1) El documento presenta 12 resoluciones de problemas de álgebra que involucran leyes de exponentes. 2) Cada resolución muestra los pasos para resolver un problema y llegar a la respuesta correcta, la cual se indica con una letra clave al final. 3) Los problemas cubren temas como igualdades exponenciales, factorización, inducción y más.

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Resolución Práctica 1 - Leyes de Exponentes
Ciclo Anual 2014
Resolución 1
De la igualdad:
 3 3
3 1
1
27 81
x
x
x
 

 
3 3
3 1
3 1
81
x
x
x
  

 
3 243
3 1
3 1
x
x
x
  

 
3 1 5
3 1 3
x
x

  
De aquí se tiene que:
4
3 4
3
x x  
1
1
3
x   (Clave C)
Resolución 2
Operando el numerador y denominador:
 2 1 2 4 1
4
1
5.2 6.2 5.2 .2 2 .2 3.2.2
2
x x x x x
x
  
 
    
20.2 16.2 3.2x x x
  
 
7
2 20 16 3 2 .7x x
   

 5 3 5 3
2 15.2 2.2 2 .2 15.2 2.2 .2x x x x x x 
    
32.2 15.2 16.2x x x
  
 
1
2 32 15 16x
  

2x

Reemplazando en la expresión G, se tiene:
2 1
4
5 3
1
5.2 6.2
2 .72 7
2 15.2 2.2 2
x x
xx
x x x x
G
 
 
 
 
   
 
(Clave C)
Resolución 3
Operando por partes

2
3 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)nn n n n n n
x x x x
    
     
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1)n n n n n
x x   
 
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1)
.n n n n n
x x x  
 
 2 2
( 1) ( 1)
1n n n
x x 
 

2 2 2 2
2( 1) ( 1) ( 2) ( 1) . ( 1) .
( 1)
2 2 2 2
n
n n n n n n n
n
x x x x
    
  
   
  
2 2
2
( 1) . ( 1) .
( 1)2 2
.
n n n n
n
x x x
 

 
 
2
2
( 1) .
( 1)2
1
n n
n
x x


 
Reemplazando, se tiene:
 
 
2 2
22
2
2 2
2
( 1) ( 1)
( 1) .( 1)
2
( 1)2
22 ( 1) . ( 1) .
( 1)2 2
1
1
nn n n
n nn n
n nn
n n n n
n
x x x
x x
x x x
 


 


  

(Clave A)
Resolución 4
Observación:  
 1 !
! 1.2.3..... 1 .
n
n n n

 

 ! 1 !.n n n  
   
     
   
     
1 ! 1 !! 1 ! 1
! !! !
. 1 ! . 1 !
! . 1 ! 1 !. . 1 !
n nn n
n nn n n n
n n n n
Q
n n n n n
  
 
 
     
   
     
   ! !
1 !! 1
!! !
1 !
. 1 !
. 1 ! . 1 !
n n n
nn
n nn n
n
n n
Q
n n n




 
 

   
   
1 !! 1
! 1!
. 1 !
. 1 !
nn
n nn
n n
Q
n n



 

    ! 1 1 !n n n  
   
   
1 !! 1
1 !!
. 1 !
. 1 !
nn
nn
n n
Q
n n



 

! 1
1
!
n
n
n
Q n n
n

    (Clave B)
Resolución 5
Desarrollando por partes:
 32 2 232
8 8n n
n n 
  
64
64n
n 
64n 

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 9 3 39
3 3m m
m m 
  
27
27m
m 
27m 
91m n   (Clave D)
Resolución 6
(*) Reduciendo el primer miembro de la igualdad.
1
1 2
33
44
55
7 7
7 7
7 7
7 7



3
3
2
4
5
7
7
7


1
2
4
5
7
7
7


3
4
2
5 7
7


3
8
5 7
7


11 11
5
8 40
7 7
 
 
(**) Reduciendo el segundo miembro de la
igualdad
23
10 12012 23 23 120
7 7 7
n
n n
 
   
 
Luego de (*) y (**), se tiene:
  

11 23
40 120
7 7
n
  
 
11 23
40 120
n  
  
23
11
3
n
  33 23n
  10n (Clave B)
Resolución 7
De la igualdad, elevando a la “ 2 ”
   2 2 2 2
4 4
2 2x x
x x
   
  
  2
1
4
2
4
1 1
44
x
x

 
 
   
    
 
2 1
4
x
 
2x 
3
8x  (Clave E)
Resolución 8
De la igualdad, elevando a la “3”
 3 3
3
3
12 12
1 1
2 2
x x
x x
 
    
 
  3
3
4
1
2
x
x 
  3
3
4 4 4
1
2
x
x

 
3 1
16
x 
3
3
1 4
416
x   (Clave D)
Resolución 9
Buscando formas análogas:
2
1
3 4 2
x
x x
x
 
  
 
 
1
2
2
1
3 2 2 1x
x x
x
 
   
 
 
1
22
3
2 1
2
x
x x x  
Multiplicando por “x” m.a.m., se tiene:
 
1
22
3
. 2 1 .
2
x
x x x x x 
 
1
1
2 12
3
2 1
2
x
x x x


  
 
3
2 12
3
2 1
2
x
x x x 
  
3
2 1
2
x  
1
4
x  (Clave A)

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Resolución 10
De la igualdad:
3 3
3 3
3 3
3
xx
x
  




 3 3 3x  
3 3 3x  
6
3
x 
2 3x  (Clave E)
Resolución 11
Por inducción, se tiene:
1 radical:
3
4 3 4
x x
2 radicales:
15
4 16 1643 3 3.4 3 15 16
x x x x x
  
3 radicales:
 
63
4 64 3.4 3 .4 34 6443 3 3 63 64
x x x x x x 
  

97 radicales:
4 4 43 3 3
97 radicales
.... ?a
x x x x 

Analizando los exponentes:
Luego, el exponente de x cuando la expresión
tiene 97 radicales es
97
97
4 1
4
a

 (Clave C)
Resolución 12
Por inducción, se tiene:
1 radical:
1 1
3
3 9
x x
2 radicales:
1 1 1 1 4 4
3 .33 9 9
3 3 3 3 3 27
x x x x x

  
3 radicales:
1 1 11 1 1 13 13.3 .33 273 3 27
3 3 33 3 3 3 81
x x x x x x
 
  
 
  

k radicales:
1 1 1
3 3 3
3 3 3
( ) ..." " radicales a
xA x x x k x 
Analizando los exponentes:
Luego, el exponente de x cuando la expresión
tiene k radicales es 1 1
3 1 1 3 1
2.3 2 3
k k
k k
a  
  
   
 
(Clave D)1 rad. 2 rads. 3 rads. ... k rads.
1
9
4
27
13
81
... a
1
2
3 1
2.3
 2
3
3 1
2.3
 3
4
3 1
2.3

1
3 1
2.3
k
k

1 rad. 2 rads. 3 rads. ... 97 rads.
3
4
15
16
63
64
... a
1
1
4 1
4
 2
2
4 1
4
 3
3
4 1
4

...
97
97
4 1
4
