Este documento describe un proyecto de investigación que aplica ecuaciones diferenciales lineales para mejorar la administración de inventarios en la empresa INDAGROVET EIRL. El proyecto analizará cómo las ecuaciones diferenciales pueden usarse para modelar el precio, la oferta y la demanda de un producto en función del tiempo. Esto ayudará a la empresa a mejorar la planificación de pedidos, coordinar las ventas y compras, ahorrar en compras y reducir costos.

1. FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA
INDUSTRIAL
TÍTULO
“Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales en el área de logística e
inventarios de la empresa INDAGROVET EIRL”
Alumnos:
 Basurco Torres, Patricia
 Olarte Arévalo, David
 Pérez Suarez, Cristina
 Vargas Mamani, Milagros
Prof. ANTENOR LEVA APAZA
LÍNEA DE INVESTIGACIÓN
Producción
LIMA-PERÚ
2013

2. Introducción
En el presente trabajo pretendemos realizar una aplicación de ecuaciones
diferenciales en el área de logística e inventarios de la empresa INDAGROVET
EIRL, utilizando las ecuaciones diferenciales lineales.
En la primera parte, se plantean algunos conceptos generales sobre los
inventarios, y se comenta la importancia que brindan las técnicas de pronóstico de
la logística para la planificación estratégica de los inventarios basados en la
demanda. En la segunda parte, se muestra como aplicando ecuaciones
diferenciales lineales podemos realizar un análisis basado en la oferta y la
demanda de un producto; determinando el precio unitario en un tiempo t.
Cuando nos desempeñamos en el área de almacén de alguna empresa de
productos terminados o alguna empresa manufacturera debemos llevar a cabo la
administración y planificación de los inventarios. Los encargados de la logística se
encargan de controlar el volumen de existencias presentes en el almacén, para lo
cual se realizan pronósticos de la demanda en el tiempo.
Para tal fin, planteamos el modelado del precio, la oferta y la demanda utilizando
ecuaciones diferenciales lineales, bajo el supuesto de que el precio cuando no es
de equilibrio evoluciona durante un periodo en que la oferta sigue a la demanda,
es decir, S(t)=D(t).

3. 1. Formulación del problema
1.1Problema general
¿Cuáles son las estrategias para mejorar la administración y
planificación de los inventarios en la empresa INDAGROVET
EIRL?
1.2Problemas específicos
¿Qué pproporcionará una guía al departamento de compras para la
colocación de los pedidos?
¿Cómo facilitara la coordinación de las ventas y las compras?
¿Cómo se puede ahorra en compras?
¿Cómo mejorara la utilización de las existencias disponibles?
¿Cómo mejorara la producción?
¿Qué Reducirá los costos?

4. 2. Objetivos
2.1Objetivo general
Establecer y analizar las estrategias para la mejorara de la
administración y planificación de los inventarios en la empresa
INDAGROVET EIRL
2.2Objetivos específicos
Proporcionar una guía al departamento de compras para la colocación de
los pedidos.
Facilitar la coordinación de las ventas y las compras.
Ahorrar en compras.
Mejorar la utilización de las existencias disponibles.
Mejorar la producción.
Reducir costos.
Realizar nuestra aplicación de forma genérica cómo una ecuación
diferencial lineal, obtener la solución general de la evolución del precio de
un artículo en un tiempo t.

5. 3. Justificación e importancia del estudio
Las ecuaciones diferenciales juegan un papel fundamental en muchas áreas de la
ciencia y la ingeniería.
El estudio se realiza por el motivo de conocer la importancia que brindan las
técnicas de pronóstico de la logística para la planificación estratégica de los
inventarios basados en la demanda.
Toda empresa debe llevar a cabo la administración y planificación de los
inventarios, conocer la prevención y pronóstico de ganancias o pérdidas, y la
rentabilidad de cada proceso de producción, ya que este es el papel protagónico
de la logística que basándose en la planificación y control del flujo y
almacenamiento eficientes, procura el más óptimo de los resultados, satisfaciendo
al cliente y reduciendo los costos para la empresa.
Como futuros profesionales en el área de la ingeniería industrial, entendemos que
ante un mercado demandante las estrategias de mercadeo y ventas son cada
vez más exigentes; sin embargo podemos auxiliarnos de técnicas que nos
permitan optimizar la gestión de las existencias e inventarios por medio de la
logística, y de este modo contrarrestar el efecto en los precios.

6. MARCO TEORICO
Inventarios
Los inventarios conforman uno de los renglones de mayor relevancia de cualquier
tipo de empresa; una definición capaz de expresar cabalmente lo que es un
inventario, sería:
“El conteo de materias primas y materiales, abastecimientos o suministro,
productos terminados y en proceso de fabricación, y mercancía en existencia, en
tránsito, en deposito o consignada en poder de terceros valuados al costo o
porción del mismo al término de un período contable”.
También podemos decir que los inventarios están constituidos por los bienes de
una empresa destinados a la venta o a la producción para su posterior venta, tales
como materia prima, producción en proceso, artículos terminados y otros
materiales que se utilicen en el empaque, envase de mercancías o los artículos
utilizados para mantenimientos que se consuman en el ciclo normal de
operaciones.
El inventario es tan importante en una empresa intermediaria de productos
terminados, como en una empresa manufacturera.
El inventario como cuenta está ubicada dentro del activo circulante del balance
general, formando parte del ciclo operativo del mismo que se inicia con el efectivo
utilizado, para la compra de la mercancía o de la materia prima que aunadas a
otros costos conforman un producto terminado para ser inventario, el cual se va a
convertir en cuentas por cobrar o en su defecto en efectivo nuevamente.
Clases de Inventarios
Los inventarios poseen diversidad de artículos que a la postre son identificables a
través de las cuentas. Están compuestos por todos los productos terminados o no
que la empresa vaya a comercializar.
Existen varios tipos de inventarios:
1. Materia Prima
2. Productos en Proceso
3. ProductosTerminados
4. Materiales y Suministros

7. Sistemas de Abastecimientos
Presupuesto por compras: El presupuesto por compras es una de las
herramientas de mayor incidencia dentro de una empresa. Mediante el mismo se
puede establecer el volumen de compras que hará la empresa en un período
determinado para satisfacer las demandas de sus clientes. Entre
susprincipalesfuncionesestán:
Proporcionar una guía al departamento de compras para la colocación de
los pedidos.
Facilitar la coordinación de las ventas y las compras.
Suministrar normas para juzgar periódicamente si las existencias se
mantienen o no en la cantidad debida.
Existencias
Ningún establecimiento comercial debe mantener existencias que les represente
estancamiento de efectivo por un tiempo mayor al normal. Tampoco debe
mantener existencias con las cuales no pueda satisfacer las necesidades de sus
clientes. De ahí se desprende la importancia de la planificación de los pedidos.
Hay situaciones en que la empresa que debe proveerse de una cantidad de
mercancías mayor a la acostumbrada; como al conocerse una factura, alza en el
precio de un producto, o cuándo un producto desaparecerá del mercado
indefinidamente; corriéndose el riesgo de que los artículos comprados pasen de
moda, se dañen en el almacén o aparezca un sustituto en el mercado, que
satisfaga las existencias de los clientes potenciales.
El problema de las existencias es el siguiente: La rentabilidad de una empresa
depende en gran parte del manejo de las existencias. Cuando se almacena en
exceso se está haciendo mal uso del dinero de la empresa y cuando no se
almacena lo suficiente se corre el riesgo de quedarse sin mercancía o material.
Por otra parte, el almacenaje es un gasto ya que no agrega nada al valor del
producto terminado. Pero es un servicio indispensable, pues la empresa no puede
marchar sin las funciones propias del almacén. La gestión de los almacenes se
hace más compleja al reconocer que las existencias están conformadas por:
Materia Prima, Materiales en Proceso, Productos Terminados, Suplidores
Generales, Equipos y Repuestos, Papelería, Artículos Especiales, Misceláneos.

8. Por la misma razón, la gestión de los almacenes afecta directamente las ventas,
fabricación, operaciones y administración. La diversidad de artículos que hay que
almacenar; la Mezcla (volumen-costo) de las existencias; el factor tiempo y el
costo total de las existencias son factores que también contribuyen a la
complejidad de la gestión de los almacenes.
Cuando hablamos de existencias, debemos hablar del costo de éstas, ya que hay
que tener sumo cuidado por cuanto es un valor que puede establecerse con
diferentes unidades de medida. Generalmente cuando se hable de costos de
existencia, se está refiriendo a la valoración de los inventarios y no incluye los
costos de operación del almacén. Asimismo, cuando producción habla del valor de
las existencias, generalmente se refiere a lo que puede fabricar con dichas
existencias. En tal sentido, un buen control de existencias debe satisfacer los
siguientes objetivos:
Ser base sólida para tomar decisiones óptimas en relación a operaciones
actuales y futuras produciéndose así mejores y más rápidas decisiones.
Suministrar buena información sobre: costos, pronósticos, planificación,
reducción de costos administrativos.
Cumplir con estos objetivos brinda las siguientes ventajas:
1. Ahorro en compras.
2. Mejor utilización de las existencias disponibles.
3. Mejora la producción.
4. Reduce costos.
VolumenÓptimo de Inventario
La responsabilidad sobre la determinación de las cantidades de materia prima y
materiales a mantenerse en existencias, recaen en el Departamento de Compras,
así como es de competencia al Departamento de Mercado realizar los estudios
para que el Departamento de Producción cumpla con su básica responsabilidad,
que es la de producir las cantidades necesarias para la satisfacción de las
exigencias de mercado. Se entiende como volumen óptimo, aquella cantidad o
tamaño de lote que hace mínimo los costos de material, transporte y
mantenimiento de las existencias.

9. Logística y Estrategias de Inventarios
El objetivo principal de la logística y las estrategias de inventarios es lograr
implementar técnicas que nos permitan optimizar la planificación y control de los
inventarios, y a la vez, poder pronosticar la demanda futura y los inventarios
obsoletos de una empresa, permitiendo satisfacer correctamente las necesidades
reales de la misma. Estos procesos le permiten a las empresas dar un mejor
servicio a los clientes, así como la entrega de productos justo a tiempo, es decir,
sin retrasos en la entrega.
La logística de la mano con los inventarios ayuda a las empresas a ser eficientes,
ya que estos procesos les proporcionan sus propios pronósticos de demanda que
les permita hacer un presupuesto en base al tiempo, precio y costos, para
utilizarlos en la planificación, control estratégico y operativo de las empresas.
Estos pronósticos y métodos de planificación de demanda les ayudarán a las
empresas a tener inventario disponible según lo proyectado para la producción,
así como la determinación de los materiales obsoletos. Esto le ahorraría a la
empresa entre el 10 y 20% del exceso de inventario, por lo que administrar los
niveles de inventario tiene un buen sentido económico para las empresas, es por
eso que los inventarios se basan en la planificación, organización y control de los
mismos.
Pronóstico de los Requerimientos de la Cadena de Suministro
El propósito de los niveles de demanda es vital para las empresas como un todo,
ya que proporciona los datos de entrada para la planeación y control de todas las
áreas funcionales, incluyendo logísticos, marketing, producción y control de todas
las áreas de demanda y su programación afectan en gran medida los niveles de
capacidad, las necesidades financieras y la estructura general del negocio. Los
pronósticos en logística se relacionan con la naturaleza espacial, así como
temporal de la demanda, el grado de variabilidad y su aleatoriedad.
La naturaleza de la demanda temporal se refiere a los niveles de demanda
comunes en los pronósticos. La variación de la demanda en el tiempo es resultado
del crecimiento o declinación de los niveles de ventas, variación estacional del
patrón de demanda, así como fluctuaciones generales ocasionadas por múltiples
factores. La logística tiene dimensiones de espacio como de tiempo. Es decir, el
responsable de la logística deberá saber donde tendrá lugar el volumen de
demanda y cuando lo hará.

10. Se necesita localización espacial de la demanda para planear la ubicación del
almacén, equilibrar los niveles de inventario a través de la red logística y asignar
geográficamente recursos de transportación.
El método de pronóstico de demanda regular tiene como responsable en la
logística acomodar los productos en grupos para diferenciar niveles de servicio
entre ellos o simplemente para manejarlos de forma distinta. Estos grupos y los
artículos individuales dentro de ellos forman distintos patrones de demanda en el
tiempo. Cuando la demanda es regular, típicamente podrá representarse por
algunos patrones generales que se muestran. Es decir, los patrones de demanda
por lo regular podrán descomponerse en componentes de tendencia, estacionales
y aleatorias.
Cuando la demanda para artículos es internamente, debido a un bajo volumen
general y a un alto grado de incertidumbre en cuánto al momento y la cantidad en
que se presentará el nivel de demanda, se dice que la serie de tiempo es
desproporcionada o irregular. Este patrón a menudo se encuentra en los
productos que están introduciendo o retirándose de la línea de productos,
demandados por relativamente pocos clientes, divididos entre muchas ubicaciones
de inventario y de demanda por otros artículos.
Control Básico de Inventarios por Demanda
Cabe señalar que el control del inventario por demanda otorga varios niveles de
inventario de abastecimiento, debido a su respuesta a las condiciones particulares
de la demanda de cada punto de abastecimiento. Aunque se han desarrollado
muchos métodos específicos para manejar una diversidad de situaciones.
Podemosenunciar entre los siguientes:
1. La demanda de una sola vez, altamente estacionaria o perpetúa.
2. El pedido que se dispara desde un nivel particular de inventario o desde un
proceso de revisión de los niveles de inventario.
3. El grado de incertidumbre en la demanda y el tiempo de entrega de
reaprovisionamiento.
Control Avanzado de Inventarios por Demanda
El control avanzando de inventarios por demanda significa que reconocer que la
demanda y el tiempo de entrega no se pueden conocer con seguridad. Por lo
tanto, tenemos que planear una situación en la que no haya suficiente existencia
disponible para surtir las solicitudes de los clientes. Además de las existencias
regulares que se mantienen para satisfacer la demanda promedio y al tiempo de

11. entrega promedio, se añade una cantidad de incremento al inventario. La cantidad
de existencias de seguridad, o amortiguador, fija al nivel de disponibilidad de
existencia suministrada a los clientes al controlar la probabilidad que ocurra falta
de existencia.
ETAPAS Y ACTIVIDADES
Parte Práctica
Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales Lineales
En base a lo sugerido en nuestro marco teórico, el encargado de logística debe
realizar la planificación del inventario pronosticando la demanda de dicho
producto. Para éste supuesto utilizaremos ecuaciones diferenciales lineales para
saber como evoluciona el precio de un artículo específico en el tiempo. Si
realizáramos este mismo proceso con grupos homogéneos de artículos,
podríamos planificar los volúmenes de inventarios basados en el precio con que
se vendería el producto. Dado que cada producto tiende a la obsolencia, y en
tanto salen al mercado distintos productos derivados que captarían la atención del
consumidor hacía los mismos; se debe conocer como evoluciona el precio del
producto, a su vez se sabría si es conveniente mantener un mayor o menor
volumen de éste, así se mantienen las utilidades si surgen cambios en el mercado.
Para la realización de nuestra aplicación procederemos a presentar de forma
genérica cómo resolviendo una ecuación diferencial lineal, obtenemos la solución
general de la evolución del precio de un articulo en un tiempo t.
Demostración:
D(t)=S(t)
d0 + d1p(t) + d2p‟(t) = s0 + s1p(t) + s2p‟(t)
-d1p(t) + d2p‟(t) – s1p(t) – s2p‟(t) = s0 – d0
p‟(t) [d2 – s2] + p [-d1 – s1] = s0 – d0
dp/dt [d2 – s2] + p [-d1 – s1] = s0 – d0
dp/dt + p
–
–
=
–

12. µ(t)=
µ(t)= –
p(t)= –
p(t)=
p(t)=
p(t)= + C
Con p(t)= p(o), t=o
p(0)= + C
Despejando a C:
C = p0 -
Sustituyendo en p(t):
p(t)= + [p0 - , esta es la solución aplicando las condiciones iniciales y
representa el precio unitario en el tiempo.
Manteniendo la misma temática, en lo referente a los inventarios sabemos que: Si
la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta

13. cantidad de bien en su posesión, la cual se llama inventario del bien, el cual
esperan vender. Por otro lado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los
productores deben adquirir inventario.
Por lo que nuevamente utilizaremos una ecuación diferencial lineal para
determinar el precio en cualquier tiempo t >0.
Para la formulación matemática:
Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien X disponible en tiempo t.
Entonces q(t + t”) = q(t) + "q(t) es la cantidad disponible en tiempo t + t”. Así
tenemos que:
La Cantidad acumulada en intervalo de t a t + t” = "q = q(t + "t) - q (t).
Asumiendo que:
S = número de unidades de X ofrecidas por unidad de tiempo por los productores
en tiempo t.
D = número de unidades de X demandadas por unidad de tiempo por los
consumidores en tiempo t.
Entonces el número de unidades ofrecidas por los productores y demandas por los
consumidores entre t y t +t” están dados aproximadamente por S"(t) y D"(t)
respectivamente, donde los resultados son precisos excepto por términos que
involucran (t”)² y mayores.
Así, cantidad acumulada en el intervalo t a t + t” es igual a:
S"(t) - D"(t) + términos con (t”)² o mayores.
Así "q/"t = S - D + términos con ("t)² o mayores.
Tomando el límite cuando „‟t >0, dq/dt = S - D.
De esta última ecuación podremos decir que servirá de base para el posterior
análisis sobre precios. Como una ilustración, supongamos que un productor desea
proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea
proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. En ese caso tenemos que:
dp/dt = - (C) dq/dt

14. Donde C > 0 es la constante de proporcionalidad que se asume conocida, de
modo que usando la ecuación dp/dt = - (C) (S - D). Puesto que S y D se pueden
expresar en términos de p, la ecuación dp/dt = - (C) (S - D) es una ecuación
diferencial para p.
Ejercicio.
Aplicando lo anterior, suponiendo que la oferta y la demanda están dadas en
términos de precios “p”, escribiendo la ecuación diferencial para “p” se pide
determinar el precio en cualquier tiempo t > 0, asumiendo que p(0) = 6 ; t = 0.
S(t)= 10 + p(t) + 4p‟(t)
D(t)= 50 – 3p(t) + 2p‟(t)
D(t) = S(t)
50 – 3p(t) + 2p‟(t) = 10 + p(t) + 4p‟(t)
-3p(t) + 2p‟(t) – p(t) – 4p‟(t) = 10 – 50
p‟(t) [2 - 4] – p(t) [3 + 1] = -40
-2 dp/dt – 4p = -40
dp/dt + 2p = 20
µ(t) =
µ(t) =
p(t) = 20
p(t) = 10 + C
P(t) = 10 + C

15. Aplicando las condiciones iniciales:
6 = 10 + C
C = -4
P = 10 – 4 , éste resultado nos dice que para t=o el precio de equilibrio es de 10
unidades.
A continuación, presentamos una gráfica de la función P(t).
Al observar la gráfica nos damos cuenta de que a medida que aumente el tiempo,
el precio sólo puede llegar a un máximo de 10 unidades. Por tanto, concluimos
que éste es el precio de equilibrio bajo lo supuesto en términos de „‟p‟‟ de la oferta
y la demanda.
En el sentido práctico, el conocer el precio de equilibrio de un artículo determinado
nos permite tomar decisiones en cuanto a la cantidad del producto que vamos a
producir, y también en que medida sería rentable el mantener ciertos volúmenes
en inventario para suplir la demanda, suponiendo que ésta se mantendrá
constante en un tiempo determinado.

16. Conclusión
La previsión y pronóstico de ganancias o pérdidas, son armas esenciales en la
rentabilidad de cada proceso de producción. Este es el papel protagónico de la
logística que, basándose en la planificación y control del flujo y almacenamiento
eficientes, procura el más óptimo de los resultados, satisfaciendo al cliente y
reduciendo los costos para la empresa.
Como futuros profesionales en el área de la ingeniería industrial, entendemos que
ante un mercado demandante las estrategias de mercadeo y ventas son cada
vez más exigentes; sin embargo podemos auxiliarnos de técnicas que nos
permitan optimizar la gestión de las existencias e inventarios por medio de la
logística, y de este modo contrarrestar el efecto en los precios.
Una herramienta practica e interesante capaz de dar respuesta numérica a este
tipo de inquietud, son las ecuaciones diferenciales lineales. Este tipo de
ecuaciones diferenciales juegan un papel fundamental en muchas áreas de la
ciencia y la ingeniería, como lo hemos mostrado en el desarrollo de este trabajo.
Bibliografía
Morales, Sofía y Ureña, Francisco, Logística y Estrategias de Inventarios,
Tesis de Grado, año 2006.
Pantaleón, María y Ramos, Adarina, Consideraciones Generales sobre los
Inventarios, Tesis de Grado, año 1983.
Nagle, R., Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera,
4ta Ed., Pearson Educación, México 2005.