Este documento presenta conceptos básicos sobre relaciones y funciones matemáticas. Introduce las definiciones de relación, dominio, codominio y recorrido. Explica que una función es un tipo especial de relación donde a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del codominio. Proporciona ejemplos y actividades para que los estudiantes apliquen los conceptos.

1. Liceo de Ciencias y Humanidades
Departamento de Matem´atica - Plinio Dur´an Troncoso
Nombre:
Funciones
Gu´ıa de actividades
1. Relaciones
A medida que avanzamos en nuestra vida diaria, tenemos muchos elementos de
datos o cantidades que est´an emparejados. Por ejemplo, nuestro nombre puede estar
emparejado con nuestro RUN, fecha de nacimiento, o n´umero de tel´efono, etc. Existe
una relaci´on entre nuestro nombre y cada uno de esos elementos.
Si se obtuviera una lista con los nombres de todos los estudiantes de la clase en
una columna y su n´umero de matr´ıcula en otra columna, se hace una correspon-
dencia entre el nombre del estudiante y su matr´ıcula. Esa correspondencia se puede
pensar como un conjunto de pares ordenados, donde el primer elemento es el nombre
de un estudiante y el segundo es la matr´ıcula de ese estudiante, a eso se le llama
una relaci´on.
(nombre, matr´ıcula)
El conjunto de todos los nombres de los estudiantes en la clase se llama el domi-
nio de la relaci´on y el conjunto de todos los n´umeros de matricula de los estudiantes
emparejados con estos estudiantes es el recorrido de la relaci´on.
1.1. Definici´on
Una relaci´on R que hace una correspondencia entre los elementos x de un con-
junto A con los elementos y de un conjunto B se escribe: R : A → B; es decir,
cualquier conjunto de pares ordenados (x, y). El conjunto A se denomina dominio
(conjunto de partida) y el conjunto B se denomina codominio (conjunto de llegada).
El recorrido de una relaci´on es un subconjunto del codominio que tiene asignado
al menos un elemento del dominio.
Ejemplo 1: alumno - matr´ıcula
El siguiente diagrama muestra la relaci´on R : nombre → matricula. Determina
el conjunto de todos los pares ordenados, el dominio y el recorrido de la relaci´on.
Nombre Matr´ıcula
Lourdes
Benjamin
Constanza
Diego
302
209
174
91
El conjunto de todos los pares ordenadas ser´ıa:
R = {(Lourdes, 91), (Benjamin, 209), (Constanza, 302), (Diego, 174)}
El dominio de la relaci´on anterior ser´ıa:
Dom R = {Lourdes, Benjamin, Constanza, Diego}
El recorrido de la relaci´on anterior ser´ıa:
Rec R = {91, 174, 209, 302}
Actividad 1: canal - programa
Escoge 3 canales de televisi´on y dos programas que se emitan en ellos. En tu
cuaderno, realiza un diagrama de la relaci´on A : canal → programa. Determina el
conjunto de todos los pares ordenados, el dominio y el recorrido de la relaci´on.
1

2. Profesor Plinio Dur´an Troncoso
Actividad 2: nombre - mes de cumplea˜nos
Escoge 5 compa˜neros y preg´untales por su mes de cumplea˜nos. En tu cuaderno,
realiza un diagrama de la relaci´on B : nombre → cumplea˜nos. Determina el conjunto
de todos los pares ordenados, el dominio y el recorrido de la relaci´on.
1.2. Formas de representar una relaci´on
Dados los conjuntos A = {2, 3, 4} y B = {6, 7, 8, 9} y la relaci´on R : A → B,
definida como todos los pares ordenados donde x es divisor de y.
Pares ordenados
R = {(2, 6), (2, 8), (3, 6), (3, 9), (4, 8)}
Diagrama sagital
A B
R
2
3
4
6
7
8
9
Tabla de valores
x y
2 6
2 8
3 6
3 9
4 8
Plano cartesiano
x
y
−2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observa que:
Dom R = {2, 3, 4}
Rec R = {6, 8, 9}
El 7 pertenece al codominio de la relaci´on pero no a su recorrido, ya que no tiene
asignado ning´un elemento del dominio.
Actividad 3: representar una relaci´on
Dado la siguiente relaci´on de pares ordenados, repres´entalos en diagrama sagital,
tabla de valores y plano cartesiano. Determina el dominio y recorrido.
{(1, 3), (0, −2), (2, 0), (−3, −1), (−3, 4), (−1, 3)}
x y
x y
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
Gu´ıa de actividades 2

3. Profesor Plinio Dur´an Troncoso
2. Funciones
Una funci´on es un tipo especial de relaci´on que asigna a cada elemento en su
dominio exactamente un elemento en el recorrido.
En el ejemplo 1 de la secci´on anterior (alumno - matr´ıcula) la relaci´on si corres-
ponde a una funci´on, dado que a cada elemento del dominio (Nombre) le corresponde
un ´unico elemento del recorrido (Matr´ıcula). En el caso de la actividad 1 (canal -
programa) la relaci´on no es una funci´on, ya que hay elementos del dominio (Canal)
que se relacionan con m´as de un elemento del recorrido (Programa). La actividad
2 (nombre - mes de cumplea˜nos) tambi´en corresponde a una funci´on, porque todos
los elementos del dominio (Nombre) le corresponde un ´unico elemento del recorrido
(Cumplea˜nos).
2.1. Definici´on
Una funci´on f : A → B es una relaci´on donde cada elemento x del conjunto A
(dominio) le corresponde un ´unico elemento y del conjunto B (codominio).
Ejemplo 1: determinar si una relaci´on es funci´on
A B
−1
2
3
4
4
1
−2
0
Si es una funci´on, a cada elemento del
dominio le corresponde un ´unico
elemento del recorrido.
x y
−1 5
0 4
1 8
2 −7
1 −2
No es una funci´on, al 1 le corresponden
dos elementos del recorrido.
Prueba de la recta vertical
Si una relaci´on est´a representada en un plano cartesiano, se puede determinar si
es una funci´on mediante la prueba de la recta vertical. Para ellos se trazan lineas
verticales (paralelas al eje y) en todo el dominio, si cada una de ellas intersecta a la
gr´afica en un solo punto, entonces la relaci´on es una funci´on. Si hay al menos una
recta que intersecta al gr´afico en m´as de un punto, la relaci´on no corresponde a una
funci´on.
Ejemplo 2: determinar si una relaci´on es funci´on mediante la prueba de
la recta vertical
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
Si es una funci´on, todas las rectas
intersectan a la gr´afica en un solo punto.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
No es una funci´on, hay una recta que
intersecta a la gr´afica en m´as de un
punto.
Actividad 1: Justifica si cada una de las siguientes relaciones correspon-
den a una funci´on
1.
A B
−2
0
3
2
2
4
1
−2
0
2.
x y
−1 3
0 3
1 0
2 −1
3. {(−3, 3), (0, −2), (−2, 0), (3, −1), (−4, 4), (−1, 4)}
4. {(0, 3), (1, −3), (2, 0), (−3, −1), (0, 4), (−1, 2)}
Gu´ıa de actividades 3

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5.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
6.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
7.
x y
1 3
1 4
−1 0
−5 −1
8.
x y
−5 3
3 2
2 3
−1 2
9.
C D
2
−1
−3
0
0
10.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
11.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
12.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
13.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
14.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
15.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
16.
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
Gu´ıa de actividades 4

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2.2. Notaci´on de funci´on
Otra forma de relacionar los pares ordenados (x, y) de una funci´on f : A → B
es mediante ecuaciones o f´ormulas; es decir, una regla matem´atica que las relacione
a ambas. (En caso que no se definan los conjuntos A y B, se deben asumir ambos
como los n´umeros reales (R))
Una forma consiste en indicar expl´ıcitamente como obtener y a partir de x. Por
ejemplo: y = 3x2
− 4. Sin embargo, es muy conveniente nombrar una funci´on, ge-
neralmente con las letras f, g o h. Una forma equivalente de nombrar la funci´on
anterior ser´ıa f(x) = 3x2
− 4. Es decir, el valor f(x) = y.
fnombre de
la funci´on (x)
dentro del par´entesis est´an
las entradas de la funci´on
= 3x2 − 4
regla que se aplica a todoss
los valores de entrada para
obtener los valores de salida
f(x) o y.
Es la salida
de la funci´on
cuando la
entrada es x
Se puede entender el concepto de funci´on como una m´aquina que asigna una
´unica salida a todas las entradas.
−2
3x2
− 4
3 · (−2)2
− 4
3 · 4 − 4
12 − 4
8
8
f
En este caso, cuando el valor de x (la
entrada) es −2, f(x) (la salida) es 8, se
denota como
f(−2) = 8
se lee: f evaluada en −2 es 8.
El par ordenado (x, y) es lo mismo
que el par ordenado (x, f(x)), en este ca-
so ser´ıa
(−2, 8)
2.3. Gr´afica de funciones en el plano cartesiano
El gr´afico de una funci´on f es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y)
donde y = f(x). Por lo tanto se pueden escribir los pares de la forma:
(x, f(x))
Actividad 2: construir tabla de valores y graficar
Considera la funci´on f : R → R definida como f(x) = 2x − 3. Completa la tabla
de valores y luego ubica los pares ordenados en el plano cartesiano.
x
entrada
f(x)
salida
(x, f(x))
par ordenado
−3 f(−3) = 2 · (−3) − 3 = −6 − 3 = −9 (−3, −9)
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
Gu´ıa de actividades 5

6. Profesor Plinio Dur´an Troncoso
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Adem´as de los pares ordenados encontrados en la tabla, existen infinitos pares
ordenados dentro de los cuales se encuentran n´umeros decimales. Ante eso, podemos
observar que los pares ordenados siguen una linea recta la cual puede ser trazada.
Actividad 3: construir tabla de valores y graficar
Considera la funci´on g : R → R definida por g(x) = −
x
2
+ 1. Completa la tabla
de valores y luego ubica los pares ordenados en el plano cartesiano.
x
entrada
g(x)
salida
(x, g(x))
par ordenado
−2
−1
0
1
2
3
4
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−3
−2
−1
1
2
3
Gu´ıa de actividades 6

7. Profesor Plinio Dur´an Troncoso
2.4. Variables dependientes e independientes
En las ciencias y los negocios, los datos a menudo se recopilan y luego se grafi-
can. La gr´afica se analiza, la informaci´on se obtiene de la gr´afica y, a menudo, las
predicciones se realizan a partir de los datos.
Las variables dependiente e independiente son las dos variables principales de
cualquier experimento o investigaci´on. Para saber la funci´on que tiene cada una, y
a grandes rasgos, podemos decir que la variable independiente es la causa de algo,
mientras que la dependiente ser´a el efecto de ese algo. Observa los siguientes ejemplos
Variable independiente
(x)
Variable dependiente
(y)
Horas trabajadas Sueldo
Agua consumida Precio cuenta de agua
Kil´ometros recorridos Bencina utilizada
Actividad f´ısica realizada Calor´ıas quemadas
Tiempo estudiado Resultado en la prueba
La variable independiente siempre se grafica en el eje horizontal (eje x)
La variable dependiente siempre se grafica en el eje vertical (eje y)
2.5. Dominio y recorrido
El dominio es el conjunto de todos los valores de x (tambi´en llamados preimage-
nes) en los pares ordenados en la funci´on. Para determinar el dominio de una funci´on
a trav´es de su gr´afica, se observa el gr´afico y encontramos todos los valores de x que
tienen un valor correspondiente en el gr´afico.
El recorrido es el conjunto de todos los valores de y (tambi´en llamados imagenes)
en los pares ordenados en la funci´on. Para determinar el recorrido de una funci´on a
trav´es de su gr´afica, se observa el gr´afico y encontramos todos los valores de y que
tienen un valor correspondiente en el gr´afico.
Ejemplo 3: dominio y recorrido de una funci´on
En el plano cartesiano se muestra la gr´afica de la funci´on f. Determinar el do-
minio y el recorrido.
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
dominio
recorrido
Dom f = [−3, 3]
Rec f = [−3, 4]
Ejemplo 4: dominio y recorrido de una funci´on
En otras funciones que se proyectan de manera infinita en la gr´afica, debe pro-
yectar su tendencia para determinar su dominio y recorrido.
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
dominio
recorrido Dom f = [−2, ∞[
Rec f = [−1, ∞[
Gu´ıa de actividades 7

8. Profesor Plinio Dur´an Troncoso
3. Ejercicios
1. Escoge 5 compa˜neros y preg´untales por su n´umero de tel´efono.
a) Realiza un diagrama que relacione los nombres con sus respectivos n´ume-
ros.
b) Escribe el conjunto de todos los pares ordenados.
c) Determina el dominio y el recorrido.
d) ¿Podr´ıa un compa˜nero tener m´as de un n´umero de tel´efono?
e) Justifica en qu´e caso esta relaci´on ser´ıa una funci´on y en que caso no.
2. El siguiente gr´afico muestra la estatura de una persona en el transcurso de los
a˜nos. Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cu´al es la variable dependiente e independiente?
b) ¿Cu´anto midi´o al nacer?
c) ¿En qu´e periodo creci´o m´as r´apidamente?
d) ¿A qu´e edad alcanza su altura m´axima?
edad
estatura (cm)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
20
40
60
80
100
120
140
160
180
3. Dada las funciones f(x) = x2
− 1; g(x) = 3x − 2, determina el valor de las
siguientes expresiones
a) f(0)
b) g(0)
c) f(1) − g(2)
d) f(−2) + g(1)
e) f(3) − g(−3)
f ) 2f(2) − 3g(10)
4. Completa la tabla de valores y grafica cada una de las siguientes funciones
a) f(x) = 1 − x
x y
−2
−1
0
1
2
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
b) g(x) = x2
− 1
x y
−2
−1
0
1
2
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
c) j(x) =
4
x2 + 1
x y
−2
−1
0
1
2 x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
Gu´ıa de actividades 8

9. Profesor Plinio Dur´an Troncoso
5. En el gr´afico de la figura se muestra la funci´on f. Determina:
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
a) Dom f, Rec f
b) f(−4), f(3)
c) La imagen de 1
d) La pre-imagen de 2
e) Valor de x donde f alcanza su
valor m´aximo
f ) Valor de x donde f alcanza su
valor m´ınimo
g) Punto(s) de intersecci´on de f con
el eje x
h) Punto(s) de intersecci´on de f con
el eje y
6. En el gr´afico de la figura se muestra la funci´on g. Determina:
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
a) Dom g, Rec g
b) g(−4), g(2)
c) La imagen de −2
d) La preimagen de −1
e) Punto(s) de intersecci´on de g con
el eje x
f ) Punto(s) de intersecci´on de g con
el eje y
7. En el gr´afico de la figura se muestra la funci´on h. Determina:
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
a) Dom h, Rec h
b) h(3)
c) Punto(s) de intersecci´on de h con
el eje x
d) Punto(s) de intersecci´on de h con
el eje y
8. En el gr´afico de la figura se muestra la funci´on j. Determina:
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
a) j(−3)
b) j(0)
c) j(1)
d) La imagen de 4
e) La pre-imagen de 1
f ) La pre-imagen de 2
g) La pre-imagen de −4
9. Sea la funci´on f : R → R definida por f(x) = 2x − 1, determina:
a) f(0)
b) f(2)
c) f(−4)
d) La pre-imagen de 9
e) La pre-imagen de -7
f ) La pre-imagen de 4
10. En los siguientes casos, determinar la expresi´on algebraica que determina cada
una de los pares ordenados
a) f(x) =
x y
−1 −3
0 0
1 3
2 6
5 15
b) f(x) =
x y
0 −1
1 0
2 1
5 4
9 8
Gu´ıa de actividades 9

10. Profesor Plinio Dur´an Troncoso
c) f(x) =
x y
−4 16
0 0
3 9
5 25
2 4
d) f(x) =
x y
2 5
5 11
6 13
0 1
−4 −7
e) f(x) =
x y
−3 6
1 −2
3 −6
5 −10
−2 4
f ) f(x) =
x y
9 3
1 1
16 4
0 0
49 7
Gu´ıa de actividades 10