Este documento describe los conceptos de ángulos directores y números directores para rectas en el espacio tridimensional. Explica cómo determinar los ángulos directores y números directores de una recta a partir de los puntos por los que pasa, y cómo usarlos para calcular el ángulo entre dos rectas. También presenta la ecuación general de un plano en términos de los números directores de su normal.

1. Cosenos directores de una recta en el espacio
Integrates:
Moisesplacencio
27.000.779
Ingenieríaelectrónica

2. Cosenosdirectoresde unarectaenel espacio.Ladirecciónde una rectacualquieraenel
espaciose determinaporlos ángulosque formaconlosejescoordenados.Ejemplo:Seal
cualquierrectadirigidaenel espacioque nopasapor el origen( 0 ),y tenemosotrarecta l’que
si pasa por el origen,esparalelaal y enel mismosentido,entonceslosángulosα,β,y y
formadosporlas partespositivasde losejesX,Yy Z, y la recta se llamanángulosdirectoresde
la recta dirigidal .
En la resoluciónde nuestrosproblemas,veremosque generalmentees masconveniente
usar loscosenosde losángulosdirectoresenlugarde losángulos mismos.Estos cosenos, cosa
a , cos β , cos y , se llamancosenosdirectoresde larectadirigida si lasrectasfuesende sentido
opuestossusvaloresserianigualesperoconel signoopuesto eneste caso serían-cosa , -cos β
y -cosy.Si determinamosloscosenosdirectoresde unarectal que pasa por lospuntosP1(x1,
y1, z1 )P2(x2, y2, z2).Por cada uno de lospuntosP1 y P2, debemospasarplanosparalelosa
loscoordenados,formandoasíun paralelepípedorectorectangularcuyadiagonal esP1P2 ,
ycuyasaristas paralelasalosejesX,Y y Z son, respectivamente,P1V1,P1V2, P1V3 ,.Si
cadaaristatiene el mismosentidoque el ejeaque esparalela,losángulosdirectoresson:α=
ánguloP2 P1 v1 β= ánguloP2 P1 V2 y= ánguloP2 P1 V3
Ahoraconsideremos( b) , (c) y ( d ) ] los trestriángulosrectángulosformadosporlosdos
puntosP1 y P2 y cada unode losvérticesV1, V2 y V3.Para cada unode estostriángulossead
= lP1P2l, enque d se determinasegúnel siguienteteorema:P1V1 = x2 - x1 P1 V2 = y2 - y1 P1
V3 = Z2 - Z1Por tanto,de lostrestriángulos,tenemos,paraloscosenosdirectores:Si elevamos
al cuadradoambos miembrosde cadauna de lasecuacionesysumamos,obtenemos:
Tambiéntenemosque:Porlotantoaplicamosunteoremamuyimportante que dice:La
suma de loscuadradosde loscosenosdirectoresde cualquierrectaesigual a la unidad
COROLARIO:De loscosenosdirectoresde unarecta uno,cuandomenos,es diferentede cero.
ÁngulosFormadospor2 rectas.Vamos a determinarel ánguloθformadopordos rectas
cualesquieradirigidas, l1yl2 , en el espacio .Seanl’1 y l’2 dosrectas trazadas porel origeny
paralelas,ydel mismosentido,al1yl2, respectivamente.Pordefinición,el ánguloformadopor
lasrectas dirigidasl1y l2 , es el ánguloθ . Sea P1 (x1,y1, z1 ) un puntocualquiera,distintodel
origen,sobre l’ , y 1P2 (x2, y2, z2).otro puntocualquiera,distintodelorigensobre l’.
2También, sea:Por leyde cosenostenemosparael triánguloOP1P2,:Yporteoremastenemos
que:
Si sustituimosestosúltimosvaloresenel numeradordel segundomiembrodelaprimera
ecuación,ysimplificamos, obtenemos:Sean α1,β1 , yy1, losángulosdirectoresde l1y, por
tanto,de l’1,y , α2, β2 , y y2 losángulosdirectoresde l2, portanto, de l’2. porel teorema,
tenemos:Sustituyendoenlasiguiente ecuacióntenemoslarelaciónbuscada:
Esta igualdadnosdice :Teorema.El ánguloθ formadopordos rectas dirigidascualesquiera
enel espacio, cuyosángulos directoressonα1,β1 , y y1 y α2, β2 , y y2 , respectivamente,se
determinapeorlarelación:Corolario 1:Para que dosrectas seanparalelasydel mismosentido
escondiciónnecesariaysuficiente que susángulosdirectorescorrespondientesseaniguales;
para queseanparalelasyde sentidosopuestosesnecesarioysuficienteque susángulos
directorescorrespondientesSeansuplementarios.Corolario2:Para que dos rectasdirigidas

3. seanperpendicularesesnecesarioysuficienteque lasumade losproductosde sus cosenos
directorescorrespondientesseaigual acero.Ahoravamosaobtenerlos resultadosdel
teoremay sus dos corolariosenfunciónde losnúmeros directoresde lasdos rectas. Sean[a1 ,
b1 , c1] y[a2 , b2 , c2 ] losnúmeros directoresde lasdosrectas,l 1y l 2Respectivamente
tenemos:
9. Sustituyendoestosvaloresobtenemos:Teorema.El ánguloθformadopor dosrectas
dirigidascualesquieraenel espacio,cuyosnúmerosdirectores[a1,b1 , c1] y [a2 , b2 , c2 ],
respectivamente ,estadeterminadoporlarelación.
10. Corolario1: Para que dos rectasdirigidasseanparalelasesnecesarioysuficienteque sus
números directorescorrespondientessean proporcionales.Corolario 2:Para que dosrectas
dirigidasseanperpendicularesesnecesarioy suficiente que lasumade losproductosde sus
númerosdirectorescorrespondientesseaigual acero.EcuaciónGeneral del Plano.Laecuación
puede escribirseenlaforma:y comola expresiónencerradaentre paréntesisesunaconstante
y, por tanto, puede reemplazarse porel terminoconstante- D, resultaque la ecuaciónesde la
forma:Recíprocamente,si P2 (x2,y2, z2). esun puntocuyascoordenadassatisfacenla
ecuación y portanto, a la ecuaciónanterior,se verificaque:La ecuacióngeneral de unplano
esde laforma: endonde A,B , C y D sonconstantes,y[ A , B , C ] son losnúmerosdirectores
de su normal.