El documento explica cómo calcular el área de una región poligonal dada las coordenadas de sus vértices usando la fórmula de determinante de Gauss. Se muestra cómo aplicar la fórmula a un pentágono, triángulo y hexágono no convexa encontrando en cada caso el valor del área. El método se presenta como sencillo y práctico para calcular el área de cualquier polígono.

1. Área de una región poligonal en el plano cartesiano
Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido
antihorario, tiene como coordenadas : );( 111 yxA , );( 222 yxA , );( 333 yxA ,........, );( nnn yxA
Entonces el área de la región poligonal S correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :
11
33
22
11
..
..
..
2
1
yx
yx
yx
yx
yx
S
nn
= .....(1)
Llamada también formula determinante de Gauss
Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado );( 11 yx correspondiente
a la coordenada de 1A .
La forma de resolver esta determinante es la siguiente:
11
33
22
11
..
..
..
yx
yx
yx
yx
yx
nn
I D
De donde : 13221 ...... yxyxyxD n+++=
13221 ....... xyxyxyI n+++=

2. Luego el valor de la determinante estará dada por :
ID
yx
yx
yx
yx
yx
nn
−=
11
33
22
11
..
..
..
....(2)
Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :
2
2
1
uIDS −= ....(3)
Notas :
a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.
b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)
Ejercicio de aplicación :
Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son: )16;6(− , )6;16( , )4;10( −−
)12;12( y )8;20( −
Solución:
Hacemos un gráfico aproximado :
Elijamos como primer vértice al par ordenado )12;12( luego:
)12;12();( 11 =yx

3. Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:
)16;6();( 22 −=yx
)4;10();( 33 −−=yx
)8;20();( 44 −=yx
)6;16();( 55 =yx
Reemplazando estos valores en (1) :
1212
616
820
410
166
1212
2
1
−
−−
−
=S
Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría :
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
688)12)(16()6)(20()8)(10()4)(6()16)(12( =++−−+−−+=D
368)12)(6()16)(8()20)(4()10)(16()6)(12( −=+−+−+−+−=I
Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
)368(688
2
1
−−=S
Por lo tanto :
488=S
1212
616
820
410
166
1212
−
−−
−

4. Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas. )2;3( −− , )2;7( , )6;1(
Haciendo un gráfico:
Elijamos como primer vértice al par ordenado )2;3( −− luego:
)2;3();( 11 −−=yx
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:
)2;7();( 22 =yx
)6;1();( 33 =yx
Reemplazando estos valores en (1):
23
61
27
23
2
1
−−
−−
=S
Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente :
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
23
61
27
23
−−
−−
34)2)(1()6)(7()2)(3( =−++−=D
30)3)(6()1)(2()7)(2( −=−++−=I

5. Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
)30(34
2
1
−−=S
Por lo tanto :
32=S
Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyos vértices son:
)3;3( − , )1;2( , )7;4( , )2;6(− , )2;1( −− , )5;3( −− .
Al igual que en los demás casos dibujemos un gráfico aproximado del hexágono no convexo
Elijamos como primer par ordenado )3;3( − luego:
)3;3();( 11 −=yx
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:
)1;2();( 22 =yx
)7;4();( 33 =yx
)2;6();( 44 −=yx
)2;1();( 55 −−=yx
)5;3();( 66 −−=yx
Reemplazando estos valores en (1) :
33
53
21
26
74
12
33
2
1
−
−−
−−
−
−
=S

6. Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto en la teoría:
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
51)3)(3()5)(1()2)(6()2)(4()7)(2()1)(3( =−−+−−+−−+++=D
53)3)(5()3)(2()1)(2()6)(7()4)(1()2)(3( −=−+−−+−+−++−=I
Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
)53(51
2
1
−−=S
Por lo tanto :
52=S
Como puede darse cuenta estimado estudiante este método para calcular el área de una región poligonal
cualquiera en el plano cartesiano es sumamente práctico y sencillo.
Esperando que te sea provechoso este trabajo me despido, hasta próxima.
33
53
21
26
74
12
33
−
−−
−−
−
−