El documento contiene varios problemas relacionados con vectores, rectas y sucesiones. Incluye calcular ecuaciones de rectas, puntos de corte, productos escalares, límites de sucesiones y determinar si son convergentes o divergentes. También incluye representar gráficamente funciones definidas a trozos y estudiar sus propiedades.

1. 1. Dados los puntos 𝑨(−𝟏, 𝟑) y 𝑩(𝟑, 𝟐), se pide:
a. Calcular la ecuación de la recta que pasa por 𝑨 y 𝑩 en todas sus formas.
b. Estudiar si el punto 𝑪(𝟎, 𝟓) pertenece a la recta.
2. A partir de la ecuación de la recta 𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟕 = 𝟎, halla el vector director, la pendiente y la
ordenada en el origen.
3. Dados los vectores 𝒖⃗⃗ = (𝟓, −𝟒), 𝒗⃗⃗ = (𝟕, 𝟔) y 𝒘⃗⃗⃗ = (𝟒, 𝟓), determina:
a. El producto escalar de los vectores 𝒖⃗⃗ y 𝒗⃗⃗ .
b. El ángulo que forman los vectores 𝒖⃗⃗ y 𝒗⃗⃗ .
c. El producto escalar de los vectores 𝒖⃗⃗ y 𝒘⃗⃗⃗ . ¿Qué puedes decir de estos vectores y del
ángulo que forman?
d. Dados los vectores 𝒖⃗⃗ = (𝒎, 𝟑) y 𝒗⃗⃗ = (𝟒, 𝒎 + 𝟐), calcula el valor de 𝒎 ∈ 𝑹 para que sean
perpendiculares.
4. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas, calculando el punto de corte en
el caso de que las rectas sean secantes:
a. 𝒓:
𝒙−𝟏
𝟑
=
𝒚−𝟏
−𝟐
y 𝒔: 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎
b. 𝒓: 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟏 y 𝒔: 𝒚 − 𝟑 = 𝟓(𝒙 + 𝟏)
c. 𝒓: 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒 = 𝟎 y 𝒔: 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟖 = 𝟎
5. Determina si el vector 𝒘⃗⃗⃗ = (−𝟑, 𝟏) se puede escribir como combinación lineal de los vectores
𝒖⃗⃗ = (𝟐, −𝟐) y 𝒗⃗⃗ = (−𝟓, 𝟒) .
6. Escribe la ecuación de la recta en forma general que sea paralela a la recta 𝒓: 𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏 = 𝟎
y que pase por el punto 𝑨(𝟐, −𝟕).
FICHA DE REPASO
3ª EVALUACIÓN
CURSO
2015-2016
4º ESO (Op. B)

2. 7. Halla el límite de las siguientes sucesiones calculando el valor de los términos 1, 10, 100 y
1000 y RAZONA si son convergentes o divergentes, crecientes o decrecientes y acotadas o no:
a. 𝒂 𝒏 =
𝟒𝒏+𝟐
𝟐𝒏
b. 𝒃 𝒏 =
𝟏
𝟐 𝒏
8. Dadas las sucesiones 𝒂 𝒏 =
−𝟓𝒏+𝟏
𝟑𝒏
y 𝒃 𝒏 =
𝟏+𝟕𝒏
𝟕𝒏+𝟑
, calcula el límite de las siguientes sucesiones:
a. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
( 𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏)
b. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(𝒂 𝒏 − 𝒃 𝒏)
c. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
𝒂 𝒏
𝒃 𝒏
)
d. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
( 𝒂 𝒏
𝒃 𝒏 )
9. Calcula los siguientes límites de sucesiones, indicando, en su caso, las indeterminaciones
que presenten:
a. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
−𝟖𝒏 𝟐+𝒏
𝒏 𝟑+𝟐
b. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(𝟐𝒏+𝟏) 𝟐
𝟖𝒏 𝟐
c. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
−𝒏 𝟑+𝟓𝒏−𝟏
(𝒏+𝟏)(𝒏−𝟏)
d. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(√ 𝒏 𝟐 + 𝟏 − √𝒏 𝟐 − 𝟐)
e. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
√ 𝒏 𝟐𝟑
√ 𝒏 𝟑
f. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(
𝒏 𝟐−𝟏
𝒏+𝟐
−
𝒏 𝟑
𝒏 𝟐+𝟏
)

3. g. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(
𝟐𝒏−𝟏
𝟓𝒏+𝟐
)
𝒏 𝟐
h. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(
𝟐𝒏−𝟐
𝟐𝒏+𝟑
)
𝒏+𝟏
i. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→+∞
(𝟑 +
𝟏
𝒏
)
𝟐𝒏−𝟑
10. Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a. 𝒇(𝒙) =
𝟑𝒙
𝒙 𝟐−𝟑𝒙+𝟐
b. 𝒈(𝒙) = √
𝟐𝒙+𝟏
𝒙−𝟒
c. 𝒉(𝒙) = 𝒙 𝟒
+ 𝟒𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟓
d. 𝒕(𝒙) = √ 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑
11. Calcula la función recíproca de 𝒇(𝒙) =
𝟐𝒙−𝟒
𝒙+𝟑
y comprueba el resultado mediante la
composición de funciones.
12. Razona si las siguientes funciones presentan simetría y si son crecientes, decrecientes o
constantes en el intervalo [𝟎, 𝟐]:
a. 𝒇(𝒙) = −𝒙 𝟒
+ 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟏
b. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 𝟓
+ 𝟑𝒙 𝟑
c. 𝒇(𝒙) = 𝒙 𝟑
− 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟏
d. 𝒇(𝒙) =
𝒙 𝟐+𝟏
𝒙 𝟑−𝟏

4. 13. Representa una función cuyo dominio sea [−𝟐, 𝟓], su recorrido [−𝟕, 𝟖], tenga un máximo
absoluto en (𝟑, 𝟖) y un mínimo absoluto en (𝟎, −𝟕).
14. Representa la siguiente función definida a trozos y halla las siguientes imágenes: 𝒇(𝟎),
𝒇(−𝟓), 𝒇(𝟏), 𝒇(−𝟐).
𝒇(𝒙) = {
𝒙 + 𝟏 𝒔𝒊 𝒙 < −𝟐
𝒙 𝟐
+ 𝟐 𝒔𝒊 − 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟎
𝟒 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
15. Observa la gráfica de la siguiente función y estudia los aspectos enumerados a continuación:
a. Dominio y recorrido
b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c. Máximos y mínimos relativos y absolutos.
d. Simetría.
e. Acotación.
f. Periodicidad