El documento describe los filtros Wiener, que son los mejores filtros lineales para estimación, predicción e interpolación. Los filtros Wiener determinan la respuesta impulsional para minimizar el error cuadrático medio entre la salida y la señal deseada. Esto se logra derivando e igualando a cero la función de error cuadrático medio. Los filtros Wiener pueden ser no causales, causales o FIR, siendo estos últimos más comúnmente usados en aplicaciones digitales.

1. FILTRO WIENER

2. Filtros Adaptativos Sistema digital compuesto por Filtro lineal programable de entrada x(n) y salida ŷ(n) Los coeficientes se reprograman de una muestra a la siguiente a través de un algoritmo de adaptación Los coeficientes cambian su valor dinámicamente en el tiempo El sistema puede ser inestable por lo que se utiliza con mucha frecuencia los sistemas FIR Son incondicionalmente estable.

3. 3 y(n) ŷ(n) x(n) Filtro Lineal Programable X -1 e(n) h(n) Esquema de un filtro Adaptativo + Algoritmo adaptativo

4. Introducción a los filtros Wiener Los filtros de Wiener son los mejores filtros lineales de mínimos cuadrados, que pueden ser usados para predicción, estimación, interpolación, filtrado de señal y ruido, etc. Para diseñarlos se necesita tener un conocimiento previo apropiado de las propiedades estadísticas de la señal de entrada. El problema reside en que este conocimiento generalmente no se puede obtener

5. Introducción a los filtros wiener En su lugar se usan filtros adaptativos, que hacen uso de los datos de entrada para aprender los datos estadísticos requeridos. La teoría de Wiener es importante para el presente estudio porque los filtros adaptativos que serán empleados convergen asintóticamente (en media) en las soluciones de Wiener.

6. Filtro de Wiener Consiste en una señal de entrada, f(k), una respuesta deseada, d(k), y un filtro lineal de respuesta impulsionalh*(k).

7. Características: El objetivo del filtrado de Wiener es determinar la respuesta impulsional de forma que el error sea, en un sentido estadístico, "lo más pequeño posible". La respuesta impulsiva del filtro de Wiener se obtiene encontrando una expresión para el error cuadrático medio y minimizándola con respecto a la respuesta impulsiva.

8. La diferencia entre la señal de salida y la señal deseada es el error de la estimación, e(k), así: A parir de la ecuación anterior se obtiene el valor del mínimo MSE (Mean Square Error): Siendo Φmm la auto correlación y Φmn la correlación cruzada de dos señales m y n.

10. Filtro IIR causal.

11. Filtro FIR. Filtro de Wiener IIR Nuestro propósito es diseñar un filtro h(n) que produzca una salida: y(n) = x(n) *h(n) Tan cercana como sea posible a la respuesta deseada d(n).

12. El enunciado del problema es idéntico para filtros FIR y para IIR, pero existe una gran diferencia que cambia la solución. Para el filtro FIR, existe un número finito de posibles coeficientes del filtro, mientras que con el filtro IIR, el número de incógnitas, es decir, de valores de h(n) para todo n, es infinito.

13. Vamos a considerar dos situaciones: Cuando no se aplican restricciones a la solución, obtendremos que el filtro óptimo es, en general, no causal, y por tanto, irrealizable: Filtro IIR no causal Cuando se aplica la condición de causalidad, y para ello forzamos h(n) a cero para valores de índice n negativos: Filtro IIR causal.

14. La función de transferencia del IIR en tiempo discreto es: Y del FIR es:

15. Conclusiones El objetivo del filtro Wiener es determinar la respuesta impulsional de forma que el error sea lo más pequeño posible. El filtro se basa en el principio de ortogonalidad de datos que consiste en derivar e igualar a cero la función. En tecnología digital el diseño mediante filtros FIR, se implementa en las aplicaciones de procesado de señales, desde receptores de comunicaciones, codificadores de fuente, etc. Todos los sistemas incluyen de un modo u otro un filtro de Wiener.