Este documento describe los gráficos de control, los cuales se utilizan para estudiar y determinar la variación de un proceso. Explica los diferentes tipos de gráficos de control como gráficas X-R, X-S y M-R, y cómo interpretarlos para determinar si un proceso está bajo control o no. También cubre conceptos como límites de control, puntos fuera de límites, adhesión y series, los cuales son importantes para evaluar si un proceso requiere acciones correctivas.

1. GRÁFICOS DE CONTROL

2. INTRODUCCIÓN
 En cualquier proceso productivo resulta
conveniente conocer en todo momento hasta qué
punto nuestros productos cumplen con las
especificaciones preestablecidas.
 La calidad de un producto tiene dos grandes
“enemigos”: (1) las desviaciones con respecto al
objetivo especificado (falta de exactitud), y (2) una
excesiva variabilidad respecto a los valores
deseables (falta de precisión).

3. GRÁFICOS DE CONTROL
 Se utilizan para estudiar la variación de un proceso
y determinar a qué obedece esta variación.
 Un gráfico de control es una gráfica lineal en la que
se han determinado estadísticamente un límite
superior (límite de control superior) y un límite
inferior (límite inferior de control) a ambos lados de
la media o línea central. La línea central refleja el
producto del proceso. Los límites de control
proveen señales estadísticas para que la
administración actúe, indicando la separación entre
la variación común y la variación especial.

4. GRÁFICOS DE CONTROL

5. GRÁFICOS DE CONTROL
 Un gráfico de Control muestra:
• Si un proceso está bajo control o no
• Indica resultados que requieren una explicación
• Define los límites de capacidad del sistema, los
cuales previa comparación con los de
especificación pueden determinar los próximos
pasos en un proceso de mejora.

6. GRÁFICOS DE CONTROL
 Existe más de una manera para medir, evaluar y
reaccionar a cambios en la calidad durante el
proceso, debemos usar más de un tipo de gráficas
de control. Cuatro gráficas comúnmente usadas
son: Gráficas c, Gráficas p, Gráficas q, Gráficas X-
R. Cada una tiene su propio uso especial.

7. GRÁFICOS DE CONTROL
 En todos los procesos de manufactura existen
patrones de variación. Los procesos fuera de
control o inestables que muestran variaciones
debidas a causas especificas deben ser
identificados, para determinar las causas, implantar
las soluciones y controlar y eliminar las principales
causas de variación.

8. GRÁFICOS DE CONTROL
 Cuando sólo hay causas aleatorias en un proceso,
se considera que el proceso está en control
estadístico. Es un estado estable y predecible. Sin
embargo, cuando también está presente una causa
de variación asignable, la variación será excesiva y
se dice que el proceso está fuera de control, o que
se sale de la variación natural esperada.

9. GRÁFICOS DE VARIABLES
 Existen diferentes tipos de gráficos de control para
variables, pero en este curso analizaremos los
cuatro principales. Estos son:
• El gráfico de promedios y rangos
• El gráfico de promedios y desviaciones estándar
• El gráfico de medianas y rangos
• El gráfico de individuos o rango móvil de tamaño de
subgrupo 2.
 También cabe mencionar que estos gráficos son
los recomendados para cumplir los requisitos de
ISO-9000.

10. GRAFICAS −R :
 La gráfica −R también conocida como Gráfica de
Promedios y Rangos. El símbolo se lee X barra y
representa el promedio. El símbolo R representa el
rango y es la diferencia entre la lectura más alta y
la más baja de la muestra.
 El propósito de la Gráfica y R es controlar una
característica medida, como el ancho, el largo y/o
el calibre de un acero laminado (la lectura de una
dimensión).

11. GRAFICAS −R :
 Una gráfica – R nos permite muestrear un
proceso varias veces durante el día y actuar más
rápidamente cuando las cosas van mal. Esta
gráfica se compone realmente de dos gráficas una
para el promedio y otra para el rango. Enseguida
se presenta un ejemplo de una gráfica – R.

12. GRAFICAS −R :
 Sé esta realizando una operación en la cizalla No.
7, la medida solicitada de un acero laminado 1006,
se refiere al largo de dicho material que es de 25 ±
2 mm y se tomaron las siguientes muestras.

13. GRAFICAS −R :
 1.- Se calculan los promedios de las muestras de
cada hora.

14. GRAFICAS −R :
 2.- Se calculan los rangos de cada hora, restando
el valor mayor del menor.

15. GRAFICAS −R :
 La línea ubicada en el centro de la gráfica de
promedios, ( ) representa el promedio de los
promedios y se lee (X) doble barra, en esta ocasión
su valor calculado fue 24.42. La línea central en la
gráfica de los rangos (R ) representa el promedio
de los rangos de las muestras y en esta ocasión su
valor calculado fue 5.5.

16. GRAFICAS −R :
 Las fórmulas para los cálculos mencionados son:

17. GRAFICAS −R :
 Las líneas punteadas en la gráfica y en la gráfica
R representan los límites de la variación esperada
en los promedios y rangos de las muestras,
respectivamente. Estos límites nos muestran
cuanto pueden variar hora con hora sin que exista
un cambio significativo en el proceso.
 El cálculo de los límites de control se simplifica
utilizando fórmulas y constantes especiales que
nos permiten evitar los cálculos tediosos de la
desviación estándar.

18. GRAFICAS −R :
 Las fórmulas para los límites de control en una
gráfica son las siguientes:
LCS =
LCI =
LC =
 Donde A2 es un factor que depende de cuantos
valores existen en cada muestra. Para una muestra
de 5, el valor de correspondiente es: A2 = 0.577.

19. GRAFICAS −R :

20. GRAFICAS −R :
 los límites de control para la gráfica de nuestro
ejemplo se calculan de la manera siguiente:
LCS = 24.42 + (0.577 x 5.5) = 27.59
LCI = 24.42 - (0.577 x 5.5) = 21.24
 Las fórmulas para los límites de control en una
gráfica de rangos son las siguientes:
LCS = D4 * R
LCI = D3 * R
LC = R

21. GRAFICAS −R :
 D4 y D3 son factores que como A2 dependen del
tamaño de la muestra. Para un tamaño de muestra
5, D4 = 2.114 y D3 = 0.
 Límites de control para la gráfica de rangos para
nuestro ejemplo se calcula de la siguiente manera:
LCS = 2.114 x 5.5 = 11.627
LCI = 0 x 5.5 = 0

22. GRAFICAS −R :
 Quedando la grafica de la siguiente manera:

23. INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS
 La interpretación de las gráficas está sujeta a las
siguientes reglas:
1. Puntos fuera de los límites de control.
2. Adhesión (al centro o a los extremos)
3. Series (tendencia, corrida)

24. PUNTOS FUERA DE LOS LÍMITES DE
CONTROL
 Cuando uno o más puntos se encuentran arriba o
debajo de los límites de control
 Los límites de control fueron mal calculados o los
puntos que están fuera han sido mal graficados.
 El sistema de medición ha cambiado (equipo de
medición personal).
 La variación de pieza o el rango de la distribución
han cambiado.

25. ADHESIÓN
 Para verificar si existe adhesión al centro o
adhesión a los extremos, es necesario dividir en
tres partes iguales, la distancia que hay del límite
superior de control al límite inferior de control.
 La división en tercios se realiza de la siguiente
manera:
a = LSC - LIC
3
Tercio superior = L.S.C. – a
Tercio inferior = L.I.C. + a

26. ADHESIÓN AL CENTRO
 Si más del 68% de los puntos graficados se encuentran
en el tercio medio, se dice que hay adhesión al centro.
De llegarse a presentar la adhesión al centro es
necesario verificar lo siguiente:
• Los límites de control han sido mal calculados o mal
graficados.
• Los puntos han sido mal calculados o mal graficados.
• Los datos han sido adulterados (las lecturas que se
alejan del promedio de promedios fueron alterados u
omitidos).
• Las piezas pueden haber sido mezcladas de los
diferentes grupos.

27. ADHESIÓN AL CENTRO
 Si después de haber verificado las condiciones
anteriores, la adhesión persiste, entonces el
proceso muestra una condición favorable, debemos
investigar para mantener el proceso en la misma
condición.

28. ADHESIÓN A LOS EXTREMOS
 Si el 32% o más de los puntos graficados se
encuentran dentro de los dos tercios exteriores, se
dice que hay adhesión a los extremos o adhesión a
las líneas de control. De presentarse esta
condición, es necesario verificar:
• Los límites de control han sido mal calculados o
los puntos mal graficados.
• El proceso el método de muestreo es tal, que los
grupos contienen mediciones de dos o más
factores diferentes

29. ADHESIÓN A LOS EXTREMOS

31. SERIES
 Serie es una sucesión de puntos que indican una
tendencia o desplazamiento del proceso. Para el
control estadístico del proceso, se tienen
identificadas dos tipos de series y son:
- TENDENCIA
- CORRIDA

32. TENDENCIA
 Cuando siete puntos consecutivos o más en forma
ascendente o descendente se encuentran en la
gráfica

33. CORRIDA
 Cuando siete puntos consecutivos o más se
encuentran por arriba o por abajo del promedio de
promedios

34.  La presencia de una serie significa:
- Mayor dispersión de los resultados que pueden
provenir de una causa irregular (mal
funcionamiento del equipo), un cambio en la
distribución de los resultados (un nuevo lote de
material), todos estos problemas requieren una
acción correctiva inmediata.
- Un cambio en el sistema de medición (diferente
calibrador o inspector).

35.  La interpretación de las gráficas de rangos se lleva
de la misma forma que con la interpretación de
medias, solamente cambia el siguiente concepto,
cuando se maneja (CORRIDA Y TENDENCIA), por
debajo del rango promedio, significa que hay:
 Menor dispersión de los resultados, lo cual es
generalmente una buena condición que debe
estudiarse para ampliar su aplicación.

36.  En la interpretación de nuestra gráfica de nuestro
ejercicio para la gráfica X − R , nótese la
importancia de representar los límites de
especificación. Obsérvese el punto 22.6 que aún
respetando, el limite inferior de control, al mismo
tiempo está violando el límite inferior de
especificación.

38.  Nótese también el punto 29.6 en donde
absolutamente se encuentra violando ambos
límites superiores, tanto de control, como de
especificación.
 En cuanto a la gráfica de rangos obsérvese el
rango de variación que existe en nuestro proceso,
es decir, que contamos con piezas de diferentes
tamaños, cuando lo ideal en todo proceso, es que
nuestras piezas sean fabricadas de la misma
dimensión, y aunque de antemano, sabemos que
siempre existirá la variación, debemos tomar
acciones correctivas para minimizar esta variación.

39.  Cuando se ha interpretado la gráfica y no se
encuentran puntos fuera de los límites de control,
adhesión a los extremos, series corrida o
tendencia, el proceso está dentro de CONTROL
ESTADISTICO, en caso contrario debemos buscar
la causa por la cual el proceso se encuentra fuera
de control. Cuando se llegue a presentar esta
situación, se usará el DIAGRAMA CAUSA –
EFECTO.

40.  Una medida de tendencia central que se puede
obtener en un grafico X – R. es:
La desviación estándar estimada
σ =
Donde:
R es el promedio de los rangos
d2 es la constante, que representa un valor
estimado del recorrido W

41. GRAFICAS −S :
 Una alternativa para analizar la dispersión es
utilizar la desviación estándar (S) en lugar del
rango (R), las razones que nos llevan a ello pueden
ser:
1. Con las calculadoras científicas se puede
obtener fácilmente las desviaciones.
2. Si los tamaños de muestras son mayores a 10,
la gráfica R pierde su eficacia.
3. Si los tamaños de los subgrupos no son iguales,
se puede elaborar con facilidad la grafica de control
S.

42. GRAFICAS −S :
 Los límites de control para la grafica X están dados
por:

43. GRAFICAS −S :
 Los límites de control para la grafica S están dados
por:

44. GRAFICAS −S :
 A continuación se presenta un ejemplo de grafico
– S
El índice de refracción del cable de fibra óptica se
vigila con gráficas X − S . Primero, se analizan los
datos pasados. Se considera al día como un
subgrupo racional. Los tamaños de las muestras
varían de un día al otro, con una variación en la
producción que va de 4 a 8 bobinas, pero 6
bobinas es el tamaño de muestra predominante. En
la tabla siguiente se muestran los datos obtenidos
de la producción de los últimos 12 días.

45. GRAFICAS −S :

46. GRAFICAS −S :

47. GRAFICAS −S :

48. GRAFICAS −S :

49. GRAFICAS −S :

50. GRAFICAS −S :

51. GRAFICAS −S :

52. GRAFICAS −S :

53. GRAFICAS −S :

54. GRAFICAS −S :
 Graficando los datos y colocando los límites de
control individuales, se puede observar que ningún
punto se sale de los límites de control:

55. GRAFICAS −S :

56. GRAFICAS −S :
 Al igual que en la graficas X-R debemos validar
que los puntos no se salgan de control y la regla
del 1/3 medio.

57. GRAFICAS M – R:
 Es una gráfica de control simplificada, donde su
característica principal es la minimización de los
cálculos.
 La usaremos principalmente cuando los
operadores no son muy diestros con los cálculos, ó
se requiere que la gráfica sea elaborada en el sitio
de la operación y no se puedan realizar cálculos
complejos.

58. GRAFICAS M – R:
 Los datos se reúnen en la forma convencional y se
determinan la mediana, M, y el rango, R, de cada
subgrupo. Cuando se usan métodos manuales,
esos valores se agrupan en orden creciente o
decreciente. La media de las medianas de
subgrupo, o gran mediana, , y la media de rangos
de subgrupo, , se determinan obteniendo su
promedio aritmético.

59. GRAFICAS M – R:
 Se determinan los límites de control para la
mediana, con las fórmulas:
 Los límites de control para el Rango están dados
por las fórmulas:

60. GRAFICAS M – R:
 Las ventajas principales de la gráfica de medianas
son: hay menos operaciones aritméticas, es más
fácil de comprender y los operadores la pueden
mantener con facilidad.
 Cuando el personal de operación va elaborando
estas gráficas, se recomienda que el tamaño del
subgrupo sea 3.

61. GRAFICAS M – R:
 Para comprender esta gráfica realizaremos el
siguiente ejemplo:

62. GRAFICAS M – R:
 Los datos mostrados anteriormente corresponden a
un proyecto de admisión de un paciente en un
hospital, que posteriormente a haber utilizado
graficas X – R, desea vigilar la actividad usando
gráficas de medianas y rango. Después de obtener
las medianas y los rangos, se obtienen sus límites
de control:

63. GRAFICAS M – R:
 Los límites de control para el Rango están dados
por las fórmulas:

64. GRAFICAS M – R:
 Posteriormente graficamos los datos para la mediana.

65. GRAFICAS X − R (INDIVIDUOS):
 En muchos casos, sólo se toma una medición de
una característica de la calidad. Eso se puede
deber a que sea demasiado costosa o demasiado
tardada la inspección, que haya muy pocos
artículos que inspeccionar, o simplemente que no
sea posible tomar más muestras. Para estos casos,
con datos limitados, se puede obtener algo de
información con una grafica X–R (nótese que X no
está testada).

66. GRAFICAS X − R (INDIVIDUOS):
 Los valores de las mediciones se grafican
directamente, los valores del rango se obtienen con
la siguiente fórmula:
Las fórmulas para la línea central son:
Donde m es el número de mediciones o tamaño del
subgrupo.

67. GRAFICAS X − R (INDIVIDUOS):
 Como el tamaño de la muestra en este tipo de
grafico siempre es 2 se tiene entonces la siguiente
fórmula para los límites.
 Veamos el siguiente ejemplo:

68. GRAFICAS X − R (INDIVIDUOS):
 Se va a llevar una grafica X–R sobre el pH del
agua en una piscina de un hotel muy importante.
Cada día se toma una lectura, durante 30 días. Los
datos son:

69. GRAFICAS X − R (INDIVIDUOS):

70. GRAFICAS X − R (INDIVIDUOS):
 El petróleo se fracciona para hacer gasolina y otros
productos como aceite lubricante y keroseno. El
fraccionamiento se hace por lotes y el proceso
requiere muchas horas. El proceso es demasiado
lento para permitir tamaños de muestra mayores a
uno. En la tabla siguiente se dan los índices
octánicos de la gasolina de grado alto,
correspondientes a 12 lotes altos. Elabore un
gráfico de control que demuestre el estado del
proceso, si existiera algún punto fuera de control
considere una causa asignable.

71. GRAFICAS X − R (INDIVIDUOS):