Este documento describe los conceptos de igualdad numérica, igualdad algebraica, identidad algebraica, ecuación algebraica, identidad trigonométrica y razón trigonométrica. Explica que una igualdad puede ser verdadera o falsa, y que existen dos tipos principales de igualdades algebraicas: identidades algebraicas que son verdaderas para todos los valores de las variables, y ecuaciones algebraicas que solo son verdaderas para ciertos valores. También define identidades trigonométricas y razón trigonométrica, e introduce tres tipos de identidades trig
Presentación para ser utilizada como introducción al tema de las funciones lineales, su expresión algebraica y sus características con algunos gráficos para su comprensión y entendimiento. Nivel de educación media, curso 10 y 11
Perspectiva axonométrica. Es un sistema de representación gráfica, consistente en representar elementos geométricos o volúmenes en un plano, mediante proyección ortogonal, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven su proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud.
Esta contiene algunas páginas de la presentación final. Espero estas pocas páginas les aclaren algunas dudas de las funciones polinomicas, La presentación completa la pueden adquirir en matematicaspr.com. En el blog de matematicaspr.com hay un publicación de este tema con segmentos de la presentacion interactiva.
Presentación para ser utilizada como introducción al tema de las funciones lineales, su expresión algebraica y sus características con algunos gráficos para su comprensión y entendimiento. Nivel de educación media, curso 10 y 11
Perspectiva axonométrica. Es un sistema de representación gráfica, consistente en representar elementos geométricos o volúmenes en un plano, mediante proyección ortogonal, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven su proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud.
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Presentación desarrollando 4 contenidos :
Suma , resta y valor numérico de expresiones algebraicas
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
Presentación de la conferencia sobre la basílica de San Pedro en el Vaticano realizada en el Ateneo Cultural y Mercantil de Onda el jueves 2 de mayo de 2024.
Unidad6. identidades y ecuaciones trigonometricas gonzalo revelo pabon
1. Luis Gonzalo Revelo Pabón 57
Dpto. de Matemáticas - Goretti
LA IGUALDAD: son expresiones numéricas o algebraicas que se encuentran en el primero y segundo
miembro de una igualdad, separadas por el signo de igualdad (=). Donde la igualdad puede ser falsa o
verdadera.
La igualdad es numérica si solo tiene números y la igualdad es algebraica (o literal) si tiene números y
letras.
Por ejemplo, son Igualdades Numéricas y Algebraicas
1. 3+2 = 5 Es una expresión numérica VERDADERA.
2 2 2
2. 4 -3 =1 Es una expresión numérica FALSA
2 2 2
3. (a+b) =a +2ab+b Es expresión algebraica VERDADERA, para cualquier valor numérico, que
tome las variables a y b.
4. Es expresión algebraica VERDADERA, solamente se cumple para x =21 y para to-
dos los valores que tome x diferentes a 21, la expresión algebraica es FALSA.
Por tanto hay dos tipos de igualdades a saber: La Identidad algebraica y La Ecuación algebraica.
LA IDENTIDAD ALGEBRAICA: Es una igualdad que se cumple para todos los valores que tome la(s)
variable(s).
Ejemplo 1: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdadera
para todos los valores que tome x.
Ejemplo 2: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdadera para
todos los valores que tome x, y.
Ejemplo 3: La igualdad algebraica es una identidad, ya que es verdadera para
todos los valores que tome x, y.
LA ECUACION ALGEBRAICA: Es una igualdad que se cumple solamente para algunos valores que
tome la(s) variable(s).
Ejemplo 1: La igualdad algebraica 2x = 8 es una ecuación, ya que solamente es válida para x = 4
Ejemplo 2: La igualdad algebraica 4x – 3 = 2x +1 es una ecuación ya que solamente se cumple para x = 2
Ejemplo 3: La igualdad algebraica 4 = 2x(x – 1), es una ecuación, ya que se cumple solamente cuando la
variable x toma los valores de x = 2 y x = – 1
IDENTIDAD TRIGONOMETRICA
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre dos expresiones que contienen funciones trigonomé-
tricas y es válida o verdadera para todos los valores permisibles que tome o se le asigne a la variable
angular.
Ejemplo 1: La igualdad es una Identidad trigonométrica, ya que se cumple para todos
los valores que tome el ángulo A.
Ejemplo 2: La igualdad ⁄ , es una identidad trigonométrica, ya que es verdadera para
todos los valores que tome el ángulo A.
Ejemplo 3: La igualdad ⁄ , es una identidad trigonométrica, ya que es verdadera para to-
dos los valores que tome el ángulo A.
Existen tres tipos de identidades llamadas Identidades fundamentales a saber: Identidades trigonométri-
cas por Cociente, Identidades trigonométricas Reciprocas e Identidades trigonométricas Pitagóricas.
RAZONES TRIGONOMETRICAS
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
2. Luis Gonzalo Revelo Pabón 58
Dpto. de Matemáticas - Goretti
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS POR COCIENTE:
Denominamos así a las siguientes identidades porque cada una de ellas representa la divicion o cociente
entre dos razones trigonometricas.
1. Tang A =
2. Cotag A =
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS RECIPROCAS
Las siguientes identidades se cumplen o son verdaderas para cualquier valor que se le asigne al ángulo
de la función trigonométrica, con la única excepción de que el denominador no debe ser cero. Las siguien-
tes expresiones se denominan identidades recíprocas:
1. Sen A = 4. Cotag A =
2. Cos A = 5. Sect A =
3. Tang A = 6. Cosec A =
Demostración:
1.- Por definición de razón trigonométrica del Sen A, es igual a:
Sen A =
El reciproco o inverso de Sen A, será igual a:
= Cosec A
De igual manera se efectúa, para demostrar a las demás identidades trigonométricas reciprocas.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PITAGORICAS
Se denominan identidades Pitagóricas, porque son el resultado de la aplicación del teorema de Pitagóri-
cas con las razones trigonométricas.
1.
2.
3.
Demostración:
De acuerdo al teorema de Pitágoras se tiene que:
Al dividir cada uno de los términos de la ecuación entre
Se obtiene que:
( ) ( )
3. Luis Gonzalo Revelo Pabón 59
Dpto. de Matemáticas - Goretti
Pero:
Al remplazar en la ecuación anterior se obtiene que:
……..(1)
Ahora, al dividir cada uno de los términos de la ecuación pitagórica (1), entre se obtiene que:
De igual manera al dividir cada uno de los términos de la ecuación pitagórica (1), entre se obtiene
que:
EJERCICIOS CON LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Con las identidades trigonométricas fundamentales se puede realizar las siguientes tipos de ejercicios:
1. Tipo Simplificación.
2. Tipo Demostración.
1.- TIPO SIMPLIFICACION: En este tipo de ejercicios se busca reducir hasta la más mínima expresión, a
la expresión trigonométrica que se haya planteado.
Para la simplificación o reducción de la expresión trigonométrica que se haya plantado o dado, esta sim-
plificación se la obtiene mediante la ayuda de las identidades trigonométricas fundamentales (Identidades
trigonométricas por cociente, inversas y Pitagóricas) y con la realización de factorizaciones, como de la
elaboración de las operaciones que se encuentran en la expresión.
Ejemplos: Efectuar las operaciones indicadas, en cada de las siguientes expresiones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Solución
1. =
2. =
3. = .
4.
5.
6.
Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones
1.
2.
3.
4.
5.
Solución:
1.
2.
3.
4.
5.
4. Luis Gonzalo Revelo Pabón 60
Dpto. de Matemáticas - Goretti
Ejemplos: Simplificar cada una de las siguientes expresiones, hasta la más mínima expresión:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. +
Solución:
1. ⁄
2. ⁄ ⁄ ⁄
3.
= ⁄
4. ⁄
5.
6. ⁄ ⁄
7. +
=
TALLER
Simplificar cada una de las siguientes expresiones, hasta la más mínima expresión:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. * +
10.
2.- TIPO DEMOSTRACION. Para demostrar (verificar) si una Identidad Trigonométrica es verdadera, se
elige a uno cualquiera de los dos miembros de la igualdad y por medio de operaciones algebraicas y de la
aplicación en cada paso que se efectué de las Identidades inversas, Identidades por cociente como de
las Identidades pitagóricas al miembro que se haya elegido, hasta llegar a demostrar que el miembro
elegido es igual al otro miembro de la igualdad.
5. Luis Gonzalo Revelo Pabón 61
Dpto. de Matemáticas - Goretti
En general, se inicia con el miembro de la igualdad más complicado.
Para tener éxito en la demostración o verificación de la Identidad Trigonométrica se requiere tener:
Una completa familiaridad con la Identidades fundamentales
Una completa familiaridad con los procedimientos de factorización, y operaciones con fracciona-
rios, etc.
Practicar.
Ejemplos: Demostrar las siguientes Identidades.
1.
2.
3.
4.
5.
Solución:
1.
Para demostrar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. Así:
2.
Para verificar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. Así:
=
3.
Para demostrar esta identidad elegimos el segundo miembro de la igualdad. Así:
4.
6. Luis Gonzalo Revelo Pabón 62
Dpto. de Matemáticas - Goretti
Para demostrar esta identidad elegimos el primer miembro de la igualdad. Así:
Dividimos cada termino entre Cos A
5.
Para demostrar esta identidad elegimos el primer miembro de la igualdad. Así:
TALLER
Demostrar las siguientes Identidades.
1.
2.
3. ⁄
4.
5.
6.
7.
8.
7. Luis Gonzalo Revelo Pabón 63
Dpto. de Matemáticas - Goretti
9. 1
10.
11.
12.
13.
LA ECUACION TRIGONOMETRICA: Es una igualdad que contiene funciones trigonométricas y es ver-
dadera solamente para algunos valores que tome la variable angular.
Resolver una ecuación trigonométrica, es determinar los valores del ángulo desconocido de una función
trigonométrica.
ECUACION TRIGONOMETRICA DE PRIMER GRADO Y SEGUNDO GRADO.
El método para resolver una ecuación trigonométrica con una incógnita de segundo grado consiste en
reducirla a una ecuación algebraica, tomando a la funci ón trigonométrica como una incógnita auxiliar.
Luego se efectúa los siguientes pasos:
A) Se elige como incógnita a una letra cualquiera del abecedario, a la función trigonométrica cuyo
ángulo se desea encontrar.
Donde cada una de las raíces aceptadas, tiene una ecuación trigonométrica de las siguientes
formas:
B) Se remplaza en la ecuación donde se encuentra la función trigonométrica por la letra elegida
C) Por medio de los procedimientos ordinarios del algebra se resuelve la ecuación algebraica, con
relación a la incógnita auxiliar y se analizan las raíces teniendo en cuenta las condiciones de la
magnitud a las cuales está sujeta la función trigonométrica.
D) En este estudio únicamente se ofrecerán soluciones particulares que oscilen entre 0º grados y
360º grados. (Si se buscan todas las soluciones se tiene en cuenta (180º ) o
(360º ), de cada resultado obtenido dependiendo del cuadrante donde se encuentre el
ángulo y el signo que le corresponde a función trigonométrica en cada uno de los cuadrantes.
Ahora sí el ángulo es negativo para convertirlo en un ángulo positivo aplicamos la expresión
360º+ (-Angulo negativo))
Ejemplos: Determinar los valores del ángulo x entre 0º y 360º que satisfacen cada una de las siguien-
tes ecuaciones:
1.
2.
3.
4. √
5.
Solución:
1.
.
.
La función seno es positiva en el primero y segundo cuadrante, por lo tanto el ángulo del segundo cua-
drante es igual a 180º- 30º = 150º. Respuesta: 30º y 150º
2.
.
.
La función coseno es positiva en el primero y cuarto cuadrante, por lo tanto el ángulo en cuarto cuadrante
es igual a 360º - 0º = 360º. Respuesta 0º y 360º
3.
.
.
8. Luis Gonzalo Revelo Pabón 64
Dpto. de Matemáticas - Goretti
Como el ángulo negativo lo convertimos en un ángulo positivo mediante la ecuación: 360º + (-n), rempla-
zamos para obtener: 360º+ (-13,562151º) = 346,437849º
Ahora:
La función seno es negativa en el tercero y cuarto cuadrante, por lo tanto el ángulo del tercer cuadrante
es igual a 180º+ 13,562151º = 193,562151º. Respuesta: 346,437849º y 193,562151º
4. √
. √ .
.
El ángulo negativo lo convertimos a un ángulo positivo mediante la expresión: 360º+(-n), remplazamos
para obtener: 360º - 79,97501214º = 280,0249879º
Ahora, la función tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrante, por lo tanto el ángulo en el se-
gundo cuadrante es igual a 180º - 79,97501214º = 100,0249879º. Respuesta: 280,0249879º y
100,0249879º.
5.
.
.
La función coseno es negativa en el segundo y tercer cuadrante, por lo tanto el ángulo del tercer cuadran-
te es igual a 180º+ 60º = 240º. Respuesta: 120º y 240º
Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Solución:
1.
. ⁄
.
.
√
..
.
a) .
.
. Convertimos a un ángulo positivo.
.
Ahora la función seno sus valores son negativos en tercero y cuarto cuadrante. Por lo tanto en el cuarto
cuadrante el ángulo que satisface a esta ecuación es:
b)
. Esta ecuación No tiene solución, porque el valor máximo de la función seno es
Respuesta: X=321,8275º y 218,1724º
2.
.
9. Luis Gonzalo Revelo Pabón 65
Dpto. de Matemáticas - Goretti
.
.
√
..
.
a) .
.
. Convertimos a un ángulo positivo.
.
b)
.
.. Respuesta: A= 30º y 270º
3.
.
.
.
√
.
.
a) .
.
. .
b)
.
.. Respuesta: X= 0º y 60º
4.
.
.
. .
.
.
√
.
.
a) .
.
.
10. Luis Gonzalo Revelo Pabón 66
Dpto. de Matemáticas - Goretti
b)
.
Esta ecuación No tiene solución, porque el valor máximo de la función seno es :
Respuesta: X=30º
5.
. 3( ) +5
. 3( ) +5
.
.
.
.
.
√
. =
a) ⁄
. (3)
. (3) Esta ecuación no tiene solución porque, porque el valor máximo que toma la función
coseno es .
b) ⁄
. (0,5)
. (0,5)
. .
Ahora la función coseno tiene un valor positivo, en el primero y cuarto cuadrante. Por lo tanto el ángulo
que satisface esta ecuación en el cuarto cuadrante es igual a 360º , remplazando se obtiene:
360º-60º= 300º
Respuesta: Las soluciones de esta ecuación trigonométrica son: 60º y 300º
6.
.
.
√
. =
a) ⁄
. (2)
. (2) Esta ecuación no tiene solución porque, porque el valor máximo que toma la función
coseno es .
b) ⁄
. (1)
. (1)
11. Luis Gonzalo Revelo Pabón 67
Dpto. de Matemáticas - Goretti
. . y 360º
Respuesta: Las soluciones de esta ecuación trigonométrica son: 0º y 360º
TALLER.
Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas.
1. Rta: 60º y 300º
2. Rta: 210º y 330º
3. Rta: 45º y 225º
4. √ ⁄ Rta: 65º
5. . Rta: 35º
6. Rta: 17º
7. Rta:0º, 90º, 360º
8. Rta: 90º
9. Rta: 45º, 225º
10. √ Rta: 60º, 120º
11. Rta: 90º,210º,330º
12. Rta: 30º, 150º, 210º, 330º
13. Rta:30º, 150º
14. Rta: 210º, 270º, 330º
15. Rta: 0º, 270º
16. Rta: 90º, 180º, 270º
17. Rta: 114,46º y 245,54º