El tutorial explica cómo calcular la inversa de una matriz utilizando determinantes. Se verifica que la matriz es invertible al observar que su determinante es distinto de cero y se presenta paso a paso el cálculo del adjunto y de la inversa. Además, se destaca la importancia de los signos alternos en la matriz adjunta durante el proceso de cálculo.

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Problemas resueltos: matrices
CONTENIDO DE ESTE VÍDEO TUTORIAL
En este vídeo vas a aprender a calcular la inversa de una
matriz usando determinantes.
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Enunciado:
Calcula la inversa de la matriz 𝐴 =
3 −2 1
1 −1 1
2 0 3
usando determinantes.

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Recordemos que una matriz cuadrada A, tiene inversa sí y sólo sí cumple que
det 𝐴 ≠ 0
Y en tal caso la inversa de la matriz viene determinada por:
𝐴−1
=
1
det(𝐴)
𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑡
Donde Adj(A) es la matriz adjunta de A, es decir la matriz que se obtiene
sustituyendo cada elemento por su adjunto.
Veamos como se calcula la inversa de la matriz A del enunciado utilizando esta
fórmula:

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Calculamos en primer lugar el determinante de A, para saber si la matriz A tiene
inversa o no.
det 𝐴 =
3 −2 1
1 −1 1
2 0 3
= −5
Como el determinante de A es distinto de cero, se tiene que la matriz A es
invertible, es decir tiene inversa.
Vamos a calcular su inversa utilizando la fórmula que hemos visto anteriormente:

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Recordamos que
𝐴𝑑𝑗 𝐴 =
𝑎𝑑𝑗(3) 𝑎𝑑𝑗(−2) 𝑎𝑑𝑗(1)
𝑎𝑑𝑗 1 𝑎𝑑𝑗 −1 𝑎𝑑𝑗(1)
𝑎𝑑𝑗(2) 𝑎𝑑𝑗(0) 𝑎𝑑𝑗(3)
Observamos que el adjunto de un elemento viene determinado por el
determinante que surge de eliminar su fila y su columna. Ese determinante irá
multiplicado por un factor del tipo −1 𝑖+𝑗
, siendo i la fila y j la columna del
elemento.
En la práctica, los adjuntos van con signos alternos, comenzando por el primero
que no cambia el signo.

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Por ejemplo para hallar el adjunto del primer elemento, es decir el que ocupa la
posición (1,1) sería:
3 −2 1
1 −1 1
2 0 3
Por lo que el adjunto vendrá dado por el determinante de los elementos que están
sin tachar.
𝑎𝑑𝑗 3 =
−1 1
0 3
= −3
Para el segundo elemento, realizamos la misma operación eliminando su fila y su
columna, y teniendo en cuenta que en esta ocasión hay que cambiarle el signo, por
lo que tendríamos:
𝑎𝑑𝑗 2 = −
1 1
2 3
= −1

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Tenemos que prestar especial atención a los signos de la matriz adjunta, ya que
éstos van alternándose.
De esta forma los elementos a los que al eliminar sus filas y sus columnas hay que
cambiarles el signo son los siguientes:
+ − +
− + −
+ − +
Se cambiarían los que van indicados con un signo negativo en la matriz anterior.

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De esta forma tendríamos:
𝐴 =
−1 1
0 3
−
1 1
2 3
1 −1
2 0
−
−2 1
0 3
3 1
2 3
−
3 −2
2 0
−2 1
−1 1
−
3 1
1 1
3 −2
1 −1
Por lo tanto tenemos que:
𝐴𝑑𝑗 𝐴 =
−3 −1 2
6 7 −4
−1 −2 −1

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Por lo tanto si observamos la fórmula del cálculo de la inversa de la matriz,
tendremos que:
𝐴−1 =
1
det(𝐴)
𝐴𝑑𝑗(𝐴) 𝑡 =
1
−5
−3 −1 2
6 7 −4
−1 −2 −1
𝑡
Por lo que se tiene que:
𝐴−1 =
1
−5
−3 6 −1
−1 7 −2
2 −4 −1
=
1
5
3 −6 1
1 −7 2
−2 4 1
Nótese que podemos comprobar que el resultado es correcto comprobando que:
𝐴. 𝐴−1 = 𝐼