El documento explica cómo encontrar valores en progresiones aritméticas y geométricas. Define una progresión aritmética como una sucesión de números donde la diferencia entre ellos es constante. Explica cómo calcular el valor enésimo, la suma y los tipos de progresiones (creciente, decreciente, constante). Luego define una progresión geométrica como una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante, y explica cómo calcular el valor enésimo y la suma. Por último, muestra un ejemplo de

1. PROGRESIONES
Simbologías y Formas de hallar valores en progresiones.
Por: Cristian Astudillo Baeza
Estudiante CPA UdeSantiago

2. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
 Es una sucesión de números tales que la diferencia entre
ellos es una constante.
 An=A1+(n-1)d
 An: Valor enésimo de la progresión
 A1: Primer Valor de la progresión
 (n-1)d: Enésimas reducidas en 1 por constante

3. CONSTANTE
 d>0 :Progresión Creciente
 d=0 :Progresión Constante
 d<0 :Progresión Decreciente

4. SUMA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
 Sn=(A1+An)∙d÷2
 Sn: Sumatoria de la progresión al valor enésimo
 A1: Primer Valor de la Progresión
 An: Enésimo Valor de la Progresión, final de la sumatoria
 d÷2: Media Pendiente de la sumatoria

5. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
 An=A1∙r(n-1)
 An: Valor Enésimo de la Progresión.
 A1: Primer Valor de la Progresión.
 r(n-1): Razón de la Progresión elevado en la cantidad de
términos de la Progresión reducido en uno.

6. CONSTANTE
 d>1: Progresión Positiva
 d=1: Progresión Constante
 d<1: Progresión Negativa
 d=0: No es progresión porque 0 no es multiplicación

7. SUMA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
 Sn=((A1∙rn)-A1)÷(r-1)
 Sn: Suma de los Valores hasta el Término n
 A1: Primer Valor de la Progresión
 rn: Razón elevado en el numero de términos
 r-1: Razón disminuida en uno

8. DETERMINAR 3 VALORES EN UNA
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
 Determinar: a1 = X - y
a2 = X
a3 = X + y
 Planteas los datos:
a1+a2+a3= 24
a1∙a2∙a3= 440
 Y reemplazas por las incógnitas
propuestas resulta:
(X–y)+(X)+(X+y) = 24
3X =24
X = 8
 Sustitución de Incógnitas:
a1∙a2∙a3 = 440
(8–y)∙(8)∙(8+y) = 440
(8–y)∙(8+y) = 55
64–y2 = 55
y2 = 9
y = 3 y = -3
 Comprobación
a1+a2+a3 = 24
(8–3)+8+(8+3) = 24
5+8+11 = 24
5+11 = 24–8
5+11 = 16
5 = 16–11
5 = 5
a1∙a2∙a3 = 440
(8–3)∙8∙(8+3) = 440
5∙8∙11 = 440
5∙8 = 440÷11
5∙8 = 40
5 = 40÷8
5 = 5

9. DETERMINAR 3 VALORES EN UNA
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
 Llamando a₁ al primer número; a₂ al segundo y a₃ al tercero,
tenemos:
a₁+a₂+a₃ = 38..........(1)
(a₁)(a₂)(a₃) = 1728...(2)
 Por ser igual el producto de los términos equidistantes:
(a₁)(a₃) = a²₂
 Luego sustituyendo este valor en la ecuación la (2):
(a₁)(a₂)(a₃) = 1728...(2)
(a₂)(a²₂) = 1728
a³₂ = 1728
a₂ = ³√1728
a₂ = 12
 sustituyendo este valor en las ecuaciones (1) y (2):
a₁+a₂+a₃ = 38..........(1)
(a₁)(a₂)(a₃) = 1728...(2)
a₁+(12)+a₃ = 38
(a₁)(12)(a₃) = 1728
a₁+a₃ = 38 -12
(a₁)(a₃) = 1728÷12
a₁+a₃ = 26...........(3)
(a₁)(a₃) = 144......(4)
 Despejando a₁ En ambas:
a₁ = 26-a₃.....(5)
a₁ = 144÷a₃
 Igualándolas a 0:
26-a₃ = 144÷a₃
26a₃ -a²₃ = 144
-a₃²+26a₃-144 = 0 ÷∙-1
a₃²-26a₃+144 = 0
 Factorizando para sacar las raices:
 Sumas es igual al valor absoluto del segundo termino
 Multiplicación es igual al valor absoluto del tercero
(a₃-18)(a₃-8) = 0
a₃ = 18
a'₃ = 8
 Sustituyendo el valor de a₃ = 18 en la ecuación (5), tendremos:
a₁ = 26-a₃....(5)
a₁ = 26-(18)
a₁ = 8
a = 8
 Respuesta.- Los valores de los números son: 8 ; 12 ; y 18
 El último paso es de comprobación.
 Progresión 8÷12= 2÷3
 Progresión 12÷18= 2÷3
 Progresión 18÷12= 3÷2
 Progresión 12÷8= 3÷2
 Pendiente de la progresión es 2÷3 o 3÷2