El documento describe las propiedades de varias figuras planas, incluyendo polígonos (triángulos, cuadrados, hexágonos), círculos, y trapecios. Explica que las propiedades incluyen el número y longitud de lados, ángulos, diagonales, radios, y las relaciones matemáticas entre estos elementos. También presenta fórmulas para calcular el perímetro, área, y otras medidas de las figuras.
El documento define las teselaciones como el recubrimiento de una superficie plana con polígonos sin dejar espacios vacíos a través de transformaciones isométricas. Las teselaciones regulares son formadas por triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos. El artista M.C. Escher experimentó con métodos para representar espacios paradójicos mediante teselaciones irregulares en sus obras.
Presentación geometría: tipos de ángulos y triángulosvickymm81
Este documento clasifica los triángulos según la igualdad de sus lados y ángulos, describiendo el triángulo equilátero con tres lados iguales, el isósceles con dos lados iguales y uno desigual, y el escaleno con lados desiguales, además de clasificarlos como rectángulo si tiene un ángulo recto de 90°, acutángulo si todos sus ángulos son agudos, y obtusángulo si tiene un ángulo obtuso.
Este documento presenta varios teoremas geométricos como el Teorema de Pitágoras, los Teoremas de Euclides y Tales, y ejercicios de aplicación. Incluye 20 ejercicios que piden calcular longitudes, alturas, lados y diagonales de triángulos, cubos, conos y otros objetos usando los teoremas presentados. Finalmente, explica por qué las personas usan referencias como el pulgar para estimar alturas.
Este documento presenta información sobre pirámides en geometría. Define las partes de una pirámide, incluyendo la base, aristas, altura y vértice. Explica cómo se denominan las pirámides según la forma de su base, como triangular, cuadrangular o pentagonal. Además, describe cómo calcular el área lateral, área total y volumen de diferentes tipos de pirámides, proporcionando ejemplos numéricos. Finalmente, asigna una tarea a los estudiantes sobre pirámides.
Este documento presenta una exposición sobre ángulos tridimensionales. Explica los conceptos de ángulo diedro, que se forma por la intersección de dos semiplanos no coplanares, y ángulo triedro, formado por tres rayos no coplanares con un punto de origen común. Define los elementos de cada figura y métodos de notación. También cubre propiedades de diferentes tipos de triedros y provee un ejemplo de cálculo de medida de ángulo diedro.
Este documento explica tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes: el criterio AA (ángulo-ángulo), que requiere que dos triángulos tengan dos ángulos semejantes; el criterio LAL (lado-ángulo-lado), que requiere que dos triángulos tengan dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos sea congruente; y el criterio LLL (lado-lado-lado), que requiere que los tres lados de dos triángulos sean proporcionales
El documento describe las propiedades de varias figuras planas, incluyendo polígonos (triángulos, cuadrados, hexágonos), círculos, y trapecios. Explica que las propiedades incluyen el número y longitud de lados, ángulos, diagonales, radios, y las relaciones matemáticas entre estos elementos. También presenta fórmulas para calcular el perímetro, área, y otras medidas de las figuras.
El documento define las teselaciones como el recubrimiento de una superficie plana con polígonos sin dejar espacios vacíos a través de transformaciones isométricas. Las teselaciones regulares son formadas por triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos. El artista M.C. Escher experimentó con métodos para representar espacios paradójicos mediante teselaciones irregulares en sus obras.
Presentación geometría: tipos de ángulos y triángulosvickymm81
Este documento clasifica los triángulos según la igualdad de sus lados y ángulos, describiendo el triángulo equilátero con tres lados iguales, el isósceles con dos lados iguales y uno desigual, y el escaleno con lados desiguales, además de clasificarlos como rectángulo si tiene un ángulo recto de 90°, acutángulo si todos sus ángulos son agudos, y obtusángulo si tiene un ángulo obtuso.
Este documento presenta varios teoremas geométricos como el Teorema de Pitágoras, los Teoremas de Euclides y Tales, y ejercicios de aplicación. Incluye 20 ejercicios que piden calcular longitudes, alturas, lados y diagonales de triángulos, cubos, conos y otros objetos usando los teoremas presentados. Finalmente, explica por qué las personas usan referencias como el pulgar para estimar alturas.
Este documento presenta información sobre pirámides en geometría. Define las partes de una pirámide, incluyendo la base, aristas, altura y vértice. Explica cómo se denominan las pirámides según la forma de su base, como triangular, cuadrangular o pentagonal. Además, describe cómo calcular el área lateral, área total y volumen de diferentes tipos de pirámides, proporcionando ejemplos numéricos. Finalmente, asigna una tarea a los estudiantes sobre pirámides.
Este documento presenta una exposición sobre ángulos tridimensionales. Explica los conceptos de ángulo diedro, que se forma por la intersección de dos semiplanos no coplanares, y ángulo triedro, formado por tres rayos no coplanares con un punto de origen común. Define los elementos de cada figura y métodos de notación. También cubre propiedades de diferentes tipos de triedros y provee un ejemplo de cálculo de medida de ángulo diedro.
Este documento explica tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes: el criterio AA (ángulo-ángulo), que requiere que dos triángulos tengan dos ángulos semejantes; el criterio LAL (lado-ángulo-lado), que requiere que dos triángulos tengan dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos sea congruente; y el criterio LLL (lado-lado-lado), que requiere que los tres lados de dos triángulos sean proporcionales
Presentacion De Circunferencia TrigonometricaMarisa Perez
La circunferencia trigonométrica representa las razones trigonométricas de cualquier ángulo mediante la construcción de una circunferencia unitaria. En ella, el seno de un ángulo es la ordenada y, el coseno, la abscisa del punto correspondiente al extremo del arco. La tangente se define como la razón entre el seno y el coseno.
Este documento presenta conceptos básicos del sistema de coordenadas cartesianas, incluyendo la fórmula para calcular el punto medio de un segmento, las ecuaciones para circunferencias cuando el centro está en el origen o no, y las fórmulas para calcular distancias entre puntos. También incluye ejemplos para aplicar estos conceptos.
Propuesta didáctica. pdf. thania y ericsonyolimar vivas
Este documento presenta una propuesta didáctica para la enseñanza de las razones trigonométricas a estudiantes de cuarto año de educación media general. La propuesta se basa en el modelo de Van Hiele, el cual consta de cinco fases de razonamiento geométrico que se desarrollarán en tres clases. La propuesta busca mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje de las razones trigonométricas mediante actividades participativas que promuevan la creatividad de los estudiantes. La primera clase introducirá
El documento explica las leyes del seno y coseno para resolver problemas geométricos. La ley del seno establece que los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. La ley del coseno dice que el cuadrado de cada lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ambos por el coseno del ángulo entre ellos. A continuación, presenta ejemplos de aplicación de estas leyes.
Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30ºMartin Glez Martinez
Este documento explica cómo calcular los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° usando triángulos rectángulos e isósceles. Primero se usa un triángulo equilátero para obtener triángulos 30-60-90 y 45-45-90, y luego un triángulo isósceles para obtener un triángulo 45-45-90. Estos triángulos permiten calcular las razones trigonométricas para estos ángulos y resolver problemas usando estas funciones.
Este documento trata sobre la geometría y los polígonos. Explica que la geometría estudia las figuras planas y en el espacio, y que los polígonos son figuras planas formadas por segmentos unidos en vértices. Luego define conceptos como polígonos regulares e irregulares, y explica cómo calcular el perímetro y área de diferentes polígonos como triángulos, cuadrados y rombos.
El documento describe una experiencia educativa que utiliza software de geometría dinámica para explorar las teselaciones, fractales y construcciones imposibles en el arte, con el objetivo de desarrollar el razonamiento geométrico y espacial en estudiantes. Se presenta al artista M. C. Escher como inspiración y se explica cómo su obra se presta para ser recreada utilizando isometrías. El proyecto ha involucrado a estudiantes de secundaria y universidad, generando diversos resultados creativos e institucionales a lo largo
Este documento describe los diferentes tipos de cuerpos geométricos tridimensionales. Explica que los cuerpos geométricos pueden ser poliedros o cuerpos redondos. Los poliedros se dividen en regulares e irregulares dependiendo del tamaño y forma de sus caras. También describe los elementos básicos de los poliedros como caras, aristas y vértices. Finalmente, detalla los tipos específicos de poliedros regulares e irregulares así como los cuerpos redondos principales como el cono, la esfera y
Este documento describe cómo resolver triángulos oblicuángulos utilizando la ley de senos y la ley de cosenos. Explica que la ley de senos relaciona los lados y ángulos de un triángulo, y que la ley de cosenos es una extensión del teorema de Pitágoras. Incluye ejemplos resueltos aplicando ambas leyes y propone ejercicios adicionales para practicar.
La simetría central ocurre cuando cada parte de una figura tiene una parte correspondiente que está a la misma distancia del punto central pero en la dirección opuesta. Algunos ejemplos de simetría central incluyen letras como X, H, I, S, N y Z, así como naipes que se ven iguales desde arriba o abajo. La simetría central implica una rotación de 180 grados alrededor de un punto central.
El documento describe cómo calcular el área de varios cuerpos geométricos tridimensionales, incluyendo prismas, pirámides, troncos de pirámide, cilindros, conos y esferas. Explica que el área de un prisma o poliedro es la suma de las áreas de sus caras, y cómo calcular el área lateral y total. Luego proporciona ejemplos resueltos de cómo calcular el área de estos diferentes objetos.
áNgulos de 30°, 60° y 90° en el plano cartesianoamtlucca
El documento describe cómo ubicar los ángulos de 30°, 60° y 45° en el plano cartesiano. Para cada ángulo, se recuerda el triángulo rectángulo correspondiente, se ubica de modo que el vértice coincida con el origen, y se indica la posición del punto en el lado opuesto al ángulo considerando x = 1/2, junto con sus coordenadas. El objetivo es marcar cada ángulo en su posición estándar.
El documento presenta cálculos matemáticos realizados en MATLAB con dos vectores dados, A = [2, 6, 8] y B = [3, 5, 4]. Se calculan la suma, resta, módulo, producto punto, producto cruz y otros valores de los vectores. También se grafica el movimiento de un proyectil usando los valores del módulo y ángulo formado por los vectores.
La trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y lados de los triángulos. Se usa para medir distancias en astronomía, geografía y navegación por satélite. Sus aplicaciones incluyen la determinación de distancias inaccesibles en campos como la navegación, geodesia y astronomía. También se usa en física e ingeniería para estudiar fenómenos periódicos.
El documento explica cómo calcular el área de diferentes figuras geométricas, incluyendo cuadrados, rectángulos, triángulos, rombos, trapecios, trapezoides y polígonos regulares. Proporciona fórmulas para hallar el área multiplicando las medidas de la base y la altura, las diagonales, o los lados y la apotema, dependiendo de la figura.
El documento presenta un taller sobre triángulos para estudiantes de grado 10. Explica conceptos clave como perímetro, área, altura y fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo. Incluye ejemplos y 4 problemas a resolver relacionados con el cálculo de perímetros, áreas y aplicación de la fórmula de Herón para triángulos.
Secuencias para el aula expresiones algebraicas y modelos de areaNoemi Haponiuk
Este documento presenta actividades para trabajar expresiones algebraicas y modelos de área en el aula de matemática del nivel secundario. Propone construir figuras geométricas como cuadrados y rectángulos usando medidas variables, y analizar la relación entre sus áreas y lados para desarrollar expresiones algebraicas equivalentes que representen el área total. Los docentes comparten ejemplos de cómo llevar a cabo estas actividades de manera individual y grupal usando materiales concretos o herramientas digitales como GeoGebra.
El documento explica el concepto matemático de pendiente, que se refiere a la inclinación de una recta. Define la pendiente como la diferencia entre las coordenadas y de dos puntos dividida por la diferencia entre sus coordenadas x. Explica que rectas paralelas tienen la misma pendiente, mientras que rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es -1. Como ejemplo, demuestra que tres puntos dados están en la misma recta calculando que tienen la misma pendiente.
Este documento presenta fórmulas para calcular el perímetro y el área de varias figuras planas comunes como cuadrados, rectángulos, triángulos y círculos. Proporciona las expresiones matemáticas para el perímetro y el área de cada figura en términos de sus lados y otras medidas.
El documento explica los conceptos de ángulo geométrico y ángulo trigonométrico, incluyendo sus características y diferencias. También describe los principales sistemas de medición angular como el sexagesimal, centesimal y radial, además de establecer equivalencias y relaciones entre ellos. Finalmente, presenta algunos problemas resueltos como ejemplos.
Este documento presenta una webquest sobre el Teorema de Pitágoras desarrollada por un grupo estudiantil. La tarea consiste en que cada estudiante investigue la mitad de las páginas web provistas y luego compartan sus hallazgos con el grupo. El documento también explica brevemente la historia de los triángulos rectángulos y presenta algunas preguntas sobre sus propiedades junto con sus respuestas, incluyendo el Teorema de Pitágoras.
Este documento describe los diferentes tipos de cuerpos geométricos, incluyendo poliedros, cuerpos redondos y sus características. Explica que los poliedros se dividen en regulares e irregulares, y estos últimos en prismas y pirámides. También describe los cuerpos redondos principales como el cilindro, cono y esfera, y proporciona enlaces adicionales para obtener más información sobre cada tipo de cuerpo geométrico.
Presentacion De Circunferencia TrigonometricaMarisa Perez
La circunferencia trigonométrica representa las razones trigonométricas de cualquier ángulo mediante la construcción de una circunferencia unitaria. En ella, el seno de un ángulo es la ordenada y, el coseno, la abscisa del punto correspondiente al extremo del arco. La tangente se define como la razón entre el seno y el coseno.
Este documento presenta conceptos básicos del sistema de coordenadas cartesianas, incluyendo la fórmula para calcular el punto medio de un segmento, las ecuaciones para circunferencias cuando el centro está en el origen o no, y las fórmulas para calcular distancias entre puntos. También incluye ejemplos para aplicar estos conceptos.
Propuesta didáctica. pdf. thania y ericsonyolimar vivas
Este documento presenta una propuesta didáctica para la enseñanza de las razones trigonométricas a estudiantes de cuarto año de educación media general. La propuesta se basa en el modelo de Van Hiele, el cual consta de cinco fases de razonamiento geométrico que se desarrollarán en tres clases. La propuesta busca mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje de las razones trigonométricas mediante actividades participativas que promuevan la creatividad de los estudiantes. La primera clase introducirá
El documento explica las leyes del seno y coseno para resolver problemas geométricos. La ley del seno establece que los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. La ley del coseno dice que el cuadrado de cada lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ambos por el coseno del ángulo entre ellos. A continuación, presenta ejemplos de aplicación de estas leyes.
Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30ºMartin Glez Martinez
Este documento explica cómo calcular los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° usando triángulos rectángulos e isósceles. Primero se usa un triángulo equilátero para obtener triángulos 30-60-90 y 45-45-90, y luego un triángulo isósceles para obtener un triángulo 45-45-90. Estos triángulos permiten calcular las razones trigonométricas para estos ángulos y resolver problemas usando estas funciones.
Este documento trata sobre la geometría y los polígonos. Explica que la geometría estudia las figuras planas y en el espacio, y que los polígonos son figuras planas formadas por segmentos unidos en vértices. Luego define conceptos como polígonos regulares e irregulares, y explica cómo calcular el perímetro y área de diferentes polígonos como triángulos, cuadrados y rombos.
El documento describe una experiencia educativa que utiliza software de geometría dinámica para explorar las teselaciones, fractales y construcciones imposibles en el arte, con el objetivo de desarrollar el razonamiento geométrico y espacial en estudiantes. Se presenta al artista M. C. Escher como inspiración y se explica cómo su obra se presta para ser recreada utilizando isometrías. El proyecto ha involucrado a estudiantes de secundaria y universidad, generando diversos resultados creativos e institucionales a lo largo
Este documento describe los diferentes tipos de cuerpos geométricos tridimensionales. Explica que los cuerpos geométricos pueden ser poliedros o cuerpos redondos. Los poliedros se dividen en regulares e irregulares dependiendo del tamaño y forma de sus caras. También describe los elementos básicos de los poliedros como caras, aristas y vértices. Finalmente, detalla los tipos específicos de poliedros regulares e irregulares así como los cuerpos redondos principales como el cono, la esfera y
Este documento describe cómo resolver triángulos oblicuángulos utilizando la ley de senos y la ley de cosenos. Explica que la ley de senos relaciona los lados y ángulos de un triángulo, y que la ley de cosenos es una extensión del teorema de Pitágoras. Incluye ejemplos resueltos aplicando ambas leyes y propone ejercicios adicionales para practicar.
La simetría central ocurre cuando cada parte de una figura tiene una parte correspondiente que está a la misma distancia del punto central pero en la dirección opuesta. Algunos ejemplos de simetría central incluyen letras como X, H, I, S, N y Z, así como naipes que se ven iguales desde arriba o abajo. La simetría central implica una rotación de 180 grados alrededor de un punto central.
El documento describe cómo calcular el área de varios cuerpos geométricos tridimensionales, incluyendo prismas, pirámides, troncos de pirámide, cilindros, conos y esferas. Explica que el área de un prisma o poliedro es la suma de las áreas de sus caras, y cómo calcular el área lateral y total. Luego proporciona ejemplos resueltos de cómo calcular el área de estos diferentes objetos.
áNgulos de 30°, 60° y 90° en el plano cartesianoamtlucca
El documento describe cómo ubicar los ángulos de 30°, 60° y 45° en el plano cartesiano. Para cada ángulo, se recuerda el triángulo rectángulo correspondiente, se ubica de modo que el vértice coincida con el origen, y se indica la posición del punto en el lado opuesto al ángulo considerando x = 1/2, junto con sus coordenadas. El objetivo es marcar cada ángulo en su posición estándar.
El documento presenta cálculos matemáticos realizados en MATLAB con dos vectores dados, A = [2, 6, 8] y B = [3, 5, 4]. Se calculan la suma, resta, módulo, producto punto, producto cruz y otros valores de los vectores. También se grafica el movimiento de un proyectil usando los valores del módulo y ángulo formado por los vectores.
La trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y lados de los triángulos. Se usa para medir distancias en astronomía, geografía y navegación por satélite. Sus aplicaciones incluyen la determinación de distancias inaccesibles en campos como la navegación, geodesia y astronomía. También se usa en física e ingeniería para estudiar fenómenos periódicos.
El documento explica cómo calcular el área de diferentes figuras geométricas, incluyendo cuadrados, rectángulos, triángulos, rombos, trapecios, trapezoides y polígonos regulares. Proporciona fórmulas para hallar el área multiplicando las medidas de la base y la altura, las diagonales, o los lados y la apotema, dependiendo de la figura.
El documento presenta un taller sobre triángulos para estudiantes de grado 10. Explica conceptos clave como perímetro, área, altura y fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo. Incluye ejemplos y 4 problemas a resolver relacionados con el cálculo de perímetros, áreas y aplicación de la fórmula de Herón para triángulos.
Secuencias para el aula expresiones algebraicas y modelos de areaNoemi Haponiuk
Este documento presenta actividades para trabajar expresiones algebraicas y modelos de área en el aula de matemática del nivel secundario. Propone construir figuras geométricas como cuadrados y rectángulos usando medidas variables, y analizar la relación entre sus áreas y lados para desarrollar expresiones algebraicas equivalentes que representen el área total. Los docentes comparten ejemplos de cómo llevar a cabo estas actividades de manera individual y grupal usando materiales concretos o herramientas digitales como GeoGebra.
El documento explica el concepto matemático de pendiente, que se refiere a la inclinación de una recta. Define la pendiente como la diferencia entre las coordenadas y de dos puntos dividida por la diferencia entre sus coordenadas x. Explica que rectas paralelas tienen la misma pendiente, mientras que rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es -1. Como ejemplo, demuestra que tres puntos dados están en la misma recta calculando que tienen la misma pendiente.
Este documento presenta fórmulas para calcular el perímetro y el área de varias figuras planas comunes como cuadrados, rectángulos, triángulos y círculos. Proporciona las expresiones matemáticas para el perímetro y el área de cada figura en términos de sus lados y otras medidas.
El documento explica los conceptos de ángulo geométrico y ángulo trigonométrico, incluyendo sus características y diferencias. También describe los principales sistemas de medición angular como el sexagesimal, centesimal y radial, además de establecer equivalencias y relaciones entre ellos. Finalmente, presenta algunos problemas resueltos como ejemplos.
Este documento presenta una webquest sobre el Teorema de Pitágoras desarrollada por un grupo estudiantil. La tarea consiste en que cada estudiante investigue la mitad de las páginas web provistas y luego compartan sus hallazgos con el grupo. El documento también explica brevemente la historia de los triángulos rectángulos y presenta algunas preguntas sobre sus propiedades junto con sus respuestas, incluyendo el Teorema de Pitágoras.
Este documento describe los diferentes tipos de cuerpos geométricos, incluyendo poliedros, cuerpos redondos y sus características. Explica que los poliedros se dividen en regulares e irregulares, y estos últimos en prismas y pirámides. También describe los cuerpos redondos principales como el cilindro, cono y esfera, y proporciona enlaces adicionales para obtener más información sobre cada tipo de cuerpo geométrico.
Este documento presenta una actividad de aprendizaje sobre la construcción de poliedros regulares utilizando el método de tejados. Se pide construir un tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, explicando primero las características de los poliedros regulares.
Este documento presenta una guía para un taller sobre geometría y trigonometría. Incluye definiciones de varios tipos de poliedros regulares e irregulares, así como fórmulas para calcular el área y volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. También proporciona bibliografía recomendada para el curso.
Este documento presenta un resumen de una lección sobre teselados. Explica que los teselados son figuras geométricas que se repiten para cubrir una superficie sin dejar espacios. Cubren el plano usando polígonos regulares e irregulares. También analiza cómo diferentes combinaciones de polígonos regulares pueden cubrir el plano dependiendo de la suma de sus ángulos interiores alrededor de un vértice.
Este documento presenta información sobre geometría y trigonometría, incluyendo definiciones de poliedros regulares e irregulares, sus elementos y fórmulas para calcular áreas y volúmenes. También explica conceptos básicos de prismas, pirámides, cilindros, conos y figuras esféricas.
Este documento describe diferentes cuerpos geométricos, incluyendo sus características y fórmulas. Explica los poliedros, cuerpos redondos y la fórmula de Euler. También presenta un proyecto donde los estudiantes deben identificar cuerpos geométricos en su entorno y publicar fotos y cálculos en un blog.
Este documento describe diferentes cuerpos geométricos, incluyendo sus características y fórmulas. Explica que los cuerpos geométricos tienen área y volumen y se clasifican en poliedros y cuerpos redondos. Detalla los elementos que componen los poliedros como caras, aristas y vértices. También describe los poliedros regulares e irregulares y los cuerpos redondos como cilindros, conos y esferas. Finalmente, propone un proyecto para que los estudiantes identifiquen cuerpos geomé
Este documento describe diferentes cuerpos geométricos, incluyendo sus características y fórmulas. Explica que los cuerpos geométricos tienen área y volumen y se clasifican en poliedros y cuerpos redondos. Luego describe poliedros regulares e irregulares, y cuerpos redondos como cilindros, conos y esferas. Finalmente, propone un proyecto para que los estudiantes identifiquen cuerpos geométricos en su entorno y publiquen fotografías y cálculos en un blog.
Los sólidos platónicos son los únicos poliedros que tienen caras regulares iguales y en los que el mismo número de caras se unen en cada vértice. Los cinco sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Cada sólido platónico tiene propiedades únicas de simetría y regularidad.
Este documento resume los diferentes tipos de cuerpos geométricos, incluyendo poliedros, cuerpos redondos y cuerpos regulares. Explica sus características clave como el número de caras, aristas y vértices, y proporciona ejemplos de áreas, volúmenes y otros cálculos geométricos para cada forma. Finalmente, incluye problemas resueltos como ejercicios de práctica.
Este documento describe los diferentes tipos de cuerpos geométricos, incluyendo poliedros (como el tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro), cuerpos redondos (como el cono, esfera y cilindro), y poliedros irregulares. Explica las características de los cinco poliedros regulares y cómo fueron estudiados por los matemáticos griegos. También menciona la fórmula de Euler para poliedros convexos.
Este documento describe diferentes tipos de cuerpos geométricos, incluyendo poliedros regulares e irregulares, así como cuerpos redondos como esferas, conos y cilindros. Explica que los poliedros están limitados por caras planas mientras que los cuerpos redondos tienen superficies curvas. También proporciona detalles sobre los cinco poliedros regulares y sus características distintivas.
El documento habla sobre los cuerpos geométricos, incluyendo su área, volumen y clasificación. Explica que los poliedros son cuerpos con caras planas y los cuerpos redondos tienen superficies curvas. Describe los poliedros regulares como los platónicos y los irregulares como prismas y pirámides. Finalmente, propone un proyecto para identificar cuerpos geométricos en el entorno y calcular sus medidas.
Este documento describe los poliedros, sus características y clasificaciones. Explica que los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares y describe sus elementos como vértices, aristas y caras. También describe los cinco poliedros regulares conocidos como los sólidos platónicos - el tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro - e incluye información sobre sus caras, aristas y vértices. Además, explica la relación de Euler que relaciona estas características en los
Trigonometría y cuerpos sólidos como base para la solución de situaciones significativas del quehacer en la actividad técnica u en pos de la Ingeniería
Este documento explica el concepto de teselación y cómo se pueden clasificar en regulares, semirregulares e irregulares. Se mencionan ejemplos comunes de teselaciones como las escamas de los peces, el panal de abejas, el balón de fútbol y las baldosas del suelo. El objetivo es motivar a los estudiantes a aprender más sobre la geometría a través del estudio de este interesante tema.
El documento presenta una demostración "simétrica" del teorema de Pitágoras. Se construye un triángulo rectángulo y cuadrados sobre cada uno de sus lados. El área del cuadrado mayor, correspondiente a la hipotenusa, se divide en cuatro partes iguales mediante líneas paralelas y perpendiculares a los lados. Estas cuatro partes y el cuadrado del cateto menor pueden reconstruir el cuadrado mayor, mostrando que su área es igual a la suma de las áreas de los cuadrados
Este documento presenta una introducción a los cuerpos geométricos. Explica que los cuerpos geométricos son objetos tridimensionales con formas regulares como cajas, pirámides, cilindros y esferas. Clasifica los cuerpos geométricos en poliedros, cuyas caras son polígonos, y sólidos de revolución generados por la rotación de una figura plana. Luego se enfoca en los poliedros, definiendo sus elementos como caras, aristas, vértices, ángulos diedros y triedros.
Este documento trata sobre los cuerpos geométricos. Explica conceptos básicos como poliedros, cuerpos redondos y clasificación de cuerpos geométricos. También cubre temas como área de cuerpos geométricos, fórmulas para calcular áreas, elementos de los poliedros y breve historia del estudio de los poliedros desde la antigüedad hasta la actualidad.
El documento presenta la resolución de varios ejercicios que implican derivar funciones logarítmicas. Explica los pasos para derivar funciones como f(x) = ln((1+x)/(1-x)), f(x) = ln(1+x^2)-ln(1-x^2) y f(x) = xln(x) utilizando propiedades de los logaritmos y reglas de derivación.
El documento presenta una guía sobre derivadas de potencias y funciones exponenciales. Incluye 8 ejercicios resueltos que muestran cómo calcular derivadas aplicando fórmulas como la derivada de una suma, la derivada de funciones exponenciales, la derivada de una fracción y la derivada de una raíz. Cada ejercicio explica brevemente los pasos para derivar la función dada y presenta la solución.
Este documento explica cómo crear disparadores (triggers) en MySQL para registrar automáticamente cambios en una tabla de clientes en una tabla de seguridad. Se definen tres triggers: uno para insertar registros, otro para actualizarlos y otro para eliminarlos. El documento también muestra cómo probar los triggers insertando, actualizando y eliminando registros de la tabla de clientes.
MySQL Workbench es una herramienta visual para modelar datos, desarrollar SQL, administrar servidores y bases de datos. Proporciona funciones como modelado de datos, desarrollo SQL, administración de usuarios, copias de seguridad y auditoría. Está disponible para Windows, Linux y Mac OS X y se puede descargar de la página web de MySQL.
MySQL Workbench es una herramienta visual para modelar bases de datos, desarrollar consultas SQL, y administrar servidores y usuarios de bases de datos. Proporciona funciones como modelado de datos, desarrollo de SQL, copia de seguridad, auditoría e inspección de esquemas. Está disponible para Windows, Linux y Mac OS X.
MySQL Workbench es una herramienta visual para modelar datos, desarrollar SQL, administrar servidores y usuarios de bases de datos MySQL, y migrar bases de datos entre otros usos; está disponible para Windows, Linux y Mac OS X y se puede descargar e instalar gratuitamente desde la página web de MySQL.
Las vistas en Microsoft Access permiten crear consultas a las tablas de una base de datos como una forma de mejorar la seguridad y el rendimiento. Una vista oculta el nombre real de la tabla subyacente y funciona como una tabla lógica aunque no almacena datos reales. El documento muestra cómo crear una vista a partir de una tabla de ejemplo y luego consultar y actualizar datos usando la vista en lugar de la tabla directamente.
Este documento presenta un material educativo con ecuaciones y problemas resueltos de álgebra lineal y geometría analítica. Incluye 7 problemas resueltos que tratan sobre rectas y planos en el espacio, esferas, hiperboloides, círculos y derivadas. El autor espera que este material sea útil para aquellos que buscan avanzar en su conocimiento.
Este documento proporciona instrucciones para eliminar virus de acceso directo que ocultan carpetas reales y archivos. Explica que primero se debe usar un antivirus para eliminar las carpetas de acceso directo infectadas. Luego, siguiendo tres pasos sencillos en la consola de comandos: 1) identificar la unidad infectada, 2) abrir la unidad y restaurar los atributos del directorio, y 3) esperar a que se restauren los archivos y salir de la consola. Esto permitirá volver a ver las carpetas y archivos original
Este documento resume dos ecuaciones diferenciales importantes: la ecuación diferencial de Bessel y la ecuación diferencial de Legendre. La ecuación de Bessel describe ondas expansivas y sus soluciones son las funciones de Bessel. La ecuación de Legendre describe problemas de valores propios esféricos y sus soluciones son los polinomios de Legendre y las funciones de Legendre. El documento explica cómo resolver ambas ecuaciones mediante el método de Frobenius y describe las propiedades de sus soluciones.
El aprendizaje basado en problemas (ABP) es una metodología educativa que se originó en las escuelas de medicina en los años 1960 en EE.UU. y Canadá con el objetivo de mejorar la educación médica. Actualmente se usa en la educación superior y diversas áreas. En el ABP, los estudiantes aprenden resolviendo problemas propuestos por los profesores mediante la investigación, reflexión y trabajo en equipo para llegar a una solución. Proporciona beneficios como el pensamiento crítico, la creatividad y el desarrol
1) La función gamma fue definida por Euler mediante una integral desde 0 hasta infinito de e^-t * t^(x-1) dt, donde x es mayor que 0. 2) Se demuestran algunas propiedades como Γ(1) = 1, Γ(1/2) = π, Γ(x+1) = xΓ(x). 3) También se presenta el teorema de la función gamma que relaciona Γ(x)Γ(1-x) con π/sen(πx) para valores de x entre 0 y 1.
Este documento describe los diferentes tipos de distribución de frecuencia que se pueden usar para organizar y analizar conjuntos de datos. Explica las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas, y cómo se pueden usar intervalos de clase para agrupar datos continuos en una tabla de distribución de frecuencia. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar cómo calcular estas medidas de frecuencia.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
2. Cuerpos geométricos
2
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Asesor:
Ing. Jair Ospino Ardila
jairospino@ingenieros.com
Tel: (+57) 314 839 7817
Sobre la licencia
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es
3. Cuerpos geométricos
3
Contenido
Cuerpos geométricos.................................................................................................................6
Poliedro..........................................................................................................................................7
Poliedro regular ..........................................................................................................................7
Tetraedro.............................................................................................................................7
Cubo (hexaedro regular).................................................................................................8
Octaedro...............................................................................................................................8
Dodecaedro..........................................................................................................................9
Icosaedro .............................................................................................................................9
Poliedro irregular.....................................................................................................................10
Prisma ..................................................................................................................................10
1 - Prisma según el Número de lados de la base....................................................11
2 – Prisma Regular o irregular.....................................................................................12
3 - Prisma Recto u oblicuo............................................................................................12
4 - Prisma Convexo o cóncavo: ....................................................................................12
Área del prisma ....................................................................................................................13
Área del prisma triangular regular................................................................................13
Área del prisma triangular irregular.............................................................................13
Área del prisma triangular oblicuo ................................................................................15
Volumen del prisma..............................................................................................................15
Pirámide ..............................................................................................................................16
Tipos de pirámide.................................................................................................................17
1 – Pirámide según el Número de lados de la base...............................................17
2 - Pirámide Regular o irregular.................................................................................18
3 - Pirámide Recta u oblicua ........................................................................................18
4 - Pirámide Convexa o cóncava..................................................................................19
Área de la pirámide.............................................................................................................19
4. Cuerpos geométricos
4
Área de la pirámide regular .............................................................................................20
Volumen de la pirámide ......................................................................................................20
Volumen de la pirámide según los lados de la base ..................................................20
Volumen de la pirámide triangular .................................................................................20
Volumen de la pirámide cuadrangular ...........................................................................22
Volumen de la pirámide pentagonal................................................................................23
Volumen de la pirámide hexagonal .................................................................................24
Superficies de revolución......................................................................................................25
Esfera..................................................................................................................................25
Elementos de una esfera...................................................................................................25
Área de la esfera.................................................................................................................26
Volumen de la esfera ..........................................................................................................26
Particiones de la esfera ....................................................................................................27
Cilindro ................................................................................................................................33
Superficie cilíndrica de revolución................................................................................33
Elementos del cilindro........................................................................................................34
Tipos de cilindros.................................................................................................................35
Área del cilindro...................................................................................................................37
Volumen del cilindro............................................................................................................38
Cono ......................................................................................................................................41
Superficie cónica de revolución......................................................................................41
Elementos del cono..............................................................................................................42
Área del cono.........................................................................................................................43
Tipos de cono.........................................................................................................................44
Volumen del cono..................................................................................................................45
Tronco de cono .................................................................................................................47
Área del tronco de cono....................................................................................................47
Volumen del tronco de cono .............................................................................................50
7. Cuerpos geométricos
7
Poliedro
Es un cuerpo geométrico de tres dimensiones cuyas caras son polígonos.
Las partes fundamentales de un poliedro son:
Caras: son los polígonos que lo delimitan.
Aristas: lados en los que concurren dos polígonos.
Vértices: puntos de unión de varias aristas.
Poliedro regular
Es aquel que sus caras son polígonos regulares y son todas iguales. Las aristas
también son todas iguales.
Éstos son los únicos cuerpos geométricos regulares. Existen sólo cinco tipos de
poliedros regulares:
Tetraedro Un tetraedro es un poliedro cuya
superficie está formada por cuatro
triángulos equiláteros iguales.
Área: 𝐴 = 𝑎2
√3
Volumen: 𝑉 =
√2
12
𝑎3
8. Cuerpos geométricos
8
Cubo (hexaedro regular)
Según el Teorema de Euler para poliedros,
el hexaedro regular tiene seis caras, doce
aristas y ocho vértices.
El cubo es un poliedro regular
compuesto por seis cuadrados
iguales.
Área: 𝐴 = 6 𝑎2
Área: 𝐴 = 6 (
𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙
√3
)
2
Volumen: 𝑉 = 𝑎3
Octaedro
Según el Teorema de Euler para poliedros, el
octaedro tiene ocho caras, doce aristas y
seis vértices.
El octaedro (u octoedro) es un
poliedro formado por ocho caras. Si
éstas son triángulos equiláteros
iguales, se trata de un octaedro
regular, uno de los cinco sólidos
perfectos (o sólidos platónicos).
Área: 𝐴 = 2 𝑎2
√3
Volumen: 𝑉 =
1
3
𝑎3
√2
Diagonal: a √2
9. Cuerpos geométricos
9
Dodecaedro
Según el Teorema de Euler para poliedros,
el dodecaedro regular tiene doce caras,
treinta aristas y veinte vértices.
El dodecaedro es un poliedro
regular formado por doce
pentágonos regulares iguales.
Es uno de los cinco sólidos
platónicos.
Área: 𝐴 = 3 𝑎2 √25 + 10√5
Volumen: 𝑉 =
1
4
𝑎3
(15 + 7√5)
Icosaedro
Según el Teorema de Euler para poliedros,
el icosaedro tiene veinte caras, treinta
aristas y doce vértices
El icosaedro es un poliedro
formado por veinte caras. Si éstas
son triángulos equiláteros iguales,
se trata de un icosaedro regular,
uno de los cinco sólidos perfectos
(o sólidos platónicos).
Área: 𝐴 = 5 𝑎2
√3
Volumen: 𝑉 =
5
12
𝑎3(3 + √5)
10. Cuerpos geométricos
10
Poliedro irregular
Los poliedros irregulares son poliedros cuyas caras son polígonos no todos
iguales.
Prisma Un prisma es un poliedro cuya
superficie está formada por dos
caras iguales y paralelas llamadas
bases y por caras laterales
(tantas como lados tienen las
bases) que son paralelogramos.
Todas las secciones del prisma
paralelas a las bases son iguales.
En un prisma se pueden diferenciar los siguientes elementos:
Bases (B): polígonos cualquiera. Cada prisma tiene dos bases, siendo
ambas iguales y paralelas.
Caras (C): los paralelogramos de los laterales y las bases.
Altura (h): distancia entre las dos bases del prisma. En el caso
del prisma recto la longitud de la altura h y la de las aristas de las caras
laterales coinciden.
Vértices (V): puntos donde confluyen las caras del prisma.
Aristas (A): cada uno de los lados de las caras.
Por el teorema de Euler, se puede saber el número de aristas (A) sabiendo el
número de caras (C) y de vértices (V).
11. Cuerpos geométricos
11
Los prismas se pueden clasificar de acuerdo a cuatro criterios:
1 - Prisma según el Número de lados de la base
Los prismas se pueden clasificar según el número de lados que tienen
sus bases:
Prisma triangular: las bases son triángulos (3 lados).
Por el teorema de Euler, se
puede saber el número de aristas
(A) sabiendo el número de caras
(C) y de vértices (V)
En un prisma triangular se pueden diferenciar
los siguientes elementos:
Bases (B): son dos triángulos paralelos e
iguales.
Caras (C): los tres paralelogramos de las
caras laterales y las dos bases. Tiene cinco
caras.
Altura (h): distancia entre las dos bases
del prisma. En el caso del prisma recto la
longitud de la altura h y la de las aristas
de las caras laterales coinciden.
Vértices (V): puntos donde confluyen tres
caras del prisma. Tiene seis.
Aristas (A): segmentos donde se
encuentran dos caras del prisma.
Prisma cuadrangular: las bases son cuadriláteros (4 lados).
Prisma pentagonal: las bases son pentágonos (5 lados).
Prisma hexagonal: las bases son hexágonos (6 lados).
12. Cuerpos geométricos
12
2 – Prisma Regular o irregular
Prisma regular: un prisma es regular si sus bases son polígonos regulares.
Prisma irregular: los prismas son irregulares si tienen polígonos
irregulares en su base.
3 - Prisma Recto u oblicuo
Prisma recto: si los ejes de los polígonos de las bases son
perpendiculares a las bases. Las caras laterales
son cuadrados o rectángulos.
Prisma oblicuo: es aquel cuyos ejes de los polígonos de las bases se unen
por una recta oblicua a las bases mismas.
4 - Prisma Convexo o cóncavo:
13. Cuerpos geométricos
13
Prisma convexo: el prisma es convexo si sus bases son polígonos
convexos.
Prisma cóncavo: el prisma cóncavo tiene como bases dos polígonos
cóncavos iguales.
Área del prisma
Área del prisma triangular regular (El prisma triangular regular es aquel que tiene
como bases dos triángulos equiláteros. Sus caras laterales son rectángulos iguales.)
𝐴 = 𝐿 (𝐿
√3
2
+ 3ℎ)
Área del prisma triangular irregular (El prisma triangular irregular tiene como
bases dos triángulos que no son equiláteros)
En los tres casos será necesario calcular el área del triángulo de una base (Ab),
el perímetro de la misma (Pb) y la altura (h) del prisma. La fórmula de
su área es:
𝐴 = 2 𝐴 𝑏 + 𝑃𝑏 ∙ ℎ
Se pueden dar tres casos:
Las bases son triángulos isósceles.
El área de un triángulo isósceles se calcula a partir de la base b (el lado no repetido) y
la altura (h) del triángulo correspondiente a la base. El área es el producto de la base
y la altura dividido por dos, siendo su fórmula es:
14. Cuerpos geométricos
14
ℎ = √ 𝑎2 −
𝑏
2
4
𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
Las bases son triángulos escalenos.
El área de un triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se
conocen todos sus lados (a, b y c).
También se podría calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho
lado.
𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
Las bases son triángulos rectángulos.
El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con
uno de sus lados (a).
15. Cuerpos geométricos
15
La altura h puede obtenerse
conociendo los tres lados del triángulo
rectángulo.
ℎ =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑐
Su área es la mitad del producto de los
dos lados que forman el ángulo recto
(catetos a y b).
𝐴 =
𝑏 ∙ 𝑎
2
Siendo b la base y a, el lado que
coincide con la altura
Área del prisma triangular oblicuo (Las áreas de las bases se calculan de la misma
forma, pero el área de los laterales se calcula mediante una arista lateral y el perímetro
de la sección recta del prisma. La sección recta es la intersección de un plano con
el prisma, de manera que forme un ángulo de 90º con cada una de las aristas laterales.)
Á𝑟𝑒𝑎 = 2 𝐴 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑃𝑠𝑟
Siendo Ab el área de la base, Psr el
perímetro de la sección recta y a una
arista lateral
Volumen del prisma
El volumen del prisma es el producto del área de la base (Ab) por la altura del
prisma (h). En un prisma recto la altura coincide con una altura lateral,
mientras que en un prisma oblicuo no.
16. Cuerpos geométricos
16
𝑉 = 𝐴 𝑏 ∗ h
Pirámide Una pirámide es un poliedro cuya
superficie está formada por una base
que es un polígono cualquiera y caras
laterales triangulares que confluyen en
un vértice que se denomina ápice (o
vértice de la pirámide). Las pirámides
tienen tantos triángulos en las caras
laterales como lados tiene la base.
En una pirámide se pueden diferenciar los siguientes elementos:
Base (B): polígono cualquiera. Es la única cara que no toca al vértice de la
pirámide.
Caras (C): los triángulos de los laterales y la base.
Aristas (a): segmentos donde se encuentran dos caras de la pirámide.
Podemos distinguir: aristas laterales, que son las que llegan al vértice (o
ápice) y aristas básicas, que están en la base.
17. Cuerpos geométricos
17
Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.
Vértice de la pirámide (V): punto donde confluyen las caras laterales
triangulares. También se llama ápice.
Apotema de la pirámide (ap): distancia del vértice a un lado de la base.
Solo existe en las pirámides regulares. Puesto que en este caso las caras
laterales son isósceles, la apotema de la pirámide es también la altura de
las caras laterales.
Apotema de la base (apb): distancia de un lado de la base al centro de
ésta. Solo existe en las pirámides regulares.
La apotema de la pirámide es la distancia del ápice a un lado de la base. Solo
existe en las pirámides regulares.
En las pirámides regulares, la altura (h), la apotema de la base (apb) y
la apotema de la pirámide (ap) forman un triángulo rectángulo. Por el teorema
de Pitágoras, conociendo la altura (h) y la apotema de la base (apb) podemos
calcular la apotema:
Siendo h la altura apb la apotema de la base y ap la apotema de la pirámide
Tipos de pirámide
Las pirámides se pueden clasificar mediante cuatro criterios:
1 – Pirámide según el Número de lados de la base
Las pirámides se pueden clasificar según el número de lados que tiene su base:
Pirámide triangular: la base es un triángulo (3 lados).
Pirámide cuadrangular: la base es un cuadrilátero (4 lados).
Pirámide pentagonal: la base es un pentágono (5 lados).
Pirámide hexagonal: la base es un hexágono (6 lados).
Etcétera
18. Cuerpos geométricos
18
2 - Pirámide Regular o irregular
Pirámide regular: una pirámide es regular si la base es un polígono regular y a
su vez es una pirámide recta. Las caras laterales son triángulos isósceles e
iguales entre sí.
Pirámide irregular: cuando la base es un polígono irregular o bien es
una pirámide oblicua.
3 - Pirámide Recta u oblicua
Pirámide recta: la pirámide es recta cuando todas sus caras laterales
son triángulos isósceles. En este caso, la recta perpendicular a la base que pasa
por el vértice de la pirámide corta a la base por el centro del polígono.
Pirámide oblicua: la pirámide es oblicua cuando no todos los triángulos laterales
son isósceles.
19. Cuerpos geométricos
19
4 - Pirámide Convexa o cóncava
Pirámide convexa: la pirámide es convexa si la base es un polígono convexo.
Pirámide cóncava: la pirámide es cóncava si el polígono de la base es cóncavo.
Área de la pirámide
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐴 𝑏 + 𝐴𝑙
Siendo 𝐴 𝑏 el área de la base y 𝐴𝑙 el
área de las caras laterales
El área de la pirámide se calcula mediante la suma del área de la base (Ab) y el
área de los triángulos de las caras laterales (Al).
El área de la base (Ab) se calcula según el polígono que sea la base.
El área de las caras laterales (Al) es la suma del área de los triángulos de las
caras laterales. La pirámide tiene tantos triángulos como aristas tiene la base.
20. Cuerpos geométricos
20
Área de la pirámide regular
La pirámide regular es aquella que tiene un polígono regular como base y
es recta. Sea una pirámide regular con la base de N aristas.
Volumen de la pirámide
El volumen de la pirámide es un tercio del área de la base de la pirámide (Ab) y
su altura (h).
𝑉 =
1
3
𝐴 𝑏 ∙ ℎ
Volumen de la pirámide según los lados de la base
Volumen de la pirámide triangular
Volumen de una pirámide triangular regular
21. Cuerpos geométricos
21
El volumen de la pirámide triangular regular es el producto del área de la base
(Ab) por la altura (h) de la pirámide dividido por tres. El área de la base es
el área de un triángulo equilátero. Por lo tanto, su fórmula es:
Volumen de la pirámide triangular irregular
La pirámide triangular irregular no admite una fórmula particular para
su volumen, ya que depende del área de la base (Ab). Es por ello que para
calcularlo se recurre a la fórmula general del volumen de la pirámide.
𝑉 =
1
3
𝐴 𝑏 ∙ ℎ
El volumen de una pirámide recta y de una pirámide oblicua de igual altura es el
mismo si al ser cortadas por cualquier plano paralelo a sus bases se producen
en ellas secciones de igual área, aplicando el principio de Cavalieri.
22. Cuerpos geométricos
22
Volumen de la pirámide cuadrangular
Volumen de una pirámide cuadrangular regular
El volumen de la pirámide cuadrangular regular es el producto del área de la
base (Ab) por la altura (h) de la pirámide dividido por tres. El área de la base
es el área del cuadrado. Por lo tanto, su fórmula es:
Volumen de la pirámide cuadrangular irregular
La pirámide cuadrangular irregular no admite una fórmula particular para
su volumen, ya que depende del área de la base (Ab). Es por ello que para
calcularlo se recurre a la fórmula general del volumen de la pirámide.
𝑉 =
1
3
𝐴 𝑏 ∙ ℎ
23. Cuerpos geométricos
23
El volumen de una pirámide recta y de una pirámide oblicua de igual altura es el
mismo si al ser cortadas por cualquier plano paralelo a sus bases se producen
en ellas secciones de igual área, aplicando el principio de Cavalieri.
Volumen de la pirámide pentagonal
Volumen de una pirámide pentagonal regular
El volumen de la pirámide pentagonal regular es el producto del área de la base
(Ab) por la altura (h) de la pirámide dividido por tres. El área de la base es
el área del pentágono regular. Por lo tanto, su fórmula es:
Volumen de una pirámide pentagonal irregular
La pirámide pentagonal irregular no admite una fórmula particular para
su volumen, ya que depende del área de la base (Ab). Es por ello que para
calcularlo se recurre a la fórmula general del volumen de la pirámide.
𝑉 =
1
3
𝐴 𝑏 ∙ ℎ
24. Cuerpos geométricos
24
El volumen de una pirámide recta y de una pirámide oblicua de igual altura es el
mismo si al ser cortadas por cualquier plano paralelo a sus bases se producen
en ellas secciones de igual área, aplicando el principio de Cavalieri.
Volumen de la pirámide hexagonal
Volumen de la pirámide hexagonal regular
El volumen de una pirámide hexagonal regular es el producto del área de la
base (Ab) por la altura (h) de la pirámide dividido por tres. El área de la base
es el área del hexágono regular. Por lo tanto, su fórmula es:
Volumen de la pirámide hexagonal irregular
La pirámide hexagonal irregular no admite una fórmula particular para
su volumen, ya que depende del área de la base (Ab). Es por ello que para
calcularlo se recurre a la fórmula general del volumen de la pirámide.
𝑉 =
1
3
𝐴 𝑏 ∙ ℎ
25. Cuerpos geométricos
25
El volumen de una pirámide recta y de una pirámide oblicua de igual altura es el
mismo si al ser cortadas por cualquier plano paralelo a sus bases se producen
en ellas secciones de igual área, aplicando el principio de Cavalieri.
Superficies de revolución
Las superficies de revolución (o cuerpos redondos) son las figuras geométricas
generadas por el giro de una figura del plano alrededor de un eje.
Esfera La esfera (o superficie esférica) es
el sólido de revolución generado por
un semicírculo al girar sobre su
diámetro.
O lo que es lo mismo, es el conjunto
de puntos del espacio tridimensional
que equidistan de un punto definido
como el centro de la esfera.
Elementos de una esfera
26. Cuerpos geométricos
26
Los elementos de una esfera son los siguientes:
Centro: es el punto del que equidistan todos los puntos de la superficie
de la esfera (O).
Radio: distancia desde el centro a cualquiera de sus puntos (r).
Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la superficie
esférica.
Diámetro: Una cuerda que pasa por el centro de la esfera (D). Su
longitud es dos veces el radio.
Eje: línea sobre la que gira el semicírculo generador (o sobre la que gira
la semicircunferencia generadora, desde el punto de vista de la
superficie esférica).
Polos: Los dos puntos en que el eje pasa por la superficie esférica
(P1 y P2).
Meridianos: circunferencias en la superficie esférica resultantes del
corte de cualquier plano que pase por el eje. De otra manera, planos que
pasan por los dos polos.
Paralelos: circunferencias resultantes en la superficie esférica del corte
de los planos perpendiculares al eje.
Ecuador: el paralelo de máxima longitud. Corta al eje en el centro.
Área de la esfera
El área de la esfera, es decir, la superficie que envuelve a este sólido de
revolución, viene determinado por su radio (r), y se calcula mediante la
siguiente fórmula:
Volumen de la esfera
El volumen de la esfera se calcula en función de su radio (r). Su fórmula es:
27. Cuerpos geométricos
27
Particiones de la esfera
Casquete esférico de una base
Los casquetes esféricos son las dos partes de la superficie de la esfera
resultantes de su intersección con un plano son casquetes esféricos. Si el plano
no pasa por el centro se generará un casquete mayor y uno menor.
El círculo resultante, de radio a, de la intersección del plano con la esfera sería
la base del casquete esférico.
El sólido, parte de la esfera comprendida dentro de un casquete esférico, se
denomina segmento esférico.
Sea h la altura del casquete. El área del casquete esférico es:
Áreac1b = 2πrh = π (a2 + h2)
El radio de la base del casquete esférico a, la altura del casquete h y el
radio r de la esfera a la que pertenecen, se relacionan con esta fórmula que se
obtiene del teorema de Pitágoras:
28. Cuerpos geométricos
28
Casquete esférico de dos bases o zona esférica
El casquete esférico de dos bases (o zona esférica) es la superficie de una
esfera comprendida entre dos planos paralelos que la cortan. Se denomina de
las dos formas: o casquete esférico de dos bases o zona esférica.
El área de la zona esférica (donde no se incluyen las tapas circulares, o bases,
superior e inferior) es:
Áreac2b = 2πrh1
Segmento esférico de una base
El segmento esférico de una base es el cuerpo sólido comprendido entre un
casquete esférico y su base.
El volumen de un segmento esférico de una base viene determinado por la
fórmula:
Segmento esférico
Es el cuerpo sólido formado por la parte de la esfera comprendida entre dos
planos paralelos que la cortan. O, también, es la parte de la esfera encerrada
entre un casquete esférico de dos bases (o zona esférica) y esas dos bases.
Área del segmento esférico
Aquí, aparte del área de la zona esférica se incluyen las áreas de las dos bases:
Volumen del segmento esférico:
29. Cuerpos geométricos
29
Semiesfera o hemisferio
La semiesfera (o hemisferio) es cuando un plano pasa por el centro de una
esfera y la divide en dos partes iguales.
Sector esférico
El sector esférico es la parte de la esfera que se genera al girar un sector
circular alrededor de un eje que pasa por el centro de la esfera.
Consideraremos dos casos:
El eje de rotación coincide con un radio exterior del sector circular. El sector
esférico resultante está formado por la superficie lateral de un cono link recto
con vértice en el centro de la esfera y cerrada por un casquete esférico del
mismo radio que el de la base del cono.
El eje de rotación pasa por el vértice O, pero no pasa por dentro del sector
circular. Al igual que en el caso anterior, llamamos h a la proyección de la línea
curva del sector circular sobre el eje de rotación.
30. Cuerpos geométricos
30
Volumen del sector esférico
Tanto en el primer como en el segundo caso, la fórmula del volumen del sector
esférico es la misma:
Huso esférico
El huso esférico es la parte de la superficie esférica comprendida entre dos
planos que se cortan en un eje de la misma.
Área del huso esférico
El área del huso esférico, si el ángulo que forman los dos planos es α, es:
31. Cuerpos geométricos
31
Cuña esférica
La cuña esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos que se
cortan en un eje de la misma y su huso esférico correspondiente.
Volumen de la cuña esférica
El volumen de la cuña esférica viene determinado por la siguiente fórmula:
Corona esférica
La corona esférica es el sólido de revolución generado por media corona
circular, al girar 360° sobre el diámetro exterior. O bien, es el sólido
comprendido entre dos esferas concéntricas de radios r1 y r2. Se ha de
cumplir que: r1 > r2.
32. Cuerpos geométricos
32
Volumen de la corona esférica
El volumen de la corona esférica será la diferencia de los volúmenes de la
exterior menos el de la interior:
33. Cuerpos geométricos
33
Cilindro
Superficie cilíndrica de revolución
Una superficie cilíndrica de revolución se engendra cuando una recta,
llamada generatriz, gira paralelamente alrededor de otra recta fija llamada eje
de rotación, contenida en el mismo plano. La generatriz recorre una curva plana
perpendicular al eje llamada directriz. Si la directriz es una circunferencia con
centro en el eje, se forma una superficie cilíndrica circular.
Cilindro, un sólido
El cilindro circular es la figura tridimensional que se forma cuando un segmento
llamado generatriz, gira alrededor de otra recta que queda fija, llamada eje. El
eje y la generatriz están en el mismo plano y son dos rectas paralelas.
O, también, un cilindro recto de revolución es la figura descrita al girar
un rectángulo sobre uno de sus lados.
34. Cuerpos geométricos
34
Si la superficie cilíndrica se delimita entre dos planos paralelos, se genera un
sólido llamado cilindro. Cuando los planos de corte no son paralelos, el sólido se
llama tronco de cilindro.
Elementos del cilindro
Los elementos de un cilindro son los siguientes:
Bases: superficies planas, iguales y paralelas. En el caso del cilindro
recto de revolución son círculos. En el caso del cilindro oblicuo,
son elipses, si la superficie lateral es una superficie lateral de
revolución. Si en un cilindro oblicuo, sus bases son círculos, su sección
recta será una elipse.
Superficie lateral: cara lateral curva. Si el cilindro es recto, su
desarrollo es un rectángulo.
Eje: eje de rotación perteneciente al mismo plano que la generatriz. En
un cilindro recto de revolución, coincide con uno de los lados
del rectángulo que lo genera.
35. Cuerpos geométricos
35
Sección recta: superficie que se forma al cortar un plano al cilindro
perpendicularmente a su eje.
Radio: en un cilindro circular recto, es el radio de sus bases.
Altura: distancia mínima entre los planos de las dos bases.
Superficie generatriz (Sg): en el cilindro recto de revolución, es
el rectángulo que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus lados, que
es el eje de rotación y también la altura del cilindro. El lado paralelo
opuesto es la generatriz (g) de la superficie cilíndrica de revolución. Los
otros dos lados del rectángulo son los radios de las dos bases.
Tipos de cilindros
Según el ángulo que formen el eje y las bases, los cilindros son:
Cilindro recto: El eje de rotación es perpendicular a las bases. Si las bases
son círculos, es un cilindro recto circular. El cilindro recto circular también
puede definirse como el sólido de revolución que se forma cuando
un rectángulo (superficie generatriz Sg) gira 360° sobre uno de sus lados
coincidente con el eje de rotación.
36. Cuerpos geométricos
36
Cilindro oblicuo de base elíptica: El ángulo entre el eje y las bases no es un
ángulo recto. La superficie lateral es una superficie cilíndrica de revolución, la
sección recta (perpendicular) al eje es un círculo y las bases son elipses.
Cilindro oblicuo de base circular: El ángulo entre el eje y las bases no es un
ángulo recto. La sección recta (perpendicular) al eje es una elipse y las bases
son círculos. En este caso, la superficie lateral es una superficie reglada que se
denomina superficie cilíndrica de no revolución en la que no existe un eje que
equidiste de las posiciones de la generatriz.
37. Cuerpos geométricos
37
Área del cilindro
El área de un cilindro se halla sumando el área de la superficie cilíndrica o área
lateral (AL) con las áreas de las dos bases (AB).
En particular, el área de un cilindro circular es:
¿Cómo se obtiene esta fórmula?
Para hallar el área lateral, aplicamos el primer teorema de Pappus-Guldin. El
centroide de la recta generatriz g se encuentra a una distancia r del eje, es
decir el radio de las bases. La longitud de la recta generatriz Lg es igual a la
altura del cilindro (g = h).
Las áreas de las bases (AB) son π · r2 cada una.
Hallaremos el área total del cilindro recto de revolución sumando:
38. Cuerpos geométricos
38
Volumen del cilindro
En el caso del cilindro oblicuo de sección recta circular (la base es elíptica), la
fórmula de su volumen será:
Y en el caso del cilindro oblicuo de base circular (en la que su sección recta
será una elipse):
Tronco de cilindro (o cilindro truncado)
El tronco de cilindro (o cilindro truncado) es el sólido limitado por una cara
lateral cilíndrica y dos bases planas no paralelas.
39. Cuerpos geométricos
39
Expondremos el cilindro truncado recto y el cilindro truncado oblicuo. En
ambos casos, su cara lateral es una superficie de revolución cilíndrica. Es decir,
con sección recta circular.
Tronco de cilindro recto
En el tronco de cilindro recto (o cilindro truncado recto), el eje es
perpendicular a la base inferior. Si la superficie lateral fuese una superficie
cilíndrica circular, la base inferior sería un círculo. La base superior, elíptica
El área lateral (AL) es:
Siendo E el eje, una línea que une los centros de las bases. El eje es la media
entre la generatriz mayor, gM y la generatriz menor, gm, es decir, (gM + gm) /
2.
El área total es:
40. Cuerpos geométricos
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siendo ABS el área de la base superior y ABI el área de la base inferior.
Tronco de cilindro oblicuo
En el tronco de cilindro oblicuo (o cilindro truncado oblicuo), el eje no es
perpendicular a la base inferior. Si la superficie lateral es una superficie
cilíndrica circular, la sección recta es circular. Las bases son en este caso son
siempre elípticas.
Tanto en el cono truncado recto como en el tronco de cono oblicuo, tenemos los
siguientes elementos:
gM es la generatriz mayor.
gm es la generatriz menor.
E es el eje o distancia entre los centros de las bases y se cumple que E =
1/2(gM + gm ).
El área del cilindro truncado oblicuo o tronco de cilindro es:
41. Cuerpos geométricos
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Siendo AL el área del lateral, ABS el área de la base superior y ABI el área de
la base inferior.
El volumen del tronco de cilindro (o cilindro truncado) viene definido por la
fórmula siguiente:
donde r es el radio de la sección recta circular.
Cono
Superficie cónica de revolución
Una superficie cónica de revolución se engendra cuando, a partir de dos rectas
que se cortan, una de ellas gira alrededor de la otra que permanece fija. La
recta que gira es la generatriz de la superficie cónica y la fija es su eje.
El ángulo que forman la generatriz, en todas sus posiciones, y el eje es
constante.
Cono, un sólido
42. Cuerpos geométricos
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Si cortamos una superficie cónica con un plano tenemos un cono. Si el plano es
perpendicular al eje, tenemos un cono recto.
El cono recto (o cono de revolución, o cono circular recto) es el sólido de
revolución formado al hacer girar un triángulo rectángulo (superficie
generatriz Sg) alrededor de uno de sus catetos. Llamamos base
al círculo inferior del cono y g a la hipotenusa que confluye en el vértice.
Elementos del cono
Los elementos del cono son:
Base (B): es la cara plana inferior del cono, que, en el caso del cono
circular recto, es un círculo cuyo radio es uno de los catetos del
triángulo generador.
Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide.
Vértice (V): punto donde confluyen las infinitas generatrices.
Generatriz (g): Línea que al girar sobre el eje del cono engendra la
superficie cónica de revolución.
Superficie generatriz (Sg): en el cono recto de revolución, es el
triángulo rectángulo que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus
catetos, que es el eje de rotación y, que es a su vez, la altura del cono. El
otro cateto es el radio de la base. La hipotenusa la generatriz (g).
44. Cuerpos geométricos
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Por lo tanto, la fórmula del área total del cono de revolución será:
Tipos de cono
Los conos pueden ser:
Conos rectos (o conos de revolución): La superficie curva es una superficie
cónica de revolución.
Cono oblicuo de base elíptica: La altura no pasa por el centro de la base y por el
vértice. Si su cara lateral es una superficie cónica de revolución, su sección
recta es un círculo.
Cono oblicuo de base circular: La altura no pasa por el centro de la base y por
el vértice. La sección recta, perpendicular a la recta que une el vértice con el
centro de la base, recta al eje es una elipse.
En este caso, la superficie lateral es una superficie reglada que se
denomina superficie cónica de no revolución en la que no existe una recta que
tenga un ángulo constante con las posiciones de la generatriz.
45. Cuerpos geométricos
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Volumen del cono
La fórmula general del volumen del cono es:
Que es la misma fórmula que la del volumen de la pirámide.
En el caso del cono de base circular, tanto recto como oblicuo, su volumen será:
46. Cuerpos geométricos
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En cambio, si el cono es oblicuo de base elíptica, para hallar su volumen,
procederemos de la siguiente manera.
Como la base es una elipse, para calcularla usaremos la fórmula del área de la
elipse, siendo .
Luego el volumen del cono oblicuo de base elíptica será:
47. Cuerpos geométricos
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Tronco de cono
El tronco de cono recto (o cono truncado recto) es una superficie de revolución
generada al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus
bases. También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base
y eliminar la parte que tiene el vértice del cono.
Área del tronco de cono
La fórmula del área del tronco de cono es:
48. Cuerpos geométricos
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¿Cómo se obtiene esta fórmula?
Su área es la suma del área de las dos bases circulares más el área lateral. La
cara lateral, desarrollada en el plano, como se ve en la figura de abajo, es
un trapecio circular.
El área de las dos bases es:
49. Cuerpos geométricos
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Por otro lado, el área lateral se calcula con una fórmula que recuerda la
del área del trapecio (semisuma de las bases por la altura), sustituyendo en
este caso la altura por la generatriz:
Así pues, el área total es la suma del área de las bases más la lateral, según la
primera fórmula.
Para calcular el área total de un tronco de cono, si conocemos los radios de las
bases y la altura, pero no conocemos la generatriz g, esta última la hallaremos
mediante el teorema de Pitágoras. Veamos la figura:
Obtenemos que la generatriz es:
51. Cuerpos geométricos
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Toro
El toro es un sólido de revolución generado por el giro de un círculo cuyo centro
recorre una circunferencia directriz de radio mayor, estando ambos
contenidos en dos planos ortogonales perpendiculares entre sí.
El círculo que gira 360° y el radio de la circunferencia directriz sobre la que
gira están en el mismo plano.
En la vida diaria nos encontramos objetos con la forma de un toro, como los
neumáticos de una motocicleta o de un automóvil, un flotador salvavidas o
también un “donut”.
Área del toro
52. Cuerpos geométricos
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Donde R es el radio de la circunferencia directriz y r el del círculo generatriz.
Esta fórmula es una aplicación del primer teorema de Pappus-Guldin, donde el
centroide de la circunferencia que gira es su centro.
Volumen del toro
El volumen se calcula mediante la fórmula:
Esta fórmula es una aplicación del segundo teorema de Pappus-Guldin, donde el
centroide de su sección círculo es su centro.
53. Cuerpos geométricos
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Referencias
Universo formulas. Cuerpos geométricos. Recuperado de:
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/cuerpos-
geometricos/
Universo formulas. Tetraedro. Recuperado de:
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triangular/
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