Este documento contiene información sobre secciones cónicas y geometría. Explica las ecuaciones y elementos básicos de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. También describe los tipos de geometría como geometría analítica, descriptiva y euclidiana, así como los elementos fundamentales de la geometría como punto, recta y plano. Por último, presenta ejemplos de ecuaciones paramétricas y ejercicios de aplicación.

1. TRABAJO DE SECCIONES
CONICAS
MARIA CAMILA POLANCO ROJAS
JOSE LUIS SOTO QUINTERO
ingeniería civil

2. SECCIONES CONICAS
Se definió en unidades antaeriores como la intersección
de un cono con las diferentes posiciones de un plano, o
como sitios geométricos de puntos que cumplen
propiedades geométricas específicas.
Los elementos básicos de las secciones cónicas se
pueden resumir en los siguientes:
Foco: Siempre es un punto fijo de la cónica, del cual se
desprenden varias líneas importantes que en el
desarrollo de la unidad se irán estudiando.
Directriz: Es una recta fija dentro de la cónica, que
desarrollando diferentes relaciones entre las distancias
que genera esta recta, da origen a una sección cónica
determinada.

3. CIRCUNFERENCIALa circunferencia se define como lugar geométrico o conjunto de puntos que gozan de las
mismas propiedades; y que para el caso, se trata, de todos los puntos que equidistan de
un punto llamado centro y que puede coincidir con el punto (0, 0) de un plano de ejes
coordenados. La distancia a la cual se hace referencia se llama radio de la
circunferencia.
Consideremos la siguiente circunferencia con centro en el punto (0,0) y radio r, con la
particularidad de que el radio debe ser mayor que cero (r > 0).
Ecuación general de la circunferencia

4. PARÁBOLA
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal forma
que su distancia a una recta fija situada en un plano es siempre igual a su distancia de un
punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
Ecuación de la parábola de vértice en el origen y el eje x

5. ELIPSE
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera
que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, y pertenecientes al
plano, es siempre igual a una constante, (longitud del eje máximo), mayor que la distancia
entre los dos focos.
Ecuación general de la elipse

6. HIPÉRBOLA
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de
tal forma que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos
del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante positiva y
menor que la distancia entre los focos. Toda ecuación de la forma , donde a puede
ser igual a b, representa una hipérbola.
la ecuación general de la hipérbola

7. LA GEOMETRIA
La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades
y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos
aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o
axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman
cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas,
curvas y puntos, entre otras.
Hay varios tipos de geometría, las cuales las definiremos a continuación:
 Geometría analítica
La geometría analítica es el estudio y representación de los elementos y figuras
geométricas mediante expresiones numéricas y algebraicas en un sistema de
coordenadas. Permite la representación de figuras a través de fórmulas. Este tipo de
geometría se aplica, por ejemplo, en la Física para representar elementos como los
vectores en un sistema de coordenadas.

8. Geometría descriptiva
La geometría descriptiva es el estudio y representación gráfica de las figuras a
través de la proyección ortogonal en un plano. Permite identificar y analizar las
propiedades geométricas y la relación espacial de las figuras. Los elementos
geométricos que la forman son el punto, la línea, el plano y el volumen.
Geometría euclidiana
La geometría euclidiana es el estudio de las propiedades geométricas de los
espacios euclídeos. También se conoce como geometría euclídea y en
ocasiones geometría parabólica. Se basa en los postulados del matemático griego
Euclides. Engloba la geometría plana (dos dimensiones) y la geometría del
espacio o espacial (tres dimensiones).

9. ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA
La Geometría tiene tres entes o elementos fundamentales no definidos: punto, recta y
plano.
• Punto
El punto es el primer elemento que no está definido en Geometría. Se representa
gráficamente por un pequeño círculo y una letra mayúscula que lo identifica. La
siguiente figura muestra tres puntos A, B y C.

10.  Recta
El segundo término no definido de la Geometría Euclideana es el de recta, aunque se
entiende que una recta es un conjunto infinito de puntos que se extienden
indefinidamente en sentidos opuestos. Para
referirse a una recta, se seleccionan dos puntos sobre ella; la recta queda
determinada por dichos puntos.
Una recta también se puede identificar por una letra minúscula. La figura siguiente
muestra la recta AB que pasa por los puntos A y B. La recta de la figura también está
identificada como la recta l.

11. • Plano
El tercer término no definido de la Geometría Euclideana es el de plano. Se entiende
que un plano es una superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente.
Una mesa de vidrio o la cubierta de un escritorio da la idea de un plano. Un plano se
representa geométricamente por una figura de cuatro lados y una letra mayúscula. La
siguiente figura representa al plano P.

12. ECUACIONES PARAMETRICAS
Una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el
plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante,
llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos
valores se desprenden los de la variable dependiente.
• Circunferencia
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que 𝑥2
+
𝑦2 = 𝑟2 .
Una expresión paramétrica es x = rcost y y = rsint

13. • Elipse
Una elipse con centro en el origen de coordenadas y que se interseque con el
eje x en a y -a, y con el eje y en b y -b, verifica que
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
Una expresión paramétrica es x = acost y y = bsint
• Otras curvas
La expresión paramétrica de una función permite la construcción de una gran
variedad de formas, simplemente variando alguna constante. A continuación se
describe la función paramétrica: x= (a-b)cost(t) + bcos(t((a/b) – 1)) y y= (a-b)sin(t) –
(t((a/b) -1)
Dependiendo del ratio k=a/b pueden obtenerse formas muy diversas.

14. En esta otra función se puede ver una gran variedad de
exponentes j y k, variando los parámetros a,b,c y d
X= cos(at) – cos(𝑏𝑡) 𝑗
Y= sin(ct) – sin(𝑑𝑡) 𝑘

15. EJERCICIOS DE APLICACION
1.La tienda el sol que se especializa en todo tipo de frituras, vende cacahuates a $0.70 la libra y
almendras a $1.60 la libra. Al final del mes, el propietario se entera que los cacahuates no se
venden bien y decide mezclar cacahuates con almendras para producir una mezcla de 45
libras, que venderá a $1.00 la libra. ¿Cuántas libras de cacahuates y de almendras deberá
mezclar para mantener los mismos ingresos?
SOLUCIÓN
Sea x las libras de cacahuates que la mezcla contiene y y las libras correspondientes de
almendras. Dado que el peso total es de 45 libras,
X + y = 45
El ingreso de x libras de cacahuate a $0.70 la libra es de 0.7x dólares, y el ingreso de y
libras de almendras a $1.60 la libra es de 1.6y dólares. El ingreso obtenido de la mezcla de 45
libras a $1.00 la libra será de $45. Dado que el ingreso de la mezcla deberá ser el mismo que el
de las frutas separadas, tenemos la ecuación siguiente.

16. Ingreso de los cacahuates + ingreso de las almendras = ingreso de la mezcla
0.7x + 1.6y = 45
7x +16y = 450
Libras de cacahuate + libras de almendras = libras de mezcla
X + Y = 45
De esta manera, llegamos al sistema de ecuaciones lineales siguiente.
X + Y = 45
7x +16y = 450

17. De la primera ecuación, obtenemos que x = 45 – y. luego sustituimos este valor
de x en la ecuación de abajo y despejamos y.
7(45–y)+16y=450
315–7y+16y=450
9y = 450 -315 =135
Y =15
Por tanto, x = 45 – y = 45 – 15 = 30.
En consecuencia 30 libras de cacahuate deberán mezclarse con 15 libras
de almendras para formar la mezcla.

18. 2. Una máquina de cambiar monedas, cambia los billetes de $1.000 en monedas de
$50 y de $20. Si usted recibe 29 monedas, después de introducir un billete de
$1.000, ¿Cuántas monedas de cada tipo recibe?
SOLUCION:
Sean X = Numero de monedas de $50
Y = Numero de monedas de $20
Luego (1) X + Y = 29
(2) 50X + 20Y = 1.000

19. Despejamos X en la ecuación (1)
X = 29 – Y
Reemplazamos X en la ecuación (2)
50(29 – Y) + 20Y = 1.000
1.450 – 50Y + 20Y = 1.000
– 50Y + 20Y = 1.000-1.450
-30Y = -450
Y = 15

20. Si Y=15 entonces X=14 para que X+Y=29
Comprobamos
50(14) +20(15) = 700 + 300 = 1.000