El tema corresponde a la UNIDAD 11 de matemáticas de EEGG, dirigido a los estudiantes de PT. del Primer ciclo.

1. MAGNITUDES
PROPORCIONALES
Unidad 11
Jaime Mayhuay Castro
Instructor

2. MAGNITUD
• Es todo aquello que se puede medir.
1.- El peso de una persona.
2.- La estatura,
3.- Presión arterial,
4.- Tiempo
5.- Precio de un artículo...etc.

3. MAGNITUD
DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES
INVERSAMENTE
PROPORCIONALES
Las magnitudes se clasifican
en:

4. MAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES (DP)
• Si compramos lápices cada uno a S/. 2;
al analizar como varia el valor de costo
total, cuando el número de lápices varía,
se tendrá:

5. En General:
• Decimos que las magnitudes “A” y “B” son D.P.
si al aumentar o disminuir los valores de la
magnitud de “A”, el valor de “B” también
aumenta o disminuye (en ese orden).
• Dos magnitudes sean D.P.
Cte
B
A
=

6. Interpretación Geométrica

7. MAGNITUDES INVERSAMENTE
PROPORCIONALES (DP)
• Para pintar una casa 30 obreros demoran
4 días. ¿ Cuánto se demoran 15 obreros?

8. En general
• Dos magnitudes “A” y “B” son I.P. si al
aumentar A , entonces B disminuye y
viceverza.
• Si dos magnitudes son I.P. se cumple;
cteAxB =

9. Interpretación Geométrica

10. PROBLEMA 1
Se tiene dos magnitudes A y B, tales que
es I.P. a B. Si A= 8, B=6 .Hallar A si B= 2
3
A
Si A es IP a B se cumple:
A
xAx
xAx
=
=
=
216
262
268
3
33
Respuesta:
A: 216

11. PROBLEMA 2
Si el peso de un elefante blanco es DP a
sus años. Si un elefante tuviera 360 Kg su
edad sería 32 años ¿Cuántos años tendrá
si su peso es 324 kg ? (1 año = 365 días)
diasañosx
añosx
x
29228
8,28
324
32
360
=
=
=
Edad:
28 años 292 días

12. PROBLEMA 3
El área cubierta por la pintura es
proporcional al número de galones de
pintura que se compra. Si para pintar 200 m2
se necesita 25 galones. ¿Qué área se
pintará con 15 galones?
2
120
1525
200
mx
x
=
= El área:
120 m2

13. PROBLEMA 4
Manolo descubre que los gastos que hace en celebrar su
cumpleaños son DP al número de invitados e I.P. a las
horas que ocupa en preparar la reunión. Si la ultima vez
gasto S/1200; invito a 100 personas y ocupó 12 horas.
¿Cuánto ahorrará invitando a 20 personas menos y
ocupando 4 horas más?
RAZON
invi
OGASTxTIEMP
=
80
16
100
121200 GASTOxx
=
GASTO = 720
Ahorra:
480 soles

14. PROBLEMA 5
Una rueda A de 60 dientes engrana con otra de 25. Fija al
eje de esta ultima hay una tercera de 40 dientes que
engrana en una rueda B de 75 dientes . Si A da una vuelta
cada 2/3 de seg. ¿Cuántas vueltas dará B en 2h30min.
13500
3
2
36005,2
=
xLA RUEDA A (Nro de vueltas)
1 vuelta demora 2/3 s, cuantos vueltas
dará en 2,5 h = 2,5 x 3600 s
A
B
X
Y
Nro de vueltas X es igual al
Nro de vueltas de Y
LA RUEDA X(Nro de vueltas)
13500. 60= 25 . X
X= 32400 vueltas
LA RUEDA B(Nro de
vueltas)
32400.40 =75 . B
X= 17280 vueltas
B dará
17280 vueltas

15. PROBLEMA 6
Repartir 22270 inversamente proporcional a
5n+2
; 5n+4
;5n+5
dar como respuesta la menor de las 3
partes.







+
+
+
5
4
2
5
5
5
22270
n
n
n
IP










=
=
=
+
+
+
+
+
+
15
5
1
55
5
1
1255
5
1
22270
5
5
5
4
5
2
n
n
n
n
n
n
x
x
x
DP
131K = 22270
K= 170
El menor es:
170

16. PROBLEMA 7
Repartir “N” D.P. a los números: , ,
Obteniendo que la media geométrica de las partes
obtenidas es 4/19 de “N” mas 578. Hallar “N”.







==
==
==
=
929162
62672
42432
DP
N
Resolviendo
N= 5491
32 72 162
578
19
4
19
9
19
6
19
43 +=
NN
x
N
x
N

17. PROBLEMA 8
Al Repartir 22050 D.P. a las raíces cuadradas de los
números: 7,2; 9,8; 12,8. ¿En cuanto excede la parte mayor
a la parte menor?











===
===
===
=
k
K
K
DP
N
8
5
8
5
64
8,12
7
5
7
5
49
8,9
6
5
6
5
36
2,7 Resolviendo
K= 1050
Mayor= 8400;
Menor= 6300
22050876 =++ KKK
Respuesta:
2100

18. PROBLEMA 9
Repartir 33000 en 4 partes que sean D.P. a los números:
3/7; 1/3; 3/8 y 0,5 ; indicar una de las cantidades.














=
=
=
=
=
Kx
Kx
Kx
Kx
DP
84168
2
1
63168
8
3
56168
3
1
72168
7
3
33000
Resolviendo
K= 120
3300084635672 =+++ KKKK
Las cantidades:
8640; 6720; 7560; 10080

19. PROBLEMA 10
Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero
en partes proporcionales a sus edades . Si el mayor tiene
23 años y le a correspondido S/184.¿Cuánto le
corresponde a los otros dos si tienen 15 y 12 años?







=
K
K
K
DP
D
23
15
12
Al mayor le corresponde
50
50
N
K
NK
=
=
Respuesta :
12 años = S/96
15 años= S/ 120
400
184
50
23
=
=
N
N
8
50
400
==K

20. PROBLEMA 11
Repartir 559 en partes proporcionales a las cantidades: 4;
4; 3 y 2 . Dar como respuesta la suma de las cantidad
mayor y la menor.








=
K
K
K
K
DP
2
3
4
4
559
Las cantidades:
172;172; 129; 86
43
13
559
55913
=
=
=
K
K
K
Respuesta :
258

21. PROBLEMA 12
Se ha encargado a un orfebre el diseño y la fabricación de
un trofeo que ha de pesar 5 Kg y ha de estar fabricado con
una aleación que contenga tres partes de oro, tres partes
de plata y 2 partes de cobre ¿Qué cantidad se necesita de
cada metal?







=
=
=
=
KCu
KAg
KAu
DP
Kg
2
3
3
5
Las cantidades:
Au = 1875g; Ag= 1875g; Cu = 1250g
625
8
5000
50008
=
=
=
K
K
K

22. PROBLEMA 13
Se ha pagado S/ 37500 por tres parcelas de terreno de 7,5
Ha, 4 Ha y 36000 m2
, respectivamente . Hallar el precio de
cada parcela de terreno.







=
Ha
Ha
Ha
DP
S
6,3
4
5,7
37500/
Los precios:
S/ 18622,5; S/ 9932; S/ 8938,8
2483
1,15
37500
375001,13
=
=
=
K
K
K

23. PROBLEMA 14
La nomina de una empresa asciende a S/ 1,5 millones de
soles. Un doceavo corresponde a los sueldos de los
directivos, tres doceavos a los técnicos y 8 doceavos a los
de obreros. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a
cada grupo?










==
==
==
10000001500000
12
8
3750001500000
12
3
cos
1250001500000
12
1
xObreros
xTecni
xDirectivos
DP Respuesta
Directivos: S/ 125 000
Técnicos: S/375 000
Obreros: S/1000 000

24. PROBLEMA 15
Para fabricar una pieza de tela de 1,10 m x 65 m, se
necesitan 35,75 Kg de algodón. ¿Cuánto pesará una pieza
de tela de la misma clase que mide 0,95 m x 120 m?
xx
Kgx
Directaidadoporcional
⇒
⇒
12095,0
75,356510,1
Pr
Pesará
57 Kg
Kgx
x
xx
x
57
651,1
12095,075,35
=
=

25. PROBLEMA 16
Un grifo arroja 100 litros de agua por minuto y otro arroja
80 litros en el mismo tiempo. ¿ Cuanto tardaran , entre los
dos en llenar un deposito de 540 litros de agua?
litrosx
litrosllenaseuto
En
540
180min1
:
⇒
⇒
Tardarán:
3 minutos
min3
180
540
=
=
x
x

26. PROBLEMA 17
Las ruedas delanteras de una locomotora tiene un radio de
0,45 m y las traseras, 0,65 m ¿Cuántas vueltas darán las
primeras mientras las segundas dan 2600 vueltas?
..PImagnitudesson
vueltasdeNroyruedaladeLongitud
Dará:
3755,5 vueltas
55,3755
45,0
1690
260065,0245.02
=
=
=
K
K
xxxxKxx ππ

27. PROBLEMA 18
Una pieza de cierta aleación metálica contiene 24 g de Cu,
5 g de Sn y 15 g de Ni. Si en la fabricación de un repuesto
se ha invertido 84 Kg de Cu ¿Cuáles son las cantidades de
Sn y Ni empleadas?







=
=
=
=
KNi
KZn
KCu
DP
N
15
5
24
Las cantidades
Zn= 5(3500) = 17500 g
Ni = 15(3500) = 52500 g
3500
8400024
=
=
K
K

28. PROBLEMA 19
Una firma instituye un premio de S/470. para ser distribuido
entre sus trabajadores en orden inverso a las faltas de los
mismos. Al final del semestre este debe distribuirse entre
tres trabajadores que tienen 3; 5 y 4 faltas,
respectivamente. ¿ Cuánto recibe cada una ?







=
4
5
3
470/
IP
S
c/u recibe:
S/ 200; S/ 120; S/150
10
47047
=
=
K
K










=
=
=
=
Kx
Kx
Kx
DP
S
1560
4
1
1260
5
1
2060
3
1
470/

29. PROBLEMA 20
El precio de una casa es D.P. al área e I.P. a la distancia
que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a 65 Km
cuesta S/180000¿Cuánto costará una casa del mismo
material , si su área es el doble y se encuentra a 120 Km
de distancia de Lima ?
Precio:
S/ 195 000
195000Pr
2
120Pr65180000
=
=
ecio
A
eciox
A
x
RAZON
AREA
TANCIAPRECIOxDIS
=

30. PROBLEMA 21
Si “A” es el triple de rápido que “B”. Si juntos pueden hacer
cierto trabajo en 12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A”
hacerlo solo?
cteTxD
INVERSASmagnitudesson
DdiasdeNroyTestrabajadordeNro
=
)()(
Respuesta.
A lo hace en 16 dias
BA 3=
diasD
BxDxB
AxDxBA
16
312)4(
12)(
=
=
=+

31. PROBLEMA 22
Si la magnitud “A” es IP a , además cuando A es igual
a 6 entonces B es igual a 16. Halle B cuando A es igual a
4.
36
4166
=
=
=
B
Bxx
cteBAx
Respuesta
B= 36
B

32. PROBLEMAS 23
• Si las magnitudes son D.P.
Calcular “a + b + c”
Cte
c
b
a
====
5
24
40
9
10
6
24
4010
=
=
a
a
15
24
40
9
=
=
b
b
3
5
24
40
=
=
c
c
Respuesta
24

33. PROBLEMA 24
De la gráfica. Hallar “a + b” Cte
a
b
===
1
3
3
18
6
1
318
=
=
b
b
9
1
3
3
=
=
a
a
Respuesta
15

34. PROBLEMA 25
De la gráfica, hallar “a + b” 24264224 xxbaxx ===
12
4224
=
=
a
axx
8
2426
=
=
b
xxb
Respuesta
20