Este documento presenta diferentes medidas de dispersión y variabilidad estadística como el rango, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación. También describe medidas de tendencia central como los percentiles, cuartiles y deciles, y cómo calcularlos e interpretarlos. Finalmente, incluye ejercicios prácticos para calcular estas medidas a partir de datos reales.

1. Medidas de dispersión, variación o variabilidad.
• Rango.
• Varianza.
• Desviación Típica.
• Coeficiente de variación.
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2. Medidas de dispersión: Rango
Rango (amplitud o recorrido):
• Está determinado por los dos valores
extremos de los datos muestrales, es
simplemente la diferencia entre la mayor
y menor observación.
• Es una medida de dispersión absoluta, ya
que depende solamente de los datos y
permite conocer la máxima dispersión.
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3. Medidas de dispersión: Varianza
• Si la varianza de un conjunto de observaciones es
grande se dice que los datos tiene una mayor
variabilidad que un conjunto de datos que tenga un
varianza menor.
2
1
2
2
1
2
2
x
n
x
s
n
xx
s
n
i
i
n
i
i
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Para datos NO
agrupados:

4. Para datos agrupados en una distribución
de frecuencias:
Medidas de dispersión: Varianza
21
2
2
1
2
2
x
n
fm
s
n
fxm
s
k
i
ii
k
i
ii
21
2
2
1
2
2
x
n
fm
s
n
fxm
s
k
i
ii
k
i
ii

5. Medidas de dispersión: Desviación Típica
• Es la raíz cuadrada de la varianza.
• Notación: s, .
2
ss
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6. Medidas de dispersión: Coeficiente de
Variación
• Es una medida de dispersión relativa que permite
comparar el nivel de dispersión de dos muestras de
variables estadísticas diferentes.
• No tiene dimensiones.
• Notación: CV
%100
x
s
CV
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7. Ventajas y Desventajas del Rango
Ventajas:
• Útil cuando se quiere conocer la extensión de
las variaciones extremas (valor máximo de la
dispersión).
• Fácil de calcular.
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8. Ventajas y Desventajas del Rango
Desventajas:
• No es una MD con respecto al centro de la
distribución.
• Solo emplea dos valores en su cálculo.
• No se puede calcular en distribuciones de
límite de clase abierto.
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9. Propiedades, Ventajas y Desventajas de la
Varianza
Ventajas:
• Es útil cuando se compara la variabilidad de dos o más
conjuntos de datos.
• Utiliza toda la información disponible.
Desventajas:
• No proporciona ayuda inmediata cuando se estudia la
dispersión de un solo conjunto de datos.
• Difícil de interpretar por tener sus unidades elevadas al
cuadrado.
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10. Propiedades, Ventajas y Desventajas de la
Varianza
Propiedades:
1. Siempre es mayor o igual a cero y menor que
infinito.
2. La varianza de una constante es cero.
3. Si a una variable X la sometemos a Y=a+bX, la
varianza de Y será Var(Y) = b2Var(X)
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11. Ventajas y Desventajas de la Desviación Típica
Ventajas:
• Esta expresada en las mismas unidades que la
variable en estudio.
• Utiliza todas las observaciones en su cálculo.
• Fácil de interpretar.
Desventajas:
• No tiene.
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12. Ventajas y Desventajas del Coeficiente de
Variación
Desventaja:
• No es una MD con respecto al centro de la
distribución de los datos.
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13. Ejercicio: Tomando como referencia la siguiente tabla, calcule la
desviación típica de los datos.
Fórmula:
Tabla 3. Distribución de la Concentración de Testosterona en el plasma
de 33 varones estudiados
____________________________________________
2
Clases f i mi Fi mi*fi (mi-X)*fi
____________________________________________
2,05 - 4,25 4 3,15 4 12,60 137,35
4,25 - 6,45 2 5,35 6 10,70 26,79
6,45 - 8,65 11 7,55 17 83,05 23,45
8,65 - 10,85 5 9,75 22 48,75 2,74
10,85 - 13,05 6 11,95 28 71,70 51,86
13,05 - 15,25 5 14,15 33 70,75 132,10
____________________________________________
Total 33 297,55 374,30
2
ss

14. Ahora se aplican los pasos que restan para obtener la desviación
estándar:
1.- Se calcula la media muestral (X):
X = 9,01
2.- Se obtiene la varianza con la fórmula:
2 2
S = ∑(mi – X) * fi = (374,3 / 32) = 11,70, donde
n – 1
S = 3,42
Se dice entonces que el cambio estacional de la
concentración de testosterona del plasma durante el ciclo
reproductivo de la muestra estudiada es 9,01 miligramos
por mililitro con una desviación estándar de más o menos
3,42 nanogramos por mililitro

15. - Coeficiente de variación (CV): Es una razón de la desviación estándar
a la media. Fórmula:
CV = (S/X)*100
Según la fórmula anterior, los pasos para obtener el coeficiente
de variación son:
1.- Obtener la desviación estándar
2.- Aplicar la fórmula dada.

16. Ejemplo: Con los datos de la siguiente Tabla, obtenga el coeficiente de
variación (CV)
Tabla 2. Distribución de la Concentración de Testosterona (ng/ml) en el
plasma de 33 sujetos estudiados
_______________________________
Clases fi
_______________________________
2,05 - 4,25 4
4,25 - 6,45 2
6,45 - 8,65 11
8,65 - 10,85 5
10,85 - 13,05 6
13,05 - 15,25 5
_______________________________
Total 33

17. Solución: Como en el ejemplo anterior ya se realizaron todos los
cálculos, lo que queda es sustituir los valores:
CV = (3,42/9,01) * 100 = 38%
Significa que los datos tienen un 38% de
variabilidad.

18. MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL
-Percentiles
-Cuartiles
-Deciles

19. PERCENTILES
Los percentiles dividen en dos partes
las observaciones. Por ejemplo, el
percentil 20, P20, es el valor que
deja por debajo un 20% y por
encima un 80% de las observaciones

20. PERCENTILES
Mínimo MáximoPercentil 20
P20
20% 80%

21. Percentiles

22. L1: es el límite inferior del intervalo crítico (intervalo donde estará contenido el
percentil).
I: es la amplitud de los intervalos.
fa: es la frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo crítico.
n: es el número de casos.
fi: es la frecuencia absoluta del intervalo crítico.
La expresión m ∙ n/100 representa el número de puntuaciones que quedarían por
debajo del percentil m en la distribución estudiada. El intervalo crítico es
precisamente aquel donde la frecuencia acumulada alcanza o supera ese número
de puntuaciones.

23. DECILES
Es la medida que divide los datos en 10 partes
iguales. Cada parte contiene un 10% de las
observaciones. La simbología e “Di” y se obtendrá
entonces 10 deciles que son: D1, D2, D3…..D10.

25. Donde:
• Li: es el límite inferior del intervalo crítico
(que contiene a Dm)
• I: es la amplitud de los intervalos.
• fi: es la frecuencia absoluta del intervalo
crítico.
• n: es el número de casos.
• fa: es la frecuencia acumulada en el
intervalo anterior al intervalo

26. CUARTILES
Los cuartiles dividen en cuatro partes las
observaciones. El primer cuartil Q1 es un
valor que deje por debajo de él 25% de
las y por encima 75% de las
observaciones. El Q2 es la mediana (50%)
y Q3 deja por debajo 75% y por encima
25% de las observaciones

28. Ejercicio:Una prueba de rendimiento en Estadística ha sido calificada
con una escala de 0 a 50. Si las puntuaciones obtenidas por los 200
alumnos de una facultad son los que aparecen en la tabla (Tabla 1).
1.- ¿Cuál será el percentil 60 de esa distribución? ¿Qué
percentil corresponde a un sujeto cuya puntuación es
25?
2.- Tomando como referencia la distribución de la tabla
usada en el ejemplo de los percentiles, determinar la
puntuación que constituye el cuarto decil.
3.- Tomando de nuevo la distribución del ejemplo anterior
vamos a calcular la calificación obtenida por un alumno
que se sitúa en el segundo cuartil.
4.- Realizar en hoja de papel milimetrado tipo ojiva e
interprete su sgnificado

29. Tabla 1.
Calificaciones f1 fa
• 2 – 5 4 4
• 6 – 9 18 22
• 10 – 13 14 36
• 14 – 17 20 56
• 18 – 21 20 76
• 22 – 25 54 130
• 26 – 29 14 144
• 30 – 33 21 165
• 34 – 87 10 175
• 38 – 41 15 190
• 42 – 45 6 196
• 46 – 49 4 200

30. Seguidamente se aplica las correspondientes
fórmulas antes indicadas
• Nota: Considerar el debido despeje y la
sustitución correspondiente en la respectiva
fórmula….