Este documento presenta conceptos básicos sobre las razones trigonométricas de ángulos en posición normal. Define los ángulos cuadrantales como aquellos cuyo lado final coincide con un semieje del plano cartesiano, y muestra ejemplos de sus medidas. Explica que las razones trigonométricas de ángulos coterminales tienen el mismo valor numérico. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como práctica para aplicar estos conceptos.

1. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II
1. Ángulos Cuadrantales Donde:
Donde:
0 = Cero
Entenderemos por ángulo cuadrantal a 1 = Uno
N = No definido
aquel ángulo en posición normal cuyo lado
final coincida con cualquier semieje del
plano cartesiano. La medida de este ángulo COMPROBACIÓN
siempre tendrá la forma:
π y
“n ”; n ∈ Z ó “n. 90º”.
2
(0; r)
Ejemplo:
r
90º
Para diferentes valores enteros de “n” x
tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….
y r
n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 1. sen90º = = = 1
r r
360º;
x 0
2. cos 90º = = = 0
r r
El siguiente gráfico muestra algunos y r
Ángulos Cuadrantales y su medida. 3. tg90º = = = /
∃
r 0
y
La división de un
número entre 0
90º
180º (cero) es una
operación no
definida.
x
-90º
2. R. T. de Ángulos Cuadrantales 3. R. T. de Ángulos Coterminales
Si dos o más ángulos son coterminales
m∢ 0º, entonces las Razones Trigonométricas de
90º 180º 270º
360º sus medidas tienen el mismo valor
R.T. 0; 2π π/2 π 3π/2 numérico por ende diremos que son
Sen 0 1 0 -1 iguales.
Cos 1 0 -1 0 y
(a; b)
Tg 0 N 0 N R.T. α = R.T. θ
Ctg N 0 N 0
α
Sec 1 N -1 N
x
Csc N 1 N -1
θ
1 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

2. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
a) a b) b c)
Son ∢s coterminales los que tienen a-1
el mismo lado inicial y final. d) b-1 e) ab
Ejemplos 2. Simplificar:
( a + b)2 sec 0º +( a − b)2 sen270º
E=
2ab csc 90º
a) a b) b c) 1
d) 2 e) 4
3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x
π
Calcular: “ f( ) ”
2
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x
π
Calcular: “ f( ) ”
4
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) -2
Ejercicio Resueltos
1. Calcular:
Tarea Nº 01
(3Sen90º − Cos180º ) 2 + 1
E=
(2Sen270º − Cos360º ) 2 + 8 1. Calcular:
Solución: 2 2
(a + b) sec360º + (a - b) cos180º
E =
Reemplazando valores: 2abcsc270º
[ 3(1) − (-1) ] 2 + 1 a) 1 b) 2 c) 3
E=
d) -3 e) -2
[ 2(-1) − ( 1 ) ] 2 + 8
4 2 +1 2. Calcular:
E=
(-3) 2 +8 ( a + b)3 sen90º +( a − b)3 cos 360º
E=
E=
17 a2 sec 0º +3b2 csc 90º
17
a) a b) b c) 2a
∴ E=1 d) 2b e) ab
x x x
3. Si: f(x) = sen + cos + tg
Práctica Dirigida Nº 01 2 3 4
Calcular: “f(π)”
a) 1 b) 1,5 c) 2
1. Simplificar:
d) 2,5 e) 3
( a + b)sen90º − ( a − b) cos 0º
E=
2ab cos 360º
2 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

3. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
d) (+) ó (–) e) No se puede precisar
4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x 5. Señale el signo de:
π 5 3 4
Calcular: “ f( ) ” Cos 160º.Tg 217º.Sen 310º
2 A =
3 5
a) 0 b) 1 c) 2 Sec 316º.Sen 190º
d) -1 e) -2 a) (+) b) (–) c) (+) y (–)
d) (+) ó (–) e) No se puede precisar
5. Calcular:
E = (3Sen90º – Cos180º)2 + (Sen270º – Cos360º) 6. ¿A qué cuadrante pertenece ”θ”, si: Cosθ < 0;
a) 16 b) 17 c) 18 y Senθ < 0?
d) 19 e) 20 a) IC b) IIC c) IIIC
d) IVC e) Es cuadrantal
2 3 2 5 7. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x
m Sen 90º + n Cos 180º
6. Reducir: C = π
mSen90º + nCos0º Calcular: “ f( ) ”
2
a) m + n b) m – n c) mn
2 2 2 2 a) 0 b) 1 c) 2
m +n m +n
d) e) d) -1 e) -2
m+n m−n
Tarea Nº 01 8. Si: β ∈ IIC, α ∈ IIIC ∧ θ ∈ IVC
Indicar el signo de la expresión:
csc α + cos β
1. Calcular: E=
tgβ − sec θ
E = (2Sen180º – Sen90º)2 + (3Cos180º – Cos90º)2
a) 8 b) 9 c) 10 a) + b) - c) + ó -
d) 11 e) 12 d) + ∧ - e) Todas son positivas
2. Reducir: π
2Sen( ) - Cosπ
3 3 2
m Sen90º −n Cos360º 9. Calcular: E =
J= 3π
2 2 3 Ctg( ) + Sec2π
m Cos0º −mnSen270º −n Sen 270º
2
a) m – n b) m + n c) m a) –1 b) 1 c) – 2
d) n e) n – m d) 3 e) 2 2
10. Señale el signo de:
3. Calcular:
3 5 2
(a + b) 2 Sec360º + (a − b) 2 Cos180º Sen 170º.Cos 214º.Tg 160º
A =
E= 4 3
2ab Csc270º Sec 200º.Cos 170º
a) 1 b) 2 c) 3 a) (+) b) (–) c) (+) y (–)
d) -3 e) -2 d) (+) ó (–) e) No se puede precisar
4. Señale el signo de:
Sen 340º.Ctg 124º
P=
Cos 316º
a) (+) b) (–) c) (+) y (–)
3 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

4. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
Para encontrar un ángulo coterminal
positivo y uno negativo con un ángulo dado,
puede sumar y restar 360° si el ángulo es
ÁNGULOS COTERMINALES medido en grados o 2π si el ángulo es
medido en radianes.
Los ángulos se pueden medir en el sentido Ejemplo 1:
del movimiento de las agujas del reloj (tiene Encuentre un ángulo coterminal positivo y
medida negativa) y al contrario del uno negativo con un ángulo de 55°.
movimiento de las agujas del reloj (con 55° – 360° = –305°
medida positiva). 55° + 360° = 415°
Un ángulo de –305° y un ángulo de 415°
 Dos o más ángulos se denominan son coterminales con un ángulo de 55°.
coterminales, cuando tienen el mismo
lado inicial y el mismo lado final.
 La diferencia entre dos o más ángulos
coterminales es el número de vueltas
sobre el lado inicial.
 Aquí es donde se justifica porque los
ángulos trigonométricos no tienen límites
en su magnitud, pues sólo se diferencian
en el número de vueltas.
Ejemplos
En General:
ϴ=2π(n)+α ó ϴ= 360°(n)+α
R.T[2π(n)+α]=R.T[α]
R.T[360°(n)+α]=R.T[α]
Ejercicios de Ángulos
Coterminales
Los siguientes ángulos están en la posición
Si dos o más ángulos son coterminales estándar, encuentre dos ángulos coterminales
entonces las Razones Trigonométricas de positivos y dos ángulos coterminales negativos en
sus medidas tienen el mismo valor cada caso.
numérico por ende diremos que son
iguales. 1) 120°
2) 135°
y 3) 240°
(a; b)
4) 315°
R.T. α = R.T. θ
5) 60°
α 6) 90°
7) -30°
x 8) -150°
9) 150°
θ 10) -45°
4 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

5. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
PRÁCTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICA
3. Del gráfico calcular:
QUINTO AÑO DE SECUNDARIA
“ÁNGULOS EN POSICION NORMAL” E = 5 secy + 4 cot β
β
ESTUDIANTE:…………………………………… x
β
RESOLUCION DE PROBLEMAS
1. Del siguiente gráfico calcular: (1; -2)
E = 10 senθ − 12 cot θ
y
x
θ
(1; -3)
4. Calcular:
2 2
(a + b) sec360º + (a - b) cos180º
E =
2abcsc270º
2. Si el punto P( −1; 3 ) pertenece al lado
final de un ángulo en posición canónica
cuya medida es “α”
calcular: E = cotα + cscα
5. Reducir:
3 3
m Sen90º −n Cos360º
J=
2 2 3
m Cos0º −mnSen270º −n Sen 270º
5 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

6. I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria
6 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz