Este documento presenta la deducción de la fórmula de los cuatro elementos consecutivos utilizada en astronomía náutica para resolver triángulos de posición. Comienza aplicando el teorema del coseno esférico a un triángulo esférico y reemplazando términos para derivar la fórmula de los cinco elementos consecutivos, la cual al dividir ambos lados por sen(c) se reduce a la fórmula de los cuatro elementos consecutivos cotcotcoscos(Δω)−=gDsenagcsenDc.

1. FORMULA DE LOS 4 ELEMENTOS
CONSECUTIVOS... O SON 5?
Victor Ferrazzano – Piloto de Ultramar –Escuela Nacional de Náutica “Manuel Belgrano”
División Simuladores de Navegación - Buenos Aires - Argentina
INTRODUCCIÓN
Utilizada en astronomía náutica para resolver el triángulo de posición, o para
verificar el rumbo, la fórmula de los cuatro elementos consecutivos proviene en
realidad de otra llamada “de los 5 elementos consecutivos. He aquí la deducción
de tan importante fórmula.
DEDUCCIÓN DE LA FORMULA
Aplicando el teorema del coseno esférico al lado “a” del triángulo esférico de la
figura 1, es:
D
S
∆ω
b
c
a
Figura 1
)1(coscoscoscos ω∆+= sencbsencba
Aplicando el mismo teorema al lado “b” de la figura 1, es:
)2(coscoscoscos Dsencasencab +=
Reemplazando (2) en (1), es:
ω∆++= coscos)coscos(coscos sencbsencDsencasencaa
ω∆++= coscoscoscoscoscos 2
sencbsenDcsencasencaa

2. ω∆+=− coscoscoscoscoscos 2
sencbsenDcsencasencaa
ω∆+=− coscoscos)cos1(cos 2
sencbsenDcsencasenca
ω∆+= coscoscoscos 2
sencbsenDcsencasencsena
Dado que y que por lo tanto , entonces dividamos ambos miembros
de la expresión anterior por sen c:
0≠c 0≠csen
)3(coscoscoscos ω∆+= bsenDcasensenca
En la figura 1, aplicando el teorema del seno esférico, es:
)4(
ωω ∆
=⇒
∆
=
sen
asenDsen
bsen
sen
asen
Dsen
bsen
Reemplazando (4) en (3), es:
ω
ω
∆
∆
+= coscoscoscos
sen
asenDsen
Dcasensenca
ω∆+= gasenDsenDcasensenca cotcoscoscos
Dado que y que por lo tanto , entonces dividamos ambos miembros
de la expresión anterior por sen a:
0≠a 0≠asen
ω∆+= gDsenDc
asen
csena
cotcoscos
cos
ω∆+= gDsenDcagcsen cotcoscoscot
)5(cotcotcoscos ω∆−= gDsenagcsenDc
A la expresión (5) se la conoce como la “Fórmula de los 4 elementos
consecutivos”, y a la (3) como la “de los 5 elementos consecutivos”
COMO RECORDARLA
Existe una regla que permite recordar la fórmula sin ninguna dificultad.
Observemos que la expresión (5) tiene la forma:
Cos Cos = Sen Cotg – Sen Cotg

3. Los 4 elementos consecutivos a que hace alusión la reconocida fórmula, son dos
lados y dos ángulos, los cuales se destacan en color azul en la figura 2:
D
∆ω
c
a
S
b
Figura 2
Lados: es el “lado comprendido” (LC) entre dos ángulos que son dato.⇒c
Dichos ángulos son ∆ω y D.
c = LC
a es el “otro lado” (OL)⇒
a = OL
Angulos: es el “Angulo comprendido” (AC) entre dos lados que son dato.⇒D
Dichos lados son a y c.
D = AC
∆ es el “otro ángulo” (OA)⇒ϖ
∆ω = OA
Reemplazando estos resultados en la (5) se obtiene:
)6(cotcotcoscos gOAACsenOLgLCsenACLC −=
Solo elementos
comprendidos
Solo lados Solo ángulos
Obsérvese que en el primer miembro de la expresión (6) figura primeramente el
Lado Comprendido y luego el Angulo Comprendido, y cómo se trasladan al
segundo miembro: el primer término contendrá primero al Lado Comprendido y
luego al Otro Lado. El segundo término contendrá primero al Angulo Comprendido
y luego al Otro Angulo.