Este documento presenta la resolución de varios problemas sobre grafos y dígrafos. En la primera sección, se analiza un grafo no dirigido y se calculan su matriz de adyacencia y de incidencia, se demuestra que es conexo pero no regular ni completo, y se encuentran un árbol generador, un subgrafo parcial y se verifica si es euleriano o hamiltoniano. En la segunda sección, se estudia un dígrafo donde se calcula su matriz de conexión, se encuentran cadenas y ciclos, y se demuestra que es fuer

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN GENERAL
ESCUELA DE INGENIERÍA
CABUDARE
Fabio rodriguez ci:18.735.056
Estructuras Discretas II -2015/04- Freitez Edecio -SAIA B

2. 1- Dado el siguiente grafo, encontrar:
a)Matriz de Adyacencia
b) Matriz de incidencia
c) Es conexo?. Justifique su respuesta
d) Es simple?. Justifique su respuesta
e) Es regular?. Justifique su respuesta
f) Es completo? Justifique su respuesta
g) Una cadena simple no elemental de grado 6
h) Un ciclo no simple de grado 5
i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor
j) Subgrafo parcial
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
l) Demostrar si es hamiltoniano

3. Solución
a) Matriz de Adyacencia
Ma (G)=
b) Matriz de Incidencia
Mi (G) =
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 1 0 6 1 1
V2 1 0 1 0 1 1 0 1
V3 1 1 0 1 1 1 1 0
V4 1 0 1 0 1 0 1 0
V5 0 1 1 1 0 1 1 1
V6 0 1 1 0 1 0 0 1
V7 1 0 1 1 1 0 0 1
V8 1 1 0 0 1 1 1 0
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
A1 1 1 0 0 0 0 0 0
A2 1 0 1 0 0 0 0 0
A3 0 1 1 0 0 0 0 0
A4 1 0 0 1 0 0 0 0
A5 1 0 0 0 1 0 0 0
A6 1 0 0 0 0 0 1 0
A7 0 0 1 0 0 0 0 1
A8 0 1 0 0 0 1 0 0
A9 0 1 0 0 0 0 1 0
A10 0 1 0 0 0 0 0 1
A11 0 0 1 1 0 0 0 0
A12 0 0 1 0 1 0 0 0
A13 0 0 1 0 0 1 0 0
A14 0 0 0 1 0 1 0 0
A15 0 0 0 1 1 0 0 0
A16 0 0 0 0 0 1 0 1
A17 0 0 0 0 1 1 0 0
A18 0 0 0 0 1 0 1 0
A19 0 0 0 0 0 1 1 0
A20 0 0 0 0 0 0 1 1

4. c) Es conexo?
Si es Conexo, ya que según la definición, nos dice que para cualquier par
de vértices a y b en (G) existe al menos una trayectoria de (a) a (b) donde
tienen un camino que los une.
d) Es Simple?
Si es simple, ya que no posee lazos en ninguno de sus vértices.
e) Es Regular?
Para que sea regular deben poseer los mismos grados y en este caso, No
es regular, ya que no todos sus vértices tienen los mismos grados, como:
V1= 5, V2= 5, V3= 6, V4= 4, V5= 6, V6= 4, V7= 5, V8= 5
f) Es Completo?
No es completo, ya que no cumple con la definición de una arista pues, no
existen vértices, digamos (V1 y V6) no posee ninguna arista que los
conecte.
g) Una cadena simple no elemental de grado 6
C=[v1 a1 v2 a10 v6 a16 v5 a14 v4 a11 v3 a3 v2] Nos indica que no es
elemental, ya que repite el vértice [v2]
h) Un ciclo no simple de grado 5
C= [v5 a19 v8 a18 v7 a17 v5 a19 v7 a9 v2] Nos indica que no es simple,
porque repite la arista [a19].
i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor
Elegimos S1=V1 Haciendo H1=[V1]
Elegimos la arista A4 que conecta a V1 con V4 haciendo H2=[v1,v4]

5. V1
A4
V4
Elegimos la arista a15 que conecta a V4 con V7 haciendo H3=[v1 v4
v7]
V1
A4
V4
A15
V7
Eligimos la arista a17 que coneta a V7 con V5 haciendo H4[v1 v4 v5]
V1
A4
V5
V4 A17
A15
V7

6. Elegiremos la arista A19 que conecta a V5 con V8 haciendo H5=[v1
v4 v8]
V1
A4
V5
A19
V4 A17
A15 V8
V7
Elegiremos la arista A20 que conecta V8 con V6 haciendo H6=[V1 v4
v7 v5 v8 v6]
V1
A4
V5 V6
A19
V4 A17 A20
A15 V8
V7
Elegiremos la arista A10 que conecta a V6 con V2 haciendo H7=[v1
v4 v7 v5 v8 v6 v2]
V2
V1 A10
A4
V5 V6
A19
V4 A17 A20
A15 V8
V7

7. Elegiremos la arista A3 que conecta a v2 con v3 haciendo H8=[v1 v4
v7 v5 v8 v6 v2 v3]
V3 A3 V2
V1 A10
A4
V5 V6
A19
V4 A17 A20
A15 V8
V7
Árbol Generador
j) Subgrafo parcial
V1 v2
V3
A2
a3
v4
v6 v8
a15
v5 a17 a20
v7

8. k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
Seleccionamos a1

9. Seleccionamos a3
Seleccionamos a2
Seleccionamos a4

10. Seleccionamos a11
Seleccionamos a12
Seleccionamos a5

11. Seleccionamos a6
Seleccionamos a9
Seleccionamos a10

12. Seleccionamos a7
Seleccionamos a13
Seleccionamos a14

13. Seleccionamos a15
Seleccionamos a18
Seleccionamos a20

14. Seleccionamos a16
El grafo no es auleriano, ya que los vértices no tienen grado par, lo cual no es
posible construir un ciclo euleriano.
l) Demostrar si es hamiltoniano
V1 v2
A2
A3
A14 v3 a10
V4 v5 v6
A15 a17 a19 a20
V7 v8
Es Hamiltoniano ya que el número de vértices de G en 8, Gr (v1) ≥ 8/2=4
(i=1,2,8)

15. 2- Dado el siguiente dígrafo
a) Encontrar matriz de conexión
b) Es simple? Justifique su respuesta
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
d) Encontrar un ciclo simple
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo
de Dijkstra
a) Encontrar matriz de conexión
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14
V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

16. b) Es simple? Justifique su respuesta
El dígrafo si es simple, porque no tiene ningún lazo y tampoco existen
arcos paralelos que puedan partir de un mismo vértice a otro.
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
v1
v4
a6 a11 a12
a13
v5 v6
a14
C= [v1 a6 v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5 a13 v6]
d) Encontrar un ciclo simple
V4
A11 a12
V5
A14
C=[ v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5 ]
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
Ma(D)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0

17. M ² (D)=
M ³ (D)=
M ⁴ (D)=
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 0 1 1 1 1
V2 1 0 0 1 1 1
V3 1 1 0 1 0 1
V4 0 1 1 0 1 0
V5 1 0 1 1 1 1
V6 0 1 0 1 0 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 0 1 1
V4 0 1 1 1 1 1
V5 0 1 1 1 1 1
V6 1 0 1 1 0 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 0 1 1 1 1
V3 0 1 1 1 1 1
V4 1 1 0 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1

18. M ⁵ (D)=
Acc (D)= Bin
Componentes iguales a cero (0) permanecerá como cero (0)
Componentes diferentes de cero (0) se convertirá en uno (1)
Acc (D)= Bin
Dígrafo Fuertemente Conexo
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 3 4 5 4 5 4
V2 4 2 5 5 5 5
V3 3 4 3 4 4 4
V4 4 4 3 5 4 4
V5 3 4 4 5 4 5
V6 3 3 3 4 1 4
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 1 1

19. f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo
de Dijkstra
[2,2](1) v1 a1 v2 [0],(0)
A6
A5 [3,2](1) a2 a3 a4
A9
V3 v4
A7 a12
A10 a11
V6 [3,2](1)
[3,2](1) V5 a13 a14
Dv2 a v1: 2
Dv2 a v3: 3
Dv2 a v5: 3
Dv2 a v4: 4
Dv2 a v6: 3
Ponderación de las aristas
Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
Ponder. 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3