Este documento presenta varias reglas fundamentales para derivar funciones. En primer lugar, introduce la importancia de la regla general de derivación dada en el Artículo 27. Luego, describe reglas especiales para derivar ciertas formas normales comunes como la derivada de una constante, la derivada de una variable con respecto a sí misma, y la derivada de un producto o cociente de funciones. Finalmente, explica cómo derivar funciones implícitas mediante la derivación término a término de la ecuación que define dicha función.

1.  Tecnológico “Euroamericano”
 Capitulo #4 grandville
 Autora: Dayana Ramirez Mora

2. Importancia de la regla general.
La regla general para derivación, dada en el
Artículo 27, es fundamental, puesto que se
deduce directamente de la definición de derivada,
y es muy importante que el lector se familiarice
completamente con ella. Sin embargo, el
procedimiento de aplicar la regla en la resolución
de problemas es largo o difícil; por con¡>iguiente,
se han deducido de la regla general, a fin de
facilitar la tarea, reglas especiales para derivar
ciert.as formas normales que se presentan con
frecuencia.

3. Si se sabe que una función tiene el mismo
valor para cada valor de la variable
independiente, esta función es constante, y
podemos representarla por y = c . Cuando x
toma un incremento .1x, el valor de la función
no se altera j es decir, .
1y = O, Y Ay = O .1x

4. La derivada de una variable con respecto a sí
misma es la unidad. Este resultado se prevé
fácilmente. En efecto, la pendiente de la recta
y = x es la unidad.

5. La derivada del producto de una constante por
una función es 1·gual al producto de la
constante por la derivada de la función .
y + f1y = e (v + f1v) = cv + c/).v

6. La derivada de un producto de dos funciones. Es igual al producto de la
primera funcion Por la derivada de la segunda mas el producto
De la segunda por la derivada de la primera
y + f1y = (u + f1u) (v + f1v) .
Efectuando la multiplicación:
SEGUNDO PASO. TERCER PASO. ?J + l1y = uv + uf1v + vf1u + f1uf1v. f1y
= uf1v + vf1u + f1uf1v . i1y /10 f1u /).V -=u-+v-+/).u-. /).x /).x /).x /).x

7. Si se dividen ambos miembros de la formula V
Luego, si tenemos el producto de n funciones,
Multiplicando ambos miembros por VI V2 ... V'“
La derivada del producto de n funciones,
siendo n un número finito, es igual a la suma
de los n productos que se forman multiplicando
la derivada de cada función por todas las otras
funciones .

8. En esta demostración VI hemos supuesto que n
es número entero positivo. En el Artículo 65 se
demostrará que esta. fórmula. es válida cualquier
valor de n, y nos serviremos desde ahora. de este
resultado general. La derivada de la potencia de
una función de exponente constante es igual al
producto del exponente por la función elevada a
un exponente disminuido en una unidad y por la
derivada de la función.

9. La derivada de un cociente de funciones es
igual al producto del denominador por la
derivada del numerador, menos el producto del
numerador por la derivada del denominador,
todo dividido por el cuadrado del denominador.

10. A veces acontece que y no se define directamente
como función de x, sino que se da como función
de otra variable v que se define como función de
x.
Si y = f (v) y v = 4> (x), decimos que y es función
de x por intermedio de v. Entonces, si damo~ a x
un incremento ~x, obtendremos para v un
incremento ~v y para y un incremento
correspondiente L1y. Teniendo esto en cuenta,
apliquemos la regla general de derivación
sirnultárieamente a las dos funcione:;; y = f(v) y ¡;
= cp(x).

11. Sea una función V llana como función de x según la ecuación
y=f(x). de x por x, obtemos de .A menudo es posible, en el
caso de las funciones que se consideran en e:-;I e libro,
resolver la ecuación con respecto a x y hallar x=(y); es decir,
podemos también considerar V como la variable
independiente y x como la dependiente En este caso se dice
que f(x) y (y) 48 son funciones inversas. Cuando deseamos
distinguir la una de la otra , es usual llamar función directa la
que se dió al principio, y funcion 'inversa a la segunda. Así,
en los ejemplos que siguen, si los segundos en la primera
columna se Loman como las funciones directas ) entonces
los miembros correspondientes en la segunda seran
respectivamente las funciones inversas.

12. Cuando se da una relación entre x y y por medio de una
ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función
implícita de x. Por ejemplo, la ecuación (1 ) X2 - 4 Y = O
define y como función implícita de x . Es claro que por medio
de esta ecuación x se define igualmente como función
implícita de y. A veces es posible resolver la ecuación que
define una función implí- cita con respecto a una de las
variables, obteniendo así una función explícita. Así, por
ejemplo, la ecuación (1) Y = -x2 , 4 donde aparece y como
función explícita de x. En un caso dado, sin embargo I puede
ocurrir que semejante resolución sea imposible I o
demasiado complicada para una aplicación cómoda.

13. Cuando y se define como función implícita de x
I puede no ser conveniente (como hemos
dicho en el artículo anterior) el resolver la
ecuación para obtener y como función explícita
de x, o x como función explícita de y. Entonces
para calcular la derivada seguimos la siguiente
regla: Derivar la ecuación, término a término,
considerando y corno función de X