Este documento presenta ejercicios propuestos sobre estructuras discretas II para el estudiante José Pérez. Incluye la resolución de varios problemas sobre grafos y dígrafos, como encontrar la matriz de adyacencia y matriz de incidencia de un grafo, determinar si es conexo, simple o regular. También cubre temas como encontrar un árbol generador, demostrar si un grafo es Euleriano o Hamiltoniano, y calcular la distancia entre vértices en un dígrafo usando el algoritmo de Dijkstra.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación Superior
Universidad “Fermín Toro”
Cabudare-Lara
José Pérez
C.I.18884212
Ejercicios propuestos
Asignatura: Estructuras Discretas II
Profesor: Barreto Adriana
(Dígrafos)

2. 2
Dado el siguiente grafo:
1. Matriz de Adyacencia:
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
V1 0 1 1 1 0 0 1 1
V2 1 0 1 0 1 1 0 1
V3 1 1 0 1 1 1 1 0
V4 1 0 1 0 1 0 1 0
V5 0 1 1 1 0 1 1 1
V6 0 1 1 0 1 0 0 1
V7 1 0 1 1 1 0 0 1
V8 1 1 0 0 1 1 1 0
Ma(G)=

3. 3
2. Matriz Incidencia:
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20
V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
V5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
V6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
V7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
V8 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
 Es conexo? Justifique su respuesta.
o Si es conexo ya que para todo par de vértices existe un camino o
conexión.
 Es simple? Justifique su respuesta
o Si es simple ya que no posee lazos ni aristas paralelas
 Es regular? Justifique su respuesta
o El grafo no es regular porque no posee el mismo grado en todos
sus vértices
o Gr (V1)= 5
o Gr (V2)= 5
o Gr (V3)= 6
o Gr (V4)=4
 ¿Es completo? Justifique su respuesta.
o El grafo no es completo porque existen pares de vértices entre los
cuales no hay aristas, por ejemplo entre V1 y V5.
 Una cadena simple no elemental de grado 6
o C=[V1,a1,v2,a8,v5,a13,v3,a12,v7,a18,v8,a9,v2]
 Un ciclo no simple de grado 5
o C[v2,a10,v6,a20,v8,a19,v5,a16,v6,a10,v2]
Mi(G)=

4.  Árbol generador aplicando el algoritmo constructor.
Primer paso: seleccionamos el vértice V1 entonces H1= {V1}
Segundo paso: seleccionamos la arista A1 entonces H2= {V1,V2}
A1
Tercer paso: seleccionamos la arista A3 entonces H3={V1,V2,V3}
A1
A3
Cuarto paso: seleccionamos la arista A11 entonces H4={V1,V2,V3,V4}
4
V1 V2
V1 V2
V3
V1
A1
V3
V2
V4
A3
A11

5. Quinto paso: seleccionamos la arista A14 entonces
H5={V1,V2,V3,V4,V5}
Sexto paso: seleccionamos la arista A16 entonces H6={V1,V2,V3,V4,V5,V6}
Séptimo paso: seleccionamos la arista A20 entonces
H7={V1,V2,V3,V4,V5,V6,V8}
5
V1
A1
V2
V4
A3
A11
V3
V5
A14
V1
A1
V2
V4
A3
A11
V3
V5
A14
V6
A16
V4 A14
V6
V1
A1
V2
V4
A3
A11
V3
V5
A14
V6
A16
A20
V8

6. Octavo paso: seleccionamos la arista A20 entonces H7={V1,V2,V3,V4,V5,V6,V8,V7}
6
V1
a) Subgrafo parcial
A1
V2
V4
A3
A11
V3
V5
A14
V6
A16
A20
V7 V8
A18
V1
V3
V2
V4 V5 V6
V7
V8
A2 A3
A15
A17
A19
A20

7. b) Demostrar si es Euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
Luego de aplicar el Algoritmo de Fleury se puede concluir que el grafo no es
Euleriano ya que se repiten aristas en el recorrido
7
c) Demostrar si es Hamiltoniano
C=[V1,A3,V2,A10,V6,A20,V8,A19,V5,A17,V7,A15,V4,A11,V3,A2,V1]
V1
A11
A2
Dado el siguiente dígrafo:
V3
V2
V4 V5 V6
V7
V8
A3
A10
A20
A19
A15 A17

8. 8
 Encontrar la matiz de conexión:
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0
a) ¿Es simple? Justifique su respuesta
El dígrafo es simple porque no tiene lazos ni arcos paralelos.
b) Encontrar una cadena no simple elemental de grado 5
C= [V4, a9, V1, a5, V3, a8, V4, a9, V1, a6, V5]
c) Encontrar un ciclo simple
C=[V2, a3, V4, a12, V6, a14, V5, a10, V2 ]
d) Demostrar si es fuertemente conexo utilizándola matriz accesibilidad
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 1 1 0 1 0
V2 0 0 1 1 0 1
V3 0 0 0 1 1 0
V4 1 0 0 0 0 1
V5 0 1 0 1 0 1
V6 0 0 0 0 1 0
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 0 0 1 1 1 1
V2 1 0 0 1 1 1
V3 1 1 0 1 0 1
V4 0 1 1 0 1 0
V5 1 0 1 1 1 1
V6 0 1 0 1 0 1
Mc(D)=
Mc(D)=
푀2(D)=

9. V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 0 1 1
V4 0 1 1 1 1 1
V5 0 1 1 1 1 1
V6 1 0 1 1 0 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 0 1 1 1 1
V3 0 1 1 1 1 1
V4 1 1 0 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 0 1
9
Se calcula la matriz aplicando la formula:
Acc(Ds) = bin [ In + M + M 2 + ...+M n-1 ]
En Este caso seria:
Acc(D) = bin [I6+ M+ 푀2+푀3+푀4 + 푀5]
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 3 4 5 4 5 4
V2 4 2 5 5 5 5
V3 3 4 3 4 4 4
V4 4 4 3 5 4 4
V5 3 4 4 5 4 5
V6 3 3 3 4 1 4
푀3(D)=
푀4(D)=
푀5(D)=
Acc (D)= bin

10. Por ultimo transformamos la matriz aplicando las siguientes normas:
Componente que sea igual a 0, permanece como 0
Componente que sea diferente de 0, convertirla a 1.
V1 V2 V3 V4 V5 V6
V1 1 1 1 1 1 1
V2 1 1 1 1 1 1
V3 1 1 1 1 1 1
V4 1 1 1 1 1 1
V5 1 1 1 1 1 1
V6 1 1 1 1 1 1
Se puede decir que el dígrafo es fuertemente conexo porque en su matriz
accesibilidad no hay componentes nulos.
e) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el Algoritmo de
10
Dijkistra
 Primero se ubica el vértice inicial
 Luego los vértices cercanos al V2 para estudiarlos
 A continuación se agrega etiquetas a los vértices estudiados por ejemplo
[3,1] (1,1)
En donde:
[] Símbolo de la iteración en estudio
3 Ponderación de la arista más lo que la precede
1 Vértice estudiado
(1,1) # de la iteración
 Seguidamente se coloca la ponderación de la arista más la ponderación de la
etiqueta anterior que está directamente al vértice estudiado
 Se colocara al lado de la etiqueta el número de iteración que se está realizando
 Por último se estudian las distancias y se escoge la menor.
Acc (D)= bin

11. Dv2 a v1:2, Dv2 a v2:3, Dv2 a v3:3, Dv2 a v4:3, Dv2 a v5:4, Dv2 a v6:3
11
[2,2] (1)
[0] (0)
[3,2] (1)
[3,2] (1)
[3,2] (1)
[4,2] (1)