El documento describe el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa (a2 + b2 = c2). Explica cómo Pitágoras descubrió esta relación y proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar el teorema para calcular lados desconocidos.

1. TeorEma
de
Pitágoras
a2 + b2 = c2

2. Pitágoras
 Nació en 572 a. de c.
aproximadamente. En la isla
de Samos, una de las islas
del mar Egeo, cerca de la
ciudad de Mileto, donde
nació Tales.
 Es muy probable que haya
sido alumno de este último.

3. Teorema
Proposición científica demostrable.
Teorema de Pitágoras
Es uno de los Teoremas más conocidos del mundo y uno de los
más estudiados.
Expresa la relacion
a2 + b2 = c2

4. Triángulos rectángulos
Los catetos
son perpendiculares
Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto.
Catetos
C B
A
a
c
b
Ángulo recto Hipotenusa
C B
A
a
c
b

5. Triángulos rectángulos: propiedades
Dos propiedades de interés:
Primera
En un triángulo
rectángulo la suma de los
ángulos agudos vale 90º
C B
A
a
c
b
B̂
y
 son complementarios
90º
B̂
 

Segunda
La altura sobre el lado desigual
de un triángulo isósceles lo
divide en dos triángulos
rectángulos iguales.
M
A
B C
BM = MC
Los triángulos
ABM y AMC
son iguales
Ĉ
B̂ 

6. Teorema de Pitágoras: idea intuitiva
Área = b2
Área = a2
Área = c2
el área del cuadrado construido
sobre la hipotenusa
c2 = a2 + b2
a la suma de las áreas de los
cuadrados
construidos sobre los catetos
En un triángulo rectángulo:
a
c
b
es igual

7. Teorema de Pitágoras: segunda comprobación
Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm2
Cuatro triángulos
rectángulos de
catetos 3 y 4 cm.
Cuyas áreas valen
6 cm2 cada uno.
Observa que en ese
cuadrado caben:
Además cabe un
cuadrado de lado c,
cuya superficie es c2.
Se tiene pues:
49 = 4·6 + c2
c2 = 49 - 24 = 25
c2 = 25 = 52
25 = 9 + 16
Por tanto, 52 = 32 + 42
4
3
7
c2
25 cm2
6 cm2
c

8. Teorema de Pitágoras: ejercicio primero
En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm,
calcula la hipotenusa.
5
12
c?
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
c2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 c = 13 cm
Haciendo la
raíz cuadrada

9. Teorema de Pitágoras: ejercicio segundo
En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm.
Calcula el valor del otro cateto.
6
a?
10
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
a2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64
a = 8 cm
a2 = c2 - b2
Luego:
Haciendo la raíz cuadrada:

10. Reconociendo triángulos rectángulos
Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60
cm de ancho y 80 de largo.
Como los lados de la ventana y
la diagonal deben formar un
triángulo rectángulo, tiene que
cumplirse que:
a2 + b2 = c2
Pero 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está
mal construida
¿Estará bien construido si la
diagonal mide 102 cm?
a
b
c
Mientras que 1022 = 10404
Son distintos
80 cm
60
cm

11. Cálculo de la diagonal de un rectángulo
Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm.
La diagonal es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 6 y 8
cm, respectivamente.
Luego, d2 = 36 + 64 = 100
¿Cuánto mide su diagonal?
6
8
d
Cumplirá que: d2 = 62 + 82
d = 10

12. Cálculo de la altura de un triángulo isósceles
Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm.
La altura es un cateto
de un triángulo
rectángulo cuyo
hipotenusa miden 8
cm y el otro cateto 3
cm.
Luego, 64 = 9 + h2
¿Cuánto mide su altura?
6
8 Cumplirá que: 82 = 32 + h2
Como se sabe, la altura
es perpendicular a la base y
la divide en dos partes
iguales
h
3 3
h2 = 55
4
,
7
55
h 

8