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E.D.O
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no
Facultad de Matem´aticas Y Fisica
Universidad De La Amazonia
Fecha: 30, 31 De Mayo
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen-
ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-
enciales tratan de c´omo predecir el futuro.
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen-
ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-
enciales tratan de c´omo predecir el futuro.
• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como son
las cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-
rir´an. Del c´alculo sabemos que el cambio es medido por las derivadas
y usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo que
tratan las ecuaciones diferenciales.
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Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen-
ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-
enciales tratan de c´omo predecir el futuro.
• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como son
las cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-
rir´an. Del c´alculo sabemos que el cambio es medido por las derivadas
y usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo que
tratan las ecuaciones diferenciales.
• Convertir las reglas que gobiernan la evoluci´on de una cantidad es
una ecuaci´on diferencial se llama una modelaci´on y en este taller
construiremos algunos modelos. Nuestra meta es que a traves de las
ecuaciones diferenciales podamos predecir el futuro de la cantidad que
se est´a modelando.
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Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:
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Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros
de la cantidad.
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Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros
de la cantidad.
2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de la
gr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en la
descripci´on del comportamiento a largo plazo.
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Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros
de la cantidad.
2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de la
gr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en la
descripci´on del comportamiento a largo plazo.
3 Las t´ecnicas num´ericas que requieren c´alculos aritm´eticos que den
aproximaciones de los valores futuros de la cantidad.
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Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros
de la cantidad.
2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de la
gr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en la
descripci´on del comportamiento a largo plazo.
3 Las t´ecnicas num´ericas que requieren c´alculos aritm´eticos que den
aproximaciones de los valores futuros de la cantidad.
• Se requiere que el asistente al taller tenga una idea m´ınima del c´alculo
de derivadas y de la teoria de integraci´on.
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre
´el actua la fuerza de gravedad.
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre
´el actua la fuerza de gravedad.
De la segunda ley de Newton tenemos que:
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre
´el actua la fuerza de gravedad.
De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ m
d2
y
dt2
= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2
y
dt2
= −g (1)
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre
´el actua la fuerza de gravedad.
De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ m
d2
y
dt2
= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2
y
dt2
= −g (1)
Que representa la aceleraci´on con que cae el cuerpo. Integrando una vez
la ecuaci´on (1), obtenemos que:
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre
´el actua la fuerza de gravedad.
De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ m
d2
y
dt2
= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2
y
dt2
= −g (1)
Que representa la aceleraci´on con que cae el cuerpo. Integrando una vez
la ecuaci´on (1), obtenemos que:
v(t) =
dy
dt
= −gt + c1 (2)
Que representa la velocidad con que cae el cuerpo.
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:
y(t) = −
1
2
gt2
+ c1t + c2 (3)
Es la posici´on del cuerpo en el tiempo t.
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:
y(t) = −
1
2
gt2
+ c1t + c2 (3)
Es la posici´on del cuerpo en el tiempo t.
¿C´omo hallar las contantes c1 y c2?
¿C´omo podemos llamar la ecuacion (3)?
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2) Determinar la velocidad de una part´ıcula proyectada en direcci´on ra-
dial fuera de la Tierra, cuando sobre ´esta act´ua unicamente la fuerza
de gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direcci´on
radial de modo que el movimiento de la part´ıcula se lleve a efecto
por completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. La
gr´afica ilustra la situaci´on:
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2) Determinar la velocidad de una part´ıcula proyectada en direcci´on ra-
dial fuera de la Tierra, cuando sobre ´esta act´ua unicamente la fuerza
de gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direcci´on
radial de modo que el movimiento de la part´ıcula se lleve a efecto
por completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. La
gr´afica ilustra la situaci´on:
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La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula
ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la
part´ıcula y el centro de la Tierra.
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La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula
ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la
part´ıcula y el centro de la Tierra.
La aceleraci´on es:
a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)
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La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula
ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la
part´ıcula y el centro de la Tierra.
La aceleraci´on es:
a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)
N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.
Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en la
superficie de la Tierra.
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La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula
ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la
part´ıcula y el centro de la Tierra.
La aceleraci´on es:
a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)
N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.
Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en la
superficie de la Tierra.
Luego, − g = −
K
a
(2)
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La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula
ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la
part´ıcula y el centro de la Tierra.
La aceleraci´on es:
a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)
N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.
Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en la
superficie de la Tierra.
Luego, − g = −
K
a
(2)
De (1) K = −ar2
(3)
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y de (2) K = gR2
(4)
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y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
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y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces
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y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces
a =
dv
dt
=
dr
dt
.
dv
dr
= v
dv
dr
, 0 , a = v
dv
dr
(5)
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y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces
a =
dv
dt
=
dr
dt
.
dv
dr
= v
dv
dr
, 0 , a = v
dv
dr
(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
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y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces
a =
dv
dt
=
dr
dt
.
dv
dr
= v
dv
dr
, 0 , a = v
dv
dr
(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
v
dv
dr
=
−gR2
r2
(6)
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Separando variables en (6) e integrando obtenemos
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Separando variables en (6) e integrando obtenemos
v2
2
=
gR2
r
+ c1, 0 , v2
=
2gR2
r
+ C, donde C = 2c (7)
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Separando variables en (6) e integrando obtenemos
v2
2
=
gR2
r
+ c1, 0 , v2
=
2gR2
r
+ C, donde C = 2c (7)
Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuaci´on (7) toma la
forma
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Separando variables en (6) e integrando obtenemos
v2
2
=
gR2
r
+ c1, 0 , v2
=
2gR2
r
+ C, donde C = 2c (7)
Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuaci´on (7) toma la
forma
v2
=
2gR2
r
+ v2
0 − 2gR (5)
Que es la velocidad con que viaja la particula
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La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2
0 − 2gR ≥ 0.
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La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2
0 − 2gR ≥ 0.
Si v2
0 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembro
derecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, la
velocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a la
Tierra.
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La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2
0 − 2gR ≥ 0.
Si v2
0 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembro
derecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, la
velocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a la
Tierra.
Luego, si v0 ≥ 2gR = V e, la part´ıcula escapar´a de la Tierra.
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La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2
0 − 2gR ≥ 0.
Si v2
0 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembro
derecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, la
velocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a la
Tierra.
Luego, si v0 ≥ 2gR = V e, la part´ıcula escapar´a de la Tierra.
Ejemplo: Hallar la velocidad de escape de la Tierra. Considerar
g = 9,81m/seg2
y R = 6370Km
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on
de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la
temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se
tiene entonces
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on
de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la
temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se
tiene entonces
dT
dt
= K(T − Tm)
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on
de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la
temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se
tiene entonces
dT
dt
= K(T − Tm)
donde K < 0. La ecuaci´on se puede resolver por el m´etodo de separaci´on
de variables, para obtener la soluci´on general:
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on
de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la
temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se
tiene entonces
dT
dt
= K(T − Tm)
donde K < 0. La ecuaci´on se puede resolver por el m´etodo de separaci´on
de variables, para obtener la soluci´on general:
T(t) = Tm + (T0 − Tm)ekt
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦
F en el
interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es
10◦
F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es
de 25◦
F.
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦
F en el
interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es
10◦
F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es
de 25◦
F.
¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦
F en el
interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es
10◦
F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es
de 25◦
F.
¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.
Soluci´on:
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦
F en el
interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es
10◦
F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es
de 25◦
F.
¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.
Soluci´on:
Sea T(t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos que
T(0) = T0 = 70◦
F, Tm = 10◦
F, T(3) = 25◦
F y al aplicarlos en la
soluci´on general obtenemos que
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦
F en el
interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es
10◦
F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es
de 25◦
F.
¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.
Soluci´on:
Sea T(t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos que
T(0) = T0 = 70◦
F, Tm = 10◦
F, T(3) = 25◦
F y al aplicarlos en la
soluci´on general obtenemos que
T(t) = 10 + 60e−0,46t
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on
quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la
cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de
x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia
presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on
quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la
cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de
x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia
presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial
dx
dt
= −kx, donde k > 0
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on
quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la
cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de
x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia
presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial
dx
dt
= −kx, donde k > 0
y cuya soluci´on es de la forma:
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on
quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la
cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de
x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia
presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial
dx
dt
= −kx, donde k > 0
y cuya soluci´on es de la forma:
x(t) = x0e−kt
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La gr´afica de la soluci´on es de la forma:
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La gr´afica de la soluci´on es de la forma:
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
Ejemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dos
terceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinar
la cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
Ejemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dos
terceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinar
la cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.
Del x(30) = x0e−30K
=
x0
3
, obtenemos que K =
Ln3
30
y
x(t) = x0e− Ln3
30 t
, luego x(60) =
x0
9
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.
La ecuaci´on anterior se puede escribir como:
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.
La ecuaci´on anterior se puede escribir como:
dy
dt
= ay donde a = k − h
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.
La ecuaci´on anterior se puede escribir como:
dy
dt
= ay donde a = k − h
Si hay inmigraci´on, la nueva ecuaci´on es:
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.
La ecuaci´on anterior se puede escribir como:
dy
dt
= ay donde a = k − h
Si hay inmigraci´on, la nueva ecuaci´on es:
dy
dt
= ay + b,
donde b representa el n´umero de inmigrantes.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de
la forma:
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de
la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de
la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.
De la condici´on inicial y(0) = c −
b
a
= y0, obtenemos que c = y0 +
b
a
y
por lo tanto una soluci´on particular es
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de
la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.
De la condici´on inicial y(0) = c −
b
a
= y0, obtenemos que c = y0 +
b
a
y
por lo tanto una soluci´on particular es
y(t) = y0 +
b
a
eat
−
b
a
.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de
la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.
De la condici´on inicial y(0) = c −
b
a
= y0, obtenemos que c = y0 +
b
a
y
por lo tanto una soluci´on particular es
y(t) = y0 +
b
a
eat
−
b
a
.
¿C´omo es la gr´afica de y(t)?
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Se sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmente
a la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´anto
tiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a?
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Se sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmente
a la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´anto
tiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a?
Si P(t) es el m´ınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema de
valor inicial asociado es:
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Se sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmente
a la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´anto
tiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a?
Si P(t) es el m´ınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema de
valor inicial asociado es:



dP
dt
= kP
P(0) = Po
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Cuya soluci´on general es P(t) = Poekt
. Utilizando los datos del problema
obtenemos que la poblaci´on es:
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Cuya soluci´on general es P(t) = Poekt
. Utilizando los datos del problema
obtenemos que la poblaci´on es:
P(t) = Poe0,138629t
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Cuya soluci´on general es P(t) = Poekt
. Utilizando los datos del problema
obtenemos que la poblaci´on es:
P(t) = Poe0,138629t
N´otese que P(3) = 7,92 a˜nos y P(4) = 10 a˜nos.
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ACUMULACION DE CAPITAL
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ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on
y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es
aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
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ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on
y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es
aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,
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ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on
y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es
aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,
dy
dt
= ky − b,
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ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on
y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es
aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,
dy
dt
= ky − b,
Donde k > 0 y la soluci´on general de la ecuaci´on es de la forma y(t) =
cekt
+ b. Al analizar la condici´on inicial y(0) = ce0t
+ b = yo, obtenemos
que c = y − b y la soluci´on particular toma la forma:
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ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on
y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es
aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,
dy
dt
= ky − b,
Donde k > 0 y la soluci´on general de la ecuaci´on es de la forma y(t) =
cekt
+ b. Al analizar la condici´on inicial y(0) = ce0t
+ b = yo, obtenemos
que c = y − b y la soluci´on particular toma la forma:
y(t) = yo −
k
b
ekt
+
b
k
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ACUMULACION DE CAPITAL
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ACUMULACION DE CAPITAL
N´otese que si:
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ACUMULACION DE CAPITAL
N´otese que si:
si yo >
b
k
el capital y(t) crece.
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ACUMULACION DE CAPITAL
N´otese que si:
si yo >
b
k
el capital y(t) crece.
si yo <
b
k
el capital y(t) decrece.
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ACUMULACION DE CAPITAL
N´otese que si:
si yo >
b
k
el capital y(t) crece.
si yo <
b
k
el capital y(t) decrece.
si yo =
b
k
el capital y(t) permanece constante.
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ACUMULACION DE CAPITAL
N´otese que si:
si yo >
b
k
el capital y(t) crece.
si yo <
b
k
el capital y(t) decrece.
si yo =
b
k
el capital y(t) permanece constante.
La siguiente gr´afica ilustra la situaci´on anterior.
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ACUMULACION DE CAPITAL
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ACUMULACION DE CAPITAL
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx
y y (x) = λ2
eλx
.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx
y y (x) = λ2
eλx
.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx
y y (x) = λ2
eλx
.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0
Como eλx
= 0, λ2
+ bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar.
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx
y y (x) = λ2
eλx
.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0
Como eλx
= 0, λ2
+ bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar.
Las raices de la ecuaci´on auxiliar son λ1, λ2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx
y y (x) = λ2
eλx
.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0
Como eλx
= 0, λ2
+ bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar.
Las raices de la ecuaci´on auxiliar son λ1, λ2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
La naturaleza de las raices depende del discriminante
√
b2 − 4ac. Consid-
eremos tres casos:
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
a) Si b2
− 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En este
caso y1(x) = eλ1x
, y2(x) = eλ2x
y la soluci´on general es:
y(x) = c1eλ1x
+ c2eλ2x
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
a) Si b2
− 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En este
caso y1(x) = eλ1x
, y2(x) = eλ2x
y la soluci´on general es:
y(x) = c1eλ1x
+ c2eλ2x
b) Si b2
− 4ac = 0, λ1 = λ2 = −
b
2a
= λ. En ´este caso y1(x) = eλx
y
y2(x) = xeλx
y la soluci´on general es:
y(x) = c1eλx
+ c2xeλx
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
a) Si b2
− 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En este
caso y1(x) = eλ1x
, y2(x) = eλ2x
y la soluci´on general es:
y(x) = c1eλ1x
+ c2eλ2x
b) Si b2
− 4ac = 0, λ1 = λ2 = −
b
2a
= λ. En ´este caso y1(x) = eλx
y
y2(x) = xeλx
y la soluci´on general es:
y(x) = c1eλx
+ c2xeλx
c) Si b2
− 4ac < 0, λ1 = a + bi y λ2 = a − bi. En ´este caso y1(x) =
eax
cos(bx); y2(x) = eax
sin(bx) y la soluci´on general es:
y(x) = c1eax
cos(bx) + c2 sin(bx)
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
¿Cuando se producen vibraciones?
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
¿Cuando se producen vibraciones?
Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso
el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.
Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
¿Cuando se producen vibraciones?
Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso
el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.
Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2
x
dt2
+ P(t)
dx
dt
+ Q(t)x = R(t)
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
¿Cuando se producen vibraciones?
Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso
el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.
Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2
x
dt2
+ P(t)
dx
dt
+ Q(t)x = R(t)
Tipo 1: Vibraciones arm´onicas no amortiguadas.
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
¿Cuando se producen vibraciones?
Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso
el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.
Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2
x
dt2
+ P(t)
dx
dt
+ Q(t)x = R(t)
Tipo 1: Vibraciones arm´onicas no amortiguadas.
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-
raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la
rigid´ez del resorte.
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-
raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la
rigid´ez del resorte.
Segunda Ley De Newton:
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-
raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la
rigid´ez del resorte.
Segunda Ley De Newton:
FR = -kx = ma = m
d2
x
dt2
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-
raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la
rigid´ez del resorte.
Segunda Ley De Newton:
FR = -kx = ma = m
d2
x
dt2
d2
x
dt2
+
k
m
x = 0, o,
d2
x
dt2
+ a2
x = 0 ; a2
=
k
m
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
Ecuaci´on auxiliar: λ2
+
k
m
= 0 ⇐⇒ λ = ±
k
m
i
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
Ecuaci´on auxiliar: λ2
+
k
m
= 0 ⇐⇒ λ = ±
k
m
i
x1t = cos
k
m
t = cos(at)
x2t = sin
k
m
t = sin(at)



x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at)
Soluci´on General
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una
velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una
velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una
velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una
velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo
x (0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una
velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo
x (0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0
La soluci´on particular es:
x(t) = xo cos(at)
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
aT = 2π ; T =
2π
a
=
2π
k
m
= 2π
m
k
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Vibraciones en sistemas mec´anicos
aT = 2π ; T =
2π
a
=
2π
k
m
= 2π
m
k
Tambien f =
1
T
=
a
2π
=
1
2π
k
m
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −c
dx
dt
, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −c
dx
dt
, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuaci´on es:
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −c
dx
dt
, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuaci´on es:
m
d2
x
dt2
= FR + Fa ⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ kx + c
dx
dt
= 0
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −c
dx
dt
, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuaci´on es:
m
d2
x
dt2
= FR + Fa ⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ kx + c
dx
dt
= 0
⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ c
dx
dt
+ kx = 0 ⇐⇒
d2
x
dt2
+
c
m
dx
dt
+
k
m
x = 0
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −c
dx
dt
, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuaci´on es:
m
d2
x
dt2
= FR + Fa ⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ kx + c
dx
dt
= 0
⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ c
dx
dt
+ kx = 0 ⇐⇒
d2
x
dt2
+
c
m
dx
dt
+
k
m
x = 0
⇐⇒
d2
x
dt2
+ 2b
dx
dt
+ a2
x = 0, donde 2b =
c
m
⇐⇒ b =
c
2m
y a2
=
k
m
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadas
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Vibraciones amortiguadas
La ecuaci´on auxiliar: λ2
+ 2bλ + a2
= 0
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Vibraciones amortiguadas
La ecuaci´on auxiliar: λ2
+ 2bλ + a2
= 0
λ1,2 =
−2b ±
√
4b2 − 4a2
2
=
−2b ± 2
√
b2 − a2
2
= −b ± b2 − a2
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Vibraciones amortiguadas
La ecuaci´on auxiliar: λ2
+ 2bλ + a2
= 0
λ1,2 =
−2b ±
√
4b2 − 4a2
2
=
−2b ± 2
√
b2 − a2
2
= −b ± b2 − a2
La naturaleza de las raices dependen del discriminante
√
b2 − a2. Consid-
eremos los siguientes casos:
a) Si b2
−a2
> 0 ⇐⇒ b > a: La fuerza de fricci´on debida a la viscocidad
es grande en comparaci´on con la rapid´ez del resorte. En este caso
λ1, λ2 ∈ R y λ1 = λ2.
x1(t) = eλ1t
, x2(t) = eλ2t
, y, x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
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Vibraciones amortiguadas
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
y x (t) = c1λ1eλ1t
+ c2λ2eλ2t
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
y x (t) = c1λ1eλ1t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
y x (t) = c1λ1eλ1t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
y x (t) = c1λ1eλ1t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =
−λ1xo
λ2 − λ1
=
λ1xo
λ1 − λ2
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
y x (t) = c1λ1eλ1t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =
−λ1xo
λ2 − λ1
=
λ1xo
λ1 − λ2
c1 = xo − c2 =
xo
1
+
λ1xo
λ1 − λ2
=
λ1xo − λ2xo + λ1xo
λ1 − λ2
=
−λ2xo
λ1 − λ2
−λ2xo
λ1 − λ2
−λ2xo
λ1 − λ2
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Vibraciones amortiguadas
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Vibraciones amortiguadas
Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:
x(t) =
−λ2xo
λ1 − λ2
eλ1t
+
λ1xo
λ1 − λ2
eλ2t
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Vibraciones amortiguadas
Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:
x(t) =
−λ2xo
λ1 − λ2
eλ1t
+
λ1xo
λ1 − λ2
eλ2t
x(t) =
xo
λ1 − λ2
λ1eλ2t
− λ2eλ1t
, λ1 = λ2
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Vibraciones amortiguadas
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Vibraciones amortiguadas
b) Si b2
− a2
= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.
λ1 = λ2 = −b = −a = λ.
x1(t) = e−at
, x2(t) = te−at
, x(t) = c1e−at
+ c2te−at
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Vibraciones amortiguadas
b) Si b2
− a2
= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.
λ1 = λ2 = −b = −a = λ.
x1(t) = e−at
, x2(t) = te−at
, x(t) = c1e−at
+ c2te−at
x (t) = −ac1e−at
+ c2e−at
− ac2te−at
= −ac1e−at
+ c2e−at
(1 − at)
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Vibraciones amortiguadas
b) Si b2
− a2
= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.
λ1 = λ2 = −b = −a = λ.
x1(t) = e−at
, x2(t) = te−at
, x(t) = c1e−at
+ c2te−at
x (t) = −ac1e−at
+ c2e−at
− ac2te−at
= −ac1e−at
+ c2e−at
(1 − at)
Aplicando las condiciones iniciales:
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Vibraciones amortiguadas
b) Si b2
− a2
= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.
λ1 = λ2 = −b = −a = λ.
x1(t) = e−at
, x2(t) = te−at
, x(t) = c1e−at
+ c2te−at
x (t) = −ac1e−at
+ c2e−at
− ac2te−at
= −ac1e−at
+ c2e−at
(1 − at)
Aplicando las condiciones iniciales:
x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xo
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Vibraciones amortiguadas
b) Si b2
− a2
= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.
λ1 = λ2 = −b = −a = λ.
x1(t) = e−at
, x2(t) = te−at
, x(t) = c1e−at
+ c2te−at
x (t) = −ac1e−at
+ c2e−at
− ac2te−at
= −ac1e−at
+ c2e−at
(1 − at)
Aplicando las condiciones iniciales:
x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xo
x (0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axo
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Vibraciones amortiguadas
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Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
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Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-
dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es
vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.
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Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-
dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es
vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.
λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2
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Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-
dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es
vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.
λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2
x1(t) = e−bt
cos(αt), x2(t) = e−bt
sin(αt)
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Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-
dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es
vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.
λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2
x1(t) = e−bt
cos(αt), x2(t) = e−bt
sin(αt)
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt)
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Vibraciones amortiguadas
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
α
xo
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
α
xo
La soluci´on particular es de la forma:
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
α
xo
La soluci´on particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt
cos(αt) +
b
α
xoe−bt
sin(αt)
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
α
xo
La soluci´on particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt
cos(αt) +
b
α
xoe−bt
sin(αt)
x(t) =
xo
α
e−bt
[α cos(αt) + b sin(αt)]
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Vibraciones amortiguadas
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Vibraciones amortiguadas
Ahora:
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Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)
= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
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Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)
= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
La igualdad anterior es cierta si y solo si
α = cos θ; sin θ = −b | α2
= cos2
θ; sin2
θ = b2
, α2
+ b2
= 12
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Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)
= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
La igualdad anterior es cierta si y solo si
α = cos θ; sin θ = −b | α2
= cos2
θ; sin2
θ = b2
, α2
+ b2
= 12
−
b
α
=
sin θ
cos θ
= tan θ | θ = tan−1
−
b
α
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Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)
= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
La igualdad anterior es cierta si y solo si
α = cos θ; sin θ = −b | α2
= cos2
θ; sin2
θ = b2
, α2
+ b2
= 12
−
b
α
=
sin θ
cos θ
= tan θ | θ = tan−1
−
b
α
x(t) =
xo
α
e−bt
[cos(αt − θ)] | x(t) =
xo
√
a2 + b2
α
e−bt
[cos(αt − θ)]x(t) =
xo
√
a2 + b2
α
e−bt
[cos(αt − θ)]x(t) =
xo
√
a2 + b2
α
e−bt
[cos(αt − θ)]
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Vibraciones amortiguadas
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Vibraciones amortiguadas
Como αT = 2π, T =
2π
α
=
2π
a2 − b2
=
2π
k
m
−
c2
4m2
, y
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Vibraciones amortiguadas
Como αT = 2π, T =
2π
α
=
2π
a2 − b2
=
2π
k
m
−
c2
4m2
, y
f =
1
T
=
α
2π
=
1
2π
a2 − b2 =
1
2π
k
m
−
c2
4m2
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Bibliografia
• Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modela-
do. Editorial Thomson. Sexta Edici´on.
• Rainville - Bedien. Ecuaciones Diferenciales. Ed. Prentice Hill. Octave
Edici´on 1998.
• R. Kent Nagle, Eduard B. Saff. Fundamentos de Ecuaciones Diferen-
ciales. Ed. Addison Wesley. Iberoamericana 1998.
• J. E. Trivi˜no M. Ecuaciones Diferenciales. Libro en proceso de edici´on.
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  • 1. E.D.O Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Prof. Jorge Enrique Trivi˜no Facultad de Matem´aticas Y Fisica Universidad De La Amazonia Fecha: 30, 31 De Mayo Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 2. Taller PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES • El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen- ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer- enciales tratan de c´omo predecir el futuro. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 3. Taller PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES • El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen- ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer- enciales tratan de c´omo predecir el futuro. • Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como son las cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur- rir´an. Del c´alculo sabemos que el cambio es medido por las derivadas y usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo que tratan las ecuaciones diferenciales. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 4. Taller PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES • El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen- ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer- enciales tratan de c´omo predecir el futuro. • Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como son las cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur- rir´an. Del c´alculo sabemos que el cambio es medido por las derivadas y usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo que tratan las ecuaciones diferenciales. • Convertir las reglas que gobiernan la evoluci´on de una cantidad es una ecuaci´on diferencial se llama una modelaci´on y en este taller construiremos algunos modelos. Nuestra meta es que a traves de las ecuaciones diferenciales podamos predecir el futuro de la cantidad que se est´a modelando. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 5. Taller PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES • Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 6. Taller PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES • Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones: 1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros de la cantidad. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 7. Taller PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES • Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones: 1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros de la cantidad. 2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de la gr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en la descripci´on del comportamiento a largo plazo. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 8. Taller PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES • Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones: 1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros de la cantidad. 2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de la gr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en la descripci´on del comportamiento a largo plazo. 3 Las t´ecnicas num´ericas que requieren c´alculos aritm´eticos que den aproximaciones de los valores futuros de la cantidad. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 9. Taller PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES • Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones: 1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros de la cantidad. 2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de la gr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en la descripci´on del comportamiento a largo plazo. 3 Las t´ecnicas num´ericas que requieren c´alculos aritm´eticos que den aproximaciones de los valores futuros de la cantidad. • Se requiere que el asistente al taller tenga una idea m´ınima del c´alculo de derivadas y de la teoria de integraci´on. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 10. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 11. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria: Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre ´el actua la fuerza de gravedad. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 12. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria: Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre ´el actua la fuerza de gravedad. De la segunda ley de Newton tenemos que: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 13. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria: Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre ´el actua la fuerza de gravedad. De la segunda ley de Newton tenemos que: ma = F ⇐⇒ m d2 y dt2 = −mg ⇐⇒ a(t) = d2 y dt2 = −g (1) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 14. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria: Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre ´el actua la fuerza de gravedad. De la segunda ley de Newton tenemos que: ma = F ⇐⇒ m d2 y dt2 = −mg ⇐⇒ a(t) = d2 y dt2 = −g (1) Que representa la aceleraci´on con que cae el cuerpo. Integrando una vez la ecuaci´on (1), obtenemos que: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 15. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria: Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre ´el actua la fuerza de gravedad. De la segunda ley de Newton tenemos que: ma = F ⇐⇒ m d2 y dt2 = −mg ⇐⇒ a(t) = d2 y dt2 = −g (1) Que representa la aceleraci´on con que cae el cuerpo. Integrando una vez la ecuaci´on (1), obtenemos que: v(t) = dy dt = −gt + c1 (2) Que representa la velocidad con que cae el cuerpo. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 16. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 17. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria: Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 18. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria: Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que: y(t) = − 1 2 gt2 + c1t + c2 (3) Es la posici´on del cuerpo en el tiempo t. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 19. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria: Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que: y(t) = − 1 2 gt2 + c1t + c2 (3) Es la posici´on del cuerpo en el tiempo t. ¿C´omo hallar las contantes c1 y c2? ¿C´omo podemos llamar la ecuacion (3)? Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 20. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 21. 2) Determinar la velocidad de una part´ıcula proyectada en direcci´on ra- dial fuera de la Tierra, cuando sobre ´esta act´ua unicamente la fuerza de gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direcci´on radial de modo que el movimiento de la part´ıcula se lleve a efecto por completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. La gr´afica ilustra la situaci´on: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 22. 2) Determinar la velocidad de una part´ıcula proyectada en direcci´on ra- dial fuera de la Tierra, cuando sobre ´esta act´ua unicamente la fuerza de gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direcci´on radial de modo que el movimiento de la part´ıcula se lleve a efecto por completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. La gr´afica ilustra la situaci´on: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 23. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 24. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la part´ıcula y el centro de la Tierra. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 25. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la part´ıcula y el centro de la Tierra. La aceleraci´on es: a = dv dt = − K r2 (1) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 26. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la part´ıcula y el centro de la Tierra. La aceleraci´on es: a = dv dt = − K r2 (1) N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo. Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en la superficie de la Tierra. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 27. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la part´ıcula y el centro de la Tierra. La aceleraci´on es: a = dv dt = − K r2 (1) N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo. Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en la superficie de la Tierra. Luego, − g = − K a (2) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 28. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la part´ıcula y el centro de la Tierra. La aceleraci´on es: a = dv dt = − K r2 (1) N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo. Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en la superficie de la Tierra. Luego, − g = − K a (2) De (1) K = −ar2 (3) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 29. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 30. y de (2) K = gR2 (4) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 31. y de (2) K = gR2 (4) De (3) y (4): a = − gR2 r2 (4) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 32. y de (2) K = gR2 (4) De (3) y (4): a = − gR2 r2 (4) Ahora, como a = dv dt y V = dr dt , entonces Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 33. y de (2) K = gR2 (4) De (3) y (4): a = − gR2 r2 (4) Ahora, como a = dv dt y V = dr dt , entonces a = dv dt = dr dt . dv dr = v dv dr , 0 , a = v dv dr (5) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 34. y de (2) K = gR2 (4) De (3) y (4): a = − gR2 r2 (4) Ahora, como a = dv dt y V = dr dt , entonces a = dv dt = dr dt . dv dr = v dv dr , 0 , a = v dv dr (5) Reemplazando (5) en (4) tenemos que: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 35. y de (2) K = gR2 (4) De (3) y (4): a = − gR2 r2 (4) Ahora, como a = dv dt y V = dr dt , entonces a = dv dt = dr dt . dv dr = v dv dr , 0 , a = v dv dr (5) Reemplazando (5) en (4) tenemos que: v dv dr = −gR2 r2 (6) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 36. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 37. Separando variables en (6) e integrando obtenemos Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 38. Separando variables en (6) e integrando obtenemos v2 2 = gR2 r + c1, 0 , v2 = 2gR2 r + C, donde C = 2c (7) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 39. Separando variables en (6) e integrando obtenemos v2 2 = gR2 r + c1, 0 , v2 = 2gR2 r + C, donde C = 2c (7) Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuaci´on (7) toma la forma Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 40. Separando variables en (6) e integrando obtenemos v2 2 = gR2 r + c1, 0 , v2 = 2gR2 r + C, donde C = 2c (7) Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuaci´on (7) toma la forma v2 = 2gR2 r + v2 0 − 2gR (5) Que es la velocidad con que viaja la particula Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 41. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 42. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2 0 − 2gR ≥ 0. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 43. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2 0 − 2gR ≥ 0. Si v2 0 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembro derecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, la velocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a la Tierra. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 44. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2 0 − 2gR ≥ 0. Si v2 0 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembro derecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, la velocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a la Tierra. Luego, si v0 ≥ 2gR = V e, la part´ıcula escapar´a de la Tierra. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 45. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2 0 − 2gR ≥ 0. Si v2 0 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembro derecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, la velocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a la Tierra. Luego, si v0 ≥ 2gR = V e, la part´ıcula escapar´a de la Tierra. Ejemplo: Hallar la velocidad de escape de la Tierra. Considerar g = 9,81m/seg2 y R = 6370Km Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 46. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 47. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se tiene entonces Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 48. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se tiene entonces dT dt = K(T − Tm) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 49. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se tiene entonces dT dt = K(T − Tm) donde K < 0. La ecuaci´on se puede resolver por el m´etodo de separaci´on de variables, para obtener la soluci´on general: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 50. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se tiene entonces dT dt = K(T − Tm) donde K < 0. La ecuaci´on se puede resolver por el m´etodo de separaci´on de variables, para obtener la soluci´on general: T(t) = Tm + (T0 − Tm)ekt Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 51. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 52. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦ F en el interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es 10◦ F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es de 25◦ F. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 53. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦ F en el interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es 10◦ F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es de 25◦ F. ¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 54. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦ F en el interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es 10◦ F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es de 25◦ F. ¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?. Soluci´on: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 55. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦ F en el interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es 10◦ F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es de 25◦ F. ¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?. Soluci´on: Sea T(t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos que T(0) = T0 = 70◦ F, Tm = 10◦ F, T(3) = 25◦ F y al aplicarlos en la soluci´on general obtenemos que Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 56. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦ F en el interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es 10◦ F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es de 25◦ F. ¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?. Soluci´on: Sea T(t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos que T(0) = T0 = 70◦ F, Tm = 10◦ F, T(3) = 25◦ F y al aplicarlos en la soluci´on general obtenemos que T(t) = 10 + 60e−0,46t Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 57. CONVERSION QUIMICA SIMPLE Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 58. CONVERSION QUIMICA SIMPLE La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 59. CONVERSION QUIMICA SIMPLE La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial dx dt = −kx, donde k > 0 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 60. CONVERSION QUIMICA SIMPLE La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial dx dt = −kx, donde k > 0 y cuya soluci´on es de la forma: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 61. CONVERSION QUIMICA SIMPLE La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial dx dt = −kx, donde k > 0 y cuya soluci´on es de la forma: x(t) = x0e−kt Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 62. CONVERSION QUIMICA SIMPLE Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 63. CONVERSION QUIMICA SIMPLE La gr´afica de la soluci´on es de la forma: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 64. CONVERSION QUIMICA SIMPLE La gr´afica de la soluci´on es de la forma: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 65. CONVERSION QUIMICA SIMPLE Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 66. CONVERSION QUIMICA SIMPLE Ejemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dos terceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinar la cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 67. CONVERSION QUIMICA SIMPLE Ejemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dos terceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinar la cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s. Del x(30) = x0e−30K = x0 3 , obtenemos que K = Ln3 30 y x(t) = x0e− Ln3 30 t , luego x(60) = x0 9 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 68. CRECIMIENTO POBLACIONAL Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 69. CRECIMIENTO POBLACIONAL Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada por: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 70. CRECIMIENTO POBLACIONAL Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada por: dy dt = ky − hy = (k − h)y, Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 71. CRECIMIENTO POBLACIONAL Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada por: dy dt = ky − hy = (k − h)y, donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 72. CRECIMIENTO POBLACIONAL Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada por: dy dt = ky − hy = (k − h)y, donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente. La ecuaci´on anterior se puede escribir como: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 73. CRECIMIENTO POBLACIONAL Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada por: dy dt = ky − hy = (k − h)y, donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente. La ecuaci´on anterior se puede escribir como: dy dt = ay donde a = k − h Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 74. CRECIMIENTO POBLACIONAL Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada por: dy dt = ky − hy = (k − h)y, donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente. La ecuaci´on anterior se puede escribir como: dy dt = ay donde a = k − h Si hay inmigraci´on, la nueva ecuaci´on es: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 75. CRECIMIENTO POBLACIONAL Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada por: dy dt = ky − hy = (k − h)y, donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente. La ecuaci´on anterior se puede escribir como: dy dt = ay donde a = k − h Si hay inmigraci´on, la nueva ecuaci´on es: dy dt = ay + b, donde b representa el n´umero de inmigrantes. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 76. CRECIMIENTO POBLACIONAL Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 77. CRECIMIENTO POBLACIONAL Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de la forma: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 78. CRECIMIENTO POBLACIONAL Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de la forma: y(t) = ceat − b a . Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 79. CRECIMIENTO POBLACIONAL Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de la forma: y(t) = ceat − b a . De la condici´on inicial y(0) = c − b a = y0, obtenemos que c = y0 + b a y por lo tanto una soluci´on particular es Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 80. CRECIMIENTO POBLACIONAL Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de la forma: y(t) = ceat − b a . De la condici´on inicial y(0) = c − b a = y0, obtenemos que c = y0 + b a y por lo tanto una soluci´on particular es y(t) = y0 + b a eat − b a . Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 81. CRECIMIENTO POBLACIONAL Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de la forma: y(t) = ceat − b a . De la condici´on inicial y(0) = c − b a = y0, obtenemos que c = y0 + b a y por lo tanto una soluci´on particular es y(t) = y0 + b a eat − b a . ¿C´omo es la gr´afica de y(t)? Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 82. CRECIMIENTO POBLACIONAL Ejemplo: Un modelo simple Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 83. CRECIMIENTO POBLACIONAL Ejemplo: Un modelo simple Se sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmente a la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´anto tiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a? Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 84. CRECIMIENTO POBLACIONAL Ejemplo: Un modelo simple Se sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmente a la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´anto tiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a? Si P(t) es el m´ınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema de valor inicial asociado es: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 85. CRECIMIENTO POBLACIONAL Ejemplo: Un modelo simple Se sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmente a la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´anto tiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a? Si P(t) es el m´ınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema de valor inicial asociado es:    dP dt = kP P(0) = Po Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 86. CRECIMIENTO POBLACIONAL Ejemplo: Un modelo simple Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 87. CRECIMIENTO POBLACIONAL Ejemplo: Un modelo simple Cuya soluci´on general es P(t) = Poekt . Utilizando los datos del problema obtenemos que la poblaci´on es: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 88. CRECIMIENTO POBLACIONAL Ejemplo: Un modelo simple Cuya soluci´on general es P(t) = Poekt . Utilizando los datos del problema obtenemos que la poblaci´on es: P(t) = Poe0,138629t Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 89. CRECIMIENTO POBLACIONAL Ejemplo: Un modelo simple Cuya soluci´on general es P(t) = Poekt . Utilizando los datos del problema obtenemos que la poblaci´on es: P(t) = Poe0,138629t N´otese que P(3) = 7,92 a˜nos y P(4) = 10 a˜nos. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 90. ACUMULACION DE CAPITAL Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 91. ACUMULACION DE CAPITAL Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 92. ACUMULACION DE CAPITAL Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que: (incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o, Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 93. ACUMULACION DE CAPITAL Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que: (incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o, dy dt = ky − b, Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 94. ACUMULACION DE CAPITAL Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que: (incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o, dy dt = ky − b, Donde k > 0 y la soluci´on general de la ecuaci´on es de la forma y(t) = cekt + b. Al analizar la condici´on inicial y(0) = ce0t + b = yo, obtenemos que c = y − b y la soluci´on particular toma la forma: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 95. ACUMULACION DE CAPITAL Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que: (incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o, dy dt = ky − b, Donde k > 0 y la soluci´on general de la ecuaci´on es de la forma y(t) = cekt + b. Al analizar la condici´on inicial y(0) = ce0t + b = yo, obtenemos que c = y − b y la soluci´on particular toma la forma: y(t) = yo − k b ekt + b k Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 96. ACUMULACION DE CAPITAL Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 97. ACUMULACION DE CAPITAL N´otese que si: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 98. ACUMULACION DE CAPITAL N´otese que si: si yo > b k el capital y(t) crece. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 99. ACUMULACION DE CAPITAL N´otese que si: si yo > b k el capital y(t) crece. si yo < b k el capital y(t) decrece. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 100. ACUMULACION DE CAPITAL N´otese que si: si yo > b k el capital y(t) crece. si yo < b k el capital y(t) decrece. si yo = b k el capital y(t) permanece constante. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 101. ACUMULACION DE CAPITAL N´otese que si: si yo > b k el capital y(t) crece. si yo < b k el capital y(t) decrece. si yo = b k el capital y(t) permanece constante. La siguiente gr´afica ilustra la situaci´on anterior. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 102. ACUMULACION DE CAPITAL Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 103. ACUMULACION DE CAPITAL Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 104. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 105. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes La ecuaci´on de la forma Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 106. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes La ecuaci´on de la forma ay + by + cy = 0 (1) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 107. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes La ecuaci´on de la forma ay + by + cy = 0 (1) Si y(x) = eλx es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx y y (x) = λ2 eλx . Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 108. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes La ecuaci´on de la forma ay + by + cy = 0 (1) Si y(x) = eλx es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx y y (x) = λ2 eλx . Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que: (λ2 + bλ + c)eλx = 0 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 109. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes La ecuaci´on de la forma ay + by + cy = 0 (1) Si y(x) = eλx es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx y y (x) = λ2 eλx . Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que: (λ2 + bλ + c)eλx = 0 Como eλx = 0, λ2 + bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 110. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes La ecuaci´on de la forma ay + by + cy = 0 (1) Si y(x) = eλx es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx y y (x) = λ2 eλx . Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que: (λ2 + bλ + c)eλx = 0 Como eλx = 0, λ2 + bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar. Las raices de la ecuaci´on auxiliar son λ1, λ2 = −b ± √ b2 − 4ac 2a Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 111. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes La ecuaci´on de la forma ay + by + cy = 0 (1) Si y(x) = eλx es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx y y (x) = λ2 eλx . Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que: (λ2 + bλ + c)eλx = 0 Como eλx = 0, λ2 + bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar. Las raices de la ecuaci´on auxiliar son λ1, λ2 = −b ± √ b2 − 4ac 2a La naturaleza de las raices depende del discriminante √ b2 − 4ac. Consid- eremos tres casos: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 112. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 113. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes a) Si b2 − 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En este caso y1(x) = eλ1x , y2(x) = eλ2x y la soluci´on general es: y(x) = c1eλ1x + c2eλ2x Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 114. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes a) Si b2 − 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En este caso y1(x) = eλ1x , y2(x) = eλ2x y la soluci´on general es: y(x) = c1eλ1x + c2eλ2x b) Si b2 − 4ac = 0, λ1 = λ2 = − b 2a = λ. En ´este caso y1(x) = eλx y y2(x) = xeλx y la soluci´on general es: y(x) = c1eλx + c2xeλx Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 115. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes a) Si b2 − 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En este caso y1(x) = eλ1x , y2(x) = eλ2x y la soluci´on general es: y(x) = c1eλ1x + c2eλ2x b) Si b2 − 4ac = 0, λ1 = λ2 = − b 2a = λ. En ´este caso y1(x) = eλx y y2(x) = xeλx y la soluci´on general es: y(x) = c1eλx + c2xeλx c) Si b2 − 4ac < 0, λ1 = a + bi y λ2 = a − bi. En ´este caso y1(x) = eax cos(bx); y2(x) = eax sin(bx) y la soluci´on general es: y(x) = c1eax cos(bx) + c2 sin(bx) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 116. Vibraciones en sistemas mec´anicos Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 117. Vibraciones en sistemas mec´anicos ¿Cuando se producen vibraciones? Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 118. Vibraciones en sistemas mec´anicos ¿Cuando se producen vibraciones? Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio. Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 119. Vibraciones en sistemas mec´anicos ¿Cuando se producen vibraciones? Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio. Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma: d2 x dt2 + P(t) dx dt + Q(t)x = R(t) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 120. Vibraciones en sistemas mec´anicos ¿Cuando se producen vibraciones? Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio. Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma: d2 x dt2 + P(t) dx dt + Q(t)x = R(t) Tipo 1: Vibraciones arm´onicas no amortiguadas. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 121. Vibraciones en sistemas mec´anicos ¿Cuando se producen vibraciones? Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio. Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma: d2 x dt2 + P(t) dx dt + Q(t)x = R(t) Tipo 1: Vibraciones arm´onicas no amortiguadas. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 122. Vibraciones en sistemas mec´anicos Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 123. Vibraciones en sistemas mec´anicos La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau- raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la rigid´ez del resorte. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 124. Vibraciones en sistemas mec´anicos La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau- raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la rigid´ez del resorte. Segunda Ley De Newton: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 125. Vibraciones en sistemas mec´anicos La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau- raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la rigid´ez del resorte. Segunda Ley De Newton: FR = -kx = ma = m d2 x dt2 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 126. Vibraciones en sistemas mec´anicos La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau- raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la rigid´ez del resorte. Segunda Ley De Newton: FR = -kx = ma = m d2 x dt2 d2 x dt2 + k m x = 0, o, d2 x dt2 + a2 x = 0 ; a2 = k m Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 127. Vibraciones en sistemas mec´anicos Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 128. Vibraciones en sistemas mec´anicos Ecuaci´on auxiliar: λ2 + k m = 0 ⇐⇒ λ = ± k m i Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 129. Vibraciones en sistemas mec´anicos Ecuaci´on auxiliar: λ2 + k m = 0 ⇐⇒ λ = ± k m i x1t = cos k m t = cos(at) x2t = sin k m t = sin(at)    x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) Soluci´on General Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 130. Vibraciones en sistemas mec´anicos Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 131. Vibraciones en sistemas mec´anicos Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 132. Vibraciones en sistemas mec´anicos Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de: x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 133. Vibraciones en sistemas mec´anicos Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de: x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at) x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 134. Vibraciones en sistemas mec´anicos Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de: x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at) x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo x (0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 135. Vibraciones en sistemas mec´anicos Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de: x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at) x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo x (0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0 La soluci´on particular es: x(t) = xo cos(at) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 136. Vibraciones en sistemas mec´anicos Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 137. Vibraciones en sistemas mec´anicos aT = 2π ; T = 2π a = 2π k m = 2π m k Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 138. Vibraciones en sistemas mec´anicos aT = 2π ; T = 2π a = 2π k m = 2π m k Tambien f = 1 T = a 2π = 1 2π k m Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 139. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 140. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor- tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda). Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 141. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor- tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda). Fa = −c dx dt , c > 0: c: Mide la resistencia del medio. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 142. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor- tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda). Fa = −c dx dt , c > 0: c: Mide la resistencia del medio. Luego, la nueva ecuaci´on es: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 143. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor- tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda). Fa = −c dx dt , c > 0: c: Mide la resistencia del medio. Luego, la nueva ecuaci´on es: m d2 x dt2 = FR + Fa ⇐⇒ m d2 x dt2 + kx + c dx dt = 0 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 144. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor- tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda). Fa = −c dx dt , c > 0: c: Mide la resistencia del medio. Luego, la nueva ecuaci´on es: m d2 x dt2 = FR + Fa ⇐⇒ m d2 x dt2 + kx + c dx dt = 0 ⇐⇒ m d2 x dt2 + c dx dt + kx = 0 ⇐⇒ d2 x dt2 + c m dx dt + k m x = 0 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 145. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor- tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda). Fa = −c dx dt , c > 0: c: Mide la resistencia del medio. Luego, la nueva ecuaci´on es: m d2 x dt2 = FR + Fa ⇐⇒ m d2 x dt2 + kx + c dx dt = 0 ⇐⇒ m d2 x dt2 + c dx dt + kx = 0 ⇐⇒ d2 x dt2 + c m dx dt + k m x = 0 ⇐⇒ d2 x dt2 + 2b dx dt + a2 x = 0, donde 2b = c m ⇐⇒ b = c 2m y a2 = k m Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 146. Vibraciones amortiguadas Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 147. Vibraciones amortiguadas La ecuaci´on auxiliar: λ2 + 2bλ + a2 = 0 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 148. Vibraciones amortiguadas La ecuaci´on auxiliar: λ2 + 2bλ + a2 = 0 λ1,2 = −2b ± √ 4b2 − 4a2 2 = −2b ± 2 √ b2 − a2 2 = −b ± b2 − a2 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 149. Vibraciones amortiguadas La ecuaci´on auxiliar: λ2 + 2bλ + a2 = 0 λ1,2 = −2b ± √ 4b2 − 4a2 2 = −2b ± 2 √ b2 − a2 2 = −b ± b2 − a2 La naturaleza de las raices dependen del discriminante √ b2 − a2. Consid- eremos los siguientes casos: a) Si b2 −a2 > 0 ⇐⇒ b > a: La fuerza de fricci´on debida a la viscocidad es grande en comparaci´on con la rapid´ez del resorte. En este caso λ1, λ2 ∈ R y λ1 = λ2. x1(t) = eλ1t , x2(t) = eλ2t , y, x(t) = c1eλ1t + c2eλ2t Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 150. Vibraciones amortiguadas Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 151. Vibraciones amortiguadas Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 152. Vibraciones amortiguadas Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de: x(t) = c1eλ1t + c2eλ2t y x (t) = c1λ1eλ1t + c2λ2eλ2t Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 153. Vibraciones amortiguadas Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de: x(t) = c1eλ1t + c2eλ2t y x (t) = c1λ1eλ1t + c2λ2eλ2t x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 154. Vibraciones amortiguadas Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de: x(t) = c1eλ1t + c2eλ2t y x (t) = c1λ1eλ1t + c2λ2eλ2t x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0 c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 155. Vibraciones amortiguadas Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de: x(t) = c1eλ1t + c2eλ2t y x (t) = c1λ1eλ1t + c2λ2eλ2t x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0 c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0 (λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 = −λ1xo λ2 − λ1 = λ1xo λ1 − λ2 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 156. Vibraciones amortiguadas Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de: x(t) = c1eλ1t + c2eλ2t y x (t) = c1λ1eλ1t + c2λ2eλ2t x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0 c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0 (λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 = −λ1xo λ2 − λ1 = λ1xo λ1 − λ2 c1 = xo − c2 = xo 1 + λ1xo λ1 − λ2 = λ1xo − λ2xo + λ1xo λ1 − λ2 = −λ2xo λ1 − λ2 −λ2xo λ1 − λ2 −λ2xo λ1 − λ2 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 157. Vibraciones amortiguadas Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 158. Vibraciones amortiguadas Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos: x(t) = −λ2xo λ1 − λ2 eλ1t + λ1xo λ1 − λ2 eλ2t Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 159. Vibraciones amortiguadas Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos: x(t) = −λ2xo λ1 − λ2 eλ1t + λ1xo λ1 − λ2 eλ2t x(t) = xo λ1 − λ2 λ1eλ2t − λ2eλ1t , λ1 = λ2 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 160. Vibraciones amortiguadas Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 161. Vibraciones amortiguadas b) Si b2 − a2 = 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye. λ1 = λ2 = −b = −a = λ. x1(t) = e−at , x2(t) = te−at , x(t) = c1e−at + c2te−at Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 162. Vibraciones amortiguadas b) Si b2 − a2 = 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye. λ1 = λ2 = −b = −a = λ. x1(t) = e−at , x2(t) = te−at , x(t) = c1e−at + c2te−at x (t) = −ac1e−at + c2e−at − ac2te−at = −ac1e−at + c2e−at (1 − at) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 163. Vibraciones amortiguadas b) Si b2 − a2 = 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye. λ1 = λ2 = −b = −a = λ. x1(t) = e−at , x2(t) = te−at , x(t) = c1e−at + c2te−at x (t) = −ac1e−at + c2e−at − ac2te−at = −ac1e−at + c2e−at (1 − at) Aplicando las condiciones iniciales: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 164. Vibraciones amortiguadas b) Si b2 − a2 = 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye. λ1 = λ2 = −b = −a = λ. x1(t) = e−at , x2(t) = te−at , x(t) = c1e−at + c2te−at x (t) = −ac1e−at + c2e−at − ac2te−at = −ac1e−at + c2e−at (1 − at) Aplicando las condiciones iniciales: x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xo Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 165. Vibraciones amortiguadas b) Si b2 − a2 = 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye. λ1 = λ2 = −b = −a = λ. x1(t) = e−at , x2(t) = te−at , x(t) = c1e−at + c2te−at x (t) = −ac1e−at + c2e−at − ac2te−at = −ac1e−at + c2e−at (1 − at) Aplicando las condiciones iniciales: x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xo x (0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axo Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 166. Vibraciones amortiguadas Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 167. Vibraciones amortiguadas x(t) = xoe−at + axote−at = xoe−at [1 + at] Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 168. Vibraciones amortiguadas x(t) = xoe−at + axote−at = xoe−at [1 + at] c) Si b2 − a2 < 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci- dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 169. Vibraciones amortiguadas x(t) = xoe−at + axote−at = xoe−at [1 + at] c) Si b2 − a2 < 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci- dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado. λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 170. Vibraciones amortiguadas x(t) = xoe−at + axote−at = xoe−at [1 + at] c) Si b2 − a2 < 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci- dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado. λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2 x1(t) = e−bt cos(αt), x2(t) = e−bt sin(αt) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 171. Vibraciones amortiguadas x(t) = xoe−at + axote−at = xoe−at [1 + at] c) Si b2 − a2 < 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci- dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado. λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2 x1(t) = e−bt cos(αt), x2(t) = e−bt sin(αt) x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e−bt sin(αt) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 172. Vibraciones amortiguadas Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 173. Vibraciones amortiguadas Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 174. Vibraciones amortiguadas Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0 x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e−bt sin(αt) y Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 175. Vibraciones amortiguadas Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0 x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e−bt sin(αt) y x (t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 176. Vibraciones amortiguadas Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0 x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e−bt sin(αt) y x (t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt) x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 177. Vibraciones amortiguadas Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0 x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e−bt sin(αt) y x (t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt) x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo = b α xo Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 178. Vibraciones amortiguadas Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0 x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e−bt sin(αt) y x (t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt) x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo = b α xo La soluci´on particular es de la forma: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 179. Vibraciones amortiguadas Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0 x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e−bt sin(αt) y x (t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt) x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo = b α xo La soluci´on particular es de la forma: x(t) = xoe−bt cos(αt) + b α xoe−bt sin(αt) Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 180. Vibraciones amortiguadas Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0 x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e−bt sin(αt) y x (t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt) x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo = b α xo La soluci´on particular es de la forma: x(t) = xoe−bt cos(αt) + b α xoe−bt sin(αt) x(t) = xo α e−bt [α cos(αt) + b sin(αt)] Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 181. Vibraciones amortiguadas Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 182. Vibraciones amortiguadas Ahora: Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 183. Vibraciones amortiguadas Ahora: α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ) = cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 184. Vibraciones amortiguadas Ahora: α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ) = cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ La igualdad anterior es cierta si y solo si α = cos θ; sin θ = −b | α2 = cos2 θ; sin2 θ = b2 , α2 + b2 = 12 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 185. Vibraciones amortiguadas Ahora: α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ) = cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ La igualdad anterior es cierta si y solo si α = cos θ; sin θ = −b | α2 = cos2 θ; sin2 θ = b2 , α2 + b2 = 12 − b α = sin θ cos θ = tan θ | θ = tan−1 − b α Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 186. Vibraciones amortiguadas Ahora: α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ) = cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ La igualdad anterior es cierta si y solo si α = cos θ; sin θ = −b | α2 = cos2 θ; sin2 θ = b2 , α2 + b2 = 12 − b α = sin θ cos θ = tan θ | θ = tan−1 − b α x(t) = xo α e−bt [cos(αt − θ)] | x(t) = xo √ a2 + b2 α e−bt [cos(αt − θ)]x(t) = xo √ a2 + b2 α e−bt [cos(αt − θ)]x(t) = xo √ a2 + b2 α e−bt [cos(αt − θ)] Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 187. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 188. Vibraciones amortiguadas Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 189. Vibraciones amortiguadas Como αT = 2π, T = 2π α = 2π a2 − b2 = 2π k m − c2 4m2 , y Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 190. Vibraciones amortiguadas Como αT = 2π, T = 2π α = 2π a2 − b2 = 2π k m − c2 4m2 , y f = 1 T = α 2π = 1 2π a2 − b2 = 1 2π k m − c2 4m2 Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  • 191. Bibliografia • Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modela- do. Editorial Thomson. Sexta Edici´on. • Rainville - Bedien. Ecuaciones Diferenciales. Ed. Prentice Hill. Octave Edici´on 1998. • R. Kent Nagle, Eduard B. Saff. Fundamentos de Ecuaciones Diferen- ciales. Ed. Addison Wesley. Iberoamericana 1998. • J. E. Trivi˜no M. Ecuaciones Diferenciales. Libro en proceso de edici´on. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O