Coordenadas y vectores en el espacio

2. Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre - 2020

3. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN AL
CÁLCULO VECTORIAL
TEMA: COORDENADAS Y VECTORES EN EL ESPACIO.

4. COORDENADAS EN EL ESPACIO
• Eje z perpendicular al eje x y al eje y.
• Los ejes determinan tres planos
coordenados:
• El plano xy
• El plano xz
• El plano yz
• El espacio tridimensional se divide en
ocho octantes.

5. COORDENADAS EN EL ESPACIO
• Un punto P en el espacio está
determinado por una ordenada (x, y, z)
donde:
• x = distancia dirigida que val del
plano yz a P.
• y = distancia dirigida que val del
plano xz a P.
• z = distancia dirigida que val del
plano xy a P.

6. COORDENADAS EN EL ESPACIO
• La orientación de un sistema de
coordenadas tridimensional puede ser:
• Levógira.
• Dextrógira.

7. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL
ESPACIO
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + −

8. EJEMPLO 1
Encuentre la distancia entre los puntos (2, -1, 3) y (1, 0, -2)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1d x x y y z z= − + − + −
( ) ( )( ) ( )
22 2
1 2 0 1 2 3d = − + − − + − −
1 1 25d = + +
27d =
3 3d =

9. ECUACIÓN DE UNA ESFERA
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 0 0x x y y z z r− + − + − =
1 2 1 2 1 2
, ,
2 2 2
x x y y z z+ + + 
 
 
REGLA DEL PUNTO MEDIO

10. EJEMPLO 2
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 0 0x x y y z z r− + − + − =
Hallar la ecuación canónica o estándar de la esfera que tiene los puntos (5, -2, 3) y (0,
4, -3) como extremos de un diámetro.
5 0 2 4 3 3 5
, , ,1,0
2 2 2 2
+ − + −   
=   
   
( ) ( )
2
2 25 97 97
0 4 1 3 0
2 4 2
r
 
= − + − + − − = = 
 
( ) ( )
2
2 25 97
1
2 4
x y z
 
− + − + = 
 

11. VECTORES EN EL ESPACIO
1 2 3, ,v v v=v Vector en el espacio
0,0,0=0 Vector Cero
1,0,0
0,1,0
0,0,1
=
=
=
i
j
k
Vectores unitarios
1 2 3v v v= + +v i j k Notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v

12. VECTORES EN EL ESPACIO
1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , ,v v v q p q p q p= = − − −v

13. EJEMPLO 3
Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene punto inicial (-2, 3, 1) y
punto final (0, -4, 4). Después hallar un vector unitario en la dirección de v.
( )1 1 2 2 3 3, , 0 2 , 4 3,4 1 2, 7,3q p q p q p= − − − = − − − − − = −v
( )
22 2
2 7 3 62= + − + =v Longitud
1 1 2 7 3
2, 7,3 , ,
62 62 62 62
−
= = = − =
v
u v
v v
Vector unitario en la dirección de
v

14. VECTORES PARALELOS

15. PREGUNTAS