1. PARTE C
APARTADO 1
3.181.
Dada la matriz A = a22 . . . a1n
. .
. .
. .
an1 . . . ann
Todo producto de n elementos tomados de A, sin que dos cualquiera provengan del
mismo renglón o de la misma columna, se llama PRODUCTO ELEMENTAL
TOMADO DE A. Así, a11 a22 ... ann. No es un producto elemental tomado de A a11 a12
a13 … a1n ni a21 a22 a23 … a2n ya que, como se observa en ambos casos, provienen del
mismo renglón.
Si la matriz es 2x2, también 3x3, no resulta engorroso construir productos elementales;
pero esa construcción se complica al aumentar el tamaño de A, haciéndose necesario
pensar en un modo sistemático de construirlos. Luego, un método sistemático para
construir productos elementales de A es tomar “ordenadamente” las filas entre la 1 la n
y “permutar” las columnas. Así, en el producto de los n reales a1_a2_a3_ … an_
No habrá omisión ni repetición para las filas. Tampoco habrá omisión ni repetición para
las columnas si los “-“, que representan el segundo subíndice de la entrada, están
asociados a una permutación de las {1,2,3, …,n} columnas.
APARTADO 2
3.2.81.
Para Anxn, el menor del elemento ij se denota por Mij y se define como el determinante
de la submatriz que se deja al eliminar de A la fila i y la columna j. el elemento:
(-1)i+j Mij = Cij se conoce como el cofactor del elemento ij.
A partir de la deficiones tenemos:
M11 = a22 a23 = a22 a23 - a32 a33 , C11 = (-1)i+j M11 = a22 a23 - a32 a33
a32 a33
M21 = a12 a13
a32 a33 = a12 a33 - a32 a13 , C21 = (-1)2+1 M21 = -(a12 a33 - a32 a13) = a32 a13 - a12 a33
2. M31 = a12 a13
a22 a23 = a12 a23 - a22 a13, C31 = (-1)3+1 M31 = a12 a23 - a22 a13
Las expresiones que figuran entre paréntesis son precisamente los cofactores C11, C21 y
C31, luego:
Det(A) = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31
Ejemplo:
Para A3x3 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Se tiene:
M11 = |
5 6
8 9
| = 45 – 48 = -3 , C11 = (-1)1+1 M11 = (1) (-3) = -3
M21 = |
2 3
8 9
| = 18 – 24 = -6 , C21 = (-1)2+1 M21 = - (-6) = 6
M31 = |
2 3
5 6
| = 12 – 15 = -3 , C31 = (-1)3+1 M31 = (1) (-3) = -3
Luego, Det(A) = 1(-3) + 4(6) + 7(-3) = 0
Este resultado puede ser ratificado usando regla nemotécnica para matrices de orden 3.
APARTADO 3
3.3.89.
Si A es invertible, A ≠ 0. Como A * B = AB = AC = A * C dividiendo esta última
igualdad por A obtenemos B = C
APARTADO 4
3.4.06.
La ecuación lineal de la recta que pasa por los puntos (4,2) y (-2,-1) viene dada por:
𝑥 𝑦 1
4 2 1
−2 −1 1
= 0, es decir 3x – 6y = 0.
