente
un elemento de (salida). Esto
es:Donde , se dice que es
la imagen de por o también, que
es el valor de en el punto
De la misma manera, es la
imagen de ;y tienedos imágenes
de y . Notamos, que en una función puede ocurrir que dos elementosdel
conjunto se le asocien el mismo elemento del conjunto . En otras palabras,
diferentes entradas pueden producir la misma salida.

Observación: Toda función es una relación, pero no toda relación es función.
Ejemplo 1: la relación no es una función, puesto que
para el elemento tiene dos imágenes y tales que , que contradice a
la definición de función.
3.3. Dominio y Rango de una Función: Sea , se tiene:
 Al conjunto formado por todas las entradas para los cuales se aplica la regla se
le llama el dominio de la función.Se denota por:
 Al conjunto formado por todas lassalidaso imágenes de sellama rango de la
función.Sedenota por:
Ejemplo 2: Sean y . Determinar si , es
una función de en , el dominio y rango. Mediante el siguiente diagrama:
Se muestra que es función porque cada elemento de le corresponde
exactamente un elemento de .
y
3.4. Aplicación de en : Sea una función, es una aplicación de en si y
solo si .
Observación: Una aplicación es un caso particular de una función, luego toda
aplicación es una función, pero toda función no siempre es una aplicación.
Ejemplo 3: Sean . Entonces:
a) El conjunto es función donde y pero
no es una aplicación de en puesto que el
b) El conjunto es una función donde y
como entonces es una aplicación de en .
Observación:Si , se define la función de en llamada función real de
variable real y se denota por:
3.5. Funciones de en : Sepueden escribir en la forma:
Donde la ecuación es llamada regla de correspondencia que permite
calcular para cualquier , su imagen .
fA
1
2
3
4
Dominio
B
1
4
5
9
10 Rango

Número de
salida
Instrucciones que dicen qué hacer
con la entrada para producir la
correspondiente salida .
Número de
entrada
Nombre de
la función
3.6. Notación Funcional: Las funciones suelen denotarse con una sola letra minúscula
como , o , etc. Si es una entrada (número en el dominio), entonces
indica el número de salida que la función produce con la entrada . El símbolo
se lee “ de ” ó “ en ” ó evaluada.
3.7. Valores de una Función: Son los números de salida que están en el rango de
la función, que se obtienen al sustituir la variable independiente por su valor.
Ejemplo 4: Sea , define a la función que asigna a cada número de
entrada el número de salida . Escribiremos algunos valores de la función:
Observación:
Ejemplo 5: Sea . Encuentre , y compruebe
y .
Solución: Si , entoces:
Reemplazar y comprobar
3.8. Dominio y Rango de una Función Real: Sea una función de la forma
, entonces:
 El dominio de , se determina analizando todos los valores posibles que pueda
tomar , de tal manera que sea real, salvo el caso que dicho dominio sea
especificado.
 El rango de , se determina despejando la variable en función de , luego
se analiza todos los valores posibles que pueda tomar , de tal manera que
sea real.
Ejemplo 6: Hallar el dominio y rango de las funciones:
a) ,
El dominio de la función está especificado: , entonces
El rango de la función es

b)
Para que la división exista o sea .
Por lo tanto, el
Despejamos la variable , entonces ,
Por lo tanto, el
c)
Para que exista la raíz cuadrada de un número real , entonces .
Luego, .
Despejamos la variable , . Luego,
1. Dada la función . Determinar:
a) Dominio y rango de la función
b) La tabla de valores
c) Intersección con los ejes coordenados
d) Dibujar la gráfica
2. Determine las intersecciones de la gráfica y haga el bosquejo de la
gráfica. Con base en su gráfica, ¿es una función de ?, si es así, ¿Cuál es su
dominio y cuál su rango?
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Obtenga el dominio de cada función:
a) b) c)
d) e)
2. Determinar los valores de la función para cada una de las funciones:
a)
b)
c) ;
d) Sea y sea una función dada por:
Encuentre , , , .
3. Hallar dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes:
a) b)
c) d)

3.10. Funciones Especiales: Funciones que tienen formas y representaciones
especiales.
3.11. Graficas de Funciones: La gráfica es una forma de representar geométricamente
una función en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.
Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas nos permite especificar y
localizar un punto en un plano determinado por un par ordenado de números
reales de la forma , llamamos a abscisa o coordenada de , y a
ordenada o coordenada del punto . Mediante este procedimiento a cada punto
en un plano le corresponde exactamente un par ordenado de números reales,
y recíprocamente, a cada par ordenado de números reales le corresponde un
único punto en el plano. Consecuentemente, como el sistema coordenado establece
una correspondencia uno a uno entre los puntos en el planoy los pares ordenados
de números reales vamos a referirnos al punto con abscisa y ordenada ,
simplemente como el punto o como .
La gráfica de una función se define como la gráfica de la ecuación ,
que es el conjunto de todos los puntos en el plano, donde pertenece al
dominio de la función .
Técnica General para Graficar una Función: Consiste en dar valores a para
calcular el valor de , obteniendo puntos de la forma . Luego estos
puntos son representados en el plano y finalmente se hace un trazo suave que una
estos puntos. Los valores de deben estar en el dominio de la función, se escogen
por conveniencia detal maneraque sea fácil calcular el valor de y nos dé una
idea de la forma de la gráfica.
Ejemplo 7:Graficar la función
Función
Forma o Regla de
correspondencia
Dominio y Rango
Constante ,
Identidad
Lineal , donde ,
Cuadrática +c, ,
Raíz Cuadrada
Compuesta
Valor
Absoluto
Máximo
Entero
,
Racional
Exponencial , ,
Logarítmica , ,

Solución:El dominio de la función es , puesto que es la función raíz
cuadrada.
Damos algunos valores a para obtener el valor de a través de la
fórmula .
Luego representamos estos puntos
de la gráfica en el plano.
Finalmente, hacemos un trazo suave
uniendo los puntos de la gráfica
dibujados.
Otras técnicas que nos facilitará determinar más rápidamente la formay las
características más importantes de la función , pueden ser la intersección
con los ejes coordenados, que consiste en obtener los puntos donde la gráfica de
la función corta los ejes de coordenadas; y la simetría, esta técnica nos puede
ahorrar trabajo, pues con la mitad de la gráfica podemos obtener por simetría el
resto de la gráfica.
Ejemplo 7: Determinar las intersecciones e de la gráfica de y hacer
el bosquejo de su gráfica.
Solución:
Intersección con el eje : hacemos en
:
Obtenemos el punto ,donde la gráfica
corta al eje .
Intersección con el eje : hacemos en
:
Obtenemos el punto , donde la gráfica corta
al eje .
Observación: La gráfica de una función lineal es una línea recta.
Ejemplo 8: Probar la simetría con respecto al eje , al eje y al origen de la gráfica
de y graficar.

Solución:
Simetría con respecto al eje : al
reemplazar por en se obtiene:
que no es equivalente a la ecuación dada. Por
tanto, la gráfica no es simétrica con respecto
al eje .
Simetría con respecto al eje : al
reemplazar por en se obtiene:
que no es equivalente a la ecuación dada. Por
tanto, la gráfica no es simétrica con respecto
al eje .
Simetría con respecto al origen: al
reemplazar por y por en se
obtiene:
que es equivalente a la ecuación dada. Por tanto, la gráfica si es simétrica con
respecto al origen.
Prueba de la recta vertical:Consiste en determinar si una curva es o no la gráfica
de una función. Si una recta vertical interseca una gráfica en más de un punto, ésta
no es la gráfica de una función.
Ejemplo 9: verificar si las siguientes ecuaciones definen o no una función a través
de la prueba de la recta vertical.
Si es función, la recta corta No es función, la recta
en un solo punto a la curva. corta en dos puntos a
de la gráfica. la curva de la gráfica.
3.12. Operaciones con Funciones: Sea y , dos funciones cualesquiera, definimos:
Operaciones Dominio

Ejemplo 10: Sea y . Encuentre , , y
y establezca su dominio.
Solución:
y , entonces
Por lo tanto,
3.13. Composición de Funciones: Dadas dos funciones y , se define la composición
de con , denotada por como:
Donde el dominio de es el conjunto de todas las en el dominio de , tales
que pertenece al dominio de .
Ejemplo 11: Sean y .encontrar:
a) b)
Solución:
a)
y . Entonces,
b)
y . Entonces,
Observación:
3.14. Aplicaciones de la Función Lineal:
1. Función Lineal de Costo Total: En la producción de una empresa de cualquier
bien, se tiene dos tipos de costos:
 Costo Fijo; es la suma de todos los costos que son independientes del nivel
de producción, como renta, seguros, tasa interés sobre préstamos, etc.
 Costo Variable; es la suma de todos los costos dependientes del nivel de
producción, como salarios y materiales.
Luego el Costo Total está dado por:

Simbólicamente, denotaremos la función lineal de costo total por:
Donde representa el precio por cada unidad producida o el costo variable por
unidad, el número de unidades de artículos producidos y el costo fijo.
2. Función Lineal de Ingresos: Es el dinero que recibe un fabricante por la venta
de un producto. Está dado por:
Si es el número de unidades de artículosproducidos o vendidos y es el precio
de venta por unidad, entonces la función lineal de ingreso es:
3. Función Lineal de Ganancia:
Simbólicamente, denotaremos la función lineal de ganancia por:
Donde representa el número de unidades de artículos producidos y vendidos.
Ejemplo 29: Una empresa, fabricantes de filtros para agua, tiene costos fijos
por S/. 20 000.00, costos de producción de S/. 20.00 pro unidad y un precio de
venta unitario de S/. 30.00. Determinar las funciones de costos, ingresos y
ganancias para la empresa.
Solución: Sea el número de unidades producidas y vendidas. ,
, . Reemplazando:
Función de Costos
Función de Ingreso
Función de Ganancia
Punto de Equilibrio:Es cuando el ingreso y el costo total son iguales:
, es decir cuando
Hay ganancia, cuando , es decir,
 Hay pérdida, cuando el , es decir,
El punto de equilibrio está dado por el punto que es la solución de las
ecuaciones simultáneas y , donde es la cantidad de equilibrio y es
el ingreso de equilibrio.
Geométricamente, el punto de equilibrio es el punto de intersección de
las líneas rectas que representan las funciones de costos e ingresos.

Pé
rdi
da
Ga
na
nci
a
0 1 2 3
30
20
10
Ejemplo 30: La compañía J.J. Servicios fabrica sus productos con un costo S/.
4.00 por unidad y los vende a S/. 10.00 la unidad. Si los costos fijos de la
empresa son de S/. 12 000.00 al mes.
a) Determinarel punto de equilibrio de la empresa.
b) ¿Cuál es la pérdida de la empresa sisólo se producen y venden 1500 unidades
por mes?
c) ¿Cuál es la ganancia si se producen y venden 300 unidades por mes?
d) ¿Cuántas unidades debe producir y vender la empresa para obtener una
ganancia mínima de S/. 9000.00 al mes?
Solución: De los datos del problema, las funciones de costos y de ingresos
están dados por:
y
a) Igualamos:
Reemplazamos el valor de
en , tenemos:
Esto quiere decir que para una
empresa de equilibrio, la
empresa debe fabricar 2 000
unidades de su producto, a fin de producir un ingreso de S/. 20 000.00
b) La función de la ganancia es:
Si se producen y venden 1500 unidades por mes, se tiene:
Entonces, , es decir la empresa tendrá una pérdida de S/. 3 000 por
mes.
c) Si se producen y venden 3 000 unidades por mes, se tiene:
Entonces, , es decir la empresa tendrá unagananciade S/. 6 000 por
mes.
Pé
rdi
da
Ga
na
nci
a
0

d) , reemplazamos en la ecuación de la ganancia ,
esto es:
Es decir, la empresa debe producir al menos 3 500 unidades para obtener una
ganancia mensual mínima de S/. 9 000.00
1. Determine los valores de la función:
Solución: Para , cuando , reemplazamos en la función ,
entonces . Para , cuando , reemplazamos en la
función , entonces: .Para no
está definido ya que o .
2. Hallar el dominio y rango de la función:
Solución: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para .
Por lo tanto, el
Despejamos la variable , en:
Por lo tanto, el
3. Graficar la función definida por partes:
Solución:
Damos valores a para obtener los puntos
Dibujamos los puntos en el plano cartesiano y hacemos el trazo uniendo los
puntos:
Rango:
Dominio:

De la gráfica observamos que el
Solución:
Intersección con el eje :
hacemos en :
Obtenemos dos puntos y
, donde la gráfica va a cortar al
eje .
Intersección con el eje :
hacemos en :
Obtenemos el punto , donde la
gráfica corta al eje .
Con respecto a la gráfica si es una
función de ya que al trazar una
recta vertical a la gráfica siempre se
corta en un solo punto.
Por lo tanto, el dominio de es todos los valores reales de y su rango es
5. Si y , encuentre: , , , ,
, ,
Solución:

6. El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de S/. 1.50 y los
costos fijos por día son S/. 900.00.
a) Escriba la ecuación de costo lineal y dibujar su gráfica
b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café por un día.
Solución:
a)
Reemplazamos:
……(1)
b) Sustituimos en la ecuación (1), se obtiene:
Por lo tanto, el costo de procesar 1000 kilos de granos de café al día será de S/.
2 400.00.
7. El costo marginal de producir un medicamento por unidad es de S/. 10.00,
mientras que el costo de producir 100 unidades es de S/. 1 500.00. encuentre la
función de costo , suponiendo que es lineal.
Solución: Como es lineal, entonces:
El costo marginal es de S/. 10.00 por unidad, es decir que entonces
Ahora calculamos el valor que es el costo fijo y para esto se tiene que el costo
de producir 100 unidades del medicamento es de S/. 1 500.000 es decir
, entonces reemplazando en , tenemos:
Por lo tanto, la función de costo es
3. Dada la función . Determinar:
e) Dominio y rango de la función
f) La tabla de valores
g) Intersección con los ejes coordenados
h) Dibujar la gráfica
(0, 900)
(200, 1200)1200
1000
800
600
400
200
0 200 400
Gráfica

5. Sean y . Encuentre , ,
y
6. Un fabricante tiene costos fijos de S/. 60 000.00 al mes y un costo de
producción unitario de S/. 10.00. el producto se vende por S/. 15.00 la unidad.
a) Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancia
b) Calcule la ganancia o pérdida correspondiente a los niveles de producción de
10 000 y 14 000 unidades.
4. PROBLEMAS PROPUESTOS
4. Determina los valores de x e y en cada caso:
a) b)
c) d)
e) f)
5. Determine por extensión y graficar los siguientes productos cartesianos:
a) y hallar
b) y ,
c) Hallar
d) y Hallar
e) , ,
2 −3=0, ∈ℤ}, × , × , ×
6. Hallar dominio y rango de las siguientes relaciones:
b) Sea una relación en definida por “ e son primosrelativos”(el único
divisor común de e es 1).
c) Sea una relación definida en los naturales,
d)
e)
7. Sean , . Sean una relación de en ,
una relación de en y una relación de en . Encuentre:
a) b) c) .d) e) f) .
8. Discutir y graficar las siguientes relaciones:
a) b)
c) d) e)
9. Obtenga el dominio de cada función:
a) b) c)
d) e)
10. Determinar los valores de la función para cada una de las funciones:
a)
b)
c) ;
d) Sea y sea una función dada por:
Encuentre , , , .
11. Hallar dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes:

a) b)
c) d)
12. Determine los interceptos de la gráfica de cada ecuación, haga el bosquejo y
determine su dominio y su rango para cada función.
a) b) c)
13. Probar la simetría con respecto a los ejes coordenados y el origen de las gráficas de
las siguientes ecuaciones:
a) b) c)
14. Si y , encontrar lo siguiente:
a) b) c) d)
15. Problemas:
a) El costo toral de producir 10 unidades de una calculadora es de S/. 100.00. el
costo marginal es S/. 4.00 por calculadora. Encuentre la función de costo, si
es lineal.
b) La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el costo variable por
unidad es de S/. 6.00 y el costo fijo es de S/. 80 000.00 Cada unidad tiene un
precio de venta de S/. 10.00 Determine el número de unidades que deben
venderse para obtener una ganancia de S/. 60 000.00.
c) Una compañía de refinación de maíz produce gluten de maíz para alimento de
ganado, con un costo variable de S/. 76.00 por tonelada. Si S/. 110 000.00 son
los costos fijos por mes y el alimento se vende en S/. 126.00 por tonelada,
¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad
mensual de $540 000?
d) Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en S/.
19.95. el costo de fabricación de cada cartucho es de S/. 12.92. los costos fijos
mensuales son de S/. 8 000.00. durante el primer mes de ventas de un nuevo
juego, ¿cuántos cartuchos debe vender el fabricante para llegar al punto de
equilibrio (esto es, para que el ingreso sea igual al costo total)?
e) Un fabricante produce lámparas, que vende a S/. 820.00 y sus costos de
producción son los siguientes: S/. 1 300.00 en arriendo, y S/. 350.00 por el
material y la mano de obra de cada lámpara producida. ¿Cuántas lámparas debe
producir para obtener utilidades de S/. 26 900.00?
5. ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN
1. Determina los valores de x e y en cada caso:
a) b)
2. Sean , . Graficar en el plano cartesiano
y .
3. Considere la siguiente relación en :
Hallar el dominio y rango dela relación.
4. Discutir y graficar la siguiente relación:

5. Calcular el dominio y rango de la siguiente función, graficar:
6. Sean y . Encuentre, , y .
7. Un fabricante tiene gastos fijos mensuales de S/. 40 000.00 y un costo unitario de
producción de S/. 8.00. el producto se vende a S/. 12.00 la unidad.
a) Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancias.
b) Determinar el punto de equilibrio del fabricante.
c) Calcule la ganancia o pérdida correspondiente a niveles de producción de 8 000 y 12
000 unidades.
d) ¿Cuántas unidades debe producir y vender el fabricante para obtener una ganancia
de S/. 10 000.00?

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