Este video tutorial explica cómo calcular potencias y la inversa de matrices cuadradas, y resolver ecuaciones matriciales. Presenta un ejemplo resolviendo la ecuación A3X - 4B = 0 para las matrices A y B dadas, encontrando la solución X = [-16, 0; 3, 0].

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: matrices
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
• Calcular las potencias de una matriz cuadrada.
• Calcular la inversa de una matriz cuadrada.
• Resolver una ecuación matricial.

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PROBLEMA RESUELTO: matrices
ENUNCIADO
Sean las matrices 𝐴 =
1 𝑎
0 1
y 𝐵 =
1/2 0
3/4 0
, siendo a un número real cualquiera.
a) Obtenga la matriz 𝐴2014
b) Para a=2, resuelva la ecuación matricial 𝐴3 𝑋 − 4𝐵 = 0

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PROBLEMA RESUELTO: matrices
a) Obtenga la matriz 𝐴2014
Para calcular 𝐴2014, comenzaremos a realizar potencias de A, para ver si éstas siguen algún patrón.
• 𝐴1 = A =
1 𝑎
0 1
• 𝐴2 = 𝐴 ∙ 𝐴 =
1 𝑎
0 1
1 𝑎
0 1
=
1 2𝑎
0 1
• 𝐴3
= 𝐴2
𝐴 =
1 2𝑎
0 1
1 𝑎
0 1
=
1 3𝑎
0 1
Podemos observar que sigue una secuencia lógica y que en general se cumple que
𝐴 𝑛 =
1 𝑛𝑎
0 1

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Éste hecho se puede probar de forma más rigurosa utilizando el método de inducción sobre n. Vamos a probar
que 𝐴 𝑛 =
1 𝑛𝑎
0 1
, utilizando el método de inducción sobre n.
• Etapa base n=1.
En este caso es obvio ya que 𝐴1=
1 𝑎
0 1
=
1 1𝑎
0 1
• Etapa de inducción: Supongamos la hipótesis cierta para un número natural n 𝑛 ≥ 1 y la demostramos para
n+1.
Es decir supongamos que 𝐴 𝑛 =
1 𝑛𝑎
0 1
, y probaremos que 𝐴 𝑛+1 =
1 (𝑛 + 1)𝑎
0 1
𝐴 𝑛+1
= 𝐴 𝑛
𝐴 =
1 𝑛𝑎
0 1
1 𝑎
0 1
=
1 𝑛 + 1 𝑎
0 1

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En consecuencia queda demostrado por inducción que
𝐴 𝑛 =
1 𝑛𝑎
0 1
∀𝑛 ∈ ℕ
Por lo tanto para n=2014 tenemos:
𝐴2014 =
1 2014𝑎
0 1

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b) Para a=2, resuelva la ecuación matricial 𝐴3 𝑋 − 4𝐵 = 0
Recordemos que por lo demostrado anteriormente tenemos que:
𝐴3 =
1 3𝑎
0 1
=
1 6
0 1
Para resolver la ecuación bastará con considerar:
𝐴3 𝑋 − 4𝐵 = 0 𝐴3 𝑋 = 4𝐵
Por lo tanto despejando X tenemos:
𝑋 = 𝐴3 −1
4𝐵
a=2

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Realizamos los cálculos de las matrices que aparecen en ese producto:
• 𝐴3 −1
=
1 6
0 1
−1
Recordemos que una matriz N tiene inversa si y sólo si 𝑁 ≠ 0, y en tal caso la inversa viene dada por:
𝑁−1
=
1
𝑁
𝐴𝑑𝑗𝑁 𝑡
Como
1 6
0 1
= 1 ≠ 0, la matriz 𝐴3 tiene inversa y su inversa vendrá dada por: 𝐴3 −1 =
1
𝐴3 𝐴𝑑𝑗𝐴3 𝑡
La matriz adjunta viene determinada por la matriz que resulta de cambiar cada elemento por el determinante
que resulta de eliminar su fila y su columna

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Por lo tanto:
𝐴𝑑𝑗 𝐴3 =
1 0
−6 1
En consecuencia:
𝐴3 −1 =
1
1
1 0
−6 1
𝑡
=
1 −6
0 1
• 4𝐵 = 4
1/2 0
3/4 0
=
2 0
3 0
Finalmente, tenemos:
𝑋 = 𝐴3 −1
4𝐵 =
1 −6
0 1
2 0
3 0
=
−16 0
3 0
FIN