Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros y pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica. Los números reales incluyen tanto a los números racionales como a los números irracionales, que no pueden expresarse como fracciones de números enteros. El conjunto de números reales es denso, ordenado y completo.

2. Los Números Racionales
Son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números
enteros, tal como :
3/4, -21/3, 5, 0, 1/2.
Los números racionales también pueden describirse como aquellos
cuya, representación decimal es eventualmente periódica
Ejemplos:
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del
tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6
(repite 714285).
es irracional y su expansión decimal es aperiódica.
Es importante tener en cuenta que, mientras que en los números enteros
cada número tiene un siguiente (-1, 0, 1, 2, 3, 4…), existen infinitos números
entre cada número racional.

3. Representación racional de los números decimales
Todo número decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera:
• Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión
decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno
seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo:
• Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico
tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y
la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras
tiene el periodo. Ejemplo:
• Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia
entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma, y b es el número sin
la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El
denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos
"0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el
número entonces y, p
or lo que el número buscado será .

4. • Un Número Irracional
Es cualquier número real que no es racional, es decir, es
un número que no puede ser expresado como una
fracción , donde m y n son enteros, con n diferente de
cero y donde esta fracción es irreducible.
• Con números reales pueden realizarse todo tipo de
operaciones básicas con dos excepciones importantes:
• No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas,
sextas, etc.) de números negativos en números reales,
(aunque sí existen en el conjunto de los números
complejos donde dichas operaciones sí están
definidas).
• La división entre cero no está definida (pues cero no
posee inverso multiplicativo, es decir, no existe
número x tal que 0·x=1).

5. NUMEROS
REALES

6. • Los números reales son los que pueden ser
expresados por un número entero (3, 28, 1568) o
decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir
que abarcan a los números racionales (que pueden
representarse como el cociente de dos enteros con
denominador distinto a cero) y los números
irracionales (los que no pueden ser expresados como
una fracción de números enteros con denominador
diferente a cero como ).

7. • El conjunto de números reales es un conjunto numérico
denso ordenado y completo:
• Denso: entre 2 números reales siempre existen otros números
reales
• Orden: dados 2 números reales siempre se puede identificar
cual es el mayor
• Completo: se puede establecer una equivalencia directa entre
los puntos de la recta y los números reales
Además como todo conjunto numérico es infinito. Inclusive
podemos decir que entre 2 números consecutivos existen
infinitos números reales

9. Operaciones
Suma de números reales
– Propiedades
1.Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número
real.
a+b
2.Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
3.Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a+b=b+a

10. 4.Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque
todo número sumado con él da el mismo número.
a+0=a
5.Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos
obtenemos como resultado el cero.
e−e=0

11. Diferencia de números reales
• La diferencia de dos números reales se define
como la suma del minuendo más el opuesto del
sustraendo.
a − b = a + (−b)

12. Producto de números reales
La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue
manteniendo con los números reales.
Propiedades
• 1.Interna: El resultado de multiplicar dos números reales es otro
número real.
a·b
• 2.Asociativa:El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y
c son números reales cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
• 3.Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.
a·b=b·a
• 4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la
multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo
número.
a ·1 = a

13. • 5. Elemento inverso: Un número es inverso del otro si al
multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad.
• 6.Distributiva: El producto de un número por una suma es
igual a la suma de los productos de dicho número por cada
uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
• 7.Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad
distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común,
podemos transformar la suma en producto extrayendo
dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)

14. División de números reales
• La división de dos números reales se define como el
producto del dividendo por el inverso del divisor.

15. Modulo
• Llamamos módulo o valor absoluto de un número real x a la
distancia entre dicho numero y cero. Lo simbolizamos así: I x I.
• Definición algebraica:

16. Propiedades fundamentales:
|x / y| = |x|
|-x| = |x|

17. Integrantes
Bruno Müller
Lucas Gordillo
Roció Gorriti
Juan Muñoz
Carla Gómez
Bibliografía: Matemática 1 Santillana