Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal y matrices. Explica que una matriz está compuesta por elementos organizados en filas y columnas. Describe vectores fila, vectores columna, matrices cuadradas, la matriz identidad, la matriz transpuesta, y operaciones como suma, resta y multiplicación de matrices. También cubre sistemas de ecuaciones lineales y la inversa de una matriz. Finaliza con ejercicios propuestos para los estudiantes.
matrices. operaciones con matrices, transpuesta de una matriz, determinante d...Jorge536405
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Este sería un ejemplo de una matriz ""
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Así, los elementos de nuestra matriz del ejemplo anterior serían lo números que contiene .
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.
Una matriz de filas y columnas podemos denotarla como (siempre el número de la izquierda en el subíndice indica las filas, mientras que el de la derecha las columnas) o (está entre paréntesis), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila y en la columna , por (no lleva paréntesis). Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
Ejemplo:
Del ejemplo anterior, para nuestra matriz
tendríamos que sus elementos, al distinguirlos por posición, serían , , , , , , , , , , y . Además, su dimensión es de filas y columnas, por lo tanto podemos denotar a como o .
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. En forma matemática, si tenemos las matrices y
Entonces y son iguales si , y para cualquier y .
Ejemplo:
Dadas las matrices
Tenemos que y son iguales ya que tienen la misma dimensión y los elementos de las mismas posiciones también son iguales. Sin embargo, y no son iguales ya que , pero , por lo tanto .
Operaciones de matrices
Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, y , se define la matriz suma como: . Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición (suma elemento a elemento).
Ejemplo:
Dadas las matrices
su suma estaría dada por
Propiedades
Asociativa: Dadas las matrices , y se cumple que
.
Elemento neutro: Existe una matriz, denotada por , tal que, para toda matriz , si hacemos su suma obtenemos
.
Los elementos de la matriz son puros ceros.
Inverso aditivo: Para toda matriz , existe una matriz , llamada inverso aditivo de , la cual cumple que
.
Los elementos de la matriz son los elementos de A multiplicados por .
Conmutativa: Dadas las matrices y se cumple que
.
Producto de un número real por una matriz
Dada una matriz y un número real , se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que , en la que cada elemento está multiplicado por , en otras palabras .
Ejemplo:
Dada la matriz
y el escalar real , la multiplicación estaría dada por
Propiedades
Asociativa escalar: Dada la matriz y los escalares y , se cumple que
.
Distributividad en los escalares: Dada la matriz y los escalares y , se cumple que
.
Distributividad en las matrices: Dadas las
2. UNA MATRIZ ESTÁ FORMADA POR UN DOBLE
SUBÍNDICE DE ELEMENTOS SITUADOS EN FILAS Y
COLUMNAS.
A
a11 ,, a1n
a21 ,, a2n
am1 ,, amn
Aij
4. VECTOR COLUMNA
[m x 1] matrix
i
m
a
a
a
a
A
2
1
5. MATRIZ CUADRADA: MISMO NÚMERO DE FILAS Y
COLUMNAS
B
5 4 7
3 6 1
2 1 3
6. LA MATRIZ IDENTIDAD: ES UNA MATRIZ CUADRADA
CON PUROS UNOS EN LA DIAGONAL Y CEROS EN LOS
OTROS ESPACIOS.
I
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
7. MATRIZ TRANSPUESTA: UNA MATRIZ
TRANSPUESTA ES CUANDO LAS FILAS SE
CONVIERTEN EN COLUMNAS Y LAS
COLUMNAS SE CONVIERTEN EN FILAS
mnnn
m
m
aaa
aaa
aaa
A
,,
,,
,,
21
22212
12111
´
8. SUMA DE MATRICES: DA COMO RESULTADO
UNA NUEVA MATRIZ C QUE ES DEFINIDA
COMO LA COMBINACIÓN DE LAS MATRICES A
Y B DONDE: C=A+B
Cij Aij Bij
* Las tres matrices deberán tener la misma dimensión
9. SUMA DE DOS MATRICES:
A
a11 a12
a21 a22
B
b11 b12
b21 b22
C
a11 b11 a12 b12
a21 b21 a22 b22
15. PRODUCTO DE LAS MATRICES: AXB=C
A
a11 a12
a21 a22
[2 x 2]
B
b11 b12 b13
b21 b22 b23
[2 x 3]
232213212222122121221121
231213112212121121121111
babababababa
babababababa
C
[2 x 3]
16. CALCULE: AXB=C
A
2 3
1 1
1 0
and B
1 1 1
1 0 2
[3 x 2] [2 x 3]
A y B podrán ser multiplicadas
111
312
825
12*01*110*01*111*01*1
32*11*110*11*121*11*1
82*31*220*31*251*31*2
C
17. CALCULE: AXB=C
A
2 3
1 1
1 0
and B
1 1 1
1 0 2
111
312
825
12*01*110*01*111*01*1
32*11*110*11*121*11*1
82*31*220*31*251*31*2
C
[3 x 2] [2 x 3]
El resultado es 3 x 3
18. MATRIZ INVERSA
B1
B BB1
I
Como el inverso
de un número en
matemáticas
escalar
Un número igual que en
matemáticas escalar
19. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
a) Seis arrestos en la semana pasada divididos entre delitos y faltas.
b) Nueve arrestos - había dos veces delitos como el a).
22. FORMA GENERAL: N ECUACIONES EN N VARIABLES
n
j
ijij bAxobxa
1
Los valores desconocidos de la variable x pueden ser
encontrados usando la inversa de la matriz A, tal que:
x A
1
Ax A
1
b
23. EJERCICIOS PARA LOS ALUMNOS:
1. Dadas las matrices
Calcular si es posible:
23
12
A
24
10
B
12
31
C
1
5
ABCa) )() 2
1
ABCb T
2
))()( AAAc
24. EJERCICIOS PARA LOS ALUMNOS:
Dadas las matrices:
Calcule :
126
590
362
A
753
242
111
B
BA
AB
)2
)1
22
2
2)4
)3
BABA
BA
BABA
BA
)6
)5 22