La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto. La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado. Bueno, la integral es la antiderivada de una función, osea, cuando derivas una función te da otra función, llamada la función derivada, y cuando se integra la derivada se obtiene la función original.

1. INSTITUTO SUPERIOR
TECNOLÓGICO EUROAMERICANO
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DIAPOSITIVAS:
CAPITULO III
DERIVACIÓN
NOMBRE:
COCHEA GONZABAY ANTHONY
MATERIA:
CALCULO
PROFESOR:
ING. JOFFER VAZQUEZ DEL ROSARIO

2. Capitulo III
Derivación
1.-Introducción.
Este capitulo vamos a investigar como
varias el valor de una función al variar la
variable independiente. El problema
fundamental del Calculo diferencial es el de
establecer con toda presión una medida de
variación .

3. Capitulo III
Derivación
2.-Incremento,
El incremento de una variable que pasa de
un valor numérico a otro es la defenecías
que se obtiene restado el valor inicial del
valor final

4. Capitulo III
Derivación
3.-Comparación de incremento,
Consideramos la función y=X2
.Supongamos que tiene X tiene un valor
inicial fijo y le damos después de un
incremento Δx. Entonces y tomara un
incremento correspondiente Δy, y
tendremos

5. Capitulo III
Derivación
4.-Derivada de una función de una variable.
La Derivada * de una función limite de la
razón del incremento de la función al
incremento de la variable independiente
cuando este teniendo a cero.
Cuando el limite de esa razón existe, se dice
que la función es derivable o que tiene
derivada. La definición puede darse
mediante símbolos, en la forma siguiente;

6. Capitulo III
Derivación
5.-Simbolo para representar las derivadas
Puesto que Δy y Δx son siempre cantidades
finitas y tienen valores definido, la expresión
es una verdadera fracción. Pero el símbolo ha
de mirarse no como una función, sino como el
valor limite de una fracción. En muchas casos
veremos que este símbolo si tiene
propiedades de fracción, y mas adelante
demostraremos el significado que puede
atribuirse de dy y dx, pero, por ahora, el
símbolo ha considerarse como un conjunto.

7. Capitulo III
Derivación
6.-Funciones derivables
De la teoría de los limites se deduce que si
existe la derivada de una función para cierto
valor de la variable independiente, la función
misma debe ser continua para aquel valor
de la variable. Sim embrego, la reciproca no
es siempre cierta: se han descubierto
funciones que son continuas y, a pesar de
eso, no tiene derivada .

8. Capitulo III
Derivación
7.-Regla general para la derivación
La derivada de una función se define como el límite de la razón del incremento de la
función al incremento de la variable independiente cuando tiende a cero.
Para encontrar la derivada de una función se utiliza la Regla General para la
Derivación que consta de cuatro pasos:
Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y “Y” por (Y + ΔY).
Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la función original, obteniendo
únicamente Δy ( incremento de la función ).
Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de la función ) entre Δx (
incremento de la variable independiente).
Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de la variable independiente
) tiende a cero.
La regla general se puede representar a través de la siguiente ecuación

9. Capitulo III
Derivación
8.-Interpretación geométrica de la derivada
Las derivadas pueden y de hecho son aplicadas para
interpretar objetos geométricos, de estos se pueden
sacar tangentes en base a las abscisas presentadas.
La derivada de una función en un punto puede
explicarse como la pendiente de la recta tangente a la
función en dicho punto.
Lo anterior nos permite utilizar la formula que a
continuación les mostramos, la cual es utilizada para
calcular la tangente a f(x) en el punto de abcisa x=a
Si alteramos la formula desplazando a f´(a) al
denominador podemos obtener la recta normal
(perpendicular):