El documento describe el funcionamiento de un péndulo simple y su oscilación, analizando fuerzas, energía y ecuaciones de movimiento en direcciones tangenciales y radiales. Se explica el método para medir la aceleración de la gravedad utilizando un péndulo y cómo se determina la constante de torsión de un muelle helicoidal. Además, se presenta el péndulo físico, explicando su comportamiento para pequeñas oscilaciones y su relación con la frecuencia y el periodo de oscilación.

1. Luis Alejandro Sánchez Rincones Ced.: 21.143.702
Asignación N° 5
Péndulo Simple.
Fundamentos Físicos
Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un
hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.
Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego
se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l.
Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.
Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos
 el peso mg
 La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq en la
dirección tangencial y mg·cosα en la dirección radial.
 Ecuación del movimiento en la dirección radial
La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su
trayectoria circular.
La segunda ley de Newton se escribe
man=T-mg·cosα

2. Luis Alejandro Sánchez Rincones Ced.: 21.143.702
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la
tensión T del hilo.
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de
equilibrio, T=mg+mv2/l
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq0
 Principio de conservación de la energía
En la posición θ=θ0 el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en
energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.
Comparemos dos posiciones del péndulo:
En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial.
E=mg(l-l·cosθ0)
En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial
La energía se conserva
v2
=2gl(cosθ-cosθ0)
La tensión de la cuerda es
T=mg(3cosθ-2cosθ0)

3. Luis Alejandro Sánchez Rincones Ced.: 21.143.702
La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor
máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad
es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ0 (la velocidad es nula).
 Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
La aceleración de la partícula es at=dv/dt.
La segunda ley de Newton se escribe
mat=-mg·senα
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a ·l. La ecuación
del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial
(1)
Medida de la aceleración de la gravedad
Cuando el ángulo q es pequeño entonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones
armónicas cuya ecuación es
q =q0·sen(w t+j )
de frecuencia angular w2
=g/l, o de periodo
La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de
masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r.
La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado
a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de
masa g=F/m colocada en dicho punto.
su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.
En la página dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la
masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes.

4. Luis Alejandro Sánchez Rincones Ced.: 21.143.702
Ejemplo:
Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·1024
kg). La
aceleración g de la gravedad en su superficie es
Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración
 Cinemática
Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se
supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.
 Oscilaciones
Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide
el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el
periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo.
De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.
Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes:
 P2
/(4p2
) en el eje vertical y
 La longitud del péndulo l en el eje horizontal.
La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g.

5. Luis Alejandro Sánchez Rincones Ced.: 21.143.702
Péndulo de Torsión
Para medir la constante de torsión de un muelle helicoidal existen dos procedimientos uno
estático y otro dinámico
Procedimiento estático
Ya hemos estudiado el comportamiento de los muelles elásticos. La fuerza F que aplicamos
es proporcional a la deformación del muelle, x.
F=kx
k se denomina constante elástica del muelle y se mide en N/m
Para los muelles helicoidales existe una ley similar, la diferencia es que se aplica un momento
en vez de una fuerza, y la deformación es un desplazamiento angular.
F·r=Kq
K se denomina constante de torsión y se mide en N·m

6. Luis Alejandro Sánchez Rincones Ced.: 21.143.702
En el experimento real, se gira la varilla soporte un cierto ángulo q, se mide con un
dinamómetro la fuerza F que hay que aplicar a una distancia r del eje para que la varilla
soporte se mantenga en equilibrio para dicho desplazamiento angular. Se ha de tener cuidado
de que el eje del dinamómetro forme 90º con la varilla. Se desvía la varilla un ángulo mayor,
se mide la fuerza F, situando el dinamómetro a la misma distancia r del eje, y así
sucesivamente.
Procedimiento dinámico
En el procedimiento dinámico se separa la varilla soporte un cierto ángulo de suposición de
equilibrio, se suelta, y la varilla comienza a oscilar.
A partir de la medida del periodo de las oscilaciones se obtiene la constante elástica del
muelle.
Cuando la varilla soporte se ha desviado un ángulo q y se suelta el muelle ejerce sobre la
varilla soporte un momento -Kq. El momento es de sentido contrario al desplazamiento
angular.
Tenemos un sólido en rotación alrededor de un eje fijo bajo la acción de un momento.
La ecuación de la dinámica de rotación se escribe
Ia =-Kq .

7. Luis Alejandro Sánchez Rincones Ced.: 21.143.702
En forma de ecuación diferencial
Esta es la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular w 2=K/I y periodo
Ahora bien, el momento de inercia de la varilla soporte, del eje de rotación y del tornillo de
sujeción no es conocido. Podemos superar este inconveniente, midiendo el periodo de las
oscilaciones cuando la varilla tiene colocados dos cuerpos iguales de masa conocida,
simétricamente dispuestos sobre la varilla.
Cuando los cuerpos, en este caso esferas, están a una distancia a del eje, el momento de
inercia es
El último término de la suma, proviene de la aplicación del teorema de Steiner.
El periodo de las oscilaciones vale
Cuando los cuerpos están a una distancia b del eje, el momento de inercia es
El periodo de las oscilaciones vale

8. Luis Alejandro Sánchez Rincones Ced.: 21.143.702
Restando los cuadrados de ambos periodos se eliminan las cantidades desconocidas
I varilla e I esfera
Midiendo Pa y Pb despejamos de la fórmula la constante de torsión del muelle helicoidal K.
Completar una tabla como la siguiente, y calcular la constante de torsión K.
Masa de cada una de las esferas, m
Posición a
Periodo a
Posición b
Periodo b
Constante de torsión K

9. Luis Alejandro Sánchez Rincones Ced.: 21.143.702
Péndulo Físico
El péndulo físico
Un péndulo físico es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar alrededor de un eje horizontal
bajo la acción de la fuerza de gravedad.
En la Figura se representa la oscilación en un instante dado:
La distancia desde el punto de apoyo hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual a b. En
la misma Figura se representan las fuerzas que actúan sobre el cuepo rígido. Si el momento
de inercia repecto a un eje ue pasa por O del cuerpo rígido es , la segunda ley de Newton
de rotación da como resultado,
Se debe observar que la fuerza de reacción R que ejerce el pivote en O sobre el cuerpo rígido
no hace torque, por lo que no aparece en la ecuación. Además, también es necesario resaltar
que esta ecuación diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo físico no oscila con M.A.S.

10. Luis Alejandro Sánchez Rincones Ced.: 21.143.702
Sin embargo, para pequeñas oscilaciones (amplitudes del orden de los 10º), , por
tanto,
es decir, para pequeñas amplitudes el movimiento pendular es armónico. La frecuencia
angular propia es:
el periodo y la frecuencia propios serán:
La cinemática del movimiento pendular para pequeñas oscilaciones es en función de las
variables angulares (elongación angular, velocidad angular y aceleración angular),