Este documento presenta una serie de ejercicios sobre estructuras discretas II propuestos a un estudiante. Incluye problemas sobre grafos y dígrafos como encontrar matrices de adyacencia e incidencia, determinar si son conexos, simples, regulares o completos, y encontrar cadenas, ciclos, árboles generadores y distancias mínimas usando algoritmos como el constructor y Dijkstra. El estudiante debe resolver los ejercicios y mostrar las soluciones.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE EDUACION Y DEPORTE
FACULTAD DE INGENIERIA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO (CABUDARE)
ESTRUCTURAS DISCRETAS II
INTEGRANTE:
PEDRO GONZALEZ CI: 18102818
MATERIA: ESTRUCTURAS DISCRETAS II
PROFESOR: EDECIO FREITEZ
SAIA
CABUDARE; 15 DE NOVIEMBRE DE 2012

2. EJERCICIOS PROPUESTOS:
1) Dado el siguiente grafo, encontrar:
a) Matriz de adyacencia.
b) Matriz de incidencia.
c) Es conexo?. Justifique su respuesta.
d) Es simple?. Justifique su respuesta.
e) Es regular? Justifique su respuesta.
f) Es completo? Justifique su respuesta.
g) Una cadena simple no elemental de grado 6.
h) Un ciclo no simple de grado 5.
i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor.
j) Subgrafo parcial.
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.
l) Demostrar si es hamiltoniano.

3. Solución:
A) Matriz de adyacencia:
La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada A, cuyas entradas aij es el
número de aristas que van desde el vértice vi hasta el vértice vj.
A=

4. B) Matriz de incidencia:
La matriz de incidencia es una matriz M cuyas entradas mij es el número de
veces que la arista j incide en el vértice i.
C)Es conexo?. Justifique su respuesta:
El grafo dado es conexo ya que existe una cadena o camino entre cualquier
par de vértices.
D)Es simple?. Justifique su respuesta:
El grafo es simple porque no tiene ciclos y no existe más de una arista
uniendo par de vértices, es decir para cada par de vértices que están unidos,
esta unión se realiza a través de una sola arista.
E)Es regular? Justifique su respuesta:
El grafo no es regular ya que el grado de incidencia del vértice v1 es 5 y el
grado de incidencia del vértice v3 es de 6 y para que un grafo sea regular
todos los vértices deben tener el mismo grado de incidencia.

5. F)Es completo? Justifique su respuesta:
Para que el grafo sea completo cada vértice debe estar conectado a cualquier
otro vértice distinto, el vértice v1 no está conectado al vértice v5, por lo tanto
el grafo dado no es completo.
G)Una cadena simple no elemental de grado 6:
Una cadena simple no elemental (repite el vértice v3) de grado 6 es : v1 a1
v2 a3 v3 a7 v6 a20 v8 a18 v7 a12 v3.
H)Un ciclo no simple de grado 5:
Un ciclo no simple de grado 5 es (repite la arista a19): v5 a19 v8 a18 v7 a17
v5 a19 v8 a9 v2.
I) Árbol generador aplicando algoritmo constructor:
Paso1: Elegir s1=v1, y colocamos h1={v1}.
Paso2: Elegir la arista a4 que conecta a v1 con v4 colocamos h2={v1,v4}.
.v1
a4
. v4

6. Paso3: Elegir la arista a15 que conecta v4 con v7 y colocamos
h3={v1,v4,v7}.
V1
a4
V1
a15
V7
Paso 4: Elegir la arista a17 que conecta v7 con v5 y colocamos
h4={v1,v4,v7,v5}
V1
a4
V5
V4
a17
a15
V7

7. Paso 5: Elegir la arista a19 que conecta v5 con v8 y colocamos
h5={v1,v4,v7,v5, v8}.
V1
a4
V5
V4
a19
a15 a17
V7 V8
Paso 6: Elegir la arista a20 que conecta v8 con v6 y colocamos
h6={v1,v4,v7,v5, v8,v6}.
V1
a4
V5
V4 V6
a19
a20
a17
a15
V8
V7

8. Paso 7: Elegir la arista a10 que conecta v6 con v2 y colocamos
h7={v1,v4,v7,v5, v8,v6,v2}.
V2
a10
Paso 8: Elegir la arista a3 que conecta v2 con v3 y colocamos
h8={v1,v4,v7,v5, v8,v6,v2, v3}
Para así obtener el árbol generador.
V3
a3

9. J) Subgrafo parcial: Con V={v1 v4 v3 v2} y A={a4 a2 a11 a3 a1}
obtenemos el subgrafo parcial
V1
a1
V2
a2
a4 a3
V3
a11
V4
K) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury:
El grafo no es euleriano porque no es posible construir un ciclo euleriano, ya
que, no todos los vértices tienen grado par.

10. L) Demostrar si es Hamiltoniano:
El número de vértices del grafo es 8, el grado de v1 es Gr(v1)≥4, el de v2 e s
Gr(v2)≥4, Gr(V8)≥4, y el grafo es simple, por lo tanto el grafo es
Hamiltoniano. Un Ciclo hamiltoniano es:
a2

11. 2) Dado el siguiente dígrafo:
a) Encontrar matriz de conexión.
b) Es simple?. Justifique su respuesta.
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5.
d) Encontrar un ciclo simple.
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de
accesibilidad.
f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el
algoritmo de Dijkstra.
Ponderación de las aristas:
Aristas: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
Ponder.: 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3

12. SOLUCIÓN:
A) Matriz de conexión:
B) Es simple?
Como el dígrafo no tiene lazos ni arcos paralelos, el dígrafo es
simple.
C) Encontrar una cadena no simple elemental de grado 5:
Una cadena no simple, no elemental de grado 5 es:
C=[v5 a13 v6 a14 v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5].
D) Encontrar un Ciclo simple:
C=[v1 a1 v2 a3 v4 a9 v1].

13. E) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de
accesibilidad:

14. F) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el
algoritmo de Dijkstra:
Sea la distancia di la distancia más corta del vértice vi al vértice v2
Paso 1:D0(v2)=0.
U0=v2
Paso 2:D1(v1)=min(Inf,Inf)=Inf.
D1(v3)=min(Inf,3)=3.
D1(v4)=min(Inf,4)=4.
D1(v5)=min(Inf,Inf)=Inf.
D1(v6)=min(Inf,3)=3.
U1=v3.D1(U1)=3.
Paso 3:D2(v1)=min(Inf,3+Inf)=Inf.
D2(v4)=min(4,3+1)=4.
D2(v5)=min(Inf,3+4)=7.
D2(v6)=min(Inf,3)=3.
U2=v6;D2(U2)=3.
Paso 4:D3(v1)=min(Inf,3+Inf)=Inf.
D3(v4)=min(4,3+Inf)=Inf.
D3(v5)=min(7,3+3)=6.
U3=v4; D3(U3)=4.

15. Paso 5:D4(v1)=min(Inf, 4+4)=8
D2(v5)=min(6,4+Inf)=6.
U4=v5; D4(U4)=6;
Paso 6: D5(v1)=min(8,6+Inf)=8.
U5=v1; D5(v1)=8.
Por lo tanto D(v2,v1)=8, D(v2,v2)=0, D(v2,v3)=3, D(v2,v4)=4,
D(v2,v5)=6 y D(v2,v6)=3.