Este documento describe varias curvas espirales y sus ecuaciones paramétricas y cartesianas. Entre ellas se encuentran la espiral de Arquímedes, la espiral logarítmica y la clotoide. También se discuten ejemplos de espirales en la naturaleza como las conchas de los nautilus y ammonoides fósiles.

1. CIRCUNFERENCIA
Coord .car. x 2+ y 2 = a 2
Coord . pol. r=a

2. ELIPSE
x2 y2
Coord . cart. 2
+ 2
=1
a b
Coord . pol. x = a cos θ y = b senθ

3. ASTROIDE
Coord . cart. x 2 / 3 + y 2 / 3 = a 2 / 3
Coord . par. x = a cos3 t y = a sen3t

4. CARDIOIDE
Coord . cart. ( x 2 + y 2 − 2ax) 2 = 4a 2 ( x 2 + y 2 )
Coord . pol. r = 2a (1 + cos θ)

5. CICLOIDE
Coord . par. x = a (t − sent ) y = a (1 − cos t )

6. CONCOIDE DE NICOMEDES
Coord . cart. ( x − b) 2 ( x 2 + y 2 ) − a 2 x 2 = 0
Coord . pol. r = a + b sec θ

7. CARACOL DE PASCAL
Coord . pol. r = a cos θ − b

8. FOLIUM DE DESCARTES
3senθ cos θ
Coord . pol. r=
sen3θ + cos3 θ
Coord . cart. x 3 + y 3 = 3axy

9. TRIFOLIUM
Coord . pol. r = a cos 3θ

10. RODONACEA
Coord . polares ρ = a sen(bθ)

11. TRICUSPIDE
Coord . cart. ( x 2 + y 2 +12ax + 9a 2 ) 2 = 4a (3 x + 3a ) 3

12. TRIDENTE DE NEWTON
Coord . cart. xy = ax 3 + bx 2 + cx + d

13. LEMNISCATA DE BERNOULLI
Coord . cart. ( x 2 + y 2 )2 = a 2 ( x2 − y 2 )
Coord . pol. r 2 = a 2 cos(2θ)

14. CUARTICA PERIFORME
Coord . cart. b 2 y 2 = x 3 (a − x)

15. ESPIRAL DE ARQUIMEDES
Coord. polares r =aθ

16. ESPIRAL LOGARITMICA
Coord . polares r = a e bθ
1 r
θ = ln 
b a

17. CLOTOIDE O ESPIRAL DE CORNU
t t
π 2 π 2
Coord . cart. x = ∫ cos  t  dt y = ∫ sen  t  dt
0 2  0 2 
Coord . pol. s r = a2

18. Espiral de Arquímedes (Espiral uniforme )
(287-212 AC) -225 AC
r =aθ

19. ESPIRALES EN LA NATURALEZA

20. ESPIRITROMPA DE MARIPOSAS

21. Espiral Logarítmica o Equiangular
r = aebθ
1
θ = ln(r / a )
b
u = arctan(1 / b)

22. Curvas derivadas de una curva plana
• 1- Evoluta y Evoluta exterior
• 2- Podaria
• 3- Radial
• 4- Cáustica
• 5- Inversa
• 6- Envoltura

23. Evoluta y Evoluta exterior de la Espiral
Logarítmica

24. Podaria de la Espiral Logaritmica

25. Radial de la Espiral Logaritmica

26. Curvas derivadas de la Espiral Logarítmica
• La Espiral Logarítmica es la única curva para
la cual su evoluta, su involuta, su podaria,
su radial, …. etc, son también espirales
logarítmicas. La curva se mantiene
invariable frente a todas estas
transformaciones.

27. Espiral Logarítmica o Equiangular
René Descartes (1596-1650) – 1638

28. Espiral Logarítmica o Equiangular
Jakob (Jacques) Bernoulli (1654 – 1705)– Spira Mirabilis –
(Espiral Maravillosa)
Eadem Mutata Resurgo (Mutante y permanente, vuelvo a resurgir
siendo el mismo)

29. ESPIRALES EN LA NATURALEZA

30. ESPIRALES EN LA NATURALEZA

31. Espirales (y Fibonacci) en la Naturaleza

32. Espirales (y Fibonacci) en la Naturaleza

33. Espirales (y Fibonacci) en la naturaleza

34. Fósiles de Ammonites

35. Fósiles de Ammonites

36. NAUTILUS
• Molusco marino cefalópodo “cabeza con pies”, único con
caparazón externa y 4 branquias.
• 450 millones de años - Océanos Pacífico e Indico
(Australia y Filipinas)

37. OTROS CEFALÓPODOS

38. NAUTILUS
• 16-30 cm diametro. –Hasta 20 años – 60-90 tentáculos
• 1 vuelta = 16-18 cámaras – Adulto hasta 30 cámaras
• Cámaras aumentan tamaño siempre en la misma proporción
(autosemejanza)

39. N A U T I L U S – Generación del caparazón
• Rotar círculos curvatura y desplazar centros –
Perpendiculares al plano de la curva

40. NAUTILUS
Madurez: 5 – 10 años
Hembras ponen huevos 1 vez al año y tardan 1 año en
eclosionar

41. N A U T I L U S - Morfología

42. NAUTILUS

43. N A U T I L U S - Sección transversal

44. Espiral Logaritmica del Nautilus

45. NAUTILUS – Sección transversal

46. NAUTILUS

47. NAUTILUS

48. NAUTILUS

49. NAUTILUS
• Acuario de Berlín- Foto de J. Baecker

50. Fotografia “Nautilus”
• Fotógrafo Edward Weston (1886-1958) – 1927
• Subastada en U$S 1.082.500 (2010) por la firma Sotheby’s
– NewYork (9º más cara de la historia)

51. CASA NAUTILUS
• Arq. Javier Senosiain (Bioarquitectura)– DF México
2006-

52. CASA NAUTILUS

53. CASA NAUTILUS

54. CASA NAUTILUS

55. CASA NAUTILUS

56. CASA NAUTILUS

57. CASA NAUTILUS