Funciones de clase Cn.pptx
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- 1. FUNCIONES DE CLASE 𝐶𝑛
- 2. FUNCIONES DE CLASE 𝐶1 Sea 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ, para que f sea considerada de clase 𝐶1, debe ocurrir que: Sus derivadas parciales deben de existir. Sus derivadas parciales deben ser continuas. Si estas condiciones se cumplen, se puede concluir que es de clase 𝐶1.
- 3. Ejemplo: Verifique si la siguiente función es de clase 𝐶1 . 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥2+𝑦2 ; (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0 ; 𝑥, 𝑦 = (0,0) • Se calculan las derivadas parciales: 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛 1 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 𝑥2 + 𝑦2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 1 𝑥2 + 𝑦2 ; (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 0 ; 𝑥, 𝑦 = (0,0) • Para que sea continua: lim 𝑥,𝑦 → 0,0 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (0,0) • Se puede observar que: lim 𝑥,𝑦 → 0,0 2𝑥𝑠𝑒𝑛 1 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 𝑥2 + 𝑦2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 1 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑁𝑂 𝐸𝑋𝐼𝑆𝑇𝐸 • Entonces, 𝜕𝑓 𝜕𝑥 es discontinua en el punto (0,0). Por lo tanto, f no es de clase 𝐶1
- 4. Ejemplo: Verifique si la siguiente función es de clase 𝐶1 . 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 • Se calculan las derivadas parciales: 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 cos(𝑥𝑦) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 2𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 cos(𝑥𝑦) • Se puede observar que ambas derivadas parciales son continuas para todo punto (x,y) • Entonces, f es de clase 𝐶1. Por lo tanto, f es diferenciable para todo punto (x,y)
- 5. FUNCIONES DE CLASE 𝐶2 Sea 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ, para que f sea considerada de clase 𝐶2 , debe ocurrir que: Sus derivadas parciales de segundo orden (iteradas y mixtas) deben de existir. Sus derivadas parciales de segundo orden (iteradas y mixtas) deben ser continuas. Si estas condiciones se cumplen, se puede concluir que es de clase 𝐶2.
- 6. FUNCIONES DE CLASE 𝐶𝑛 Sea 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ, para que f sea considerada de clase 𝐶𝑛, debe ocurrir que: Sus derivadas parciales de orden n (iteradas y mixtas) deben de existir. Sus derivadas parciales de orden n (iteradas y mixtas) deben ser continuas. Si estas condiciones se cumplen, se puede concluir que es de clase 𝐶𝑛.