Este documento presenta una guía sobre la solución de inecuaciones. Explica cómo determinar la temperatura en diferentes distancias de un horno, y la distancia mínima para colocar aparatos electrónicos sin dañarlos debido al calor. También resume conceptos clave como números reales, intervalos, y propiedades de orden para resolver este tipo de problemas.
Este documento presenta un examen de fracciones para el séptimo grado que consta de 18 preguntas de selección múltiple. Se proporcionan instrucciones sobre el tiempo permitido, la forma de responder y la escala de calificación. Las preguntas cubren temas como operaciones con fracciones, conversiones entre fracciones y decimales, y problemas matemáticos que involucran el uso de fracciones.
El documento presenta una evaluación de matemáticas para 2° medio con 20 preguntas de opción múltiple sobre temas como clasificación de números, propiedades de conjuntos y operaciones, racionalización de expresiones, resolución de ecuaciones radicales y análisis de conjunto de soluciones. El examen busca evaluar objetivos de aprendizaje como clasificar números, aplicar propiedades de conjuntos, operar con raíces y resolver problemas con números racionales e irracionales.
Este examen de reparación de Matemáticas para noveno grado contiene ocho secciones con diversos ejercicios. La primera sección incluye la simplificación de expresiones algebraicas. La segunda trata sobre operaciones con radicales. La tercera involucra la racionalización de fracciones. La cuarta resuelve fracciones algebraicas. La quinta resuelve problemas de sistemas de ecuaciones lineales. La sexta encuentra valores usando semejanza de triángulos. La séptima usa el teorema de Pitágoras. La última gra
Este documento presenta 5 problemas de matemáticas para estudiantes de noveno grado. El primer problema involucra operaciones fraccionarias y porcentajes. El segundo pide calcular porcentajes de números dados. El tercero requiere calcular una nota definitiva basada en los porcentajes de 3 exámenes. El cuarto pide simplificar fracciones y expresarlas como decimales. El quinto problema involucra crear una tabla de frecuencias y calcular porcentajes basados en los datos de tamaños de calzado de 30 estudiantes.
Este documento presenta varias propiedades de las potencias matemáticas. Explica cómo calcular potencias con la misma base mediante la multiplicación y división de exponentes. También cubre cómo cualquier potencia elevada a 0 es igual a 1, y cómo elevar una potencia a otra potencia simplemente multiplica los exponentes. Proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
7mo Pre Prueba Séptimo Grado 2022 Pre Álgebra.pdfRosa E Padilla
Este documento contiene una prueba de pre-álgebra para estudiantes de séptimo grado con 25 preguntas que cubren estándares como numeración y operaciones, álgebra, geometría, medición, análisis de datos y probabilidad. La prueba incluye ejercicios como seleccionar fracciones equivalentes, resolver ecuaciones algebraicas, identificar figuras geométricas, calcular áreas y probabilidades.
Este documento presenta un proyecto para un curso de álgebra sobre aprender y emprender con las tecnologías de la información y la comunicación (TIC). Los estudiantes deben visitar un sitio web para completar ejercicios sobre interpretar gráficas, escoger uno para desarrollar, tomar una captura de pantalla de la solución e imprimirla o enviarla por correo electrónico para su revisión.
El documento presenta un resumen del material didáctico "Taller de Matemática 7", el cual fue creado por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana bajo la dirección de Manuel José Rojas Leiva. El libro contiene 8 unidades temáticas y fue diseñado por un equipo de autores, correctores, ilustradores y especialistas en diseño y producción gráfica.
Este documento presenta un examen de fracciones para el séptimo grado que consta de 18 preguntas de selección múltiple. Se proporcionan instrucciones sobre el tiempo permitido, la forma de responder y la escala de calificación. Las preguntas cubren temas como operaciones con fracciones, conversiones entre fracciones y decimales, y problemas matemáticos que involucran el uso de fracciones.
El documento presenta una evaluación de matemáticas para 2° medio con 20 preguntas de opción múltiple sobre temas como clasificación de números, propiedades de conjuntos y operaciones, racionalización de expresiones, resolución de ecuaciones radicales y análisis de conjunto de soluciones. El examen busca evaluar objetivos de aprendizaje como clasificar números, aplicar propiedades de conjuntos, operar con raíces y resolver problemas con números racionales e irracionales.
Este examen de reparación de Matemáticas para noveno grado contiene ocho secciones con diversos ejercicios. La primera sección incluye la simplificación de expresiones algebraicas. La segunda trata sobre operaciones con radicales. La tercera involucra la racionalización de fracciones. La cuarta resuelve fracciones algebraicas. La quinta resuelve problemas de sistemas de ecuaciones lineales. La sexta encuentra valores usando semejanza de triángulos. La séptima usa el teorema de Pitágoras. La última gra
Este documento presenta 5 problemas de matemáticas para estudiantes de noveno grado. El primer problema involucra operaciones fraccionarias y porcentajes. El segundo pide calcular porcentajes de números dados. El tercero requiere calcular una nota definitiva basada en los porcentajes de 3 exámenes. El cuarto pide simplificar fracciones y expresarlas como decimales. El quinto problema involucra crear una tabla de frecuencias y calcular porcentajes basados en los datos de tamaños de calzado de 30 estudiantes.
Este documento presenta varias propiedades de las potencias matemáticas. Explica cómo calcular potencias con la misma base mediante la multiplicación y división de exponentes. También cubre cómo cualquier potencia elevada a 0 es igual a 1, y cómo elevar una potencia a otra potencia simplemente multiplica los exponentes. Proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
7mo Pre Prueba Séptimo Grado 2022 Pre Álgebra.pdfRosa E Padilla
Este documento contiene una prueba de pre-álgebra para estudiantes de séptimo grado con 25 preguntas que cubren estándares como numeración y operaciones, álgebra, geometría, medición, análisis de datos y probabilidad. La prueba incluye ejercicios como seleccionar fracciones equivalentes, resolver ecuaciones algebraicas, identificar figuras geométricas, calcular áreas y probabilidades.
Este documento presenta un proyecto para un curso de álgebra sobre aprender y emprender con las tecnologías de la información y la comunicación (TIC). Los estudiantes deben visitar un sitio web para completar ejercicios sobre interpretar gráficas, escoger uno para desarrollar, tomar una captura de pantalla de la solución e imprimirla o enviarla por correo electrónico para su revisión.
El documento presenta un resumen del material didáctico "Taller de Matemática 7", el cual fue creado por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana bajo la dirección de Manuel José Rojas Leiva. El libro contiene 8 unidades temáticas y fue diseñado por un equipo de autores, correctores, ilustradores y especialistas en diseño y producción gráfica.
El documento describe propiedades de potenciación y radicación, incluyendo que una potencia elevada a la potencia de cero es igual a uno, una potencia elevada a la unidad es igual al número, y el producto de potencias de la misma base es igual a la potencia de la suma de los exponentes. También cubre propiedades como la división de potencias de la misma base y raíces de productos y raíces.
Este documento contiene 12 preguntas sobre funciones cuadráticas. Las preguntas cubren temas como calcular valores de funciones, determinar intervalos de crecimiento, encontrar vértices de parábolas, identificar gráficas de funciones cuadráticas y simplificar funciones a la forma estándar. El objetivo es evaluar la comprensión del estudiante sobre conceptos clave de funciones cuadráticas.
1) Este documento contiene 32 ejercicios tipo prueba de matemáticas racionales, incluyendo fracciones, decimales, porcentajes y operaciones básicas.
2) Los ejercicios van desde calcular el costo de comprar 3/4 kg de asado a $2.400 el kg, hasta ordenar fracciones y números decimales de menor a mayor y realizar operaciones como divisiones y multiplicaciones con fracciones y decimales.
3) El documento provee una serie de ejercicios para evaluar conocimientos básicos de matemáticas racionales
Este documento contiene 16 preguntas de evaluación sobre matemáticas para estudiantes de grado octavo. Las preguntas cubren temas como expresiones algebraicas, polinomios, promedios, porcentajes y geometría. El documento incluye gráficas y tablas para apoyar las preguntas.
Este documento contiene una prueba de matemáticas sobre área y perímetro para estudiantes de 7° grado. La prueba consta de 17 preguntas que abarcan conceptos como área de polígonos, circunferencias, círculos y figuras geométricas. También incluye instrucciones sobre el desarrollo y puntaje de la prueba.
Examen ecuaciones tipo icfes 02 periodo novenorjaimeramos
Este documento presenta 10 problemas matemáticos tipo ICFES con varias opciones de respuesta cada uno. Los problemas incluyen temas como proporciones, números enteros, fracciones, porcentajes, promedios y secuencias numéricas. El objetivo es que los estudiantes practiquen y desarrollen habilidades para resolver este tipo de ejercicios.
Este documento presenta un examen de ecuaciones de primer grado que incluye reducir expresiones algebraicas, resolver ecuaciones, completar tablas, resolver problemas verbales expresados como ecuaciones y plantear ecuaciones a partir de expresiones verbales. El examen contiene 6 problemas con múltiples partes que prueban la comprensión de conceptos básicos de ecuaciones de primer grado.
Este documento proporciona instrucciones y ejemplos para sumar y restar polinomios en álgebra. Explica que los términos deben ser semejantes para poder sumarlos o restarlos, y que los términos semejantes son aquellos con las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Proporciona ejemplos de cómo sumar y restar polinomios paso a paso, así como también una sección de práctica con ejercicios para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento contiene los planes de estudio de varios talleres de recuperación de matemáticas impartidos a estudiantes de octavo grado en la Institución Educativa Teresita Montes. Los talleres cubren temas como ecuaciones, áreas, volúmenes y evaluación. Cada taller contiene el nombre del docente, fecha y ejercicios o problemas que los estudiantes deben resolver.
Este documento presenta información sobre cómo calcular el área de figuras compuestas. Explica que una figura compuesta está formada por figuras geométricas simples como triángulos, rectángulos, trapezoides y círculos. A continuación, instruye al lector sobre cómo encontrar el área total de figuras compuestas utilizando el postulado de suma de áreas y proporciona ejercicios de práctica.
Este documento contiene 20 preguntas de opción múltiple sobre conversiones entre los sistemas sexagesimal y radian para ángulos. Las preguntas involucran convertir valores angulares entre grados, minutos, segundos y radianes, calcular ángulos desconocidos en triángulos dados otros ángulos y lados, y resolver problemas angulares geométricos.
Este documento presenta un examen de 12 preguntas sobre funciones cuadráticas y parábolas. Las preguntas requieren que los estudiantes identifiquen características como vértices, ejes de simetría, intersecciones con los ejes coordenados y concavidad de funciones dadas por sus gráficas o ecuaciones. El examen evalúa la comprensión de conceptos fundamentales de geometría como parábolas, funciones cuadráticas y sus propiedades.
Este documento presenta el plan de clase para una lección sobre funciones lineales y cuadráticas para estudiantes de primer año. La lección se centrará en representar funciones lineales a través de tablas y gráficas. Los estudiantes aprenderán a conceptualizar funciones, clasificarlas según su grado y tipo, y representarlas gráficamente usando un plano cartesiano. La lección concluirá con una evaluación escrita para medir el dominio del tema.
Este documento presenta 25 problemas de combinatoria con sus respectivas respuestas clave. Los problemas involucran conceptos como el número de formas de ordenar o seleccionar objetos de un conjunto, formar palabras o números con letras o dígitos dados, distribuir premios entre personas, y formar triángulos o caminos entre ciudades. El objetivo es que los estudiantes practiquen y comprendan mejor los principios básicos de la combinatoria a través de la resolución de estos problemas.
Este documento presenta una guía de ejercicios de inecuaciones para estudiantes de 8° básico. Incluye instrucciones para representar gráficamente diferentes intervalos en una recta numérica y escribir los intervalos correspondientes a gráficos dados. Luego, propone 22 problemas de inecuaciones lineales para que los estudiantes resuelvan escribiendo la respuesta como desigualdad y gráficamente.
Guia 7 matematicas 8o_cesarcanal / NUMEROS IRRACIONALES cesar canal mora
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos:
El documento presenta una guía sobre números irracionales, incluyendo ejemplos como la raíz cuadrada de 2. Explica que los números irracionales tienen decimales infinitos y no periódicos, y no pueden expresarse como fracciones. También incluye ejercicios para aplicar el teorema de Pitágoras y representar números irracionales en una recta numérica.
El documento es un registro de asistencia de estudiantes en el Instituto Particular Abdon Calderón. Contiene la fecha y el grado de los estudiantes. En resumen, el documento es una lista de asistencia de un grado en una escuela privada en una fecha específica.
Este documento contiene 35 preguntas de una prueba de diagnóstico de matemáticas para el curso 7° año. Las preguntas cubren una variedad de temas matemáticos como operaciones con números enteros y fracciones, porcentajes, proporcionalidad y expresiones algebraicas. El documento incluye instrucciones para los estudiantes sobre cómo completar la prueba y una tabla para anotar el puntaje real y el puntaje ideal.
Este documento presenta un examen de matemáticas sobre geometría para grado séptimo que contiene 15 preguntas de selección múltiple. Las preguntas cubren temas como polígonos, clasificación de polígonos, triángulos, circunferencias, áreas de figuras geométricas regulares e irregulares. El estudiante debe seleccionar la única respuesta correcta para cada pregunta.
El documento presenta los siguientes conceptos clave sobre los números reales:
1) El conjunto de los números reales R se forma a partir de la unión de los números racionales Q y los números irracionales I.
2) Los números reales pueden representarse en una recta numérica donde cada punto corresponde a un único número real.
3) Los números reales forman un conjunto ordenado según las relaciones <, > e =. Entre dos números reales siempre existe uno mayor y uno menor.
El documento presenta los siguientes conceptos clave sobre los números reales:
1) El conjunto de los números reales R se forma a partir de la unión de los números racionales Q y los números irracionales I.
2) Los números reales pueden representarse en una recta numérica donde cada punto corresponde a un único número real.
3) Se introduce la relación de orden entre los números reales mediante las propiedades de tricotomía, transitividad, aditividad y multiplicatividad.
El documento describe propiedades de potenciación y radicación, incluyendo que una potencia elevada a la potencia de cero es igual a uno, una potencia elevada a la unidad es igual al número, y el producto de potencias de la misma base es igual a la potencia de la suma de los exponentes. También cubre propiedades como la división de potencias de la misma base y raíces de productos y raíces.
Este documento contiene 12 preguntas sobre funciones cuadráticas. Las preguntas cubren temas como calcular valores de funciones, determinar intervalos de crecimiento, encontrar vértices de parábolas, identificar gráficas de funciones cuadráticas y simplificar funciones a la forma estándar. El objetivo es evaluar la comprensión del estudiante sobre conceptos clave de funciones cuadráticas.
1) Este documento contiene 32 ejercicios tipo prueba de matemáticas racionales, incluyendo fracciones, decimales, porcentajes y operaciones básicas.
2) Los ejercicios van desde calcular el costo de comprar 3/4 kg de asado a $2.400 el kg, hasta ordenar fracciones y números decimales de menor a mayor y realizar operaciones como divisiones y multiplicaciones con fracciones y decimales.
3) El documento provee una serie de ejercicios para evaluar conocimientos básicos de matemáticas racionales
Este documento contiene 16 preguntas de evaluación sobre matemáticas para estudiantes de grado octavo. Las preguntas cubren temas como expresiones algebraicas, polinomios, promedios, porcentajes y geometría. El documento incluye gráficas y tablas para apoyar las preguntas.
Este documento contiene una prueba de matemáticas sobre área y perímetro para estudiantes de 7° grado. La prueba consta de 17 preguntas que abarcan conceptos como área de polígonos, circunferencias, círculos y figuras geométricas. También incluye instrucciones sobre el desarrollo y puntaje de la prueba.
Examen ecuaciones tipo icfes 02 periodo novenorjaimeramos
Este documento presenta 10 problemas matemáticos tipo ICFES con varias opciones de respuesta cada uno. Los problemas incluyen temas como proporciones, números enteros, fracciones, porcentajes, promedios y secuencias numéricas. El objetivo es que los estudiantes practiquen y desarrollen habilidades para resolver este tipo de ejercicios.
Este documento presenta un examen de ecuaciones de primer grado que incluye reducir expresiones algebraicas, resolver ecuaciones, completar tablas, resolver problemas verbales expresados como ecuaciones y plantear ecuaciones a partir de expresiones verbales. El examen contiene 6 problemas con múltiples partes que prueban la comprensión de conceptos básicos de ecuaciones de primer grado.
Este documento proporciona instrucciones y ejemplos para sumar y restar polinomios en álgebra. Explica que los términos deben ser semejantes para poder sumarlos o restarlos, y que los términos semejantes son aquellos con las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Proporciona ejemplos de cómo sumar y restar polinomios paso a paso, así como también una sección de práctica con ejercicios para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento contiene los planes de estudio de varios talleres de recuperación de matemáticas impartidos a estudiantes de octavo grado en la Institución Educativa Teresita Montes. Los talleres cubren temas como ecuaciones, áreas, volúmenes y evaluación. Cada taller contiene el nombre del docente, fecha y ejercicios o problemas que los estudiantes deben resolver.
Este documento presenta información sobre cómo calcular el área de figuras compuestas. Explica que una figura compuesta está formada por figuras geométricas simples como triángulos, rectángulos, trapezoides y círculos. A continuación, instruye al lector sobre cómo encontrar el área total de figuras compuestas utilizando el postulado de suma de áreas y proporciona ejercicios de práctica.
Este documento contiene 20 preguntas de opción múltiple sobre conversiones entre los sistemas sexagesimal y radian para ángulos. Las preguntas involucran convertir valores angulares entre grados, minutos, segundos y radianes, calcular ángulos desconocidos en triángulos dados otros ángulos y lados, y resolver problemas angulares geométricos.
Este documento presenta un examen de 12 preguntas sobre funciones cuadráticas y parábolas. Las preguntas requieren que los estudiantes identifiquen características como vértices, ejes de simetría, intersecciones con los ejes coordenados y concavidad de funciones dadas por sus gráficas o ecuaciones. El examen evalúa la comprensión de conceptos fundamentales de geometría como parábolas, funciones cuadráticas y sus propiedades.
Este documento presenta el plan de clase para una lección sobre funciones lineales y cuadráticas para estudiantes de primer año. La lección se centrará en representar funciones lineales a través de tablas y gráficas. Los estudiantes aprenderán a conceptualizar funciones, clasificarlas según su grado y tipo, y representarlas gráficamente usando un plano cartesiano. La lección concluirá con una evaluación escrita para medir el dominio del tema.
Este documento presenta 25 problemas de combinatoria con sus respectivas respuestas clave. Los problemas involucran conceptos como el número de formas de ordenar o seleccionar objetos de un conjunto, formar palabras o números con letras o dígitos dados, distribuir premios entre personas, y formar triángulos o caminos entre ciudades. El objetivo es que los estudiantes practiquen y comprendan mejor los principios básicos de la combinatoria a través de la resolución de estos problemas.
Este documento presenta una guía de ejercicios de inecuaciones para estudiantes de 8° básico. Incluye instrucciones para representar gráficamente diferentes intervalos en una recta numérica y escribir los intervalos correspondientes a gráficos dados. Luego, propone 22 problemas de inecuaciones lineales para que los estudiantes resuelvan escribiendo la respuesta como desigualdad y gráficamente.
Guia 7 matematicas 8o_cesarcanal / NUMEROS IRRACIONALES cesar canal mora
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos:
El documento presenta una guía sobre números irracionales, incluyendo ejemplos como la raíz cuadrada de 2. Explica que los números irracionales tienen decimales infinitos y no periódicos, y no pueden expresarse como fracciones. También incluye ejercicios para aplicar el teorema de Pitágoras y representar números irracionales en una recta numérica.
El documento es un registro de asistencia de estudiantes en el Instituto Particular Abdon Calderón. Contiene la fecha y el grado de los estudiantes. En resumen, el documento es una lista de asistencia de un grado en una escuela privada en una fecha específica.
Este documento contiene 35 preguntas de una prueba de diagnóstico de matemáticas para el curso 7° año. Las preguntas cubren una variedad de temas matemáticos como operaciones con números enteros y fracciones, porcentajes, proporcionalidad y expresiones algebraicas. El documento incluye instrucciones para los estudiantes sobre cómo completar la prueba y una tabla para anotar el puntaje real y el puntaje ideal.
Este documento presenta un examen de matemáticas sobre geometría para grado séptimo que contiene 15 preguntas de selección múltiple. Las preguntas cubren temas como polígonos, clasificación de polígonos, triángulos, circunferencias, áreas de figuras geométricas regulares e irregulares. El estudiante debe seleccionar la única respuesta correcta para cada pregunta.
El documento presenta los siguientes conceptos clave sobre los números reales:
1) El conjunto de los números reales R se forma a partir de la unión de los números racionales Q y los números irracionales I.
2) Los números reales pueden representarse en una recta numérica donde cada punto corresponde a un único número real.
3) Los números reales forman un conjunto ordenado según las relaciones <, > e =. Entre dos números reales siempre existe uno mayor y uno menor.
El documento presenta los siguientes conceptos clave sobre los números reales:
1) El conjunto de los números reales R se forma a partir de la unión de los números racionales Q y los números irracionales I.
2) Los números reales pueden representarse en una recta numérica donde cada punto corresponde a un único número real.
3) Se introduce la relación de orden entre los números reales mediante las propiedades de tricotomía, transitividad, aditividad y multiplicatividad.
El documento trata sobre números reales. Explica que los números racionales y los números irracionales conforman el conjunto de los números reales. También describe diferentes tipos de números reales como números racionales, irracionales, enteros y fracciones. Además, explica conceptos como intervalos, valor absoluto y aproximaciones de números reales.
Relaciones de orden e intervalos de operacionesBelèn Cañizares
Este documento presenta información sobre relaciones de orden, intervalos, operaciones con intervalos, inecuaciones lineales, inecuaciones cuadráticas, inecuaciones racionales e inecuaciones con valor absoluto. Define los diferentes tipos de intervalos y cómo representarlos en la recta numérica. Explica las operaciones básicas que se pueden realizar con intervalos y cómo resolver inecuaciones lineales y cuadráticas.
Este documento describe diferentes conjuntos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Define cada conjunto y sus propiedades con respecto a las operaciones matemáticas. También introduce conceptos como valores absolutos, desigualdades e intervalos para describir rangos de números reales.
Este documento presenta una introducción a los números reales. Define los números naturales, enteros, racionales e irracionales, y explica sus propiedades. También describe la propiedad de densidad de los números reales, que establece que entre cualquier par de números reales siempre existe un número real intermedio. Por último, introduce la notación de intervalos para representar subconjuntos de números reales.
El documento trata sobre las variables y los diferentes tipos de números. Define una variable como un símbolo que representa un elemento de un conjunto dado. Luego explica que las variables se usan en álgebra para representar cantidades conocidas y desconocidas mediante números y letras. Finalmente, introduce los números naturales, enteros y reales, y explica cómo se pueden ordenar y comparar números.
El documento trata sobre las variables y los diferentes tipos de números. Define una variable como un símbolo que representa un elemento de un conjunto dado. Luego explica que las variables se usan en álgebra para representar cantidades conocidas y desconocidas mediante números y letras. Finalmente, introduce los números naturales, enteros y reales, y explica cómo se pueden ordenar y comparar números.
Este documento trata sobre varios temas matemáticos como conjuntos, operaciones entre conjuntos, números reales, desigualdades y valor absoluto. Explica conceptos como unión, intersección y diferencia de conjuntos, así como propiedades de desigualdades y la función del valor absoluto. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento describe los diferentes conjuntos numéricos, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica cómo los números reales son la unión de los números racionales e irracionales, y cómo estos conjuntos numéricos se relacionan entre sí. También cubre la representación decimal de números racionales e irracionales, y define las operaciones binarias y sus propiedades en conjuntos numéricos.
Este documento resume conceptos matemáticos fundamentales como conjuntos, operaciones de conjunto, números reales, desigualdades y valor absoluto. Define conjuntos, sus elementos y símbolos. Explica las operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Además, clasifica los números reales y describe las propiedades de las desigualdades y el valor absoluto.
El primer documento presenta la solución a cinco ejercicios matemáticos que involucran cálculos con potencias y sumas. El segundo documento presenta seis problemas lógicos y matemáticos para estimular el pensamiento, con instrucciones para su resolución.
Este documento describe los números reales y sus propiedades. Introduce los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales, y cómo se relacionan para formar el conjunto de los números reales. Explica cómo los números racionales tienen representaciones decimales finitas o periódicas, mientras que los irracionales son no periódicos. También define operaciones binarias y sus propiedades de cerradura, conmutatividad y asociatividad.
1) El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números racionales e irracionales. 2) Explica cómo los números reales llenan la recta numérica y cómo se representan en ella. 3) Define conceptos como intervalos, semirrectas, valor absoluto y logaritmos.
Este documento presenta una guía sobre números reales con cuatro temas principales: 1) identifica la relación entre los conjuntos numéricos y define los números reales, 2) explica cómo representar números reales e intervalos en la recta numérica, 3) define intervalos cerrados y abiertos en la recta numérica, y 4) introduce el concepto de valor absoluto y sus propiedades. El objetivo es que los estudiantes comprendan mejor los números reales y cómo trabajar con ellos.
Este documento describe diferentes conjuntos numéricos, incluyendo los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Explica las propiedades de cada conjunto y cómo están relacionados entre sí. También define conceptos como intervalos y fracciones generatrices de números decimales.
El documento presenta una introducción a los números enteros. Define los números enteros como el conjunto que surge de llenar vacíos en los números naturales, como realizar sustracciones donde el minuendo es menor que el sustraendo. Explica que los números enteros se representan en la recta numérica y están ordenados en relación con el cero. Además, presenta algunas operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de números enteros.
Similar a Guia 1. intervalos reales. segundo periodo (20)
Este documento presenta información sobre el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas. Explica el teorema de Pitágoras y cómo se aplica para hallar lados desconocidos en triángulos rectángulos. Luego define las seis razones trigonométricas y resuelve ejemplos numéricos utilizando estas funciones. Finalmente, proporciona valores numéricos de las funciones trigonométricas para ángulos comunes como 30°, 45° y 60°.
El documento presenta información sobre la solución de inecuaciones lineales con una sola variable. Explica conceptos como desigualdad, inecuación, propiedades de las desigualdades y métodos para resolver inecuaciones lineales como despejar la variable, agrupar términos y considerar cuándo cambia el sentido de la desigualdad. Incluye ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
El documento presenta una guía sobre la solución de inecuaciones lineales con una variable. Explica conceptos como desigualdades, inecuaciones, propiedades de las desigualdades y métodos para resolver inecuaciones lineales de una variable, como despejar la variable, agrupar términos y considerar cuando cambia el sentido de la desigualdad. Proporciona ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos, polinomios, coeficientes y grado. También explica cómo calcular el perímetro de figuras geométricas usando expresiones algebraicas, sumando términos semejantes. Finalmente, proporciona ejemplos para hallar el perímetro de figuras dadas expresiones algebraicas de sus lados.
Este documento presenta un curso básico de estadística para el grado 10 con el objetivo de enseñar conceptos como variables, tablas de frecuencias, gráficos, medidas de tendencia central (media, mediana y moda) y su aplicación para analizar datos sobre la pandemia de COVID-19 en Colombia. Incluye actividades para organizar datos sobre edades de personas contagiadas usando tablas y gráficos, e interpretar los resultados de las medidas de tendencia central.
Este documento presenta información sobre un curso básico de estadística impartido a estudiantes de grado 11. Incluye conceptos como variables cualitativas y cuantitativas, tablas de frecuencias, medidas de tendencia central, y actividades para analizar datos sobre la pandemia de COVID-19 en Colombia.
Este documento presenta información sobre un curso básico de estadística impartido a estudiantes de grado 11. Incluye conceptos sobre variables cualitativas y cuantitativas, tablas de frecuencias, medidas de tendencia central, y actividades para analizar datos sobre la pandemia de COVID-19 en Colombia.
Este documento presenta seis ejercicios de matemáticas sobre números enteros para el grado séptimo. Los ejercicios involucran cálculos de diferencias de temperaturas, alturas, saldos bancarios y ganancias/pérdidas monetarias. El profesor Uriel López Baquero asigna estas tareas para el primer período.
Este documento presenta 9 ejercicios de matemáticas sobre números enteros para estudiantes de séptimo grado. Los ejercicios involucran cálculos de temperaturas, puntajes de equipos, alturas de globos, profundidades de pozos, pérdidas financieras y conversiones de escalas térmicas. El profesor Uriel López Baquero guía a los estudiantes a través de estos problemas para reforzar su comprensión de números enteros.
Este documento presenta 9 ejercicios de matemáticas sobre números enteros para estudiantes de sexto grado. Los ejercicios involucran cálculos de temperaturas, puntajes de equipos, alturas de globos, profundidades de pozos de petróleo, pérdidas financieras de empresas y conversiones entre escalas Celsius y Kelvin. El profesor Uriel López Baquero guía a los estudiantes a través de estos problemas matemáticos de nivel básico.
El documento presenta ejemplos y explicaciones sobre las operaciones básicas con números enteros, incluyendo multiplicación, división y operaciones combinadas. Se explican las reglas para determinar el signo del resultado dependiendo de los signos de los números involucrados. También se destaca la jerarquía de las operaciones y la importancia de resolver primero las operaciones dentro de paréntesis. Finalmente, se incluyen ejercicios para practicar estas operaciones con números enteros.
Este documento presenta información sobre multiplicación y división de números enteros. Explica cómo calcular productos y cocientes de números enteros teniendo en cuenta la regla de los signos. También incluye ejemplos de cómo resolver operaciones combinadas aplicando la jerarquía correcta. Finalmente, proporciona ejercicios para que los estudiantes desarrollen sus destrezas en estas operaciones.
El documento presenta información sobre polígonos y números racionales. Explica que los polígonos se clasifican según su número de lados y presenta fórmulas para calcular el número de diagonales, la suma de los ángulos interiores y la medida de cada ángulo interior. También define paralelogramos, trapecios y cuadriláteros, y presenta algunas de sus propiedades. Finalmente, introduce los números racionales y decimales, y proporciona ejemplos y preguntas para desarrollar destrezas sobre estos temas.
Este documento presenta información sobre operaciones con números enteros como la multiplicación, potenciación y división. Explica conceptos como factores, signos de los factores, propiedades de las operaciones, resolución de problemas y ejercicios de aplicación. Se enfoca en temas como tablas de multiplicación, propiedades como conmutativa y distributiva, cálculo de potencias, divisores y conceptos como mínimo común múltiplo y máximo común divisor.
Este documento presenta información sobre las operaciones con números enteros. Explica las propiedades de la adición y sustracción de enteros, como la conmutativa, asociativa, clausurativa e invertida. Incluye ejemplos ilustrativos de cada propiedad y ejercicios para que los estudiantes apliquen los conceptos y resuelvan problemas relacionados con sumas y restas de números enteros.
1) El documento trata sobre operaciones algebraicas con polinomios, incluyendo sustracción, adición y multiplicación de polinomios.
2) Para sustraer polinomios, se suma el opuesto del sustraendo al minuendo.
3) Para multiplicar polinomios, se aplica la propiedad distributiva y las reglas de los exponentes.
El documento proporciona instrucciones para un profesor sobre números reales. Incluye enlaces a videos explicativos sobre la diferencia entre números racionales e irracionales y cómo representar números irracionales en una recta numérica. También contiene una lista de afirmaciones sobre números reales para que los estudiantes indiquen si son verdaderas o falsas.
El documento presenta una introducción a las expresiones algebraicas. Define una expresión algebraica como una forma simbólica que utiliza constantes, variables, operaciones matemáticas y signos de agrupación. Explica que las variables son la parte "literal" de la expresión, mientras que las constantes representan números específicos. Proporciona ejemplos de expresiones algebraicas y cómo evaluarlas al sustituir valores a las variables.
Este documento describe diferentes tipos de poliedros tridimensionales como prismas, pirámides y poliedros regulares. Un prisma tiene dos bases paralelas y caras laterales que son paralelogramos. Los prismas se clasifican como rectos u oblicuos. Una pirámide tiene una base poligonal y caras triangulares que convergen en un vértice. Las pirámides también pueden ser rectas u oblicuas. Los cinco poliedros regulares son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodeca
Este documento presenta información sobre operaciones con números enteros para el grado séptimo. Explica propiedades de la adición, sustracción, multiplicación y potenciación de enteros, como la conmutativa, asociativa, distributiva y otras. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar cada operación, con temas como factores, productos, sumas y diferencias de números enteros.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSÉ ANTONIO
GALÁN
GUÍA DE APRENDIZAJE SOLUCIÓN DE
INECUACIONES
Ing. CLAUDIA PATRICIA RODRÍGUEZ PABÓN
Lic. OMAR FREDY RODRIGUEZ
DERECHO BÁSICO DE APRENDIZAJE: Justifica la validez de las
propiedades de orden de los números reales y las utiliza para resolver
problemas analíticos que se modelen con inecuaciones.
SITUACIÓN PROBLEMA
Cumaral es la capital mundial de la carne a la llanera, debido a su gran
número de asaderos que permiten degustar este delicioso plato. Dentro las
políticas gubernamentales se ha establecido que la temperatura T de los
hornos en grados °C a una distancia de x metros desde el centro del fuego
está determinada por 𝑇 =
6000
𝑥2+1164
¿Cuál sería la temperatura a 5 𝑚, 23,2 𝑚, 1 2⁄ 𝑚, 50 𝑚 del horno? ¿A qué
distancia x del centro del horno la temperatura está a 40°C?
En el asadero “La buena mamona” se desea distribuir un televisor un
computador y un enfriador. Para efectos de su buen funcionamiento, se debe
tener en cuenta que estos aparatos funcionan adecuadamente a
temperaturas menores de 50°C. ¿Cuál es la distancia mínima a la que se
deben colocar estos aparatos para que no se dañen?
Para resolver estas inquietudes es necesario revisar algunos temas en
particular como son los intervalos de números reales y la solución de
inecuaciones.
2. NÚMEROS REALES
En las clases anteriores, se pudo
determinar la evolución que han
tenido los conjuntos numéricos
desde los números naturales hasta
los números Reales. Y se determinó
que los números Reales (ℝ) es la
unión entre los Racionales (ℚ) y los
Irracionales (𝕀).
Los números ℝ se pueden
representar utilizando puntos en la
recta real, de modo que cada
número real, 𝒂, le corresponde
exactamente un punto 𝑷 en la
recta, y a cada punto 𝑷 , en la recta
le corresponde un número real 𝒂 .
En la siguiente recta se pueden observar algunos números reales.
Recuerde que:
ℝ = ℚ ∪ 𝕀
−
1
2
−
1
3
ξ2 5
2
𝜋 4
Reales
negativos
Reales positivos
Al representar una mayor cantidad de números reales, en un
intervalo, se puede observar, informalmente, que entre dos
números reales siempre va a ubicarse otro número real, a esta
propiedad se le llama densidad.
Entre un número real y otro número real hay infinitos números
reales
3. LEY DE TRICOTOMÍA
De esta forma, los números reales están ordenados de tal forma que todo
número que esté a la derecha es mayor que el que esté a la izquierda.
Ejemplos
a. 𝟑 < 𝟓, puesto que 3 está a la izquierda de 5 en la recta numérica
Teniendo en cuenta la información anterior, resuelva:
a. ¿Cuántos números naturales hay entre el 1 y el 10?
b. ¿Cuántos números enteros hay entre el -5 y el 9?
c. ¿Cuántos números reales hay entre el -1 y el 1?
d. Escribe 10 números reales entre el 0 y el 1
DEFINICIÓN
Sean los números reales 𝒂 y 𝒃, se cumple una y sólo una de las
siguientes situaciones:
1. 𝒂 > 𝒃, 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒆 "𝒂 𝒆𝒔 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒃”
2. 𝒂 < 𝒃, 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒆 "𝒂 𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒃
3. 𝒂 = 𝒃, 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒆 "𝒂 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒃
𝒂𝒃
𝒃𝒂
𝒃
𝒂
𝟓𝟎 𝟑
4. b. ξ𝟐 >
𝟏
𝟐
, puesto que ξ𝟐 está a la derecha de
𝟏
𝟐
en la recta numérica
c. Todos los reales positivos son mayores que 0, puesto que ellos se
encuentran a la derecha del cero en la recta numérica.
ℝ+
> 𝟎
Todos los reales negativos son menores que 0, puesto que ellos se
encuentran a la izquierda del cero en la recta numérica.
ℝ−
< 𝟎
d. Organizar los siguientes números de menor a mayor:
𝟑
𝟓
, − 𝝅,
𝟐𝟗
𝟓𝟎
, − 𝟐ξ𝟐, −
𝟏
𝟑
, 𝟏. 𝟏
La mejor forma de compararlos es expresándolos en forma decimal:
V
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 − 𝝅 < −𝟐ξ𝟐 < −
𝟏
𝟑
<
𝟐𝟗
𝟓𝟎
<
𝟑
𝟓
< 𝟏. 𝟏
ξ𝟐𝟎
𝟏
𝟐
11
2
= 0,5
1
2
= 0,5 ξ2 = 1,41 …
𝟎
ℝ+
𝟎
ℝ−
−𝝅 −𝟐ξ𝟐
−
𝟏
𝟑
𝟐𝟗
𝟓𝟎
𝟑
𝟓
𝟏. 𝟏
5. 1. Grafique en la recta numérica los siguientes números reales:
a.
𝟓
𝟒
b. −ξ𝟑 c.
𝝅
𝟐
d. −𝟐, 𝟓 e. −
𝟑
𝟒
f. 𝟎, 𝟓𝟒 g. 𝟎, 𝟔
2. Colocar el signo <, > ó = ,para comparar las siguientes parejas
de números.
a. −𝟏𝟑 − 𝟐𝟓
b. ξ𝟐 𝟏, 𝟓
c.
𝟐
𝟑
𝟓
𝟒
d. −𝟎, 𝟓𝟓 − 𝟎, 𝟓𝟎𝟑
e. 𝟐𝝅 −
𝟑
𝟓
3. Ordenar de mayor a menor los siguientes números reales:
−
𝟏
𝟒
,
𝝅
𝟑
, 𝒆, 𝟎. 𝟓, 𝟑, −
𝟑
𝟐
, 𝟎. 𝟓𝟑, −𝟎. 𝟕, − 𝟏. 𝟒𝟗, 𝟐. 𝟕
4. Resolver el siguiente problema
El grupo AVAL tuvo ganancias el año pasado en cuatro de sus empresas
y pérdidas sólo en una. Esa información se transmitió al presidente del
grupo mediante computadora, pero la impresora falló y los datos se
transmitieron incompletos. Se sabe que:
La empresa Banco de Bogotá ganó más que la empresa
Corficolombiana, pero menos que la empresa Porvenir S.A. La empresa
Porvenir S.A ganó más que la empresa Almaviva. El Banco Popular
ganó más que el Banco de Bogotá, pero menos que la empresa
Almaviva. ¿Qué empresa ganó más y cuál ganó menos?
0 1 2-1-2-3
ACTIVIDAD 2 Resolver las siguientes preguntas
6. INTERVALOS REALES
Dada la imposibilidad de hacer un listado de todos los números reales
comprendidos entre dos números reales a y b, es necesario utilizar una nueva
notación llamados Intervalos Reales.
Los puntos 𝑎 y 𝑏 pueden o no pertenecer al intervalo. De acuerdo con lo
anterior, es posible identificar y definir en forma analítica y en forma gráfica
distintos conjuntos de números reales en la recta real. por tal razón, los
intervalos se clasifican en:
1. INTERVALO ABIERTO
Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre 𝑎 y
𝑏. Se simboliza por (𝑎, 𝑏). Los paréntesis indican que los extremos no
hacen parte del intervalo.
( 𝒂 , 𝒃) = { 𝒙 ∈ ℝ
𝒂 < 𝒙 < 𝒃⁄ }
En este intervalo hacen parte todos los números reales mayores que 𝒂
pero al mismo tiempo menores que 𝒃, sin contar los extremos 𝒂 y 𝑏.
EJEMPLO
Sea el intervalo (−3 , 5), en este intervalo se hace referencia a
todos los números reales 𝑥 mayores que -3 y menores que 5.
INTERVALO REAL:
Es el espacio o distancia que hay de un tiempo a otro o de un lugar a otro.
Es la representación de un subconjunto de números reales. Para ello se utilizan
como convenciones los [a , b] o (a , b), que indican si los extremos a y b están
o no contenidos en el intervalo.
( 𝒂 , 𝒃) = { 𝒙 ∈ ℝ
𝒂 < 𝒙 < 𝒃⁄ }
DEFINICIÓN
( )
𝒃𝒂
( )
𝒃𝒂
7. En este intervalo encontramos que valores como 𝑥 = −2,999, 𝑥 = ξ2, 𝑥 = 4,99 …
hacen parte del intervalo, pero 𝑥 = −3, 𝑥 = 5, 𝑥 = −3,001 y 𝑥 = 5,0001, no
hacen parte del intervalo.
2. INTERVALO CERRADO
Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre 𝑎 y
𝑏. Se simboliza por [𝑎, 𝑏]. Los corchetes indican que los extremos hacen
parte del intervalo.
[ 𝒂 , 𝒃] = { 𝒙 ∈ ℝ
𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃⁄ }
En este intervalo hacen parte todos los números reales mayores o iguales
que 𝒂, pero al mismo tiempo menores o iguales a 𝒃. Este intervalo incluye
los extremos 𝒂 y 𝑏.
EJEMPLO
Sea el intervalo [0 ,
3
2
], este intervalo hace referencia a todos
los números reales 𝑥 mayores o iguales que 0 y menores o iguales que
3
2
.
En este intervalo encontramos que valores como 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 =
3
2
, hacen
parte del intervalo, pero 𝑥 = −0,001, 𝑥 = 1,5001 y 𝑥 = 2 no hacen parte del
intervalo.
3. INTERVALOS SEMIABIERTOS
Se llama así al conjunto de números reales comprendidos entre 𝑎 y 𝑏 que
incluye a uno de los extremos.
( )
𝟓−𝟑 𝟎
−𝟑, 𝟎𝟎𝟏
−𝟐, 𝟗𝟗𝟗 ξ𝟐 𝟒, 𝟗𝟗 …
𝟓, 𝟎𝟎𝟎𝟏
𝒃𝒂
[ ]
𝟑
𝟐
𝟎
[ ]−𝟎, 𝟎𝟎𝟏
𝟏 𝟏, 𝟓𝟎𝟎𝟏
𝟐
8. a. INTERVALO ABIERTO A LA IZQUIERDA
( 𝒂 , 𝒃 ] = { 𝒙 ∈ ℝ
𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃⁄ }
En este intervalo se incluyen todos los números reales comprendidos
entre 𝑎 y 𝑏, incluyendo el extremo 𝑏 pero no incluyendo el extremo 𝑎.
b. INTERVALO ABIERTO A LA DERECHA
[ 𝒂 , 𝒃 ) = { 𝒙 ∈ ℝ
𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃⁄ }
4. INTERVALOS INFINITOS
Son aquellos intervalos formados por todos los números reales
mayores o menores que un número real a. Para indicar que el intervalo
se extiende indefinidamente hacia la derecha o a la izquierda,
utilizamos +∞ o −∞, y en ese extremo el intervalo siempre será
abierto.
a. Infinito a la derecha
𝒊. ( 𝒂 , ∞ ) = { 𝒙 ∈ ℝ
𝒙 > 𝒂⁄ }
𝒊𝒊. [𝒂 , ∞ ) = { 𝒙 ∈ ℝ
𝒙 ≥ 𝒂⁄ }
𝒃𝒂
( ]
𝒃𝒂
[ )
𝒂
(
∞
Incluye a todos los números Reales mayores que 𝒂
𝒂
[
∞
Incluye a todos los números Reales mayores o iguales que 𝒂
9. b. Infinito a la izquierda
𝒊. ( −∞ , 𝒂 ) = { 𝒙 ∈ ℝ
𝒙 < 𝒂⁄ }
𝒊𝒊. ( −∞ , 𝒂 ] = { 𝒙 ∈ ℝ
𝒙 ≤ 𝒂⁄ }
EJEMPLOS
1. Sean los siguientes intervalos, expresarlos en notación de
conjunto, representarlos gráficamente e indicar la clase de
intervalo.
a. [𝟑, 𝟓)
b. (−ξ𝟐, 𝟓)
c. (−∞, 𝟕]
d. (
𝟏
𝟐
, ∞)
Solución:
a. Notación de intervalo: [3,5)
Notación de conjunto: { 𝒙 ∈ ℝ 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟓⁄ }
Representación Gráfica:
Clase de intervalo: Intervalo abierto a la derecha
𝒂
)
−∞
Incluye a todos los números Reales menores que 𝒂
𝒂
]
−∞
Incluye a todos los números Reales menores o iguales que 𝒂
𝟓𝟑
[ )
10. b. Notación de intervalo: (−ξ𝟐, 𝟓)
Notación de conjunto: {𝒙 ∈ ℝ −ξ𝟐 < 𝒙 < 𝟓⁄ }
Representación Gráfica:
Clase de intervalo: Intervalo abierto
c. Notación de intervalo: (−∞, 𝟕]
Notación de conjunto: { 𝒙 ∈ ℝ 𝒙 ≤ 𝟕⁄ }
Representación Gráfica:
Clase de intervalo: Intervalo al infinito
d. Notación de intervalo: (
𝟏
𝟐
, ∞)
Notación de conjunto: {𝒙 ∈ ℝ 𝒙 >
𝟏
𝟐
⁄ }
Representación gráfica:
Clase de intervalo: Intervalo al infinito
1. Expresar en notación de intervalo los siguientes conjuntos y
representarlos gráficamente:
a. { 𝑥 ∈ ℝ
−3 ≤ 𝑥⁄ } =
b. { 𝑥 ∈ ℝ
−ξ5 ≤ 𝑥 <
1
2
⁄ } =
c. { 𝑥 ∈ ℝ
𝑥 > −4⁄ } =
d. { 𝑥 ∈ ℝ
5
4
< 𝑥 < ξ7⁄ } =
𝟓−ξ𝟐
( )
𝟕
]
−∞
𝟏
𝟐
(
∞
ACTIVIDAD 3 Resolver las siguientes preguntas
11. 2. Expresar en notación de conjunto los siguientes intervalos y
representarlos gráficamente:
a. [−2 , 6 ) =
b. ( −∞ ,
3
5
) =
c. [ 4 , ∞ ) =
d. [ ξ2 , 10 ] =
3. La ciudad de Cumaral registra, en invierno, una temperatura que va desde
los 16,5 °C hasta los 25,2 °C. En cambio, en verano, tiene una
temperatura mínima de 21°C y una temperatura máxima de 34,3 °C.
a. Representa la variación de temperaturas en verano e invierno usando
notación de intervalos y notación de conjunto
b. Representa en un solo intervalo, la temperatura del municipio de
Cumaral en el año
c. ¿Qué temperaturas son comunes a invierno y verano en Cumaral?
d. ¿Cuál es el intervalo de temperaturas posibles sólo en invierno?
e. ¿Cuál es el intervalo de temperaturas posibles sólo en verano?
Las preguntas 4 y 5 son de selección múltiple con única respuesta
4. El intervalo [−3, 1) está formado por:
a. Todos los números comprendidos entre −3 y 1 incluyendo el 1 pero
no el −3.
b. Todos los números comprendidos entre −3 y 1 incluyendo el −3 pero
no el 1.
c. Todos los números comprendidos entre −3 y 1 no incluidos por no
ser cerrado el intervalo.
d. Todos los números comprendidos entre -3 y 1 incluidos el -3 y el 1
12. 5. La representación gráfica
indica:
a. Cualquier número mayor que 2 pero menor o igual a −
1
3
b. Cualquier número mayor que −
1
3
y menor que 2
c. Cualquier número menor que 2 pero mayor o igual que −
1
3
d. Cualquier número mayor que −
1
3
pero menor que 2
6. Como elemento adicional de la actividad, ingresar al link
https://forms.gle/uy4Rdzgz4EUMhVi29 y resolver la evaluación planteada.
Observar la puntuación obtenida y realizar retroalimentación de las
respuestas incorrectas.
OPERACIONES CON INTERVALOS REALES
Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, se
definirán a continuación algunas operaciones con conjuntos y se ilustrarán
estas operaciones mediante ejemplos.
Las operaciones que nos interesa definir aquí son: la intersección, la unión y la
diferencia de conjuntos.
Recuerde que:
[ )
−
𝟏
𝟑
2
UNIÓN ENTRE CONJUNTOS
Sean los conjuntos 𝑨 y 𝑩. Se
define la unión de 𝑨 y 𝑩 que se
denota como 𝑨 ∪ 𝑩, al conjunto
cuyos elementos pertenecen al
menos a uno de los dos conjuntos
𝑨 o 𝑩.
A B
𝑨 ∪ 𝑩 = { 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 ∨ 𝒙 ∈ 𝑩⁄ }
13. EJEMPLOS
1. Sean los intervalos 𝐴 = [−3, 2 ) y 𝐵 = [ −1, 5 ]. Determinar 𝐴 ∪ 𝐵.
Solución:
Primero graficamos los intervalos en la recta numérica.
Como la unión entre los conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵, determinada por 𝐴 ∪ 𝐵, son los
elementos que pertenezcan a 𝐴 o a 𝐵, y queda establecido por el intervalo que
incluya a todos los elementos de los dos conjuntos.
Por lo tanto: 𝐴 ∪ 𝐵 = [−𝟑 , 𝟐 ) ∪ [ −𝟏 , 𝟓 ] = [ −𝟑 , 𝟓 ]
2. Sean los intervalos 𝐴 = (−∞, −2 ) y 𝐴 = [ 2 , 4 ). Hallar 𝐴 ∪ 𝐵.
Solución:
En este ejemplo se observa que los conjuntos no tienen elementos
en común, por lo tanto, la unión no se puede expresar en un solo
intervalo.
Por lo tanto: 𝐴 ∪ 𝐵 = ( −∞ , −𝟐) ∪ [ 𝟐 , 𝟒 ) = (−∞ , −𝟐) ∪ [ 𝟐 , 𝟒 )
−𝟑 −𝟏 𝟎 𝟐 𝟓
)[
[ ]
𝑨
𝑩
−𝟑 −𝟏 𝟎 𝟐 𝟓
)[
[ ]
𝑨
𝑩
][𝑨 ∪ 𝑩
−𝟐 𝟎 𝟐 𝟒
)
−∞
[ )
𝑨
𝑩
)[𝑨 ∪ 𝑩)
14. Recuerde que:
EJEMPLO
1. Sean los intervalos 𝐴 = [ −3 ,
3
2
] y 𝐵 = (−1 , 3]. Determinar 𝐴 ∩ 𝐵.
Solución:
Debemos graficar inicialmente los intervalos en la recta numérica:
Observe que los elementos comunes a ambos intervalos son todos los
números reales comprendidos entre −1 y
3
2
, pero −1 no hace parte de la
intersección puesto que no pertenece al intervalo 𝐴, mientras que
3
2
si hace
parte de la intersección puesto que hace parte de ambos intervalos. Por lo
tanto:
𝐴 ∩ 𝐵 = [ −𝟑 ,
𝟑
𝟐
] ∩ (−𝟏 , 𝟑 ] = ( −𝟏 ,
𝟑
𝟐
]
INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS
Sean los conjuntos 𝑨 y 𝑩. Se
define la intersección entre 𝑨 y 𝑩
que se denota como 𝑨 ∩ 𝑩, al
conjunto cuyos elementos
pertenecen a 𝑨 y a 𝑩.
A B
𝑨 ∩ 𝑩 = { 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∈ 𝑩⁄ }
−𝟑 −𝟏 𝟎 𝟑
𝟐
𝟑
[
( ]
𝑨
𝑩
]
( ]𝑨 ∩ 𝑩
15. Recuerde que:
EJEMPLO
1. Sean los intervalos 𝐴 = [ −3 , 2) y 𝐵 = (−ξ2 , 3]. Determinar 𝐴 − 𝐵.
Solución:
Primero graficamos los intervalos en una recta numérica.
El intervalo 𝐴 − 𝐵 está formado por los números que pertenecen a 𝐴 pero que
no pertenecen a 𝐵, es decir, lo que queda del intervalo 𝐴 cuando se quitan
los elementos que hay en 𝐵. Observe que como −ξ𝟐 no hace parte del
intervalo 𝑩, si hace parte de la diferencia puesto que solamente está
en el intervalo 𝑨.
Por lo tanto: 𝐴 − 𝐵 = [ −𝟑 , 𝟐) − (−ξ𝟐 , 𝟑 ] = [ −𝟑 , −ξ𝟐 ]
DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS
Sean los conjuntos 𝑨 y 𝑩. Se
define la diferencia entre 𝑨 y 𝑩,
que se denota como 𝑨 − 𝑩, al
conjunto cuyos elementos
pertenecen a 𝑨 y no pertenecen
a 𝑩.
A B
𝑨 − 𝑩 = { 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∉ 𝑩⁄ }
−𝟑 −ξ𝟐 𝟎 𝟐 𝟑
[
( ]
𝑨
𝑩
)
−𝟑 −ξ𝟐 𝟎 𝟐 𝟑
[
( ]
𝑨
𝑩
)
𝑨 − 𝑩 [ ]
16. 2. Sean los intervalos 𝐴 = [ 2 , ∞ ) , 𝐵 = [−3 , 4 ) y 𝐶 = (−∞ , 0 ].
Encontrar (𝐵 − 𝐴) ∩ 𝐶
Solución:
Debemos encontrar primero el intervalo 𝐵 − 𝐴, para luego intersecarlo con el
intervalo 𝐶.
Sabiendo que 𝐵 − 𝐴 = [−3 , 2), ahora lo intersecamos con el intervalo 𝐶:
−𝟑 𝟎 𝟐 𝟒
[
[ )
𝑨
𝑩
𝑩 − 𝑨 [ )
∞
−𝟑 𝟎 𝟐 𝟒
[
[ )
𝑨
𝑩
𝑩 − 𝑨 [ )
∞
] 𝑪
( 𝑩 − 𝑨 ) ∩ 𝑪][
17. 1. Sean los intervalos
𝐴 = [−5 , 0), 𝐵 = ( −∞ , −1 ], 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ −3 > 𝑥⁄ } 𝑦 𝐷 = ( −
1
2
, 6], encontrar:
a. 𝐴 ∪ 𝐵 =
b. 𝐵 ∩ 𝐶 =
c. (𝐷 − 𝐴) ∪ 𝐶 =
d. (𝐵 − 𝐶) ∩ (𝐴 ∪ 𝐷) =
Índice de masa corporal (IMC). Una buena forma de determinar si el peso
de una persona es saludable para su estatura es calcular su índice de masa
corporal (IMC). Para calcularlo se divide el peso de la persona (en kilogramos)
entre el cuadrado de su estatura (en metros).
𝐼𝑀𝐶 =
𝑃𝑒𝑠𝑜
( 𝑇𝑎𝑙𝑙𝑎)2
Con esta información resuelve las preguntas 2 - 5.
2. Expresar cada una de las anteriores categorías para la masa corporal en
forma de intervalo.
3. Si Abel pesa 68,5 𝑘𝑔 y tiene una estatura de 1,45 m. Según la tabla, ¿en
qué categoría se ubica, tomando en cuenta el valor de su IMC
a. Normal
b. Delgado
c. Obesidad Grado 1
d. Obesidad Grado 2
IMC Categoría
Menos de 18,6 Delgado
Desde 18,6 hasta 24,9 Normal
Más de 24,9 y menos de 30 Sobrepeso
Desde 30 hasta menos de 35 Obesidad Grado 1
Desde 35 hasta menos de 40 Obesidad Grado 2
ACTIVIDAD 3 Resolver las siguientes preguntas
18. 4. Explica por qué una persona con un peso de 50 kg y una talla de 1,70 está
en riesgo.
5. Según el IMC, ¿en qué estado nutricional se encuentra en este instante de
la cuarentena?, escribe el intervalo al que corresponde este estado
nutricional en notación de intervalo, en notación de conjunto y exprésalo
en forma gráfica.
6. La ciudad de Cumaral registra en invierno, una temperatura que va desde
los 16,5 °𝐶 hasta los 24,2 °𝐶. En cambio en verano tiene una temperatura
mínima de 21 °𝐶 y una temperatura máxima de 35 °𝐶.
a. Representa la variación de temperaturas en verano e invierno usando
la notación de intervalo y la notación de conjunto.
b. ¿Cuál es el intervalo que indica la variación general de la temperatura
en Cumaral? ¿Cuál es la operación de intervalos que representa este
intervalo?
c. ¿Qué temperaturas son comunes a invierno y verano en Cumaral? ¿Cuál
es la operación de intervalos que representa este intervalo?
d. ¿Cuál es el intervalo de temperaturas posibles sólo en verano? ¿Cuál es
la operación de intervalos que representa este intervalo?
e. ¿Cuál es el intervalo de temperaturas posibles sólo en invierno? ¿Cuál
es la operación de intervalos que representa este intervalo?
A continuación, encontrará a una webgrafía que le servirá como fuente de
consulta:
VIDEO 1: https://www.youtube.com/watch?v=CF_73zhUKok
VIDEO 2: https://www.youtube.com/watch?v=FdJTS6uxNyE
VIDEO 3: https://www.youtube.com/watch?v=oMGJCXSEwzA
VIDEO 4: https://www.youtube.com/watch?v=yhdmoH_lyeU
VIDEO 5: https://www.youtube.com/watch?v=tyt6T1Ukq3w&t=8s
VIDEO 6: https://www.youtube.com/watch?v=j-5mBl4fInA
VIDEO 7: https://www.youtube.com/watch?v=nx_rvu-yD70
VIDEO 8: https://www.youtube.com/watch?v=lGWCw6UUHTM