1. El documento habla sobre los números enteros, incluyendo su definición, operaciones como suma, resta, multiplicación y división, y conceptos como valor absoluto, potencias, raíces y divisibilidad. 2. Explica cómo calcular el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números enteros a través de la descomposición en factores primos. 3. Incluye criterios de divisibilidad y un ejemplo para determinar si un número es divisible por otros enteros.

1. 1 Números enteros En el manejo del dinero aparecen situaciones en las que tienes dinero y otras en las que lo debes. Estas y otras situaciones han dado lugar a los números enteros. Los mercaderes fueron los primeros en utilizar el cero y los números negativos. INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA ACTIVIDAD

2. La criba de Eratóstenes Busca en la web Enlace a configuraciones de tablas numéricas Enlace a la historia de Eratóstenes 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

3. Esquema de contenidos Números enteros Definición Valor absoluto Operaciones Suma y resta Multiplicación y división Potencias de números enteros Base y exponente de una potencia Operaciones con potencias Raíces cuadradas Raíces exacta y entera Divisibilidad entre enteros Múltiplo y divisor Criterios de divisibilidad MCD y MCM Operaciones combinadas Jerarquía de las operaciones

4. El conjunto de números enteros se representa con la letra Z y está formado por: - Números enteros positivos : +1, +2, +3, +4, +5, … - El número cero: 0 - Números enteros negativos : -1, -2, -3, -4, -5, … Los números enteros SIGUIENTE

5. El valor absoluto de un número entero es el número que resulta de prescindir de su signo. Se escribe: El opuesto de un número entero es otro número con el mismo valor absoluto pero de signo contrario. 1 5 10 4 3 - 1 5 - 10 - 4 3 a Valor absoluto

6. Para sumar dos números enteros se procede de la forma siguiente: Ejemplo 1: Dos sumandos con el mismo signo Haz tú los cálculos. Ejemplo 2: Dos sumandos con diferente signo Suma y resta de números enteros SIGUIENTE

7. Para dividir dos números enteros, se dividen sus valores absolutos y se añade el signo + si son de igual signo, o el signo – si son de diferente signo. Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos y se añade el signo + si son de igual signo, o el signo – si son de diferente signo. Producto y división de números enteros

8. Potencia de números enteros Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: a es la base y n es el exponente . Conclusión: Si la base es positiva la potencia es positiva. Si la base es negativa y el exponente par, la potencia es positiva. Si la base es negativa y el exponente impar, la potencia es negativa.

9. Operaciones con potencias: producto y cociente de potencias de la misma base Para multiplicar potencias de la misma base: Para dividir potencias de la misma base: SIGUIENTE

10. Operaciones con potencias: producto y cociente de potencias de la misma base Para multiplicar potencias de la misma base: Para dividir potencias de la misma base: Entonces: SIGUIENTE

11. Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia: Por la definición: Utilizando la propiedad: SIGUIENTE

12. Potencia de una multiplicación y de una división La potencia de una multiplicación es: La potencia de una división es: SIGUIENTE

13. Potencia de una multiplicación y de una división Por la propiedad Por la definición SIGUIENTE

14. Potencia de una multiplicación y de una división Por la propiedad Por la definición SIGUIENTE

15. Potencia de una multiplicación y de una división Por la propiedad Por la definición SIGUIENTE

16. Potencia de una multiplicación y de una división Por la propiedad Por la definición

17. Raíz cuadrada La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b tal que al elevarlo al cuadrado, se obtiene el número a . Se escribe: donde a es el radicando , b es la raíz . Los números que tienen raíz cuadrada exacta se dice que son cuadrados perfectos .

18. Jerarquía de las operaciones En una expresión pueden aparecer diversas operaciones combinadas . Para hallar el valor de la misma, se ha de seguir estrictamente el siguiente orden en su cálculo: 1.º Las operaciones que estén incluidas entre paréntesis . 2.º Las potencias y las raíces . 3.º Los productos y las divisiones , de izquierda a derecha. 4.º Las sumas y las restas , de izquierda a derecha. SIGUIENTE

19. Jerarquía de las operaciones Ejemplo: 1 º 2 º 3 º 4 º SIGUIENTE

20. Jerarquía de las operaciones Ejemplo: 1 º 2 º 3 º 4 º SIGUIENTE

21. Jerarquía de las operaciones Ejemplo: 1 º 2 º 3 º 4 º SIGUIENTE

22. Jerarquía de las operaciones Ejemplo: 1 º 2 º 3 º 4 º SIGUIENTE

23. Jerarquía de las operaciones Ejemplo: 1 º 2 º 3 º 4 º SIGUIENTE

24. Jerarquía de las operaciones Ejemplo: 1 º 2 º 3 º 4 º SIGUIENTE

25. Jerarquía de las operaciones Ejemplo: 1 º 2 º 3 º 4 º

26. Si la división a: b es exacta (su resto es cero), podemos afirmar: a es divisible por b a es múltiplo de b b es divisor de a Un número es primo cuando es positivo y sus únicos divisores positivos son él mismo y la unidad. Divisibilidad entre números enteros

27. Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer si un número es divisible por otro. Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es 0 o múltiplo de 11. 11 Si la última cifra es 0. 10 Si la última cifra es 0 o 5. 5 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 3 Si la última cifra es 0 o par. 2 CRITERIO DIVISIBLE POR… SIGUIENTE

28. Criterios de divisibilidad Ejemplo: Decir si el número 4.521 es divisible por 2, 3, 5, 10 y 11 Divisible por 2 : no lo es por que no acaba en 0 o en número par. Divisible por 3 : sí, porque la suma de las cifras es múltiplo de 3 (4 + 5 + 2 + 1 = 12). Divisible por 5 : no, porque su última cifra no es 0 o 5. Divisible por 10 : no, porque su última cifra no es 0 . Divisible por 11 : sí, porque (4 + 2) -(5 + 1) = 0. Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es 0 o múltiplo de 11. 11 Si la última cifra es 0. 10 Si la última cifra es 0 o 5. 5 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 3 Si la última cifra es 0 o par. 2 CRITERIO DIVISIBLE

29. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo El m.c.d. de varios números se obtiene descomponiendo en factores primos los números y multiplicando los factores primos comunes elevados al menor exponente. El m.c.m. de varios números se obtiene descomponiendo en factores primos los números y multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. SIGUIENTE

30. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Vamos a calcular el m.c.m. y el m.c.d. Ejemplo: Hallar el m.c.m. y el m.c.d. de -16 y 12. 12 6 3 1 2 2 3 16 8 4 2 1 2 2 2 2 m.c.d. (12, -16) = m.c.d. (12, 16) = 2 2 = 4 m.c.m. (12, -16) = m.c.m.(12, 16)= 2 4 · 3 = 48

31. Enlaces de interés Curiosidades con números enteros IR A ESTA WEB Retos matemáticos IR A ESTA WEB

32. Actividad: Los números triangulares Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad1aa.htm Realiza esta actividad de la sucesión de los números triangulares. Para trabajar con ella, sigue este enlace .