transformada unilateral causal

1. TRANSFORMADA Z UNILATERAL-
CAUSAL

2. Ya que en la ingeniería se involucran sistemas y
señales causales, se usan este tipo de
transformada Z.

3. SEÑAL CAUSAL
Las señales causales son señales que tienen valor de cero en el tiempo
negativo, y las señales anti-causales tienen valor cero en el tiempo
positivo.
• F: Z R
0 ; n<0
x[n]
x[n] ; n>=0
entonces se cumple:
x ϵ causal : x[n]=x[n].u[n]

4. DEFINICION DE LA TRANSFORMADA Z
UNILATERAL
La transformada Z unilateral se define como
𝒵𝑢 𝑥 𝑛 = 𝑋 𝑧 =
𝑛=0
∞
𝑥(𝑛)𝑧−𝑛
Zu {x(n)} = Z {x(n)u(n)}. Puesto que x(n)u(n) es causal, la ROC de su transformada X
(z) es siempre exterior a un cırculo. Por lo tanto, cuando se trate con transformadas
z unilaterales, no es necesario referirse a su región de convergencia.

5. PROPIEDADES
• Retardo Temporal
Si x(n) = X (z), entonces:
𝑥(𝑛 − 𝑘) → 𝑧−𝑘 𝑋 𝑧 +
𝑛=1
𝑘
𝑥(−𝑛)𝑧 𝑛
Para k>0. Si x(n) es causal entonces x(n-k) = z-kX(z).
Demostración:
𝒵𝑢 𝑥 𝑛 − 𝑘 =
𝑛=0
∞
𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑧−𝑛
=
𝑚=−𝑘
∞
𝑥 𝑚 𝑧− 𝑚+𝑘
=
𝑚=−𝑘
∞
𝑥(𝑚)𝑧−𝑚
𝑧−𝑘
𝒵𝑢 𝑥 𝑛 − 𝑘 = 𝑧−𝑘
𝑚=−𝑘
∞
𝑥 𝑚 𝑧−𝑚
= 𝑧−𝑘
𝑚=−𝑘
−1
𝑥 𝑚 𝑧−𝑚
+
𝑚=0
∞
𝑥 𝑚 𝑧−𝑚
𝒵𝑢 𝑥 𝑛 − 𝑘 = 𝑧−𝑘
𝑋 𝑧 +
𝑛=1
𝑘
𝑥(−𝑛)𝑧 𝑛

6. PROPIEDADES
• Adelanto Temporal
Si x(n) = X (z), entonces:
𝑥(𝑛 + 𝑘) → 𝑧 𝑘
𝑋 𝑧 −
𝑛=1
𝑘
𝑥(𝑛)𝑧−𝑛
Para k>0.
Demostración:
𝒵𝑢 𝑥 𝑛 + 𝑘 =
𝑛=0
∞
𝑥(𝑛 + 𝑘) 𝑧−𝑛
=
𝑚=𝑘
∞
𝑥 𝑚 𝑧− 𝑚−𝑘
=
𝑚=−𝑘
∞
𝑥(𝑚)𝑧−𝑚
𝑧 𝑘
𝒵𝑢 𝑥 𝑛 + 𝑘 = 𝑧 𝑘
𝑚=𝑘
∞
𝑥 𝑚 𝑧−𝑚
= 𝑧 𝑘
𝑚=0
∞
𝑥 𝑚 𝑧−𝑚
−
𝑚=0
𝑘−1
𝑥 𝑚 𝑧−𝑚
𝒵𝑢 𝑥 𝑛 + 𝑘 = 𝑧+𝑘
𝑋 𝑧 +
𝑛=0
𝑘−1
𝑥(𝑛)𝑧−𝑛

7. TEOREMA DEL VALOR FINAL
Se tiene que:
𝑋 𝑧 = 𝒵𝑢 𝑥(𝑛) = lim
𝑁→∞
𝑛=0
𝑁
𝑥(𝑛)𝑧−𝑛
Y además:
𝒵𝑢 𝑥 𝑛 + 1 = 𝑧𝑋 𝑧 − 𝑧𝑥 0 = lim
𝑁→∞
𝑛=0
𝑁
𝑥(𝑛 + 1)𝑧−𝑛
Con lo que se tiene:
𝒵𝑢 𝑥 𝑛 + 1 − 𝒵𝑢 𝑥 𝑛 = 𝑧𝑋 𝑧 − 𝑧𝑥 0 − 𝑋 𝑧
= 𝑧 − 1 𝑋 𝑧 − 𝑧𝑥 0 … … … … (1)

8. = lim
𝑁→∞
(
𝑛=0
𝑁
𝑥 𝑛 + 1 𝑧−𝑛
−
𝑛=0
𝑁
𝑥(𝑛)𝑧−𝑛
)
= lim
𝑁→∞
(
𝑛=0
𝑁
𝑥 𝑛 + 1 𝑧−𝑛 −
𝑛=−1
𝑁−1
𝑥(𝑛 + 1)𝑧−𝑛−1)
= lim
𝑁→∞
(
𝑛=0
𝑁−1
𝑥 𝑛 + 1 𝑧−𝑛 + 𝑥 𝑁 + 1 𝑧−𝑛 − 𝑥 0 −
𝑛=0
𝑁−1
𝑥 𝑛 + 1 𝑧−𝑛−1)
= lim
𝑁→∞
(
𝑛=0
𝑁−1
𝑥 𝑛 + 1 𝑧−𝑛 − 𝑧−𝑛−1 + 𝑥(𝑁 + 1)𝑧−𝑛) − 𝑥(0)
= lim
𝑁→∞
(
𝑛=0
𝑁−1
𝑥 𝑛 + 1 𝑧−𝑛−1
(𝑧 − 1) + 𝑥(𝑁 + 1)𝑧−𝑛
) − 𝑥(0)

9. Comparando con la ecuación 1:
𝑧 − 1 𝑋 𝑧 = lim
𝑁→∞
(
𝑛=0
𝑁−1
𝑥 𝑛 + 1 𝑧−𝑛−1
(𝑧 − 1) + 𝑥(𝑁 + 1)𝑧−𝑛
) + (𝑧 − 1)𝑥(0)
Y aplicando el límite cuando z tiende a 1 a ambos lados se obtiene:
lim
𝑛→∞
𝑥(𝑛) = lim
𝑧→1
𝑧 − 1 𝑋 𝑧
Lo que se conoce como el teorema del valor final.
Este teorema se utiliza para calcular el valor asintótico de la señal x(n)
cuando n tiende a infinito, si se conoce X(z) pero no x(n).