PROBLEMA 1 Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables. Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación y^''-〖4y〗^'+4y=2e^x-1, Un estudiante propone: Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da y_h=C_1 e^2x +C_2 xe^2x Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da y_h=C_1 e^(-2x) +C_2 〖xe〗^(-2x) . Hacer las sustituciones y=x^m, y^'=〖mx〗^(m-1),y''=〖m(m-1)x〗^(m-2) y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da y_h=C_1 x^2 +C_2 x^2 Hacer las sustituciones y=x^m, y^'=〖mx〗^(m-1),y''=〖m(m-1)x〗^(m-2) y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da y_h=C_1 x^(-2) +C_2 x^(-2)

1. PROBLEMA1
Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la
ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de
variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes
constantes o variables.
Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 2𝑒 𝑥 − 1, Un
estudiante propone:
a. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da 𝑦ℎ=𝐶1 𝑒2𝑥 +𝐶2 𝑥𝑒2𝑥
b. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da 𝑦ℎ=𝐶1 𝑒−2𝑥 +𝐶2 𝑥𝑒−2𝑥
c. . Hacer las sustituciones 𝑦 = 𝑥 𝑚, 𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1, 𝑦′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 y resolver la
ecuación homogénea asociada, cuya solución da 𝑦ℎ=𝐶1 𝑥2 +𝐶2 𝑥2
d. Hacer las sustituciones 𝑦 = 𝑥 𝑚, 𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1, 𝑦′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 y resolver la
ecuación homogénea asociada, cuya solución da 𝑦ℎ=𝐶1 𝑥−2 +𝐶2 𝑥−2
Solución:
Resolviendo la Ecuación Diferencial), tenemos:
𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 2𝑒 𝑥 − 1
Sea 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥, por lo que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4 = 0
será:
𝑚2 − 4𝑥 + 4 = ( 𝑚 − 2)2 = 0
Por lo cual las tenemos dos raíces reales iguales con valores 𝑚1 = 2 = 𝑚2, por lo tanto la
solución de la ED homogénea será:
𝑦 𝐻 = 𝐶1 𝑒2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒2𝑥
Como se puede apreciar, la respuesta es la mostrada en el inciso a)