El documento presenta un taller sobre ecuaciones diferenciales ordinarias que modelan situaciones de la vida cotidiana. El taller explica cómo construir modelos matemáticos utilizando ecuaciones diferenciales para predecir el futuro de una cantidad a partir de las reglas que gobiernan sus cambios. Se describen tres técnicas para realizar predicciones: analíticas, cualitativas y numéricas. Además, se plantean dos problemas de la física que conducen a ecuaciones diferenciales para modelar la caída libre de un cuerpo y
Ecuación diferencial de transferencia de calor y sus aplicaciones en ingenieríajalexanderc
El documento describe la ecuación diferencial de transferencia de calor en tres sistemas de coordenadas. Explica que la conducción de calor depende de la posición y el tiempo, y puede ser unidimensional, estacionaria o transitoria. Deriva la ecuación general aplicando la ley de conservación de la energía a un volumen de control, considerando los flujos de calor, generación interna y cambios en la energía térmica almacenada. Finalmente resume las ecuaciones en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
La primera ley de la termodinámica establece que la energía total de un sistema cerrado se conserva y no puede ser creada ni destruida, solo puede cambiar de forma. La energía interna de un sistema es la suma de las energías cinética, potencial y otras formas de energía a nivel atómico y molecular. El cambio en la energía interna de un sistema depende del calor transferido e trabajo realizado.
Este documento presenta 5 problemas relacionados con máquinas térmicas, refrigeradores y bombas de calor. El primer problema calcula la cantidad de calor cedido por un foco caliente y la variación de entropía de este cuando una máquina térmica reversible transfiere calor a un foco frío. El segundo problema analiza la misma transferencia de calor pero sin máquina térmica entre los focos. El tercer problema determina el trabajo producido por ciclo, calor vertido y variación de entropía de una máquina térmica. El cuarto
Este documento presenta un resumen de los conceptos clave de la entropía. Define la entropía como una medida de la ineficacia de la energía en un sistema, la cual tiende a incrementarse en procesos naturales espontáneos de acuerdo a la segunda ley de la termodinámica. Explica que la entropía de un sistema aislado siempre aumenta debido a la irreversibilidad de los procesos reales, lo que implica un continuo incremento de la entropía total del universo. Finalmente, describe algunas características
Este documento presenta un experimento sobre la transferencia de energía y movimiento (momentum) entre dos carritos de masas variables mediante colisiones. El objetivo es demostrar la conservación del momentum antes y después de las colisiones elásticas e inelásticas midiendo la posición y el tiempo. Se explican conceptos clave como fuerza, momentum, energía cinética, energía potencial y los tipos de colisiones. El experimento analizará las variaciones de velocidad y masa para hallar el momentum inicial y final.
TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN-CONDUCCIÓN LINEAL EN MULTIPLES CAPASEdisson Paguatian
El estudiante a través de esta presentación puede resolver problemas de conducción lineal en estado estacionario en diferentes configuraciones geométricas: cilindros, esferas y paredes en serie y paralelo
Este documento presenta fórmulas y conceptos fundamentales de hidráulica. Explica la densidad, presión, energía, caudal, pérdidas de carga y fuerzas en tuberías y canales. También incluye tablas de diámetros y espesores comunes, así como equivalencias de unidades físicas usadas en hidráulica.
Mecánica vectorial para ingenieros dinámica - 10ma edición - r. c. hibbelerKoka Mitre
El documento proporciona en repetidas ocasiones los enlaces http://libreria-universitaria.blogspot.com y www.FreeLibros.com, sugiriendo que se trata de recursos relacionados con libros universitarios y libros gratuitos.
Ecuación diferencial de transferencia de calor y sus aplicaciones en ingenieríajalexanderc
El documento describe la ecuación diferencial de transferencia de calor en tres sistemas de coordenadas. Explica que la conducción de calor depende de la posición y el tiempo, y puede ser unidimensional, estacionaria o transitoria. Deriva la ecuación general aplicando la ley de conservación de la energía a un volumen de control, considerando los flujos de calor, generación interna y cambios en la energía térmica almacenada. Finalmente resume las ecuaciones en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
La primera ley de la termodinámica establece que la energía total de un sistema cerrado se conserva y no puede ser creada ni destruida, solo puede cambiar de forma. La energía interna de un sistema es la suma de las energías cinética, potencial y otras formas de energía a nivel atómico y molecular. El cambio en la energía interna de un sistema depende del calor transferido e trabajo realizado.
Este documento presenta 5 problemas relacionados con máquinas térmicas, refrigeradores y bombas de calor. El primer problema calcula la cantidad de calor cedido por un foco caliente y la variación de entropía de este cuando una máquina térmica reversible transfiere calor a un foco frío. El segundo problema analiza la misma transferencia de calor pero sin máquina térmica entre los focos. El tercer problema determina el trabajo producido por ciclo, calor vertido y variación de entropía de una máquina térmica. El cuarto
Este documento presenta un resumen de los conceptos clave de la entropía. Define la entropía como una medida de la ineficacia de la energía en un sistema, la cual tiende a incrementarse en procesos naturales espontáneos de acuerdo a la segunda ley de la termodinámica. Explica que la entropía de un sistema aislado siempre aumenta debido a la irreversibilidad de los procesos reales, lo que implica un continuo incremento de la entropía total del universo. Finalmente, describe algunas características
Este documento presenta un experimento sobre la transferencia de energía y movimiento (momentum) entre dos carritos de masas variables mediante colisiones. El objetivo es demostrar la conservación del momentum antes y después de las colisiones elásticas e inelásticas midiendo la posición y el tiempo. Se explican conceptos clave como fuerza, momentum, energía cinética, energía potencial y los tipos de colisiones. El experimento analizará las variaciones de velocidad y masa para hallar el momentum inicial y final.
TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN-CONDUCCIÓN LINEAL EN MULTIPLES CAPASEdisson Paguatian
El estudiante a través de esta presentación puede resolver problemas de conducción lineal en estado estacionario en diferentes configuraciones geométricas: cilindros, esferas y paredes en serie y paralelo
Este documento presenta fórmulas y conceptos fundamentales de hidráulica. Explica la densidad, presión, energía, caudal, pérdidas de carga y fuerzas en tuberías y canales. También incluye tablas de diámetros y espesores comunes, así como equivalencias de unidades físicas usadas en hidráulica.
Mecánica vectorial para ingenieros dinámica - 10ma edición - r. c. hibbelerKoka Mitre
El documento proporciona en repetidas ocasiones los enlaces http://libreria-universitaria.blogspot.com y www.FreeLibros.com, sugiriendo que se trata de recursos relacionados con libros universitarios y libros gratuitos.
Informe de laboratorio de electricidad resistencias en serie y paraleloLuis Guevara Aldaz
Este documento presenta los resultados de un laboratorio sobre resistencias en serie y paralelo. El objetivo era calcular las resistencias equivalentes de varios circuitos con resistencias conectadas en serie y paralelo usando las fórmulas apropiadas. Se realizaron cálculos para 15 circuitos diferentes y se concluyó que se adquirieron los conocimientos básicos sobre resistencias y cómo calcular valores equivalentes.
En esta práctica, los estudiantes visualizaron líneas de corriente en un flujo vertical utilizando humo. Colocaron diferentes modelos en la pared posterior del túnel y observaron cómo cambiaban las trayectorias de las líneas de corriente. Notaron que el flujo siempre se ajustaba suavemente al modelo y que había puntos de estancamiento en superficies de 90 grados. El objetivo fue observar el fenómeno de separación y la distribución de las líneas de corriente mediante esfuerzos de corte mín
Cuando la fuerza retardadora es pequeña en comparación con la fuerza restauradora, el movimiento oscilatorio se conserva pero la amplitud disminuye con el tiempo hasta detenerse. Este sistema subamortiguado se caracteriza por oscilaciones amortiguadas cuya amplitud decrece más lentamente que en un sistema críticamente amortiguado o sobreamortiguado.
Este documento describe la segunda ley de la termodinámica y su relación con las máquinas térmicas. Explica que la segunda ley establece que los procesos naturales solo pueden ocurrir en una dirección, y que es imposible construir una máquina que convierta completamente el calor en trabajo de forma continua. Luego describe el ciclo de Carnot como el más eficiente, y compara este ciclo con el ciclo Rankine. Finalmente, analiza las máquinas de Carnot que funcionan con ciclos normales y ciclos
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
El documento trata sobre la cinemática de una partícula. Explica conceptos como posición, velocidad, aceleración y métodos para estudiar el movimiento como el método vectorial y de coordenadas cartesianas. También cubre temas como movimiento unidimensional, bidimensional, compuesto y circular, así como aplicaciones de la cinemática.
Es parte de la física que
estudia los fenómenos de la
naturaleza envolviendo
energía, calor y trabajo.
También podemos definir
como la ciencia de la energí
La ley de Gauss establece que el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida por la constante de permitividad del vacío. Se usa principalmente cuando hay simetría, como en cargas puntuales, líneas de carga, placas conductoras o distribuciones esféricas. Para aplicarla, se selecciona una superficie gaussiana apropiada y se calcula la carga encerrada.
Este documento describe los principios de conservación de masa y energía para sistemas de flujo estacionario. Explica que la masa y la energía se conservan en volúmenes de control aunque pueden transferirse a través de las fronteras. Define conceptos como flujo másico, flujo volumétrico, trabajo de flujo y energía total de un fluido en movimiento. Además, presenta ejemplos numéricos sobre cálculos relacionados con estos principios.
Después de la inducción recibida por el docente en el laboratorio procedimos a realizar la práctica que consistía en poder armar circuitos en serie y circuitos en paralela con la ayuda del profesor y luego medir a q distancia esto nos iba a dar el valor de 0 en el voltímetro.
Este documento trata sobre la mecánica de fluidos. Explica que un fluido es un líquido o un gas, y que su característica principal es su incapacidad para resistir fuerzas cortantes. Además, estudia el comportamiento de los líquidos y gases, especialmente los líquidos, tanto en reposo como en movimiento.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a problemas vaciado de tanques (...Yeina Pedroza
Este documento explica el uso de ecuaciones diferenciales ordinarias para modelar y resolver problemas de vaciado de tanques. Introduce conceptos clave como orden, grado y tipos de soluciones de ecuaciones diferenciales. Aplica el teorema de Torricelli para derivar una ecuación que describe cómo la velocidad de salida de un líquido depende de la altura en el tanque. Finalmente, presenta un modelo matemático general para calcular cómo cambia el nivel de un líquido en un tanque con el tiempo a medida que sale a trav
1) Los diagramas de fases muestran las fases presentes en una aleación a diferentes temperaturas y composiciones. 2) Existen tres tipos de diagramas de fases binarios dependiendo de la solubilidad de los elementos. 3) Los diagramas proporcionan información sobre temperaturas de solidificación, composición y cantidad de fases presentes en el equilibrio.
Una placa rectangular de 4 metros de altura y 5 metros de ancho bloquea el extremo de un canal de agua dulce de 4 metros de profundidad como se muestra en la figura.
La placa está articulada en torno a un eje horizontal que está a lo largo de su borde superior y que pasa por un punto A y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B.
Determine la fuerza que ejerce la placa sobre el borde en B.
Este documento trata sobre el momento angular, que es el producto vectorial entre el radio y el momento lineal de un objeto. Explica que depende de la masa del objeto, su radio de giro y su velocidad angular, y que tiende a conservarse en ausencia de fuerzas externas. También define el momento de inercia como la propiedad de los cuerpos que se opone a los cambios en su rotación, el cual depende del cuadrado del radio de giro de un objeto.
analisis de graficos de movimiento armonico simpleJesu Nuñez
en este experimento se hizo un sistema masa-resorte y con aparatos modernos y sensores se calcularon valores de un resorte en oscilación (desplazamientos), donde al graficarlos con respecto al tiempo se da precisamente lo q se entiende como movimiento periódico.
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO
LEY DE GAUSS
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
DIVERGENCIA
PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL [ELECTROSTÁTICA]
OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
La segunda ley de Newton establece que la fuerza neta sobre un objeto es directamente proporcional a su aceleración. Si la masa es constante, la fuerza neta es igual a la masa por la aceleración. Esta ley se aplica para analizar el movimiento de bloques unidos por una cuerda sobre un plano inclinado, determinando primero la aceleración del sistema y luego la tensión del hilo.
Este documento presenta información sobre un curso de física impartido por Marco Julio Rivera Avellaneda. El curso cubre temas de mecánica y cinemática, y enfatiza un enfoque de aprendizaje cooperativo donde los estudiantes trabajan juntos para construir conocimiento. El documento también incluye detalles sobre los ejes temáticos del curso como movimiento rectilíneo y movimiento rectilíneo uniforme.
Informe de laboratorio de electricidad resistencias en serie y paraleloLuis Guevara Aldaz
Este documento presenta los resultados de un laboratorio sobre resistencias en serie y paralelo. El objetivo era calcular las resistencias equivalentes de varios circuitos con resistencias conectadas en serie y paralelo usando las fórmulas apropiadas. Se realizaron cálculos para 15 circuitos diferentes y se concluyó que se adquirieron los conocimientos básicos sobre resistencias y cómo calcular valores equivalentes.
En esta práctica, los estudiantes visualizaron líneas de corriente en un flujo vertical utilizando humo. Colocaron diferentes modelos en la pared posterior del túnel y observaron cómo cambiaban las trayectorias de las líneas de corriente. Notaron que el flujo siempre se ajustaba suavemente al modelo y que había puntos de estancamiento en superficies de 90 grados. El objetivo fue observar el fenómeno de separación y la distribución de las líneas de corriente mediante esfuerzos de corte mín
Cuando la fuerza retardadora es pequeña en comparación con la fuerza restauradora, el movimiento oscilatorio se conserva pero la amplitud disminuye con el tiempo hasta detenerse. Este sistema subamortiguado se caracteriza por oscilaciones amortiguadas cuya amplitud decrece más lentamente que en un sistema críticamente amortiguado o sobreamortiguado.
Este documento describe la segunda ley de la termodinámica y su relación con las máquinas térmicas. Explica que la segunda ley establece que los procesos naturales solo pueden ocurrir en una dirección, y que es imposible construir una máquina que convierta completamente el calor en trabajo de forma continua. Luego describe el ciclo de Carnot como el más eficiente, y compara este ciclo con el ciclo Rankine. Finalmente, analiza las máquinas de Carnot que funcionan con ciclos normales y ciclos
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
El documento trata sobre la cinemática de una partícula. Explica conceptos como posición, velocidad, aceleración y métodos para estudiar el movimiento como el método vectorial y de coordenadas cartesianas. También cubre temas como movimiento unidimensional, bidimensional, compuesto y circular, así como aplicaciones de la cinemática.
Es parte de la física que
estudia los fenómenos de la
naturaleza envolviendo
energía, calor y trabajo.
También podemos definir
como la ciencia de la energí
La ley de Gauss establece que el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida por la constante de permitividad del vacío. Se usa principalmente cuando hay simetría, como en cargas puntuales, líneas de carga, placas conductoras o distribuciones esféricas. Para aplicarla, se selecciona una superficie gaussiana apropiada y se calcula la carga encerrada.
Este documento describe los principios de conservación de masa y energía para sistemas de flujo estacionario. Explica que la masa y la energía se conservan en volúmenes de control aunque pueden transferirse a través de las fronteras. Define conceptos como flujo másico, flujo volumétrico, trabajo de flujo y energía total de un fluido en movimiento. Además, presenta ejemplos numéricos sobre cálculos relacionados con estos principios.
Después de la inducción recibida por el docente en el laboratorio procedimos a realizar la práctica que consistía en poder armar circuitos en serie y circuitos en paralela con la ayuda del profesor y luego medir a q distancia esto nos iba a dar el valor de 0 en el voltímetro.
Este documento trata sobre la mecánica de fluidos. Explica que un fluido es un líquido o un gas, y que su característica principal es su incapacidad para resistir fuerzas cortantes. Además, estudia el comportamiento de los líquidos y gases, especialmente los líquidos, tanto en reposo como en movimiento.
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a problemas vaciado de tanques (...Yeina Pedroza
Este documento explica el uso de ecuaciones diferenciales ordinarias para modelar y resolver problemas de vaciado de tanques. Introduce conceptos clave como orden, grado y tipos de soluciones de ecuaciones diferenciales. Aplica el teorema de Torricelli para derivar una ecuación que describe cómo la velocidad de salida de un líquido depende de la altura en el tanque. Finalmente, presenta un modelo matemático general para calcular cómo cambia el nivel de un líquido en un tanque con el tiempo a medida que sale a trav
1) Los diagramas de fases muestran las fases presentes en una aleación a diferentes temperaturas y composiciones. 2) Existen tres tipos de diagramas de fases binarios dependiendo de la solubilidad de los elementos. 3) Los diagramas proporcionan información sobre temperaturas de solidificación, composición y cantidad de fases presentes en el equilibrio.
Una placa rectangular de 4 metros de altura y 5 metros de ancho bloquea el extremo de un canal de agua dulce de 4 metros de profundidad como se muestra en la figura.
La placa está articulada en torno a un eje horizontal que está a lo largo de su borde superior y que pasa por un punto A y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B.
Determine la fuerza que ejerce la placa sobre el borde en B.
Este documento trata sobre el momento angular, que es el producto vectorial entre el radio y el momento lineal de un objeto. Explica que depende de la masa del objeto, su radio de giro y su velocidad angular, y que tiende a conservarse en ausencia de fuerzas externas. También define el momento de inercia como la propiedad de los cuerpos que se opone a los cambios en su rotación, el cual depende del cuadrado del radio de giro de un objeto.
analisis de graficos de movimiento armonico simpleJesu Nuñez
en este experimento se hizo un sistema masa-resorte y con aparatos modernos y sensores se calcularon valores de un resorte en oscilación (desplazamientos), donde al graficarlos con respecto al tiempo se da precisamente lo q se entiende como movimiento periódico.
DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO
LEY DE GAUSS
APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
DIVERGENCIA
PRIMERA ECUACIÓN DE MAXWELL [ELECTROSTÁTICA]
OPERADOR VECTORIAL Y EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
La segunda ley de Newton establece que la fuerza neta sobre un objeto es directamente proporcional a su aceleración. Si la masa es constante, la fuerza neta es igual a la masa por la aceleración. Esta ley se aplica para analizar el movimiento de bloques unidos por una cuerda sobre un plano inclinado, determinando primero la aceleración del sistema y luego la tensión del hilo.
Este documento presenta información sobre un curso de física impartido por Marco Julio Rivera Avellaneda. El curso cubre temas de mecánica y cinemática, y enfatiza un enfoque de aprendizaje cooperativo donde los estudiantes trabajan juntos para construir conocimiento. El documento también incluye detalles sobre los ejes temáticos del curso como movimiento rectilíneo y movimiento rectilíneo uniforme.
Este documento introduce los conceptos básicos de la mecánica newtoniana y la cinemática. Explica que la mecánica estudia el movimiento de cuerpos macroscópicos y lentos, describiendo conceptos como posición, velocidad, trayectoria y movimiento rectilíneo uniforme. Define la velocidad como la derivada de la posición con respecto al tiempo y explica que en un movimiento rectilíneo uniforme la distancia recorrida es proporcional al tiempo y la velocidad es constante.
Este documento trata sobre magnitudes físicas y vectores. Explica conceptos como el sistema internacional de unidades, magnitudes escalares y vectoriales, y operaciones con vectores como suma, resta, producto escalar y producto vectorial. También presenta ejemplos del método científico y aplicaciones de vectores en física.
Este documento introduce el tema de las ecuaciones diferenciales. Explica que las ecuaciones diferenciales son útiles para modelar sistemas que cambian continuamente con respecto al tiempo, como el movimiento de los planetas o patrones meteorológicos. Define una ecuación diferencial como aquella que contiene una función desconocida y una o más de sus derivadas. Finalmente, proporciona algunos ejemplos simples de cómo surgir ecuaciones diferenciales al modelar situaciones del mundo real y clasifica diferentes tipos de ecuaciones diferenciales.
La dinámica lineal describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación con las causas que provocan cambios en su estado físico o de movimiento. Estudia factores como fuerzas que producen alteraciones en un sistema y plantea ecuaciones de movimiento. La dinámica es prominente en sistemas mecánicos y también se aplica en termodinámica y electrodinámica.
Este documento presenta un resumen de varios temas clave de física como despeje de fórmulas, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, caída libre, peso, masa y densidad, y cinemática. Incluye definiciones, fórmulas y algoritmos para cada tema. El objetivo es servir como guía para un proyecto sobre la aplicación de estos conceptos físicos a una película.
Este documento introduce el tema de las ecuaciones diferenciales. Explica que las ecuaciones diferenciales son útiles para modelar sistemas que cambian continuamente con respecto al tiempo, como el movimiento de planetas o patrones meteorológicos. Define una ecuación diferencial como aquella que involucra una función desconocida y una o más de sus derivadas. Finalmente, provee ejemplos para ilustrar conceptos como ecuaciones diferenciales ordinarias, en derivadas parciales, orden y linealidad.
Este informe presenta soluciones a dos problemas de mecánica y transferencia de calor usando el software Mathcad. En el primer problema, se calcula el ángulo máximo que puede alcanzar un plano inclinado antes de que se deslice un bloque, considerando dos configuraciones. En el segundo problema, se resuelve numéricamente la ecuación del calor en una placa usando diferencias finitas. El informe también incluye marco teórico sobre fuerzas de roce y el método de diferencias finitas.
Este documento presenta un programa de estudio propuesto para física de noveno grado que incluye temas como mecánica, cinemática, dinámica, estática, calor, ondas, electricidad y más. Explica conceptos clave de la física como sistema de unidades, notación científica, medición de errores, movimiento rectilíneo y movimiento con aceleración constante.
Este documento presenta la teoría y procedimientos para cinco experimentos sobre dinámica. El primer experimento estudia la fuerza normal y de rozamiento en un plano inclinado. El segundo analiza el movimiento uniformemente variado. El tercero comprueba la ley de Hooke sobre resortes. El cuarto examina el periodo de un péndulo simple. Y el quinto evalúa la conservación de la energía en una montaña rusa. Los experimentos utilizan equipos como planos inclinados, masas, temporizadores y sensores para medir fuer
El documento resume las leyes de Newton y la energía cinética. Explica que la energía cinética es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento y depende de la masa del cuerpo y de su velocidad. También describe cómo usar la segunda ley de Newton para deducir la ecuación que relaciona la fuerza, masa y aceleración de una partícula, lo que permite derivar la ecuación fundamental de la energía cinética como K=1/2mv2.
10505-Texto Completo 1 238 respuestas de Física de 2º Bachillerato_ con Actio...AlexisToapanta8
Este documento presenta a César Casado Montero, autor de un libro titulado "238 respuestas de Física de 2o Bachillerato con ActionScript". Brevemente describe la trayectoria académica y profesional de Casado Montero. Además, incluye el índice del libro, dividiendo los contenidos en parte teórica y parte práctica, sobre temas como gravitación, movimiento ondulatorio, electromagnetismo y física atómica y nuclear. Finalmente, proporciona datos de publicación y licencia del libro.
El documento describe un proyecto para diseñar una maqueta que demuestra la primera ley de Newton. Se aplicarán conceptos de dinámica para analizar las fuerzas de acuerdo a la ley de Newton. También se analizarán datos experimentales sobre la constante elástica de un resorte y se relacionará la teoría de errores con los datos obtenidos del proyecto para estimar la validez de las medidas.
Este documento describe un experimento sobre el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Los estudiantes midieron el tiempo que tardó un objeto en recorrer diferentes distancias sobre un plano inclinado. Utilizando estas mediciones y ecuaciones de movimiento, calcularon la gravedad, el ángulo de inclinación, y encontraron un error relativo del 0.091% en comparación con el valor teórico de la gravedad.
Este documento presenta la introducción a la asignatura de Mecánica Clásica. Explica los objetivos de aprendizaje que incluyen conocer el programa, método de evaluación, conceptos básicos y la importancia de la asignatura. Además, detalla los temas que se cubrirán como cinemática, leyes de Newton, conservación y evaluación que consistirá en actividades, exámenes y proyecto. Por último, proporciona la bibliografía recomendada y una evaluación diagnóstica para los estudiantes.
Albarracín Toalombo Bryan Alexis
universidad de las Fuerzas Armadas "ESPE" sede latacunga
Física clásica Dinámica de la partícula Docente Diego Proaño
DInámica de la partícula y sus fuerzas externas
Similar a E.D.O - Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (20)
Este documento presenta una introducción a la teoría cognitiva del desarrollo humano. Explica que la teoría cognitiva examina cómo las personas adquieren, almacenan y usan información para dirigir su comportamiento. Luego describe algunos conceptos clave de la teoría cognitiva como la percepción, el aprendizaje, las influencias ambientales y las actitudes. Finalmente, resume dos tipos principales de teorías cognitivas: la teoría social cognitiva y la teoría cognitivo-conductual.
El documento habla sobre la infoxicación y el uso excesivo de las tecnologías. Define la infoxicación como una situación de exceso informacional o sobrecarga informacional. Explica que puede afectar a las personas física y psicológicamente, causando problemas como ansiedad, estrés, tristeza, aislamiento social y bajo rendimiento. Además, presenta datos sobre el uso excesivo de dispositivos como teléfonos celulares por parte de los usuarios, como revisarlos cada 30 minutos o sentirse incómodos sin ellos.
Presentación que narra acerca de la ciencia en la edad media, autores artífices que fueron primordiales para el desarrollo de ésta, declive de la ciencia en la edad media y el interés medieval.
Les comparto una exposición acerca del internet
en Colombia, desde sus antecedentes y la forma
de como llega a nuestro pais. Para mas información
mirar las referencias.
Este trabajo fue mi proyecto de Base de Datos 1. Utilicé los requerimientos de una empresa porcina llamada SANCTI SPIRITUS. Pueden descargar los requerimientos de internet sin ningún problema.
Este documento presenta un diccionario ilustrado de conceptos matemáticos de distribución gratuita. Incluye más de mil definiciones y 300 ilustraciones de términos matemáticos. El autor explica que el objetivo es ayudar a estudiantes de nivel básico a comprender mejor los conceptos matemáticos de una manera más sencilla y amena. El diccionario puede descargarse gratuitamente de un sitio web y se encuentra en continua mejoría.
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El documento analiza la historia de la aceptación del matrimonio entre personas del mismo sexo desde una perspectiva histórica. Explica que las primeras civilizaciones como los sumerios practicaban la homosexualidad como forma de complacer a sus dioses politeístas. También señala que la Biblia y la Iglesia Católica condenaban la unión entre personas del mismo sexo. Finalmente, argumenta que el matrimonio igualitario debe ser aprobado porque todos los seres humanos merecen los mismos derechos y libertad para amar.
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Los diagramas de casos de uso describen el comportamiento de un sistema desde la perspectiva de un usuario. Representan las interacciones entre actores y el sistema, y permiten definir los límites y relaciones del sistema. Cada caso de uso describe una tarea específica que puede realizarse con el sistema.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
pueblos originarios de chile presentacion twinkl.pptx
E.D.O - Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
1. E.D.O
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no
Facultad de Matem´aticas Y Fisica
Universidad De La Amazonia
Fecha: 30, 31 De Mayo
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
2. Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen-
ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-
enciales tratan de c´omo predecir el futuro.
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
3. Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen-
ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-
enciales tratan de c´omo predecir el futuro.
• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como son
las cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-
rir´an. Del c´alculo sabemos que el cambio es medido por las derivadas
y usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo que
tratan las ecuaciones diferenciales.
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
4. Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen-
ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-
enciales tratan de c´omo predecir el futuro.
• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como son
las cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-
rir´an. Del c´alculo sabemos que el cambio es medido por las derivadas
y usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo que
tratan las ecuaciones diferenciales.
• Convertir las reglas que gobiernan la evoluci´on de una cantidad es
una ecuaci´on diferencial se llama una modelaci´on y en este taller
construiremos algunos modelos. Nuestra meta es que a traves de las
ecuaciones diferenciales podamos predecir el futuro de la cantidad que
se est´a modelando.
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5. Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:
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6. Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros
de la cantidad.
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7. Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros
de la cantidad.
2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de la
gr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en la
descripci´on del comportamiento a largo plazo.
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8. Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros
de la cantidad.
2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de la
gr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en la
descripci´on del comportamiento a largo plazo.
3 Las t´ecnicas num´ericas que requieren c´alculos aritm´eticos que den
aproximaciones de los valores futuros de la cantidad.
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9. Taller
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futuros
de la cantidad.
2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de la
gr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en la
descripci´on del comportamiento a largo plazo.
3 Las t´ecnicas num´ericas que requieren c´alculos aritm´eticos que den
aproximaciones de los valores futuros de la cantidad.
• Se requiere que el asistente al taller tenga una idea m´ınima del c´alculo
de derivadas y de la teoria de integraci´on.
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10. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
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11. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre
´el actua la fuerza de gravedad.
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12. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre
´el actua la fuerza de gravedad.
De la segunda ley de Newton tenemos que:
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13. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre
´el actua la fuerza de gravedad.
De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ m
d2
y
dt2
= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2
y
dt2
= −g (1)
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14. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre
´el actua la fuerza de gravedad.
De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ m
d2
y
dt2
= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2
y
dt2
= −g (1)
Que representa la aceleraci´on con que cae el cuerpo. Integrando una vez
la ecuaci´on (1), obtenemos que:
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15. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre
´el actua la fuerza de gravedad.
De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ m
d2
y
dt2
= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2
y
dt2
= −g (1)
Que representa la aceleraci´on con que cae el cuerpo. Integrando una vez
la ecuaci´on (1), obtenemos que:
v(t) =
dy
dt
= −gt + c1 (2)
Que representa la velocidad con que cae el cuerpo.
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16. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
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17. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:
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18. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:
y(t) = −
1
2
gt2
+ c1t + c2 (3)
Es la posici´on del cuerpo en el tiempo t.
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19. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:
y(t) = −
1
2
gt2
+ c1t + c2 (3)
Es la posici´on del cuerpo en el tiempo t.
¿C´omo hallar las contantes c1 y c2?
¿C´omo podemos llamar la ecuacion (3)?
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21. 2) Determinar la velocidad de una part´ıcula proyectada en direcci´on ra-
dial fuera de la Tierra, cuando sobre ´esta act´ua unicamente la fuerza
de gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direcci´on
radial de modo que el movimiento de la part´ıcula se lleve a efecto
por completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. La
gr´afica ilustra la situaci´on:
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22. 2) Determinar la velocidad de una part´ıcula proyectada en direcci´on ra-
dial fuera de la Tierra, cuando sobre ´esta act´ua unicamente la fuerza
de gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direcci´on
radial de modo que el movimiento de la part´ıcula se lleve a efecto
por completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. La
gr´afica ilustra la situaci´on:
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24. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula
ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la
part´ıcula y el centro de la Tierra.
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25. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula
ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la
part´ıcula y el centro de la Tierra.
La aceleraci´on es:
a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)
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26. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula
ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la
part´ıcula y el centro de la Tierra.
La aceleraci´on es:
a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)
N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.
Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en la
superficie de la Tierra.
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27. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula
ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la
part´ıcula y el centro de la Tierra.
La aceleraci´on es:
a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)
N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.
Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en la
superficie de la Tierra.
Luego, − g = −
K
a
(2)
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28. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıcula
ser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre la
part´ıcula y el centro de la Tierra.
La aceleraci´on es:
a =
dv
dt
= −
K
r2
(1)
N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.
Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en la
superficie de la Tierra.
Luego, − g = −
K
a
(2)
De (1) K = −ar2
(3)
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30. y de (2) K = gR2
(4)
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31. y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
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32. y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces
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33. y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces
a =
dv
dt
=
dr
dt
.
dv
dr
= v
dv
dr
, 0 , a = v
dv
dr
(5)
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34. y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces
a =
dv
dt
=
dr
dt
.
dv
dr
= v
dv
dr
, 0 , a = v
dv
dr
(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
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35. y de (2) K = gR2
(4)
De (3) y (4): a = −
gR2
r2
(4)
Ahora, como a =
dv
dt
y V =
dr
dt
, entonces
a =
dv
dt
=
dr
dt
.
dv
dr
= v
dv
dr
, 0 , a = v
dv
dr
(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
v
dv
dr
=
−gR2
r2
(6)
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37. Separando variables en (6) e integrando obtenemos
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38. Separando variables en (6) e integrando obtenemos
v2
2
=
gR2
r
+ c1, 0 , v2
=
2gR2
r
+ C, donde C = 2c (7)
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39. Separando variables en (6) e integrando obtenemos
v2
2
=
gR2
r
+ c1, 0 , v2
=
2gR2
r
+ C, donde C = 2c (7)
Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuaci´on (7) toma la
forma
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40. Separando variables en (6) e integrando obtenemos
v2
2
=
gR2
r
+ c1, 0 , v2
=
2gR2
r
+ C, donde C = 2c (7)
Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuaci´on (7) toma la
forma
v2
=
2gR2
r
+ v2
0 − 2gR (5)
Que es la velocidad con que viaja la particula
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42. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2
0 − 2gR ≥ 0.
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43. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2
0 − 2gR ≥ 0.
Si v2
0 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembro
derecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, la
velocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a la
Tierra.
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44. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2
0 − 2gR ≥ 0.
Si v2
0 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembro
derecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, la
velocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a la
Tierra.
Luego, si v0 ≥ 2gR = V e, la part´ıcula escapar´a de la Tierra.
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45. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v2
0 − 2gR ≥ 0.
Si v2
0 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembro
derecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, la
velocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a la
Tierra.
Luego, si v0 ≥ 2gR = V e, la part´ıcula escapar´a de la Tierra.
Ejemplo: Hallar la velocidad de escape de la Tierra. Considerar
g = 9,81m/seg2
y R = 6370Km
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47. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on
de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la
temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se
tiene entonces
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48. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on
de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la
temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se
tiene entonces
dT
dt
= K(T − Tm)
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49. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on
de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la
temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se
tiene entonces
dT
dt
= K(T − Tm)
donde K < 0. La ecuaci´on se puede resolver por el m´etodo de separaci´on
de variables, para obtener la soluci´on general:
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50. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´on
de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia
entre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es la
temperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, se
tiene entonces
dT
dt
= K(T − Tm)
donde K < 0. La ecuaci´on se puede resolver por el m´etodo de separaci´on
de variables, para obtener la soluci´on general:
T(t) = Tm + (T0 − Tm)ekt
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52. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦
F en el
interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es
10◦
F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es
de 25◦
F.
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53. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦
F en el
interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es
10◦
F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es
de 25◦
F.
¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.
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54. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦
F en el
interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es
10◦
F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es
de 25◦
F.
¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.
Soluci´on:
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55. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦
F en el
interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es
10◦
F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es
de 25◦
F.
¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.
Soluci´on:
Sea T(t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos que
T(0) = T0 = 70◦
F, Tm = 10◦
F, T(3) = 25◦
F y al aplicarlos en la
soluci´on general obtenemos que
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56. ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦
F en el
interior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es
10◦
F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro es
de 25◦
F.
¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.
Soluci´on:
Sea T(t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos que
T(0) = T0 = 70◦
F, Tm = 10◦
F, T(3) = 25◦
F y al aplicarlos en la
soluci´on general obtenemos que
T(t) = 10 + 60e−0,46t
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58. CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on
quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la
cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de
x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia
presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial
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59. CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on
quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la
cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de
x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia
presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial
dx
dt
= −kx, donde k > 0
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60. CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on
quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la
cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de
x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia
presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial
dx
dt
= −kx, donde k > 0
y cuya soluci´on es de la forma:
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61. CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´on
quimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es la
cantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad de
x de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustancia
presente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencial
dx
dt
= −kx, donde k > 0
y cuya soluci´on es de la forma:
x(t) = x0e−kt
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66. CONVERSION QUIMICA SIMPLE
Ejemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dos
terceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinar
la cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.
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67. CONVERSION QUIMICA SIMPLE
Ejemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dos
terceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinar
la cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.
Del x(30) = x0e−30K
=
x0
3
, obtenemos que K =
Ln3
30
y
x(t) = x0e− Ln3
30 t
, luego x(60) =
x0
9
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69. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
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70. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
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71. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.
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72. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.
La ecuaci´on anterior se puede escribir como:
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73. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.
La ecuaci´on anterior se puede escribir como:
dy
dt
= ay donde a = k − h
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74. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.
La ecuaci´on anterior se puede escribir como:
dy
dt
= ay donde a = k − h
Si hay inmigraci´on, la nueva ecuaci´on es:
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75. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de un
pais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige por
la mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dada
por:
dy
dt
= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.
La ecuaci´on anterior se puede escribir como:
dy
dt
= ay donde a = k − h
Si hay inmigraci´on, la nueva ecuaci´on es:
dy
dt
= ay + b,
donde b representa el n´umero de inmigrantes.
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78. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de
la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.
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79. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de
la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.
De la condici´on inicial y(0) = c −
b
a
= y0, obtenemos que c = y0 +
b
a
y
por lo tanto una soluci´on particular es
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80. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de
la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.
De la condici´on inicial y(0) = c −
b
a
= y0, obtenemos que c = y0 +
b
a
y
por lo tanto una soluci´on particular es
y(t) = y0 +
b
a
eat
−
b
a
.
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81. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es de
la forma:
y(t) = ceat
−
b
a
.
De la condici´on inicial y(0) = c −
b
a
= y0, obtenemos que c = y0 +
b
a
y
por lo tanto una soluci´on particular es
y(t) = y0 +
b
a
eat
−
b
a
.
¿C´omo es la gr´afica de y(t)?
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83. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Se sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmente
a la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´anto
tiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a?
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84. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Se sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmente
a la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´anto
tiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a?
Si P(t) es el m´ınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema de
valor inicial asociado es:
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85. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Se sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmente
a la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´anto
tiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a?
Si P(t) es el m´ınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema de
valor inicial asociado es:
dP
dt
= kP
P(0) = Po
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87. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Cuya soluci´on general es P(t) = Poekt
. Utilizando los datos del problema
obtenemos que la poblaci´on es:
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88. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Cuya soluci´on general es P(t) = Poekt
. Utilizando los datos del problema
obtenemos que la poblaci´on es:
P(t) = Poe0,138629t
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89. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Ejemplo: Un modelo simple
Cuya soluci´on general es P(t) = Poekt
. Utilizando los datos del problema
obtenemos que la poblaci´on es:
P(t) = Poe0,138629t
N´otese que P(3) = 7,92 a˜nos y P(4) = 10 a˜nos.
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91. ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on
y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es
aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
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92. ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on
y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es
aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,
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93. ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on
y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es
aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,
dy
dt
= ky − b,
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94. ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on
y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es
aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,
dy
dt
= ky − b,
Donde k > 0 y la soluci´on general de la ecuaci´on es de la forma y(t) =
cekt
+ b. Al analizar la condici´on inicial y(0) = ce0t
+ b = yo, obtenemos
que c = y − b y la soluci´on particular toma la forma:
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95. ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´on
y = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´es
aumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,
dy
dt
= ky − b,
Donde k > 0 y la soluci´on general de la ecuaci´on es de la forma y(t) =
cekt
+ b. Al analizar la condici´on inicial y(0) = ce0t
+ b = yo, obtenemos
que c = y − b y la soluci´on particular toma la forma:
y(t) = yo −
k
b
ekt
+
b
k
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98. ACUMULACION DE CAPITAL
N´otese que si:
si yo >
b
k
el capital y(t) crece.
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99. ACUMULACION DE CAPITAL
N´otese que si:
si yo >
b
k
el capital y(t) crece.
si yo <
b
k
el capital y(t) decrece.
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100. ACUMULACION DE CAPITAL
N´otese que si:
si yo >
b
k
el capital y(t) crece.
si yo <
b
k
el capital y(t) decrece.
si yo =
b
k
el capital y(t) permanece constante.
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101. ACUMULACION DE CAPITAL
N´otese que si:
si yo >
b
k
el capital y(t) crece.
si yo <
b
k
el capital y(t) decrece.
si yo =
b
k
el capital y(t) permanece constante.
La siguiente gr´afica ilustra la situaci´on anterior.
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104. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
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105. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
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106. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
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107. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx
y y (x) = λ2
eλx
.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
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108. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx
y y (x) = λ2
eλx
.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0
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109. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx
y y (x) = λ2
eλx
.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0
Como eλx
= 0, λ2
+ bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar.
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110. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx
y y (x) = λ2
eλx
.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0
Como eλx
= 0, λ2
+ bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar.
Las raices de la ecuaci´on auxiliar son λ1, λ2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
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111. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
La ecuaci´on de la forma
ay + by + cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx
es soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλx
y y (x) = λ2
eλx
.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2
+ bλ + c)eλx
= 0
Como eλx
= 0, λ2
+ bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar.
Las raices de la ecuaci´on auxiliar son λ1, λ2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
La naturaleza de las raices depende del discriminante
√
b2 − 4ac. Consid-
eremos tres casos:
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112. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
113. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
a) Si b2
− 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En este
caso y1(x) = eλ1x
, y2(x) = eλ2x
y la soluci´on general es:
y(x) = c1eλ1x
+ c2eλ2x
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114. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
a) Si b2
− 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En este
caso y1(x) = eλ1x
, y2(x) = eλ2x
y la soluci´on general es:
y(x) = c1eλ1x
+ c2eλ2x
b) Si b2
− 4ac = 0, λ1 = λ2 = −
b
2a
= λ. En ´este caso y1(x) = eλx
y
y2(x) = xeλx
y la soluci´on general es:
y(x) = c1eλx
+ c2xeλx
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115. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOS
Ecuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantes
a) Si b2
− 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En este
caso y1(x) = eλ1x
, y2(x) = eλ2x
y la soluci´on general es:
y(x) = c1eλ1x
+ c2eλ2x
b) Si b2
− 4ac = 0, λ1 = λ2 = −
b
2a
= λ. En ´este caso y1(x) = eλx
y
y2(x) = xeλx
y la soluci´on general es:
y(x) = c1eλx
+ c2xeλx
c) Si b2
− 4ac < 0, λ1 = a + bi y λ2 = a − bi. En ´este caso y1(x) =
eax
cos(bx); y2(x) = eax
sin(bx) y la soluci´on general es:
y(x) = c1eax
cos(bx) + c2 sin(bx)
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116. Vibraciones en sistemas mec´anicos
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117. Vibraciones en sistemas mec´anicos
¿Cuando se producen vibraciones?
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
118. Vibraciones en sistemas mec´anicos
¿Cuando se producen vibraciones?
Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso
el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.
Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
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119. Vibraciones en sistemas mec´anicos
¿Cuando se producen vibraciones?
Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso
el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.
Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2
x
dt2
+ P(t)
dx
dt
+ Q(t)x = R(t)
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120. Vibraciones en sistemas mec´anicos
¿Cuando se producen vibraciones?
Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso
el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.
Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2
x
dt2
+ P(t)
dx
dt
+ Q(t)x = R(t)
Tipo 1: Vibraciones arm´onicas no amortiguadas.
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121. Vibraciones en sistemas mec´anicos
¿Cuando se producen vibraciones?
Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este caso
el sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.
Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2
x
dt2
+ P(t)
dx
dt
+ Q(t)x = R(t)
Tipo 1: Vibraciones arm´onicas no amortiguadas.
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122. Vibraciones en sistemas mec´anicos
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
123. Vibraciones en sistemas mec´anicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-
raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la
rigid´ez del resorte.
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124. Vibraciones en sistemas mec´anicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-
raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la
rigid´ez del resorte.
Segunda Ley De Newton:
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125. Vibraciones en sistemas mec´anicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-
raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la
rigid´ez del resorte.
Segunda Ley De Newton:
FR = -kx = ma = m
d2
x
dt2
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126. Vibraciones en sistemas mec´anicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-
raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de la
rigid´ez del resorte.
Segunda Ley De Newton:
FR = -kx = ma = m
d2
x
dt2
d2
x
dt2
+
k
m
x = 0, o,
d2
x
dt2
+ a2
x = 0 ; a2
=
k
m
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127. Vibraciones en sistemas mec´anicos
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128. Vibraciones en sistemas mec´anicos
Ecuaci´on auxiliar: λ2
+
k
m
= 0 ⇐⇒ λ = ±
k
m
i
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129. Vibraciones en sistemas mec´anicos
Ecuaci´on auxiliar: λ2
+
k
m
= 0 ⇐⇒ λ = ±
k
m
i
x1t = cos
k
m
t = cos(at)
x2t = sin
k
m
t = sin(at)
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at)
Soluci´on General
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130. Vibraciones en sistemas mec´anicos
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131. Vibraciones en sistemas mec´anicos
Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una
velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
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132. Vibraciones en sistemas mec´anicos
Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una
velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
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133. Vibraciones en sistemas mec´anicos
Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una
velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo
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134. Vibraciones en sistemas mec´anicos
Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una
velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo
x (0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0
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135. Vibraciones en sistemas mec´anicos
Si la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con una
velocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo
x (0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0
La soluci´on particular es:
x(t) = xo cos(at)
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136. Vibraciones en sistemas mec´anicos
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137. Vibraciones en sistemas mec´anicos
aT = 2π ; T =
2π
a
=
2π
k
m
= 2π
m
k
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138. Vibraciones en sistemas mec´anicos
aT = 2π ; T =
2π
a
=
2π
k
m
= 2π
m
k
Tambien f =
1
T
=
a
2π
=
1
2π
k
m
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139. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
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140. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
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141. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −c
dx
dt
, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
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142. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −c
dx
dt
, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuaci´on es:
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143. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −c
dx
dt
, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuaci´on es:
m
d2
x
dt2
= FR + Fa ⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ kx + c
dx
dt
= 0
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144. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −c
dx
dt
, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuaci´on es:
m
d2
x
dt2
= FR + Fa ⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ kx + c
dx
dt
= 0
⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ c
dx
dt
+ kx = 0 ⇐⇒
d2
x
dt2
+
c
m
dx
dt
+
k
m
x = 0
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145. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-
tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −c
dx
dt
, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuaci´on es:
m
d2
x
dt2
= FR + Fa ⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ kx + c
dx
dt
= 0
⇐⇒ m
d2
x
dt2
+ c
dx
dt
+ kx = 0 ⇐⇒
d2
x
dt2
+
c
m
dx
dt
+
k
m
x = 0
⇐⇒
d2
x
dt2
+ 2b
dx
dt
+ a2
x = 0, donde 2b =
c
m
⇐⇒ b =
c
2m
y a2
=
k
m
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148. Vibraciones amortiguadas
La ecuaci´on auxiliar: λ2
+ 2bλ + a2
= 0
λ1,2 =
−2b ±
√
4b2 − 4a2
2
=
−2b ± 2
√
b2 − a2
2
= −b ± b2 − a2
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149. Vibraciones amortiguadas
La ecuaci´on auxiliar: λ2
+ 2bλ + a2
= 0
λ1,2 =
−2b ±
√
4b2 − 4a2
2
=
−2b ± 2
√
b2 − a2
2
= −b ± b2 − a2
La naturaleza de las raices dependen del discriminante
√
b2 − a2. Consid-
eremos los siguientes casos:
a) Si b2
−a2
> 0 ⇐⇒ b > a: La fuerza de fricci´on debida a la viscocidad
es grande en comparaci´on con la rapid´ez del resorte. En este caso
λ1, λ2 ∈ R y λ1 = λ2.
x1(t) = eλ1t
, x2(t) = eλ2t
, y, x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
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151. Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
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152. Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
y x (t) = c1λ1eλ1t
+ c2λ2eλ2t
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153. Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
y x (t) = c1λ1eλ1t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
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154. Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
y x (t) = c1λ1eλ1t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
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155. Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
y x (t) = c1λ1eλ1t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =
−λ1xo
λ2 − λ1
=
λ1xo
λ1 − λ2
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156. Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t
+ c2eλ2t
y x (t) = c1λ1eλ1t
+ c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =
−λ1xo
λ2 − λ1
=
λ1xo
λ1 − λ2
c1 = xo − c2 =
xo
1
+
λ1xo
λ1 − λ2
=
λ1xo − λ2xo + λ1xo
λ1 − λ2
=
−λ2xo
λ1 − λ2
−λ2xo
λ1 − λ2
−λ2xo
λ1 − λ2
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158. Vibraciones amortiguadas
Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:
x(t) =
−λ2xo
λ1 − λ2
eλ1t
+
λ1xo
λ1 − λ2
eλ2t
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159. Vibraciones amortiguadas
Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:
x(t) =
−λ2xo
λ1 − λ2
eλ1t
+
λ1xo
λ1 − λ2
eλ2t
x(t) =
xo
λ1 − λ2
λ1eλ2t
− λ2eλ1t
, λ1 = λ2
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167. Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
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168. Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-
dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es
vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.
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169. Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-
dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es
vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.
λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
170. Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-
dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es
vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.
λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2
x1(t) = e−bt
cos(αt), x2(t) = e−bt
sin(αt)
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
171. Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at
+ axote−at
= xoe−at
[1 + at]
c) Si b2
− a2
< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-
dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento es
vibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.
λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2
x1(t) = e−bt
cos(αt), x2(t) = e−bt
sin(αt)
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt)
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
173. Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
174. Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
175. Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
176. Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
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177. Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
α
xo
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
178. Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
α
xo
La soluci´on particular es de la forma:
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179. Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
α
xo
La soluci´on particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt
cos(αt) +
b
α
xoe−bt
sin(αt)
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180. Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt
cos(αt) + c2e−bt
sin(αt) y
x (t) = −bc1e−bt
cos(αt)−αc1e−bt
sin(αt)−bc2e−bt
sin(αt)+αc2e−bt
cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
α
xo
La soluci´on particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt
cos(αt) +
b
α
xoe−bt
sin(αt)
x(t) =
xo
α
e−bt
[α cos(αt) + b sin(αt)]
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183. Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)
= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
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184. Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)
= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
La igualdad anterior es cierta si y solo si
α = cos θ; sin θ = −b | α2
= cos2
θ; sin2
θ = b2
, α2
+ b2
= 12
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185. Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)
= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
La igualdad anterior es cierta si y solo si
α = cos θ; sin θ = −b | α2
= cos2
θ; sin2
θ = b2
, α2
+ b2
= 12
−
b
α
=
sin θ
cos θ
= tan θ | θ = tan−1
−
b
α
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186. Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)
= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
La igualdad anterior es cierta si y solo si
α = cos θ; sin θ = −b | α2
= cos2
θ; sin2
θ = b2
, α2
+ b2
= 12
−
b
α
=
sin θ
cos θ
= tan θ | θ = tan−1
−
b
α
x(t) =
xo
α
e−bt
[cos(αt − θ)] | x(t) =
xo
√
a2 + b2
α
e−bt
[cos(αt − θ)]x(t) =
xo
√
a2 + b2
α
e−bt
[cos(αt − θ)]x(t) =
xo
√
a2 + b2
α
e−bt
[cos(αt − θ)]
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189. Vibraciones amortiguadas
Como αT = 2π, T =
2π
α
=
2π
a2 − b2
=
2π
k
m
−
c2
4m2
, y
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190. Vibraciones amortiguadas
Como αT = 2π, T =
2π
α
=
2π
a2 − b2
=
2π
k
m
−
c2
4m2
, y
f =
1
T
=
α
2π
=
1
2π
a2 − b2 =
1
2π
k
m
−
c2
4m2
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191. Bibliografia
• Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modela-
do. Editorial Thomson. Sexta Edici´on.
• Rainville - Bedien. Ecuaciones Diferenciales. Ed. Prentice Hill. Octave
Edici´on 1998.
• R. Kent Nagle, Eduard B. Saff. Fundamentos de Ecuaciones Diferen-
ciales. Ed. Addison Wesley. Iberoamericana 1998.
• J. E. Trivi˜no M. Ecuaciones Diferenciales. Libro en proceso de edici´on.
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