Wiki 3 Ejercicio 11

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
SEDE PRINCIPAL / EXTENSIÓN MATURIN
Gladyolis Mendoza
Wiki# 3
Ejercicio N° 11
1. G(s)=
𝑆
𝑆2+14𝑆+1
:
4√3𝑡
4√3𝑡
+
7
4√3
𝑒7𝑡 𝑠𝑖𝑛ℎ( ) 𝐿−1{
𝑆
𝑆2+14𝑆+1
}
𝑒7𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ
Se desarrolla:
𝑆
𝑆2 − 14𝑆 + 1
−
𝑆 − 7
( 𝑆 − 7)2 − 48
+
7 ∗ 1
( 𝑆 − 7)3 − 48
=
𝑆
𝑆2 − 14𝑆 + 1
=
𝑆
( 𝑆 − 7)3 =
( 𝑆 − 7) + 7
( 𝑆 − 7)2 − 48
=
𝑆 − 7
( 𝑆 − 7)2 − 48
+
7 ∗ 1
( 𝑆 − 7)2 − 48
= 𝐿−1 {
𝑆−7
( 𝑆−7)2−48
+
7∗1
( 𝑆−7)2−48
}
Propiedad de linealidad de la transformada inversa de laplace
F(s), G(s) y constante a, b: 𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝐹( 𝑠) + 𝑏 ∗ 𝐺( 𝑠)} = A 𝐿−1{ 𝐹( 𝑠)} + 𝑏 ∗ 𝐿−1{ 𝐺( 𝑠)}
= 𝐿−1 {
( 𝑆−7)
( 𝑆−7)2−48
} + 7𝐿−1 {
1
( 𝑆−7)2−48
}
𝐿−1 {
( 𝑆−7)
( 𝑆−7)2−48
} :
4√3𝑡
( )
𝑒7𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ
𝐿−1 {
( 𝑆−7)
( 𝑆−7)2−48
} ----- Regla de la transformada inversa: 𝐿−1{ 𝐹( 𝑠)} = 𝐹( 𝑡) Entonces:
𝐿−1{ 𝐹( 𝑠 − 𝑎)} = 𝑒 𝑎𝑡 𝐹( 𝑡) 𝑝𝑜𝑟𝑙𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜

2. 𝐿−1 {
𝑆−7
( 𝑆−7)2−48
} = 𝑒7𝑡 𝐿−1 {
𝑆
𝑠2−48
}
4√3𝑡
( )
𝐿−1 {
𝑆
𝑆2−48
} : 𝑐𝑜𝑠ℎ
= 𝐿−1 {
𝑠
𝑠2−𝑎2
}= 𝑐𝑜𝑠ℎ( 𝑎𝑡)
4√3
𝑠2 −
𝑠
𝐿−1
= 𝑐𝑜𝑠ℎ(4√3𝑡) =
4√3
𝑐𝑜𝑠ℎ
) =
3𝑡
4√
𝑒7𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ
Entonces:
𝐿−1 {
1
( 𝑆−7)2−48
}:
1
4√3
* 𝑒7𝑡 𝑠𝑖𝑛ℎ(4√3)
𝐿−1 {
1
( 𝑆 − 7)2 − 48
}
Regla de la transformada inversa: Si
𝐿−1{ 𝐹( 𝑠)} = 𝐹( 𝑡) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐿−1{ 𝐹( 𝑠 − 𝑎)} = 𝑒7𝑡 𝐹( 𝑡)
𝐿−1 {
1
( 𝑠−7)2−48
} = 𝑒7𝑡 𝐿−1 {
1
𝑠2−48
}
𝐿−1 {
1
𝑠2 − 48
}:
1
4√3
𝑠𝑖𝑛ℎ(4√3𝑡) = 𝐿−1 {
1
4√3
∗ 4√3
𝑠2 − (4√3)
2}
Propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de laplace
para una función f(t) y una constante a
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝐹( 𝑡)} = a* 𝐿−1 { 𝐹( 𝑡)} =
1
4√3
𝐿−1
3
4√
𝑠2 −
4√3
Tabla de las transformada inversa de laplace 𝐿−1 {
𝑎
𝑠2−𝑎2
} = 𝑠𝑖𝑛ℎ( 𝑎𝑡)

3. 𝐿−1 {
4√3
𝑠2−(4√3)
2} =
4√3𝑡
𝑠𝑖𝑛ℎ
) =
1
4√3
𝑠𝑖𝑛(4√3𝑡) =
1
4√3
𝑒7𝑡
4√3
( | 𝑡)
𝑠𝑖𝑛ℎ
=
4√3𝑡
( ) + 7𝑒7𝑡 1
4√3
𝑠𝑖𝑛ℎ(4√3𝑡)
𝑒7𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ
Se simplifica:
4√3𝑡 + 7𝑒7𝑡 1
4√3
𝑠𝑖𝑛ℎ(4√3𝑡):𝑒7𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(4√3𝑡)
𝑒7𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ
𝑒7𝑡 𝑠𝑖𝑛ℎ(4√3𝑡)
𝑒7𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(4√3𝑡) + 7𝑒7𝑡 1
4√3𝑡
𝑠𝑖𝑛ℎ(4√3𝑡)
7𝑒7𝑡 1
4√3
𝑠𝑖𝑛ℎ(4√3𝑡)=
7
4√3
𝑒7𝑡 𝑠𝑖𝑛ℎ(4√3𝑡) = 7𝑒7𝑡 1
4√3𝑡
𝑠𝑖𝑛ℎ(4√3𝑡)
𝑎
𝑏
𝑐
=
𝑎 ∗ 𝑏
𝑐
Entones:
4√3𝑡
( | )
(4√3𝑡) =
7
4√3
𝑒7𝑡 𝑠𝑖𝑛ℎ
1 ∗ 7
4√3
𝑒7𝑡 𝑠𝑖𝑛ℎ
𝑒7𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(4√3) +
7
4√3
𝑒7𝑡 𝑠𝑖𝑛ℎ(4√3𝑡)