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1. Teoremas básicos sobre latransformada de Fourier:
La palabra“transformada”indicaque estamostrabajandoconuna herramientapara
transformarun tipodeterminadode problemaenotro.De hecho,latransformadade Fourier
será útil (comoveremos) parasimplificarel estudiode la solución de ciertotipode ecuaciones
diferenciales,convirtiendo´el problemade la solución de unaED enun problemade solución
de ecuacionesalgebraicas.Lamotivaciónparadichoestudioestá enel hechode que la
transformadade Fourierposee buenaspropiedades´algebraicascuandose aplicaa las
derivadassucesivasde una señal,oal trasladarla señal,etc.En este ˜apartado estudiamoslas
propiedades mássencillasde latransformadade Fourier.´A continuaciónexponemosuna
listade las propiedadeselementalesde ´F(x)(ξ)=ˆx(ξ) (Algunasde lasdemostracionesson
muysencillasylasdejamoscomoejercicio).Nota2 Mantenemosambasnotaciones,F(x) yxˆ
para la transformadade Fourier,porque avecesunade ellases más cómodao más
clarificadoraque laotra. Porotra parte,estoayudaa que el ´ estudiante se familiarice con
ambas notacionesy,portanto,le permitiráleerf ´ fácilmente diferentes´textossobre el tema
(yaque por ahora no hay acuerdo unánime parala notación enestamateria).
2. Convoluciony Transformada de Fourier:Dadas dos senales˜x(t),y(t)
absolutamente integrablesenR,recordamosque suconvolucion´estadadapor laformula
(x ∗ y)(t) = Z ∞ −∞ x(s)y(t − s)ds.
En realidad,laconvolucionestabiendefinidadesde el momentoenque unade lasse ´
nalesseaacotada ˜ (enR) y la otra seaabsolutamente integrable.
Proposición1.La convolucionde señalesesunaoperaciónconmutativa
Demostración.Bastahacer el cambiode variablest− s = u, de modoque:
x[∗y(t) = Z ∞ −∞ x(s)y(t− s)ds = − Z −∞ ∞ x(t − u)y(u)du = Z ∞ −∞ x(t − u)y(u)du = y]∗ x(t)

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Shliera eduardo

  • 1. 1. Teoremas básicos sobre latransformada de Fourier: La palabra“transformada”indicaque estamostrabajandoconuna herramientapara transformarun tipodeterminadode problemaenotro.De hecho,latransformadade Fourier será útil (comoveremos) parasimplificarel estudiode la solución de ciertotipode ecuaciones diferenciales,convirtiendo´el problemade la solución de unaED enun problemade solución de ecuacionesalgebraicas.Lamotivaciónparadichoestudioestá enel hechode que la transformadade Fourierposee buenaspropiedades´algebraicascuandose aplicaa las derivadassucesivasde una señal,oal trasladarla señal,etc.En este ˜apartado estudiamoslas propiedades mássencillasde latransformadade Fourier.´A continuaciónexponemosuna listade las propiedadeselementalesde ´F(x)(ξ)=ˆx(ξ) (Algunasde lasdemostracionesson muysencillasylasdejamoscomoejercicio).Nota2 Mantenemosambasnotaciones,F(x) yxˆ para la transformadade Fourier,porque avecesunade ellases más cómodao más clarificadoraque laotra. Porotra parte,estoayudaa que el ´ estudiante se familiarice con ambas notacionesy,portanto,le permitiráleerf ´ fácilmente diferentes´textossobre el tema (yaque por ahora no hay acuerdo unánime parala notación enestamateria). 2. Convoluciony Transformada de Fourier:Dadas dos senales˜x(t),y(t) absolutamente integrablesenR,recordamosque suconvolucion´estadadapor laformula (x ∗ y)(t) = Z ∞ −∞ x(s)y(t − s)ds. En realidad,laconvolucionestabiendefinidadesde el momentoenque unade lasse ´ nalesseaacotada ˜ (enR) y la otra seaabsolutamente integrable. Proposición1.La convolucionde señalesesunaoperaciónconmutativa Demostración.Bastahacer el cambiode variablest− s = u, de modoque: x[∗y(t) = Z ∞ −∞ x(s)y(t− s)ds = − Z −∞ ∞ x(t − u)y(u)du = Z ∞ −∞ x(t − u)y(u)du = y]∗ x(t)