Este documento trata sobre la resistencia de materiales y la torsión. Explica conceptos clave como la diferencia entre un eje y un árbol, las hipótesis fundamentales de la torsión, y deduce fórmulas para calcular el ángulo de distorsión, el esfuerzo cortante y el momento torsor en objetos sometidos a torsión como árboles macizos y huecos. También cubre torsión en tubos de pared delgada y resortes helicoidales.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
RESISTENCIA DE MATERIALES
TEMA:TORSIÓN
DOCENTE: ING. FAUSTO ZURITA
INTEGRANTES:
ANDRADE BRYAN
ARMIJOS ERIKA
CRUZ CYNTHIA
PALACIOS JUAN
RIOFRIO JHON
TRUJILLO MARILY
PARALELO: “A”
FECHA: 08/ 05/ 2013

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TORSIÓN
Introducción e hipótesis fundamentales
Previo a la introducción:Es común que se emplee indistintamente la palabra eje o
árbol como si fuesen sinónimos, pero existe una diferencia entre ambos:
Eje: Elemento sobre el que se apoya una pieza giratoria, por lo tanto su única función
es ser soporte y no se ve sometido a esfuerzos de torsión.
Fig. 1: Eje
Árbol: Es un elemento giratorio cuyo fin es transmitir potencia mecánica mediante su
giro, por lo que está sometido a esfuerzos de flexión y de torsión. Además, a diferencia
de los ejes, el árbol gira simultáneamente con los elementos montados sobre él.
Fig. 2: Árbol.
1. Torsión:
La torsión, es un tipo de esfuerzo que no se distribuye uniformemente dentro de la
sección y que hace que el objeto tienda a retorcerse o a producir un giro en su eje
longitudinal (Pytel- Singer, Resistencia de materiales, p. 60).

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Fig. 1: Torsión de un objeto.
El procedimiento general que siguen todos los casos en los que el esfuerzo no de
distribuye uniformemente se resumen en los siguientes pasos:
1.
Del examen de las deformaciones elásticas que se producen en un
determinado tipo de carga y las aplicaciones de la ley Hooke, se determinan
unas relaciones entre los esfuerzos en distintos puntos de la sección de manera
que sean compatibles con la deformación y que se denominan ecuaciones de
compatibilidad.
2.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de sólido aislado se
determinan otras relaciones que se deducen de la consideración del equilibrio
entre fuerzas exteriores aplicada y las fuerzas interiores resistentes en la
sección de exploración. Estas ecuaciones de denominan ecuaciones de
equilibrio.
3.
Se debe verificar que la solución de las ecuaciones es satisfactoria a las
condiciones de carga en la superficie del cuerpo.
Para la deducción de fórmulas en el estudio de la torsión, nos basamos en las
siguientes hipótesis:
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.
Las secciones planas permanecen planas y no se alabean.
El eje macizo se encuentra sometido a pares de torsión perpendiculares al eje.
Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.

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En árboles circulares, el esfuerzo no se distribuye de forma uniforme en una
sección.
2.
Deducción de fórmulas:
El momento polar de inercia, es una cantidad utilizada para predecir en el objeto
habilidad para resistir la torsión, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un
invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del
plano de deformaciones su simbología es .
Fig. 4: Momentos polares de inercia
Eje macizo:
Eje hueco:
Cuando existe torsión sobre un elemento, provoca un cambio de forma, pero no de
longitud. Este cambio de forma se cuantifica mediante el ángulo teta, o ángulo de
distorsión (Apuntes de resistencia de materiales aplicada, p. 1).
Fig. 2: Cambio de forma en un objeto.
El ángulo de distorsión, depende del momento torsor aplicado, la geometría del eje
circular (la longitud de la barra y el momento polar de inercia de la sección trasversal de
la misma) y del material del cual sea elaborado (módulo de rigidez cortante).

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Fig. 3:Deformación de un árbol circular
Consideremos una barra recta, de sección circular, empotrada en un extremo, y que en
el otro se le aplique un par de fuerzas que tienda a hacerla girar alrededor de su eje
longitudinal. Como consecuencia de este giro la barra experimenta una deformación,
llamada torsión, que se evidencia en el hecho de que una línea cualquiera que siga la
dirección de una generatriz1 de la barra gira un pequeño ángulo con respecto al
extremo empotrado.
El momento del par de fuerzas aplicado se conoce como momento torsor.
Tan pronto se aplica el momento torsionante, y el ángulo total de torsión
de uno a
otro extremo aumenta si el momento de torsión aumenta.
Si se considera una fibra a una distancia ρ del eje del árbol, la fibra girará un ángulo θ,
considerando las suposiciones fundamentales expuestas anteriormente, se produce
una deformación tangencial DE.
Haciendo las mismas consideraciones se obtiene la distorsión:
1
Punto, curva o superficie que al girar alrededor de un eje da lugar a una curva, una superficie o un
cuerpo sólido, respectivamente.

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A continuación se aplica la ley de Hooke, para esfuerzos cortantes:
A esta ecuación se la denomina ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos
expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas.
La expresión anterior se suele conocer como la ecuación de compatibilidad, ya que los
esfuerzos expresados son compatibles con las deformaciones elásticas.
Un elemento diferencial de área de la sección MN, presenta una fuerza resistente dada
por:
Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, se llega a la siguiente
relación:
Sustituyendo por su valor en la ecuación de compatibilidad:
Como el momento de inercia polar es
= J, tenemos que:

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También se puede escribir esto de forma:
= radianes
T= N.m
L= m
4
J= m
2
G= N/m
El esfuerzo cortante se logra obtener remplazando G / L por su equivalente T/J.
Al sustituir
por el radio del árbol tenemos:
Estas ecuaciones son válidas para secciones macizas y huecas en las que tenemos:
Eje macizo:
Eje hueco:
Como la aplicación de los arboles es transmitir potencia está dada por la ecuación:
Donde
es una constante angular.
El momento torsionante transmitido está dado por:
= Watts (1W= 1N.
m/s)
f= rev / s
T= N. m

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ACOPLAMIENTOS DE BRIDAS
Una conexión o acoplamiento rígido muy empleado entre dos árboles es el que se
representa en la figura, y que consiste en unas bridas o discos que forman cuerpo con
cada árbol, y que se unen entre sí mediante pernos o tornillos. El par torsor se
transmite por la resistencia al esfuerzo cortante de los pernos.
Suponiendo que el esfuerzo se distribuye uniformemente en cada perno viene dada
por la fórmula del esfuerzo cortante simple P = A. , es decir, ( .d2/4) , y actúa en el
centro del perno, tangente a la circunferencia de radio R donde se situaba estos. El par
torsor que resiste cada perno es PR, y para un numero cualquiera n de pernos, la
capacidad del acoplamiento viene dada por.
Cuando un acoplamiento tiene dos series concéntricas de pernos. Llamando P2 yP2, y
la resistencia del acoplamiento es:

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4. Torsión en tubos de pared delgada:
Además de los árboles de transmisión que están sujetos a torsión al transmitir potencia,
existen elementos estructurales frecuentemente sometidos a torsión. La pared puede
ser de espesor uniforme o variable. La distribución de las tensiones de cortadura por
torsión sobre una extensión de pared relativamente reducida, está mucho más próxima
a la uniformidad que lo está en el caso del árbol macizo.
Si el espesor de la pared es pequeño en comparación con las demás dimensiones del
cilindro y no hay esquinas pronunciadas u otros cambios bruscos en su contorno, que
puedan dar lugar a concentración de tensiones, la teoría da unos resultados que
pueden considerarse coincidentes con los obtenidos experimentalmente.
La sección de un cilindro de pared delgada está sometida a un momento de torsión Mt.
Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son:
Y
En donde q se suele llamar flujo de cortante.
La igualdad de los valores del flujo cortante en dos lugares arbitrariamente escogidos
prueba que debe ser constate en todo el perímetro del tubo.

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La fuerza tangencial
que actúa en una longitud
un momento diferencial
, contribuye al par resistente con
con respecto a un determinado centro. El momento
torsionante es independiente del centro de momentos que se considere, igualando T a
la suma de los momentos diferenciales.
Donde
es el doble del área del triángulo rayado cuya base es
y cuya altura es el
radio r. Puesto que q es constante, el valor de la integral es q veces el área encerrada
por la línea media de la pared del tubo:
Es esfuerzo cortante medio, en cualquier punto de espesor t, viene dado por:
5. Resortes Helicoidales
En la figura se representa un resorte helicoidal de espiras cerradas, estirado bajo la
acción de una fuerza axial P. El resorte está formado por un alambre o varilla redonda
de diámetro d enrollada en forma de hélice de radio medio R.

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Para determinar los esfuerzos producidos por P se cortar el resorte por una sección de
exploración m-n, y determinar las fuerzas resistentes
que se necesitan para el
equilibrio de una de las porciones separada por esta sección. Después se analiza la
distribución de esfuerzos que originan estas fuerzas resistentes.
La figura anterior representa el diagrama de cuerpo libre de la porción superior del
resorte.
Para el equilibrio en dirección axial, la fuerza resistente P r, es igual a P. El equilibrio
horizontal también se cumple ya que ni P ni Pr, tienen componentes en esta dirección.
Para el equilibrio de momentos, como P y Pr, opuestas y paralelas, producen un par
PR, en la sección debe existir otro par resistente PR igual y opuesto al anterior,
originado por un esfuerzo cortante de torsión, distribuido en la sección de corte. Se
representa por T= PR. El esfuerzo resultante en cada punto es el vector suma de los
vectores T1 y T2.
El esfuerzo cortante máximo tiene lugar en el punto de la sección más próximo al eje
de resorte y viene dado por la suma del esfuerzo cortante directo T1= P/A y el máximo
valor del esfuerzo cortante producido por la torsión T2= Tr/J. es decir:
Que puede escribirse en la forma:

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En la barra recta de la figura a la torsión produce la misma deformación δ s en las fibras
AB y CD y, por tanto, la distorsión ϒ = δs/L es la misma en B que en D puesto que los
elementos AB Y CD tienen la misma longitud inicial. En cambio, en la barra curva de la
figura b la situación es diferente, ya que aunque las fibras AB y CD, la distorsión en B
es mayor que en D, por lo que el esfuerzo cortante por torsión en las fibras internas AB
es mayor que en las externas CD. La importancia de este efecto depende de la
magnitud de la diferencia de longitud inicial entre AB y CD. Evidentemente esta
diferencia depende del grado de curvatura de alambre o barra, es decir, de la relación
d/R. la siguiente ecuación toma en cuenta este efecto adicional la cual es utilizada para
resortes pesados en los que la curvatura del alambre es grande y m es más pequeño:
En donde m=2R/d= D/d es la relación de diámetro medio de las espiras al diámetro del
alambre. Para resortes ligeros, en los que la relación m es muy grande:
Distención de un resorte: Prácticamente toda la elongación de un resorte según el eje
se debe a la torsión del alambre. En la figura se supone por un momento que todo el
resorte, excepto la pequeña longitud dL, es rígido, el extremo A girara hacia D un
pequeño ángulo dϴ. Como este ángulo es muy pequeño, el arco AD=AB* dϴ puede
considerarse como una recta perpendicular a AB, de donde, por la semejanza de los
triángulos ADE y BAC se tiene:

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O sea
De donde
Reemplazando e integrando ϴ
Sustituyendo L por 2πRn, que es la longitud de n espiras de radio R, y J por π
/32
resulta:
BIBLIOGRAFÍA:
 Pytel, Singer; RESISTENCIA DE MATERIALES, Oxford, 1ra. Ed. 1994,
Harper Row.

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 Appold, Feirlerk, Reinhard, Schmidt; TECNOLOGÍA DE MATERIALES, 1985,
Ed. Reverté.
 Biguri
Zarraonandia
Iñaki,
TORSIÓN,
disponible
en:
http://ibiguridp3.wordpress.com/res/tor/
 Universidad de Santiago de Chile, APUNTES DE RESISTENCIA DE
MATERIALES,
2011,
disponible
en:
http://mecanica-
usach.mine.nu/media/uploads/Apuntes_curso_RMA_clase_3_arreglando.pdf
 Santo Domingo Santillana Jaime, TORSIÓN, 2008, Ed. E. P. S. Zamora,
disponible
en:http://ocw.usal.es/ensenanzas-tecnicas/resistencia-de-materiales-ingeniero-
tecnico-en-obras-publicas/contenidos/%20Tema8-Torsion.pdf