evaluación privada de proyecto

1. CEPAL/ILPES
VIII CURSO INTERNACIONAL
Preparación y Evaluación
de Proyectos de Desarrollo Local
1. Matemática financiera
Conceptos básicos
Valor actual
Evaluación Privada de Proyectos
Horacio Roura

2. CEPAL/ILPES
Conceptos básicos

3. CEPAL/ILPES
• Interés = Costo del capital = Retribución requerida por el uso del
factor capital
• Todo capital tiene un costo (requiere una retribución)
– Explícito = el interés pagado por un préstamo
– Implícito = el interés dejado de ganar sobre el capital propio
Interés: Concepto

4. CEPAL/ILPES
Tasa de interés: Definición básica
• Ejemplo:
– Si recibo hoy $1,000 para devolver $1,080 en dos
meses, el interés bimestral es:
100
Capital
Interés
interés
de
Tasa
$
$


%
8
100
1,000
1,000)
-
(1,080
kbimestral 


 Supuesto: moneda constante o inflación = 0

5. CEPAL/ILPES
Tasa de interés e inflación:
Teorema de Fisher
• Si la inflación (P) es distinta de 0
 
 
   
  
  
k
1
1
)
r
1
(
r
1
efectiva
tasa
1
C
$1
C
Si
k
1
1
C
C
1
C
C
1
C
k
100
1
C
1
C
C
k
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1

P










P


P



P



P

P



Donde
r = tasa nominal
k = tasa real

6. CEPAL/ILPES
Tipos de interés
• Interés simple: el interés de cada período se retira de la
imposición
• Interés compuesto: el interés de cada período aumenta el capital
impuesto

7. CEPAL/ILPES
Tipos de interés:
Ejemplo y comparación
Tasa de interés periódica 6%
1 2 3 1 2 3
Capital inicial 1.000 1.000 1.000 1.000 1.060 1.124
Interés ganado al fin del período 60,0 60,0 60,0 60,0 63,6 67,4
Capital al final del período 1.000 1.000 1.000 1.060 1.124 1.191
Total intereses 180,0 191,0
Capital inicial 1.000 1.000
Tasa de interés del período 6,0% 6,0% 6,0% 6,0% 6,0% 6,0%
INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO

8. CEPAL/ILPES
Interés compuesto:
Ejemplo 1
• Sea
– Capital: $1,000
– Tasa: 10% anual, capitalizable anualmente
– Plazo: 1 año
• ¿Cuánto se tendrá al final del año?

9. CEPAL/ILPES
Interés compuesto:
Ejemplo 1
C1 = C0 (1+k)1 = $1,000 (1+0.10)1 = $1,100
1,000
1
0
1,100
C1 = C0 (1+k)1
1,100 = 1,000 (1+0.1)1
C0

10. CEPAL/ILPES
Interés compuesto:
Ejercicio 1
• Sea
– Capital: $1,000
– Tasa: 12% anual, capitalizable anualmente
– Plazo: 1 año
• ¿Cuánto se tendrá al final del año? ¿Y luego de 2 años?
• Al año: $1,000 (1+0.12) = $1,120
• A los 2 años: $1,120 (1+0.12) = $1,000 (1+0.12)2 = $1,254.40

11. CEPAL/ILPES
Interés compuesto:
Período de capitalización – Ejemplo 2
• ¿Cómo variaría la operación del Ejemplo 1 si la capitalización de
los intereses fuera semestral?
0 1
1,000
1/2
1,050
C2 = C1 (1+k/2)1 = C0 (1+k/2)2
1,102.5 = 1,000 (1+0.102) 2
C0 C1 = C0 (1+k/2)1
1,050 = 1,000 (1+0.12)1
1,102.5

12. CEPAL/ILPES
Interés compuesto:
Período de capitalización – Ejemplo 3
• ¿Cómo variaría la operación anterior si la capitalización de los
intereses fuera trimestral?
0 1
1,000
1/3
1,025
C4 = C0 (1+k/4)4
1,103.8 = 1,000 (1+0.1/4)4
C0
1,103.8
1/3 1/3
1,050.625 1,076.89

13. CEPAL/ILPES
Interés compuesto:
Ejercicio 2
• Para un capital de $1,000 un banco nos ofrece dos opciones de
inversión a plazo fijo:
– Opción 1: 12% anual, capitalizable semestralmente
– Opción 2: 11.768% anual, capitalizable bimestralmente
• ¿Cuál es la opción más conveniente, para una colocación a 1 año
de plazo?
Opción 1: $1,000 (1+0.12/2)2 = $1,123.60
Opción 2: $1,000 (1+0.11768/6)6 = $1,123.60

14. CEPAL/ILPES
Equivalencia de tasas
• Dos tasas de interés con diferente período de capitalización
son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al
final de un año:
Ejemplo 2 anterior
– 11.768% anual capitalizable bimestralmente es equivalente a
– 12% anual capitalizable semestralmente es equivalente a
– 12.36% anual capitalizable anualmente

15. CEPAL/ILPES
Equivalencia de tasas:
Ejercicio 3
• ¿A qué tasa de capitalización anual es equivalente una tasa del
13% anual capitalizable trimestralmente?
• (1 + kCA) = (1 + kCT/4)4  kCA = (1 + kCT)4 - 1
• kCA = (1 + 0.13/4)4 = (1 + 0.0325)4 = 13.648%

16. CEPAL/ILPES
Tasas nominal y efectiva
• Cuando el interés es capitalizable más de una vez por año,
– La tasa anual dada se llama tasa nominal anual
– La tasa efectivamente ganada se llama tasa efectiva anual
• Ejemplo 3
– Tasa nominal anual: 11.768%
– Tasa efectiva anual: 12.36%

17. CEPAL/ILPES
Tasas nominal y efectiva:
Relación
• Para un cálculo preciso,
• 1 + TE(m) = (1 + TNA . t/365)m/t
• TE(m) = (1 + TNA . t/365)m/t - 1
(para un cálculo menos preciso puede usarse un año de 360 días)
Donde:
– TNA = tasa nominal anual vencida
– TE(m) = tasa efectiva para los m días
– m = número de días del período cuya tasa se busca
– t = número de días del subperíodo de capitalización

18. CEPAL/ILPES
Tasas efectiva y nominal:
Ejemplo 4
• Sea TNA = 12%
• Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa
efectiva para un depósito a 60 días?
TE(60) = (1 + 12% . 30/365)60/30 - 1 = 1.982%
– $1,000 depositados a 60 días a una TNA = 12% capitalizable
mensualmente generarán $19.82 de interés

19. CEPAL/ILPES
Tasas efectiva y nominal:
Ejemplo 5
• Sea TNA = 12%
• Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa
efectiva para un depósito a un año de plazo?
TE(365) = (1 + 12% . 30/365)365/30 - 1 = 12.68342%
TE(365) = (1 + 12% . 30/360)360/30 - 1 = 12.68250%

20. CEPAL/ILPES
Tasa efectiva anual
• Es la tasa resultante de una colocación a la tasa efectiva periódica
por los períodos necesarios para completar un año:
TEA = (1 + TE(m))365/m
• O, de manera aproximadamente equivalente
TEA = (1 + TNA . t/365)365/t

21. CEPAL/ILPES
Tasa efectiva anual:
Ejemplo 6
En el Ejemplo 4,
• TNA = 12%, capitalizable mensualmente
• TE(60) = 1.982%
• De allí,
TEA = (1 + TE(m))365/m - 1
TEA = (1 + 0.01982)365/60 - 1
TEA = 12.68119%
TEA = (1 + 12%. 30/365) 365/30 – 1 = 12.68342%

22. CEPAL/ILPES
Ejercicio 4
• Si TE(60) = 1%, ¿cuál es la TEA?
TEA = (1 + TE(m))365/m - 1
TEA = (1 + 0.01)365/60 - 1
TEA = 6.24%

23. CEPAL/ILPES
Ejercicio 4 (Cont.)
• Si el período de capitalización es de 30 días, ¿cuál es la TNA?
1 + TE(60) = (1 + TNA . 30/365)60/30
TNA = (1 + TE(60))30/60 – 1) (365/30)
TNA = (1 + 0.01)30/60 – 1) (365/30)
TNA = 6.068%

24. CEPAL/ILPES
Interés compuesto:
Período de capitalización continuo
• Si el período de capitalización es muy pequeño (diario, horario, por
minutos o segundos), se trata de capitalización continua
• En ese caso, si
TEA = (1 + TNA . t/365)365/t
• t tiende a hacerse infinitamente pequeño, y
TEA = eTNA
TEA = eTNA.n
– Donde e = 2.718 y n la cantidad de años

25. CEPAL/ILPES
Ejercicio 5
• Se invierten $1,000 al 11% anual, capitalizados continuamente,
por dos años. ¿Cuánto se obtendrá al final de la inversión?
• $1,000 e0.11x2 = $1,000 e0.22 = $1,000 . 1.246 = $1,246

26. CEPAL/ILPES
Valor actual

27. CEPAL/ILPES
Valor futuro y actual:
Concepto
• El interés compuesto acumula intereses sobre un capital inicial,
hasta una fecha dada
• El monto así obtenido es el valor futuro del capital inicial
• Inversamente, el capital inicial es el valor actual del monto a
recibir en el futuro

28. CEPAL/ILPES
Valor futuro y valor actual:
Ejemplo 6
$ miles
Meses 0 1 2 3 4 5 6
Constitución PF -100 100
Intereses ganados 6
Flujo neto -100 106
= 100 (1+0,01)^6
TE(30) 0,99%
TNA 12%
t (días) 30
m (días) 30
Valor futuro
(VF) de $100
Valor actual
(VA) de $106

29. CEPAL/ILPES
Valor actual:
Definición
• El valor actual de una cantidad futura expresa cuánto vale esa
cantidad a pesos de hoy
VA = VF / (1 + k)n
Donde:
• VA = Valor actual
• VF = Valor futuro
• k = tasa de actualización, interés o descuento
• n = período donde se recibirá el valor futuro

30. CEPAL/ILPES
Valor actual:
Ejemplo 7
• Un tío rico le informa que dentro de 6 años le hará un legado de
$1 millón. Ud., que lleva una vida disipada, está dispuesto a
recibir menos dinero, si lo recibe ya. Una tía generosa le ofrece
$507 mil, si Ud. le transfiere el derecho a cobrar el legado. Si su
tasa de interés es 12% anual, ¿le conviene la propuesta?
$ miles
Años 0 1 2 3 4 5 6
Herencia futura 1.000
VA herencia futura 507 = 1000 /(1+0,12)^6
TEA 12%

31. CEPAL/ILPES
Valor actual y valor futuro:
Despejando incógnitas
• Si VA = VF/(1+k)n
• Entonces,
 
 
k
1
ln
VP
ln
-
VF
ln
n
1
VP
VF
k
k
1
VP
VF
n
n







32. CEPAL/ILPES
Valor actual y valor futuro:
Ejemplo 8
• ¿Cuánto tiempo se demorará en acumular $2,250 si se depositan
$1,000 al 1% mensual, capitalizable mensualmente?
 
meses
81.497
0.00995
6.9077
7.7186
n
%)
1
1
ln(
000
,
1
ln
250
,
2
ln
n
k
1
ln
VP
ln
-
VF
ln
n









33. CEPAL/ILPES
Valor actual y valor futuro:
Ejercicio 6
• ¿A qué tasa se deberá depositar $1,000 para obtener $2,250 en 82
meses?
0.0099385
k
1
1,000
2,250
k
1
VP
VF
k
82
n






34. CEPAL/ILPES
Valor actual neto
• El valor actual ofrece cuánto vale hoy un bien futuro
• En ocasiones, acceder a ese pago futuro implica una erogación
hoy
• El valor actual neto es la diferencia entre el valor actual del pago
futuro y la inversión necesaria:
Hoy
n
flujo)
(Único
I
k)
(1
VF
VAN 



35. CEPAL/ILPES
Valor actual neto:
Ejemplo 8
• Un conocido le propone comprar una casa deteriorada para
reciclarla y venderla. La inversión (compra más arreglo) asciende
a $250 mil. Si pudiera venderla en $300 dentro de 6 meses, ¿le
convendría el negocio?

36. CEPAL/ILPES
Valor actual neto:
Ejemplo 8 - Solución
$ miles
Meses 0 1 2 3 4 5 6
Compra casa -200
Gastos reciclado -50
Venta en mes 6 300
Flujo Neto -250 300
VA Venta = 283
- Inversión = -250
VAN = 33
TE(30) 0,99%
TNA 12%
t (días) 30
m (días) 30

37. CEPAL/ILPES
Valores actuales y
tasas de descuento
• Para obtener el valor actual de un valor futuro se requiere una
tasa de descuento
• La tasa de descuento se define como el interés que se hubiera
ganado de haber invertido en la mejor inversión alternativa

38. CEPAL/ILPES
Tasas de descuento:
Ejemplo 9
• En el ejemplo 8, la opción a comprar la casa, reciclarla y venderla
era invertir los $250 mil en una inversión financiera de riesgo
equivalente.
• El interés utilizado para descontar los $300 futuros es lo que
hubiera rentado invertir $250 por 6 meses.

39. CEPAL/ILPES
Tasas de descuento
y tasas de retorno
• En el ejemplo 8, la inversión en la casa obtuvo un retorno del
13.2%
13.2%
$250
$250
$283
Retorno
Inversión
neta
Ganancia
Retorno





 Esta inversión es muy interesante, pues rinde un retorno
superior a su tasa de descuento

40. CEPAL/ILPES
Relación entre valores actuales y
valores futuros
• El valor actual de un valor futuro es siempre menor que ese valor
futuro:
$1 hoy vale más que $1 mañana
• Por que los $ actuales se pueden invertir y ganar interés por un
período
• Porque los $ actuales son –en general– menos riesgoso que los
futuros

41. CEPAL/ILPES
Valor actual y valor futuro:
El rol de los mercados de capitales
• El concepto de valor actual y valor futuro permite establecer
equivalencias entre recibir (hacer) un pago hoy o en el futuro
• En la práctica, eso es posible debido a la existencia de un
mercado de capitales
– El mercado de capitales es simplemente un mercado donde la gente
intercambia $ de hoy por $ futuros, y viceversa

42. CEPAL/ILPES
Mercado de capitales:
Funcionamiento
• Suponga que Ud. tiene:
– $20,000 en la mano
– $25,000 a recibir dentro de un año
• Sus opciones son
– Consumir $20,000 hoy y $25,000 en un año
– No consumir nada hoy, invertir los $20,000 y consumir dentro de
un año $20,000 (1+k) + $25,000
– Consumir todo hoy: $20,000 + $25,000/(1+k)

43. CEPAL/ILPES
Opciones entre consumo presente y
consumo futuro
$20
$25
$46.4
$21.4 = $20 (1+0.07)
$43.4
$23.4 = $25/(1+0.07)
Invierte $20 para
consumir todo el
año próximo
Pide prestado el valor
actual de $25 para
consumir todo hoy
Si k=7%, su riqueza total es
$43.4 (a $ de hoy) o $46.4 (a $
futuros)
Pendiente = (1+0.07)

44. CEPAL/ILPES
Mercado de capitales e
inversión en activos reales
$25
$46.4
$43.4
Proyecto1
= $10 mil
A medida que se va invirtiendo
en proyectos no financieros, el
retorno de los mismos disminuye
$37.8
Proyecto 2
=$10 mil
Proyecto 3
= $10 mil
Rtn(P1) = (25-10)/10 = 2.5
Rtn(P2) = (13-10)/10 = 1.3
Rtn(P1) = (9-10)/10 = -0.1

45. CEPAL/ILPES
Mercado de capitales e
inversión en activos reales
C
A
Inversión
en activos
reales
Flujo futuro
de la inversión
B
D
0
0B (1+ k)
VAN = 0C/(1+k)-
AB = BE - AB
E

46. CEPAL/ILPES
Moraleja
• Al invertir en activos reales y ahorrar o pedir pedir prestado en el
mercado de capitales, el inversor puede colocarse en cualquier
punto de DE
– Tiene más para gastar, hoy o mañana, que si invirtiera solo en el
mercado de capitales o solo en activos reales
• La riqueza se maximiza cuando se invierte en activos reales
hasta igualar el costo de oportunidad del capital (DE // CA) 
El VAN es el máximo alcanzable
• El mercado de capitales permite alcanzar luego la combinación
adecuada de consumo presente y futuro

47. CEPAL/ILPES
Consecuencia de la moraleja
• La regla para dirigir una empresa se reduce a maximizar el valor
de la misma para los accionistas
• Logrado eso, éstos elegirán la pauta temporal de consumo que
prefieran
– Supuesto fuerte: libre acceso al mercado de capitales
• Maximizar la riqueza = elegir todos los proyectos que tengan
un VAN positivo

48. CEPAL/ILPES
Valor actual de flujos
de más de un período
• Los proyectos generan flujos por más de un período
• El valor actual neto de un proyecto de esas características
puede calcularse como
     
 

 









n
0
t
t
t
n
n
2
2
1
1
0
k
1
F
VAN
k
1
F
...
k
1
F
k
1
F
F
VAN

49. CEPAL/ILPES
Valor actual de anualidades
• Si F1 = F2 = ... = Fn
 
  k
k
1
1
k
1
F
F
VAN n
n
0






Coeficiente para el
cálculo del valor
actual de una
anualidad constante

50. CEPAL/ILPES
Valor actual de anualidades
• Si F1 = F2 = ... = Fn y n 0
k
F
F
VAN 0 

Valor actual de una
perpetuidad constante