Una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al término anterior. El documento explica la definición, el término general y cómo calcular la suma de los primeros términos de una progresión aritmética. Finalmente, da ejemplos de aplicaciones como el cálculo del precio de estacionamiento o el número de números de tres cifras múltiplos de tres.

1. PROGRESIONES ARITMETICAS DEFINICIÓN TERMINO GENERAL SUMA DE TERMINOS CONSECUTIVOS APLICACIONES

2. DEFINICION DE PROGRESION ARITMETICA Una progresión aritmética es una sucesión el la que cada término se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo que llamamos diferencia Ejemplo: La sucesión de los múltiplos de 5: a 1 =5 +5 a 2 =10 +5 a 3 =15 +5 a 4 =20

3. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Consideramos la sucesión aritmética a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,….de diferencia d. Vamos a expresar todos los términos, a partir del segundo, en función del primero a 1 y de la diferencia d. Teniendo en cuenta la ley de recurrencia, se obtiene: a 2 =a 1 +d a 3 =a 2 +d=a 1 +2d a 4 =a 3 +d=a 1 +3d …………… a n =a n-1 +d=a 1 +(n-1)d a n = a 1 + (n-1)d

4. Por tanto la expresión del término general de una progresión aritmética es: a n = a 1 + (n-1)d

5. SUMA DE n TÉRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA El gran matemático Gauss, a la edad de 10 años encontró un procedimiento para hallar la suma de los 100 primeros números naturales.

6. Este procedimiento consiste en escribir la suma indicada en orden creciente y debajo la misma suma en orden decreciente: obtenemos que la suma de los 100 primeros números naturales es: S = 1 + 2 + 3 + ………….………………………+98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + ……………………+4 + 3 + 2 + 1 2S = 101 + 101 + 101 +……………………+101 + 101 + 101

7. En general, para sumar los n primeros términos de una sucesión aritmética seguimos el método utilizado por Gauss y utilizamos la propiedad : En toda sucesión aritmética limitada a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,….a n se cumple que la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. a 1 + a n = a 2 + a n-1 = a 3 + a n-2 =……..

8. y obtenemos:

9. APLICACIONES En la vida cotidiana hay situaciones que se resuelven utilizando las progresiones aritméticas, por ejemplo a la hora de pagar el parking, cuando hemos dejado el coche había un cartel que decía: Es decir que si consideramos a n como el precio que voy a pagar por dejar el coche n minutos, esa ley es una progresión aritmética donde a 1 =1,20 y d= 0,03 contando n a partir de 30. 1ª media hora……….1,20€ precio del minuto……0,03€

10. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de tres? La sucesión de números de tres cifras, múltiplos de tres, es : En esta sucesión aritmética a 1 = 102, d = 3 y a n = 999. Por tanto: a n = a 1 + (n-1)d 999 = 102 + (n-1)3 999 = 102 + 3n -3 n = 300 números a 1 = 3 .34 =102 a n = 3 . 333 = 999