Este documento presenta una introducción a los conceptos de desigualdades y valor absoluto. Explica los símbolos de desigualdad, propiedades fundamentales de las desigualdades como la propiedad de la tricotomía y la propiedad de orden de la suma y la multiplicación. También presenta ejemplos de resolución de desigualdades, conjuntos de soluciones e intervalos. Finalmente, introduce la definición de valor absoluto y algunas propiedades.
Ponencia en I SEMINARIO SOBRE LA APLICABILIDAD DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSITARIA. 3 de junio de 2024. Facultad de Estudios Sociales y Trabajo, Universidad de Málaga.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
Presentación de la conferencia sobre la basílica de San Pedro en el Vaticano realizada en el Ateneo Cultural y Mercantil de Onda el jueves 2 de mayo de 2024.
Documento sobre las diferentes fuentes que han servido para transmitir la cultura griega, y que supone la primera parte del tema 4 de "Descubriendo nuestras raíces clásicas", optativa de bachillerato en la Comunitat Valenciana.
1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 1
Dpto. de Matemáticas - Goretti
ENUNCIADOS DE DESIGUALDAD
En la siguiente figura se dice que: “a es menor que b”, porque el punto a se encuentra a la izquier-
da del punto b, y se escribe a<b, (< simboliza menor).
En la gráfica también se observa que el punto b se encuentra a la derecha del punto a, y se escribe
a>b (> simboliza mayor).
Nótese que el símbolo de la desigualdad “apunta” hacia el punto de menor valor numérico entre los
dos números y “se abre” hacia el punto de mayor valor numérico entre los dos números.
He aquí dos ejemplos del empleo de estos dos símbolos de desigualdad.
3<7 se lee 3 es Menor que 7
5>-2 se lee 5 es mayor que -2.
SIMBOLOS DE DESIGUALDADES EJEMPLOS LECTURA
< Menor 3<4 3 es menor que 4
> Mayor 5>1 5 es mayor que 1
Menor o igual x 4 X es menor o igual a 4
Mayor o igual x 3 X es mayor o igual a 3
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS DESIGUALDADES
1.- Propiedad de la Tricotomía: Para dos números reales a y b, se cumple uno y solamente uno
de los siguientes casos: a<b; a>b; o a=b
2.- Propiedad de orden de la Suma: Para todos los números reales a, b y c se cumple que:
a) Sí a<b, entonces a+c < b+c
b) Sí a>b, entonces a+c > b+c.
Es decir, el mismo número se lo puede sumar o restar a cada uno de los miembros de la desigual-
dad y el sentido de la desigualdad no cambia.
3.- Propiedad de Orden de la Multiplicación: Para todos los números reales a,b y c se cumple
que:
a) Sí a<b, y c es positivo, entonces ac<bc
b) Sí a<b y c es negativo, entonces –ac>-bc.
Ejemplo 1:
Como 5< 10, entonces 5+3 < 10+3 esto es igual a:
8< 13
Como 9>3, entonces 9-2 > 3-2 esto es igual a:
7> 1
Ejemplo 2:
Resolver las siguientes desigualdades
a) -4x - (3 - 5x)>8
b) 5x +2 < 12
c) X-(4-x) > 12
Solución:
a) -4x - (3 - 5x)>8
-4x – 3 + 5x >8
X - 3>8 aumentamos a ambos miembros +3
x -3 + 3> 8+3
x>11
2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 2
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b) 5x + 2 < 12 disminuimos a ambos miembros -2
5x + 2 -2<12 - 2
5x< 10 multiplicamos a ambos miembros por 1/5
1/5(5x) < 1/5(10)
.x<2
c) 2x –(4 + x)>12
2x - 4 - x > 12
x – 4>12 sumamos a ambos miembros +4
x - 4+4>12 + 4
x> 16.
Ejemplo:
Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades o inecuaciones:
a) 3x + 7 2x – 1
b) 2x – 4 x +2
Solución:
a) 3x + 7 2x – 1 sumamos a cada miembro -7
3x + 7 - 7 2x – 1 – 7
3x 2x -8 sumamos a cada miembro -2x
3x – 2x 2x – 8 - 2x
.x -8
b) 2x – 4 x+2 sumamos a cada miembro +4
2x – 4 + 4 x+2+4
2x x +6 sumamos a cada miembro – x
2x – x x+ 6 –x
.x 6
Ejemplo: dada la siguiente desigualdad 8<12, multiplicarla por las siguientes cantidades 2, -3,
1/4, -3/2.
a) 8<12 multiplicamos ambos miembros por 2
2(8)< 2(12)
16 < 24 se conserva el signo de la desigualdad.
b) 8<12 multiplicamos ambos miembros por - 3
-3(8) < -3(12)
- 24 > -36 el signo de la desigualdad se invierte.
c) 8<12 multiplicamos ambos miembros por 1/4
(1/4)(8)< (1/4)(12)
8/4 < 12/4 se conserva el signo de la desigualdad.
2<3
d) 8<12 multiplicamos ambos miembros por -3/2
-3/2(8) < -3/2(12)
-24/2 > - 36/2 el signo de la desigualdad se invierte.
- 12 > - 18
Ejemplo: resuelva las siguientes desigualdades o inecuaciones.
a) 5(3 – 2x) 10
b) .x/2 + 3 x/3 – 2
3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 3
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Solución:
a) 5(3 – 2x) 10
15 – 10x 10 sumamos a ambos miembros -15
15 – 10x – 15 10 -15
-10x -5 multiplicamos ambos miembros por -1/10
(-1/10)(-10x) (-1/10)(-5)
.x 5/10 el signo de desigualdad se invierte
.x 1/ 2
b) .x/2 + 3 x/3 – 2 multiplicamos todos los términos por 2
2(x/2) + 2(3) 2(x/3) – 2(2)
X+6 2x/3 – 4 multiplicamos todos los términos por 3
3x + 3(6) 3(2x/3) – 3(4)
3x + 18 2x -12 sumamos ambos miembros -2x
3x + 18 – 2x 2x -12 – 2x
.x + 18 -12 sumamos ambos miembros - 18
.x + 18 - 18 -12 – 18
.x - 30
TALLER No 1
Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
1) x + 3 <12
2) - x – 5 < 13
3) x -1 > 8
4) - x +7 > 2
5) x – 5 9
6) - x – 3 -5
7) 3x + 8 < 2x + 12
8) 3x – 6 x + 8
9) - 5(x + 7) 3x – 7
10) 2(x – 1) 5x + 1
11) x/4 +2 > x/5 -2
4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 4
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GRAFICOS de DESIGUALDADES (Intervalos)
Ejemplo:
Exprese cada una de las siguientes desigualdades con una notacion de intervalo
a) -6 x<0
b) X<5
c) x -1
d) -2<x<4
e) x>2
Solucion:
a) -6 x<0 entonces el intervalo es [-6,0)
b) X<5 entonces el intervalo es ( , 5)
c) x -1 entonces el intervalo es ( ,-1]
d) -2<x<4 entonces el intervalo es (-2,4)
e) x>2 entonces el intervalo es (2, )
Ejemplo:
De cada uno de los siguientes intervalos graficarlos en la recta real
a) (-3,-1)
b) [0,5]
c) (3,5]
d) ( 0]
e) [2,+ )
Solucion:
5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 5
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Ejempl
o:
Grafique el conjunto solucion (intervalo) de las siguientes desigualdades:
a) -2(x-1) 4
b) 3x + 5< - 3x + 1
c) -2x + 1 19
Solucion:
a) -2(x-1) 4
-2x + 2 4 sumamos a ambos miembros -2
-2x + 2 – 2 4 -2
-2x 2 multiplicamos a ambos miembros por -1/2
(-1/2)(-2x) (-1/2)(2)
.x - 1 conjunto solucion
b)
3x + 5< - 3x + 1 sumamos a ambos miembros -5
3x + 5 – 5 < -3x + 1 – 5
3x < -3x -4 sumamos a ambos miembros +3x
3x +3x < -3x – 4 +3x
6x < - 4 multilicamos a ambos miembros por 1/6
(1/6)(6x) < (1/6)(- 4)
X < - 0,666
c) -2x + 1 19 sumamos a ambos miembros -1
-2x + 1 -1 19 – 1
-2x 18 multiplicamos ambos miembros por -1/2
(-1/2)(-2x) (-1/2)(18)
.x -9
6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 6
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TALLER
1.- Exprese cada una de las siguientes desigualdades con una notacion de intervalo
a) -5 x<2
b) -10<x<10
c) x -1
d) -2 x
e) 0<x<7
2.- De cada uno de los siguientes intervalos graficarlos en la recta real
a) [-3,-1)
b) (0,5)
c) [3,5)
d) ( -2]
e) (2,+ )
3.- Grafique el conjunto solucion (intervalo) de las siguientes desigualdades:
a) 3x + 5 17
b) 2(x+1)< x + 1
c) 3x/4 + 2 < 5x/8 – 3
d) X – 7 - 3
e) 3x +12> 2x – 5
f) -5x< 50
g) -2x +1 19
h) -5x + 5 < -3x +1
i) 3x + 5 + x >2(x-1)
7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 7
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DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO Para cualquier número real X, se cumple que:
X sí x 0 ………… (1)
|X| =
- X sí x 0 ………… (2)
¿Qué tienen en común los números -5 y +5? Es obvio que son números diferentes y que son las
coordenadas de dos puntos distintos en la recta real. Sin embargo, ambos números están a una
misma distancia del cero (0) u origen de la recta.
Es decir, el punto -4 está a la misma distancia a la izquierda del cero (0), que el punto +4 a la dere-
cha del cero (0). Este hecho se lo indica con la notación del Valor Absoluto.
|-4| = 4 quiere decir “El valor absoluto de -4 es 4”.
|+4| = 4 quiere decir “El valor absoluto de +4 es 4”
PROPIEDAD 1: |x| = k entonces (1) +x = k y (2) –x = -(-k) = k, esta propiedad es una con-
secuencia directa de la definición de valor absoluto
PROPIEDAD 2: |x| k entonces -k k, es lo mismo que escribir: (1) x -k y (2) x k
PROPIEDAD 3: |x| k entonces x -k y x k
Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones lineales (igualdad) con valor absoluto:
a) |5-x| = 7
b) |-x +7| = 10
c) |x+2| = -12
d) |2x – 3| = 9
Solución:
a) |5-x| = 7 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber:
(1) Si (5-x) es positivo, entonces 5 –x =7
-x = 7-5
-x = 2
X = -2
(2) Si –(5-x) es negativo, entonces - 5 +x = 7
+x = 7 +5
.x = 12 Rta: x=-2 y x= 12
Comprobación:
|5- (-2)|=|5+2|=7
|5-(12)|=|5-12|=|-7|=7
b) |-x +7| = 10 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber:
(1) Si (-x +7) es positivo, entonces –x + 7 = 10
-x = 10 -7
-x = 3
X = -3
(2) Si –(-x+7) es negativo, entonces +x - 7 = 10
+x = 10 + 7
.x = 17 Rta: x= - 3 y x = 17
Comprobación:
|-(-3) + 7|=|3+7|=10
8. Luis Gonzalo Revelo Pabón 8
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|-17 + 7|=|-10|=10
c) |x+2| = -12 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber:
(1) Si (x+2) es positivo, entonces x+2 =-12
x = - 12 - 2
x= - 14
(2) Si (x+2) es negativo, entonces -x - 2 = -12
-x = -12 +2
-.x = - 10
X= 10 Rta: x= 10 y x= -14
Comprobación:
|-14+2|=|-12|=12
|10 +2|=|12|=12
d) |2x -3| = 9 aplicando la propiedad 1, tenemos que efectuar dos pasos a saber:
(1) Si (2x-3) es positivo, entonces 2x -3 =9
2x = 9+3
2x = 12
X = 12/2 = 6
(2) Si –(2x-3) es negativo, entonces --2x + 3 = 9
-2x = 9 - 3
.-2x = 6
2x = -6
X =- 3 Rta: x= 6 y x=- 3
Comprobación:
|2(6)-3|=|12-3|=|9|=9
|2(-3)- 3|=|-6-3|=|-9|=9.
Ejemplo 2:
Resolver las siguientes inecuaciones lineales (o desigualdad) con valor absoluto.
a) |x-2| 3
b) |3-x| 12
c) |-x +4| 20
d) |-2+2x| 10
Solución:
a) |x-2| 3 aplicando la propiedad (2), se tiene que:
-3 x-2 3 a cada miembro de la desigualdad le aumentamos +2
-3+ 2 x-2 +2 3 +2
-1 x 5
Respuesta: todos los números comprendidos entre -1 y 5, incluidos el -1 y el 5.
b) |3-x| 12 aplicando la propiedad (2), se tiene que:
-12 3-x 12 a cada miembro de la desigualdad le disminuimos -3
-12 -3 3-x -3 12-3
- 15 x 9 multiplicamos por -1
15 x -9 ordenamos este intervalo para obtener
-9 x 15
Respuesta: todos los números comprendidos entre -9 y 15, incluidos el -9 y el 15
c) |-x+4| 20 aplicando la propiedad (2), se tiene que:
-20 -x + 4 20 a cada miembro de la desigualdad le disminuimos -4
-20 -4 -x +4-4 20 -4
-24 -x 16 multiplicamos por -1
24 x -16 ordenamos el intervalo
9. Luis Gonzalo Revelo Pabón 9
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- x 24
Respuesta: todos los números comprendidos entre -16 y 24, incluidos el -16 y el 24
d) |-2+2x| 10 aplicando la propiedad (2), se tiene que:
-10 -2+2x 10 a cada miembro de la desigualdad le aumentamos +2
-10+2 -2+2x+2 10+2
-8 2x 12 dividimos a cada una de las desigualdades entre 2
-4 x 6
Respuesta: todos los números comprendidos entre -4 y 6, incluidos el -4 y el 6.
Ejemplo 3:
Resolver las siguientes inecuaciones lineales (o desigualdades) con valor absoluto.
a) |x+1| 2
b) |-x+7| 12
c) |2x-8| 4
d) |-x -3| -5
Solución
a) |x+1| 2 aplicando la propiedad (3), se tiene que:
(1) x+1 -2 entonces x -3
(2) x+1 2 entonces x 1 respuesta: x -3 y x 1
Solución
b) |-x+7| 2 aplicando la propiedad (3), se tiene que:
(1) -x+7 -12 entonces -x 19 multiplicamos por -1.
x -19
(2) -x+7 12 entonces -x 5 multiplicamos por -1
x -5 respuesta: x -5 y x -19
Solución
c) |2x-8| 4 aplicando la propiedad (3), se tiene que:
(1) 2x-8 - 4 entonces 2x 4 dividimos cada miembro entre 2
x 2
(2) 2x-8 4 entonces 2x 12 dividimos cada miembro entre 2
x 6 respuesta: x 2yx 6
Solución
d) |-x-3| -5 aplicando la propiedad (3), se tiene que:
(1) -x-3 -(-5) entonces -x - 3 5 sumamos a cada miembro entre +3
-x- 3+3< 5+3
-x < 8 multiplicamos a cada miembro por -1
.x -8
(2) -x-3 - 5 entonces -x -3+3 -5+3
-x> -2 multiplicamos a cada miembro por -1
.x<2 respuesta: x 2 y x - 8
10. Luis Gonzalo Revelo Pabón 10
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TALLER
1.- Despeje x de cada una de las siguientes expresiones algebraicas:
a) |x| = ½
b) |3x – 4|=0
c) |4-x| = 3
d) |3x| = 3
e) |6 – 2x| = 4
2.- Despeje x de cada una de las siguientes expresiones algebraicas y las soluciones grafíquelas
en la recta real:
a) |3x – 6|<9
b) | x – 1 | 3
c) |x +2 | 3
d) |x +1| 3
e) |2x – 1| 7