Interés Simple

Matemática Financiera Aplicada
A la Administración Pública
Núcleo de Fundamentación
V Semestre
UNIDAD 1
INTERÉS SIMPLE
Tutor
Rodrigo Velasco Palomino
Escuela Superior de Administración Pública
Programa de Administración
Pública Territorial

2
MATEMÁTICASFINANCIERASESAP – www.rodrivelp.blogspot.com
TABLA DE CONTENIDO
UNIDAD 1
INTERÉS SIMPLE
1.1. Conceptos básicos
1.2. Interés
1.3. Interés Simple
1.4. Interés Comercial e interés real
1.5. Aplicación del interés simple
1.6. Valor futuro y valor presente
BIBLIOGRAFÍA

3
UNIDAD 1
1. INTERÉS
OBJETIVO:
Aprehender el concepto de Interés y aplicarlo al manejo de las finanzas del Estado.
1.1. CONCEPTOS BÁSICOS
1.1.1. TANTO POR CIENTO
El porcentaje se conoce como la proporcionalidad que se establece entre un valor con relación a
cada 100 unidades y se representa con el símbolo %. El símbolo % es una forma estilizada de
simplificar la división por cien, o sea el uno y lo dos ceros.
 15% (Se lee 15 por ciento) y significa 15 unidades de de cada 100
 8% (Se lee 8 por ciento) y significa 8 unidades de cada 100
Cuando operamos con porcentajes lo podemos hacer de cuatro formas: Simbólica, fraccionaria,
decimal o de potencia.
 El 5 por ciento se define como: 2
10505.0
100
5
%5 
 x
Lo que implica tener un criterio claro sobre todo en el manejo de fórmulas y operaciones con
calculadora o programas.
Las operaciones se realizan teniendo en cuenta todos los decimales y los resultados los escribimos
generalmente con uno, dos, tres, cuatro o cinco decimales según la necesidad, en cualquier caso los
redondearemos por exceso o por defecto.
1.1.2. TANTO POR MIL
Se conoce como la proporcionalidad que se establece entre un valor con relación a cada 1000
unidades y se representa con el símbolo ‰.
 4 ‰ (Se lee 4 por mil) y significa 4 unidades por cada 1000
 8 ‰ (Se lee 8 por mil) y significa 8 unidades de cada 1000
El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros.
 El 4 por mil se define como:
3
104004.0
1000
4
‰4 
 x

4
1.1.3. COMO CALCULAR PORCENTAJES
Ejemplo.
Cálculo del porcentaje de una parte respecto a un todo.
En un grupo de clase podemos calcular el porcentaje de mujeres o de hombres respecto al total de
compañeros.
Si en un grupo de 40 estudiantes 12 son mujeres, ¿cuál es el porcentaje de mujeres y de hombres
que hay?
Realizamos un regla de tres simple lo que al final se puede generalizar haciendo un cálculo
mecánico.
Decimos: Si 40 es el 100%
12 que porcentaje es?
40 100 %
12 X
𝑋 =
12
40
. 100 = 30 %
Por lo tanto: En el grupo, el 30% son mujeres y el 70% son hombres.
El estudiante debe practicar el procedimiento haciendo uso primero de la calculadora, obviando el
planteamiento de la regla de tres, dividiendo la cantidad entre el total y su resultado multiplicándolo
por cien. También programando una celda en Excel que arroje el resultado para diferentes valores y
así evitar el desgaste físico y mental por el uso repetitivo de procedimientos innecesarios.
Ejemplo.
Cálculo del porcentaje de una cantidad.
Como ya se indicó un porcentaje es una forma de representar cuánto es una cantidad respecto a otra.
Para calcular el 7 por ciento de 35.000, realizamos una regla de tres simple lo que al final se puede
generalizar haciendo un cálculo mecánico.
Decimos: Si 35.000 es el 100%, cuánto será el 7%?
35.000 100 %
X 7%
𝑋 =
7 𝑥 35000
100
= 2.450

5
Ejemplo.
Precio de venta con el método de costo más rentabilidad.
Precio de venta = Costo + % Utilidad
Si un producto cuyo costo es de $ 10.000 y se quiere vender con una rentabilidad del 40%, el valor
de venta lo calculamos así:
Costo
Rentabilidad
Precio de venta
= $10.000
= 10.000 x 20%
= 10.000 + 2.000
= 10.000 x 20 /100
= 12.000
= 2.000
Para hallar el precio de una manera más ágil, multiplicamos por 1 + el porcentaje de rentabilidad.
Precio de venta = Costo x (1 + % Utilidad)
Para el ejercicio anterior tenemos:
Precio de venta = 10.000 x ( 1 + 20%) = 10000 x ( 1 + 0.20) = 10.000 x 1.20 = 12.000
NOTA:
Este procedimiento es altamente criticado por los analistas y expertos en marketing, ya que
representa riesgos a la hora de lanzar alguna promoción, incurriendo muy probablemente en
márgenes negativos, por lo tanto se sugiere el siguiente procedimiento por ser mucho más confiable.
Ejemplo.
Precio de venta con base al margen de ganancia.
Se sugiere el uso de la siguiente fórmula para calcular el precio de venta sin incurrir en riesgos a la
hora de hacer descuentos.
Precio de venta =
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜
(1− % 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑)
Para nuestro ejercicio tenemos:
Precio de venta =
10.000
(1 – 20%)
=
𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎
𝟎.𝟖𝟎
= 12.500
Si comparamos los dos métodos anteriores se observa que el segundo método es más rentable para
el vendedor.

6
Pero qué pasa si se desea hacer promociones del 10% y el 20% en los artículos, comparemos los
dos métodos:
Costo 10.000 10.000
% utilidad 20% 20%
Precio de venta 12.000 12.500
Descuento del 10% - 1.200 -1.250
Margen tras el 10% de descuento 800 1.250
Descuento del 20% 2.400 2.500
Margen tras el 20% de descuento -2.400 0
Pérdida; En ceros
FACTURACIÓN Y EL IVA
En el proceso de facturación el comerciante es muy ágil en diligenciar una factura incluyendo el
IVA, que en estos momentos está en un valor del 16% sobre el valor del artículo, con unos simples
movimientos en la calculadora
Ejemplo
Liquidar la siguiente factura discriminando el valor del IVA en una compra de 11 camisetas, si cada
una vale $ 12.000 y de un balón de $80.000
ALMACEN XX
CANTIDAD ARTICULO VR. UNITARIO VR. TOTAL
11 Camisetas 12.000 132.000
1 Balón 80.000 80.000
Subtotal 182.759
IVA 29.241
Total 212.000
Los comerciantes primero suman: 132.000 + 80.000 = 212.000
Este valor lo dividen entre 1.16: 212.000/1.16 = 182.759
Y finalmente al total le restan este valor: 212.000 – 182.759 = 29.241
Ejercicios en clase:
1. Exprese cada uno de los siguientes porcentajes en su forma decimal:
a. 12% = b. 27.56% =
c. 4.231% = d. 0.3% =
2. Exprese cada una de las siguientes cantidades en porcentajes:
a. 0.07 = b. 0.3615 =
b. 0.149 = c. 0.0023 =
3. Calcular:
a. El 20% de 350.000 = b. El 3‰ de 350.000 =

7
c. El 4% de 1’500.000 = d. El 4‰ de 3’650.000 =
4. Calcular:
a. ¿Qué porcentaje de 800 es 200?
b. ¿Qué porcentaje de 3’000.000 es 150.000?
c. ¿De qué número es 2.000 el 25%
d. ¿De qué número es 3.500 el 40%
5. Calcular:
a. El porcentaje de mujeres que asistieron hoy a clases de matemáticas financieras
b. El porcentaje de hombres que asistieron hoy a clases de matemáticas financieras.
c. El porcentaje de compañeros solteros
d. El porcentaje de sillas universitarias ocupadas
6. Resolver:
a. ¿Cuánto debo pagar por un artículo que tiene un descuento del 40%, si su precio es de
$97.800?
b. ¿Cuánto debo pagar de impuestos por un vehículo que tiene un descuento del 30%, si su valor
es de $680.000?
c. ¿Cuánto debo pagar por una multa de tránsito de $550.000 que tiene el 60% de descuento por
pronto pago?
d. ¿Cuánto debo pagar por un artículo cuyo valor es de $500.000 + IVA?
e. ¿Cuánto debo pagar al banco por un retiro de $2’500.00, si el impuesto es de 4 por mil?
f. ¿Un tendero en cuánto debe vender un artículo en el que invirtió $ 50.000 y desea ganar 30%
sobre el valor invertido (PV = Costo + % utilidad)?
g. ¿Un tendero en cuánto debe vender un artículo en el que invirtió $50.000 y dese ganar el 30%
sobre el porcentaje de ganancia? (PV = Costo / (1 – % utilidad))
TALLER DE PORCENTAJES
1. Si 5 de cada 30 alumnos de un colegio son indisciplinados. ¿Qué porcentaje de alumnos de ese
colegio son indisciplinados?
2. Si solamente el 1,4% de los jóvenes colombianos logran terminar el bachillerato antes de los 21
años, y si la población de jóvenes menores de 21 años se estima en 21’500.000. ¿Cuántos de ellos
se espera que terminen el bachillerato?
3. Si de 41.300 aspirantes a carreras de medicina ingresaron solamente 3.750 ¿Cuál es el porcentaje
de ingreso de los que aspiren a estudiar esta carrera?
4. Si el 2.7% de los bachilleres logra un puntaje de Inglés con calificación superior a 4.0 en una
población de 3.600 ¿cuántos estudiantes se espera que tengan más de esta calificación?
5. El crecimiento de una población es de 2,13% anual, si en el año 1.996 la población tenía
3’000.000 de personas. ¿Cuál será el número estimado de miembros de la población en el año
2.010?
6. Un comerciante compró 30 vestidos a $20.000 cada uno, pagó por transporte $35.000 y luego los
vendió a $28.500 cada uno. ¿Qué porcentaje del precio de venta le quedó como ganancia?

8
7. El metro cuadrado de machimbre cuesta $6.000. Si solamente cubre el 90% de la superficie,
debido al encaje entre las partes, y se considera que el desperdicio es del 5%, ¿cuánto machimbre
habrá que comprar para cubrir una superficie de 120 metros cuadrados? ¿Cuánto costará?
8. Analice la siguiente factura y compruebe su forma de liquidación
9. Un comerciante invierte $ 459.982 en la compra de unos productos según la siguiente factura,
compruebe su liquidación y determine los precios unitarios.
CANT DEESCRIPCIÓN
VALOR
UNIT
VALOR
TOTAL
IVA
1 MEZCLADOR LAVAMANOS 4” 24.914 24.914 3.436
1 MEZCLADOR LAVAMANOS 8” 35.259 35.259 4.863
1
COMBO x 6 LLAVES PESADA
CROMADA
102.697 102.697
14.165
2
SATINADA
92.870 185.740
25.619
3
AMARILLA
83.043 249.129
34.363
1
COMBO x 6 LLAVES LIVIANA
CROMO
58.476 58.476
8.066
2
SATIN
53.563 107.126
14.776
3
AMARILLA
53.563 160.689
22.164
1
COMBO x 6 REGADERA URANO
CROMO
38.817 38.817
5.354
TOTAL 962.847 132.806
10. Si el comerciante desea ganar un 32% en cada artículo, ¿Cuál sería el precio de venta de cada
mezclador y cada llave individual, calculado por los dos métodos anteriores?

9
1.2. INTERÉS (I)
Es la compensación pagada o recibida por el uso del dinero tomado en préstamo por un período de
tiempo, depende de las condiciones contractuales y varía en razón directa con la cantidad de dinero
prestada y con el tiempo de duración del préstamo.
I = F – P
Donde:
Valor Presente: (P) Es el valor de un bien o del dinero medido en pesos de hoy, o sea en el
momento en que se inicia un operación financiera.
Valor Futuro: (F) Es el valor de un bien o del dinero medida en pesos calculado en una fecha
posterior.
Ejemplo.
Si para pagar un crédito de $ 100.000 se cancelan al final $ 150.000, El interés I es de $ 50.000
1.2.1. TASA DE INTERÉS ( i , r , j )
La tasa de interés es el precio, expresado en porcentaje, que se paga por un dinero, activo o capital
colocado como una inversión o crédito durante un tiempo determinado.
En matemáticas financieras se conoce como la fracción entre lo que recibimos como intereses (I) y
la cantidad prestada P, es decir:
𝒊 =
𝑰
𝑷
Ejemplo.
Que tasa de interés tiene un crédito de $ 200.000 cuyo interés es de $ 2.500 al finalizar el mes.
𝑖 =
I
P
=
2.500
200.000
𝑖 = 0.0125
𝑖 = 1.25 % mensual
Ejemplo.
 5% mensual significa que por cada $ 100 de capital prestado se deben pagar $5 de intereses
cada mes.

10
 30% anual significa que por cada $ 100 de capital prestado se deben pagar $ 30 de intereses
cada año.
Ejercicio.
¿Cuánto recibo de capital más intereses si presto $ 1´000.000 al 20% anual?
1.2.2. TIEMPO
Para las operaciones financieras el tiempo se mide en años, meses y días, en tanto que para el pago
del trabajo basado en tiempo de labores se mide en meses, semanas, días, horas y fracciones de
hora.
1.2.3. TIEMPO EXACTO
Toma Como referencia el número de días transcurrido entre dos fechas basado en el calendario.
1.2.4. TIEMPO APROXIMADO
Toma como referencia 30 días para todos los meses del año.
1.2.5. AÑO COMERCIAL
Se supone de 360 días dividido en 12 meses de 30 días cada uno, modalidad que permite trabajar
cálculos mentales rápidos de intereses.
1.2.6. AÑO CALENDARIO
Tiene en cuenta los 365 días del año que también tiene bastante uso ya que con la ayuda de las
calculadoras el inconveniente de los cálculos es cosa del Pasado, y 366 días para el año bisiesto.
1.2.7. CONVERSIÓN DEL TIEMPO
Con frecuencia en los problemas financieros, resulta el tiempo expresado en decimales de año y es
necesario convertir los decimales en meses y días o viceversa.
Ejemplo
Conversión del tiempo para un año comercial
Convertir 3,245 años en años, meses, días, horas y minutos:
La parte entera corresponde a años.
Su parte de decimal la multiplicamos por 12 para pasarla a meses.
Su parte decimal la multiplicamos por 30 para pasarla a días.
Su parte decimal la multiplicamos por 24 para pasarla a horas.
Su parte decimal la multiplicamos por 60 para pasarla a minutos.
3.245 años
comerciales
3 años
2.94 meses

11
0.245 x 12
0.94 x
30 0.2 x
24
0.8 x
60
28.2 días
4.8 horas
48 minutos
3.245 años = 3 años, 2 meses, 28 días, 4 horas, 48 minutos.
Ejemplo
Convertir 240 días a año comercial.
240 ÷ 360 = 0.667 años comercial
Ejemplo
Conversión del tiempo para un año calendario
Convertir 3,245 años en años, días, horas y minutos.
3,245 años calendario
0.245 x 365
0.06 x 24
0.44 x 60
3 años
89.06 días
1.44 horas
26.4 minutos
3.245 años = 3 años, 89 días, 1 hora, 26 minutos
O también 3.245 x 365 = 1184 días aproximadamente.
Ejemplo
Convertir 240 días a año calendario 240 ÷ 365 = 0.658 años calendario.
1.2.8. TIEMPO TRANSCURRIDO ENTRE DOS FECHAS
En toda operación de crédito comercial se define una fecha inicial y otra fecha terminal o fecha de
vencimiento; para la cuenta del tiempo entre dos fechas, es costumbre excluir el primer día y contar
el último; el tiempo se puede medir con base en el año calendario, según lo que indique el problema
o la costumbre comercial.
Ejemplo
Si el mes y día terminal es menor que el mes y día inicial
Para un documento firmado el 10 de marzo del 2001 cuyo vencimiento era el 3 de enero del 2002,
halle el tiempo transcurrido entre las dos fechas.
a. con año comercial (aproximado)
FECHA FECHA
Añ Me Dí Año Me Día

12
o s a s
Fecha
terminal
3 de enero de
2002
200
2
01 03
2001 12 33
Fecha
inicial
10 de marzo del
2001
200
1
03 10
-
2001
-3 -10
Resta 1 -2 -7 0 9 23
= 0 Años 9 meses y 23 días = 293 días
b. con año calendario (exacto)
Implica el dispendioso trabajo de contar los días con la ayuda de un calendario. Para calcular con
rapidez es de gran utilidad la tabla que se presenta a continuación.
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Sept Octubre Nov. Dic
Enero 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334
Febrero 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303
Marzo 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275
Abril 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244
Mayo 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214
Junio 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183
Julio 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153
Agosto 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122
Septiembre 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91
Octubre 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61
Noviembre 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30
Diciembre 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365
1. En la primera columna busque el mes en el cual empieza el periodo.
2. En la primera fila busque el mes en que termina el periodo.
3. En donde se interceptan esa cantidad será el número exacto de días entre las mismas fechas de los
dos meses.
4. Si el día en el mes final del período, está después del día en el mes inicial del mes, se añade la
diferencia al número de días de la tabla. En caso contrario, la diferencia se rebaja del número de
días que muestra la tabla.
Diferencia entre los números de días = 3 – 10 = -7
306 – 7 = 299 días
De la tabla, intersección marzo y enero = 306
Ejemplo
Si el día del mes terminal es mayor que el día del mes inicial
Un documento es firmado el 3 de septiembre del 2006 cuyo vencimiento era el 25 de abril del 2007,
hallar el tiempo entre las dos fechas.
a. con año comercial (aproximado)

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Año Mes Día Año Mes Día
Fecha terminal 25 de abril de 2007 2007 04 25 2006 16 25
Fecha inicial 03 de septiembre del 2006 2006 09 03 2006 09 03
Resta 1 -5 23 0 7 23
= 12 meses – 5 meses + 23 días = 7 meses y 23 días = 233 días
b. con año calendario (exacto)
Diferencia entre los números de días = 25 – 3 = 22 días
212 + 22 = 234 días
De la tabla, intersección septiembre y abril = 212
NOTA
 Si el período de tiempo incluye el mes de febrero de un año bisiesto, se añade un día al número
total.
 El tiempo exacto se utiliza en lo Contencioso Administrativo para hacer la liquidación de las
condenas en SEDE ADMINISTRATIVA.
 Para el interés comercial o bancario el año tiene 360 días y todos los meses son de 30 días.
 Para el interés real, el año tiene 365 días y los meses son calendario; lo utiliza el Estado para
las liquidaciones en sede administrativa.
Ejercicios
1. Convertir 4.654 años a años, meses, días, horas y minutos para un año comercial
2. Convertir 5.263 años a años, días, horas y minutos para un año calendario
3. Hallar el tiempo transcurrido para año comercial y año calendario entre las fechas de 14 de
septiembre de 2012 y 4 febrero de 2015.
4. Hallar el tiempo transcurrido para año comercial y año calendario entre las fechas de 24 de marzo
de 2011 y agosto de 2014.
1.2.8. LINEAS DE TIEMPO
Son representaciones gráficas muy usadas en las que se traslada la información del problema que
nos permite visualizar la evolución del dinero en el tiempo según lo períodos considerados a los que
se les aplica una tasa de interés y en el que refleja los pagos realizados.
Ejemplo
Representación gráfica en una línea de tiempo, para quien recibe un crédito (cliente) y para quien da
un crédito (banco, cooperativa, etc.)
El 1º de marzo, se hace un crédito en una cooperativa de $450.000 para cancelarlo en 5 cuotas
trimestrales, por un valor de $100.000.
Línea de Tiempo para el cliente

14
Quien recibe el dinero
450.000
Trimestres
0 1 2 3 4 5
$100.000
Línea de Tiempo para la Cooperativa
Quien da el dinero
$100.000
0 1 2 3 4 5
Trimestres
450.000
 Las flechas hacia arriba indican un ingreso de dinero y las flechas hacia abajo indican un egreso
de dinero.
 Las flechas de igual tamaño indican ingresos o egresos de igual valor cada trimestre.
 Los números indican que cuota se está pagando, en este ejemplo debe transcurrir un año y tres
meses para saldar el crédito.
Ejemplo
Un banco genera un préstamo por $500.000 a una tasa de interés simple del 4% mensual a un plazo
de 7 meses. ¿Cuál es el valor futuro a los siete meses?
En el siguiente gráfico podemos observar que se genera un pago mensual constante de $20.000
calculados siempre sobre el mismo valor del préstamo.
$500.000
$20.000
1 2 3 4 5 6 7
500.000
Por lo tanto VF= 500.000 + 7 x 20.000 = $640.00
Ejemplo
Líneas de tiempo en diferentes modalidades, dependiendo en la forma en que se hagan los pagos.

15
a. Con una cuota inicial y n cuotas de igual pago.
0 1 2 3 ● ● ● n
b. Pago a dos contados de igual valor.
0 1 2 3 ● ● ● n
c. Sin cuota inicial y saldo en cuotas iguales.
0 1 2 3 ● ● ● n
d. Sin cuota inicial y saldo en cuotas crecientes.
0 1 2 3 ● ● ● n
e. Sin cuota inicial y saldo en cuotas decrecientes.
0 1 2 3 ● ● ● n
1.3 INTERÉS SIMPLE ( I )
Efectuamos una operación con interés simple cuando durante el tiempo que dura la transacción
sólo el capital genera intereses, independiente de si estos se retiran o no. Podemos observar que la
principal característica es que el capital permanece invariable y, por tanto, es la misma cantidad la
que genera los intereses.
El interés que se paga por una suma tomada en préstamo y es directamente proporcional a la
cantidad prestada y al tiempo de duración o período del préstamo.
Hay que tener en cuenta los siguientes criterios:

16
 P: Valor presente o dinero que se recibe hoy.
 F: Valor futuro o monto de una obligación dentro de n periodos.
 n: Número de períodos
 i o r: Tasa de interés simple o periódica.
 I: Interés o valor que se paga en cada período unitario de tiempo n
I = P . i . n
1.3.1 VALOR PRESENTE ( P, VP, VA, C )
Conocido como Principal, Valor Actual o Capital. Es toda inversión que se hace en dinero, en
especie o en trabajo representada en dinero y a la que se le coloca para que produzca una
rentabilidad, o sea en momento en que iniciamos la operación, medida en pesos de hoy. Es el caso
del dinero entregado en préstamo en un instante inicial dado, para que transcurrido un tiempo se le
reconozca un interés.
1.3.2 VALOR FUTURO O MONTO ( F, VF, M, S )
Es el acumulado del valor presente más los intereses que se pagan durante un determinado tiempo o
período de liquidación del interés, o sea medida en pesos en una fecha posterior. Se representa por
VF, M, F, S.
F = P + I
Reemplazando I tenemos
F = P + P . i . n
De las fórmulas anteriores se pueden deducir las siguientes fórmulas:
F = P .(1 + i . n)
P =
𝑭
(𝟏+ 𝒊 . 𝒏)
i =
𝐅
𝐏
− 𝟏
𝐧
n = =
𝐅
𝐏
− 𝟏
𝒊

17
1.3.3 PERIODO UNITARIO DE TIEMPO
Es aquel lapso, duración o período sobre el cual se basa o determina aplicar el interés. Dicho interés
puede aplicarse sobre múltiplos o submúltiplos del período unitario, multiplicándose o
fraccionándose dicho interés según las leyes matemáticas de la proporcionalidad
1.3.4 PERIODO DE LIQUIDACIÓN
Es el intervalo de tiempo durante el cual ha de ganar interés el capital y en el cual se reintegra dicho
capital y son cubiertos los respectivos intereses. Se calcula en período unitarios y el número total de
estos periodos unitarios se representa con n. Cuando no se menciona el período unitario se dará por
sobreentendido que la unidad de tiempo es el año.
Ejemplo
En un préstamo de $ 100.000 debiendo pagarse intereses al 30% anual con un plazo de 3 años,
determinar:
a. Período unitario de tiempo.
b. período de tiempo.
c. Valor actual.
d. Tasa de interés.
e. Interés simple total.
f. Monto.
(Respuestas: 1 año, 3 años, $ 100.000, 30% anual, $ 90.000, $ 190.000)
Ejemplo
Un Fondo de ahorro entregó un crédito por $ 1’500.000, la liquidación le exige pagar al beneficiario
después de 6 meses $ 208.000. Determine:
a. El valor futuro
b. El valor presente
c. El interés I
d. la tasa de interés del semestre i
1.4. INTERÉS COMERCIAL (ordinario) E INTERÉS REAL (exacto)
Existen varias modalidades en el pago de intereses dependiendo si se refiere a un tiempo exacto,
aproximado, año comercial o año calendario.
Ejemplo
Determinar el interés que gana un capital de 2’000.000 a una tasa de interés del 4,5 % anual desde
el 15 de junio hasta el 15 de diciembre del mismo año.
a. Con el tiempo aproximado y año comercial
b. Con el tiempo exacto y año comercial
c. Con el tiempo aproximado y año calendario
d. Con el tiempo exacto y año calendario
a. Interés simple con el tiempo aproximado y año comercial
P = 2’000.000

18
i = 45 % anual = 0.45/360 = 0.00125 diario
n = 6 meses = 180 días
I = P. i . n
I = 2’000.000 x 0.00125 x 180
I = 450.000
b. Interés simple con el tiempo exacto y año comercial
C = 2’000.000
i = 45 % anual = 0.45/360 = 0.00125 diario
n = 183 días = 183 días (ver tabla de cálculo del tiempo)
I = P. i . n
I = 2’000.000 x 0.00125 x 183
I = 457.500
Ej.2. Halle el interés simple de $ 50.000 al 9% en 1 año, 2 meses, 15 días
t = 1 año + 2 meses + 15 días = 1.2084 años
I = 50.000 x 0.09 x 1.2084 = 5437.8
TABLA PARA CÁLCUAR EL TIEMPO EXACTO
ENTRE DOS FECHAS
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Sept Octubre Nov. Dic
Enero 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334
Febrero 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303
Marzo 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275
Abril 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244
Mayo 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214
Junio 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183
Julio 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153
Agosto 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122
Septiembre 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91
Octubre 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61
Noviembre 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30
Diciembre 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365
c. Interés simple con el tiempo aproximado y año calendario
P = 2’000.000
i = 45 % anual = 0.45/365 = 0.001232876712 diario
n = 6 meses = 180 días
I = P. i . n
I = 2’000.000 x 0.001232876712 x 180

19
I = 443.836
d. Interés simple con el tiempo exacto y año calendario
P = 2’000.000
i = 45 % anual = 0.45/365 = 0.001232876712 diario
n = 183 días = 183 días
I = P. i . n
I = 2’000.000 x 0.001232876712 x 183
I = 451.232,88
NOTA
Comparando los métodos vemos que el método que genera un menor interés es con el tiempo
aproximado y el año calendario y que el método que genera un mayor interés es con tiempo exacto
y el año comercial, modalidad que por obvias razones utiliza el sistema bancario.
Tiempo Exacto Tiempo Aproximado
Año Comercial 457.500 450.000
Año Calendario 451.233 443.836
Ejemplo
Calcular el interés simple, exacto y ordinario en las tres modalidades de año exacto, exacto bisiesto
y ordinario, cuando la tasa es del 38% anual, el valor actual es de $180.000 durante un tiempo
m=45 días.
Solución
En este caso hay que tener en cuenta que la tasa y el tiempo están en diferentes unidades, años y
días; por lo tanto hay que unificar las unidades y lo haremos en años.
Para Interés Simple Exacto o
Real
I = P.i.n







365
n
iPI







365
45
38,0000.180I
I = 8.432,88
Para Interés Simple Exacto
Bisiesto
I = P.i.n







366
n
iPI







366
45
38,0000.180I
I = 8.409,83
Ordinario
I = P.i.n







360
m
iVPI







360
45
38,0000.180I
I = 8.550
Ejemplo
Si m=63 días, calcular el interés simple exacto y ordinario en las tres modalidades de año exacto,
exacto bisiesto y ordinario, cuando la tasa anual es del 37% y el valor actual es de $ 600.000.
Real
Bisiesto
Ordinario

20
I = P.i.n







365
n
iPI







365
146
08,0000.35I
I = 1.120
I = P.i.n







366
n
iPI







366
146
08,0000.35I
I = 1.1.6,94
I = P.i.n







360
m
iVPI







360
146
08,0000.35I
I = 1.135,56
CALCULO DEL VALOR FUTURO
F = P (1+ i . n)
Ejemplo
Calcular el valor que se debe cancelar dentro de 10 meses, por un crédito de 1’500.000 si la tasa de
interés mensual es de 2,5% mensual.
Solución
Identificar cada uno de los valores dados en el problema y como el tiempo y la tasa están en meses
se hace el reemplazo directo en la fórmula de Valor Futuro:
P=1’500.000 i=0.025 n=10
F = P (1+ i . n)
F = 1´500.000 x (1 + 0.025x10)
F = 1´875.000
Lo que significa económicamente que tiene igual efecto recibir $ 1’500.000 hoy o recibir $ $
1’875.000 dentro de diez meses a una tasa de 2,5%.
CALCULO DEL VALOR PRESENTE
P =
𝑭
(𝟏+ 𝒊 . 𝒏)
Ejemplo
¿Cuánto debemos prestar hoy para obtener dentro de 18 meses un valor de $ 940.500 a una tasa de
interés simple del 30% anual?
Solución

21
Identificar cada uno de los valores dados en el problema y como el tiempo y la tasa están en
diferentes unidades, las unificamos a años y reemplazamos los datos en la fórmula de Valor
Presente:
F = 950.000 i = 0.030% anual n = 18 meses = 1.5 años
P =
𝐹
(1+ 𝑖 . 𝑛)
P =
950.000
(1+ 0.030 .1.5)
P = 900.000
Ejemplo
Se sabe que por medio de un documento nos comprometimos a cancelas después de un año y medio
un valor de $ 89.900, si la tasa de interés simple es del 30% anual, hallar el valor inicial de la
obligación
Solución
F = 89.900 i = 0.030% anual n = 18 meses = 1.5 años
P =
𝐹
(1+ 𝑖 . 𝑛)
P =
89.900
(1+ 0.030 .1.5)
P = 62.000
CALCULO DE LA TASA DE INTERES
i =
𝐅
𝐏
− 𝟏
𝐧
Ejemplo
A que tasa de interés debemos prestar un capital de $350.000 si deseamos recibir $ 402.500 dentro
de 10 meses.
Solución
Identificar cada uno de los valores dados en el problema reemplazarlos y tener en cuenta que como
el tiempo está dado en meses entonces la tasa obtenida es mensual.
F = 402.500 P = 350.000 n = 10 meses
i =
𝐅
𝐏
− 𝟏
𝐧
i =
402.500
350.000
− 1
10

22
i = 0.015 % mensual
Ejemplo
Hallar la tasa de interés simple periódica que obtenemos cuando invertimos $ 10.000 y al cabo de
11 meses podemos retirar $ 11.650.
Solución
F = 11.650 P = 10.000 n = 11 meses
i =
𝐅
𝐏
− 𝟏
𝐧
i =
11 .650
10.000
− 1
11
i = 0.015 %
i = 1.5 % mensual
CALCULO DEL TIEMPO DE UNA NEGOCIACIÓN
Ejemplo
Durante cuánto tiempo debo prestar un capital de $4’000.000 para obtener $5’000.000 a una tasa de
interés de 2.5% mensual?
Solución
Identificar cada uno de los valores dados en el problema reemplazarlos y tener en cuenta que como
la tasa está dada en meses entonces el tiempo resulta en meses.
F = 5’000.000 P = 4’000.000 i = 2.5% mensual
n =
𝐅
𝐏
− 𝟏
𝒊
n =
5.000.000
4.000.000
− 1
0.025
n = 10 meses
Ejemplo
Una caja de ahorros reconoce el 5% trimestral de interés simple. Si hoy deposito $ 250.000.
¿Cuánto tiempo debo esperar para retirar $ 325.000?
Solución
n =
𝐅
𝐏
− 𝟏
𝒊

23
F = 325.000 P = 250.000 i = 5% trimestral
n =
𝐅
𝐏
− 𝟏
𝒊
n =
325 .000
250 .000
− 1
0.05
n = 6 trimestres
Como utilizamos la tasa de interés trimestral, este número de períodos corresponde a trimestres.
Luego n = 6 trimestres o sea que debemos esperar año y medio para poder efectuar ese retiro.
En construcción: Marzo de 2015
DESCUENTO
Consiste en que cierto valor que ha de pagarse en el futuro si se paga anticipadamente se obtiene un
porcentaje de descuento. Dicho descuento se aplica a la inversa de la capitalización simple en el que
por cada pago anticipado se hace un porcentaje de descuento.
DESCUENTO RACIONAL – Dr
En el descuento racional el ahorro de intereses tiene en cuenta la diferencia entre el Valor Futuro
cancelar y el Valor Presente.
Se sabe que:
F = P .(1 + i . n)
P =
𝑭
(𝟏+ 𝒊 . 𝒏)

24
𝐃𝐫 = 𝐅 − 𝐏
Reemplazando P:
𝑫𝒓 =
𝐅. 𝒊 . 𝐧
𝟏 + 𝒊 . 𝐧
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25
5. BIBLIOGRAFIA
 ROBERT, Rosemberg. LINCOYÁN PORTUS, Govinden. Matemáticas para el
comercio. Edit. McGraw Hill, Mexico 1997.
 LINCOYAN PORTUS, Govinden. Matemáticas financieras. Edit McGraw Hill,
Colombia 1990.
 CARDONA R., Alberto. Matemáticas Financieras. Edit. McGraw Hill, Bogotá 1988.
 MORALES R., Alfonso. Matemáticas Financieras. ESAP Publicaciones. Bogotá 1988
 TURGA A., Sigifredo. La Matemática Financiera como Instrumento para la
Formulación y Evaluación de Inversiones. Popayán 1998
 AYRES, Franh J. Serie de Compendi Shaum. Teoría y Problemas de Matemáticas
Financieras 1971. Libros McGraw-Hill. Méxio
 ACHING GUZMAN, Cesar. Matemáticas Financieras para Toma de Decisiones
Empresariales. Procencia y Cultura S.A. Perú.
 ACHING GUZMAN, Cesar. Aplicaciones Financieras de Excel. 2006.
 http://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanzaintroduccion.htm
 www.rodrivelp.blogspot.com


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