Este documento presenta información sobre medidas de tendencia central, incluyendo la media aritmética y la mediana. Explica cómo calcular la media para datos no agrupados y agrupados, así como la mediana para datos no agrupados y agrupados. Incluye ejemplos para ilustrar los cálculos de la media y la mediana. Finalmente, proporciona dos talleres para que el lector calcule la media y mediana de conjuntos de datos sobre alturas de estudiantes.

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Dpto. de Matemáticas - Goretti
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
A raíz de una investigación, en un barrio de Pasto se afirma que: “El consumo promedio por familia es de
2,5 litros de leche”. Con esta información se está presentando una gama de posibilidades de consumo de
leche, que van desde familias que tienen un consumo superior a 2,5 litros de leche, hasta familias que no
consumen.
Para obtener el anterior resultado de que: “El consumo promedio por familia es de 2,5 litros de leche”, en
un barrio de Pasto, se requiere del uso de una medida estadística denominada Estadígrafos, cuando se
refiere a una Muestra, o de Parámetros, cuando el estudio corresponde a una Población.
Se consideran cuatro clases de estadígrafos, a saber:
1. Estadígrafos de Tendencia Central o de Posición
2. Estadígrafos de Dispersión.
3. Estadígrafos de Deformación o Asimetría
4. Estadígrafos de Apuntamiento o kurtosis.
1. ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL
Estas medidas indican la posición de un valor con relación a la variable o a la posición de un punto con
relación a la abscisa.
Las medidas de Tendencia Central son:
a. La Media; La Media Aritmética; o Promedio.
b. La Media Geométrica
c. La Media Armónica
d. La Mediana
e. La Moda
f. Los Cuartiles, Los Deciles, Los Percentiles.
a) LA MEDIA ARITMETICA O PROMEDIO
Definición: “Es un valor representativo de un conjunto de datos, que tiende a situarse en la parte central
de un conjunto de datos que se hayan dado, al ser ordenarlos de una manera creciente o decreciente”.
Los métodos para calcular la Media o Promedio, se clasifican de dos maneras a saber:
- Para datos estadísticos No Agrupados.
- Para datos estadísticos Agrupados.
I DATOS NO AGRUPADOS: Es aquella información estadística que no se encuentra, en una tabla o
distribución de frecuencias, debido a que el número de datos es muy pequeño, generalmente inferior a 30
datos.
Para calcular el valor Promedio se emplea las siguientes ecuaciones:
∑
a) Cuando los datos estadísticos son Sin Repetición.
Dónde
: Media o Promedio
∑ : Suma de…
: Variable a estudiar=Datos estadísticos
: Número total de datos o muestra.
∑
b) Cuando los datos estadísticos son Con repetición o Ponderada
∑
Dónde
: Media o Promedio
∑ : Suma de…
: Datos repetidos
: Variable a estudiar
: Número total de datos o muestra.
: Frecuencia relativa Valor Porcentual Peso
Ejemplo: (Datos no agrupados- No repetidos) El estudiante “ABC” en la asignatura de matemáticas, en
el tercer periodo académico tiene las siguientes calificaciones: 3; 2,5; 4,8; 3,7; 4,2. ¿Cuál es la calificación
promedio?

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.x: calificaciones
3,0
2,5 ∑
4,8 =
3,7
4,2
∑
Ejemplo: (Datos no agrupados- Repetidos) las edades de diez estudiantes son: 21, 24, 23, 25, 22, 24,
23, 21, 20, 21. ¿Cuál es la edad Promedio de los diez estudiantes?
.x: Edad .f (datos repetidos) .h (Peso o porcentaje) .fx .hx
20 1 0,10 20 2
21 3 0,30 63 6,3
22 1 0,10 22 2,2
23 2 0,20 46 4,6
24 2 0,20 48 4,8
25 1 0,10 25 2,5
∑ ∑ ∑ ∑
1 Método
∑
∑
=22,4 años
2 Método.
∑
∑ 22,4 años.
Ejemplo: (Datos No agrupados- repetidos). En una empresa hay 20 trabajadores que tienen un salario
de $119.000; 50 trabajadores tienen un salario mensual de $300.000 y 10 trabajadores ganan $500.000.
¿Cuál es el salario Promedio?
.x: Salarios .f (datos repetidos) .h (peso o porcentaje) .fx .hx
$119.000 20 0,25 $2.380.000 29.750
$300.000 50 0,625 $15.000.000 187.500
$500.000 10 0,125 $5.000.000 62.500
∑ ∑ ∑ ∑
1 Método
∑
∑
= $ 279.750 mensuales
2 Método.
∑
∑ $ 279.750 mensuales

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II DATOS AGRUPADOS: Es aquella información estadística que se presenta en una Tabla o Distribución
de Frecuencias, debido a que el número de datos es muy grande, generalmente igual o mayor a 30 da-
tos.
En este caso para calcular la Media o Promedio, tenemos las siguientes ecuaciones:
∑
∑
Dónde
: Media o Promedio
∑ : Suma de…
: Frecuencia Absoluta
: Marca de Clase
: Número total de datos o muestra.
: Frecuencia relativa Valor Porcentual Peso.
Ejemplo: (Datos Agrupados). Dada la siguiente tabla o Distribución de Frecuencias, que hace referencia
a las calificaciones de 40 estudiantes, en la asignatura de matemáticas. Encontrar la calificación Prome-
dio.
Calificaciones Marca de f h .fx .hx
clase
(x)
2,5 - 2,8 2,65 7 0,175 18,55 0,46375
2,9 - 3,2 3,05 7 0,175 21,35 0,53375
3,3 - 3,6 3,45 9 0,225 31,05 0,77625
3,7 - 4,0 3,85 8 0,2 30,80 0,77
4,1 - 4,4 4,25 3 0,075 12,75 0,31875
4,5 - 4,8 4,65 6 0,15 27,90 0,6975
∑ ∑ ∑ ∑
∑
Dada la ecuación:
∑
= 3,56
O también:
∑
∑ 3,56
TALLER
La siguiente información hace referencia a las alturas medidas en metros de 50 estudiantes, de un curso
de la I.E.M. María Goretti.
1,80 1,75 1,66 1,71 1,55 1,65 1,79 1,64 1,72 1,77
1,66 1,73 1,56 1,63 1,72 1,78 1,56 1,78 1,72 1,63
1,74 1,78 1,68 1,62 1,57 1,69 1,73 1,74 1,57 1,67
1,68 1,61 1,64 1,77 1,77 1,74 1,59 1,58 1,75 1,71
1,76 1,60 1,59 1,79 1,76 1,69 1,60 1,77 1,70 1,55
Encontrar
1. Una tabla o distribución de frecuencias absolutas y relativas.
2. ¿Cuál es la estatura promedio del curso?

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LA MEDIANA ( ̃ )
Definición: “La mediana es un valor único, que se encuentra en la parte central de un conjunto de datos
estadísticos; don de la mitad (50%) de los elementos se encuentran por encima del valor de la Mediana y
la otra mitad (50%) de los elementos se encuentran por debajo del valor de la Mediana”.
I CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Para encontrar la Mediana de un conjunto de datos estadísticos que no se encuentran en una tabla o
distribución de frecuencias, se procede de la siguiente manera:
Primero: Se arregla u organiza los datos estadísticos, de una manera ascendente o descenden-
te.
Segundo: a) Sí el número de datos de la información estadística (N) es un IMPAR, entonces la
Mediana será igual a:
̃ ( )
.b) Sí el número de datos (N) es un número PAR, entonces la Mediana será igual al valor Pro-
medio ( ̃ de los dos datos centrales (de la mitad) del arreglo ascendente o descendente de los datos
estadísticos.
Ejemplo: (Datos No agrupados – Par). Las calificaciones de un estudiante en un periodo académico
son: 5, 4,2; 3; 3,5; 4,8; 3,5.
.1 Paso: La información estadística se la arregla de una manera ascendente o descendente. Así:
.2. Paso: Como el número de elementos del arreglo es Par (N=6), entonces la Mediana es igual al prome-
dio de los dos elementos centrales del arreglo ascendente o descendente. Es decir:
̃= = 3,85
Ejemplo: (Datos No agrupados - impar). Los precios de un producto, tomados en diferentes almacenes
de la ciudad son los siguientes: $230, $235, $240, $228, $236. ¿Cuál es el precio mediano?
.1 Paso: La información estadística se la arregla de una manera ascendente o descendente. Así:
.2. Paso: Como el arreglo es Impar (N=5), entonces la Mediana es igual a:
̃ ( )
̃ ( )
̃ ( .
̃ .
II CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
Para calcular la Mediana para datos que se encuentran en una Tabla o Distribución de frecuencias, se
efectúa los siguientes pasos:
1 paso: Se determina la Clase Mediana, que será aquella que alcanza por primera vez la mitad
de la información estadística (50% o n/2), al sumar las frecuencias absolutas de arriba hacia aba-
jo que se encuentran en una tabla o distribución de frecuencias.

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2 paso: La Mediana se la obtiene aplicando la siguiente ecuación:
(∑ ̃
̃ ̃ ( )
̃
Dónde:
̃: Mediana.
̃ : Limite Real Inferior del intervalo o clase mediana.
: Número total de datos.
̃ : Frecuencia Absoluta del intervalo o CLASE MEDIANA
(∑ ̃ : Suma de todas las frecuencias absolutas anteriores a la frecuencia absoluta de la clase media-
na ̃
: Tamaño o amplitud del intervalo de clase.
∑
Ejemplo: (Datos Agrupados). Dada la siguiente tabla o Distribución de Frecuencias, que hace referencia
a las calificaciones de 40 estudiantes, en la asignatura de matemáticas. Encontrar la calificación Media-
na.
CALIFICACIONES DE 40 ESTUDIANTES, EN LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS
DE UN CURSO DE LA I.E.M MARÍA GORETTI.
Calificaciones Calificaciones f F
Reales
2,5 - 2,8 2,45 - 2,85 7 7 (∑ ̃
2,9 - 3,2 2,85 - 3,25 7 14
Clase Mediana 3,3 - 3,6 3,25 - 3,65 9 23
3,7 - 4,0 3,65 - 4,05 8 31 ̃
̃ 4,1 - 4,4 4,05 - 4,45 3 34
4,5 - 4,8 4,45 - 4,85 6 40
∑
Dada la ecuación:
(∑ ̃
̃ ̃ ( )
̃
̃ ( )
̃ ( )
̃ ( )
̃
Significa que el 50% de los estudiantes del curso (20 estudiantes) tienen una calificación supe-
rior a la calificación mediana de 3,51 y que el otro 50% (20 estudiantes), tienen una calificación
inferior a 3,51.
TALLER
La siguiente información hace referencia a las alturas medidas en metros de 50 estudiantes, de un curso
de la I.E.M. María Goretti.
1,80 1,75 1,66 1,71 1,55 1,65 1,79 1,64 1,72 1,77
1,66 1,73 1,56 1,63 1,72 1,78 1,56 1,78 1,72 1,63
1,74 1,78 1,68 1,62 1,57 1,69 1,73 1,74 1,57 1,67
1,68 1,61 1,64 1,77 1,77 1,74 1,59 1,58 1,75 1,71
1,76 1,60 1,59 1,79 1,76 1,69 1,60 1,77 1,70 1,55

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Encontrar
1. Una tabla o distribución de frecuencias absolutas y relativas.
2. ¿Cuál es la estatura mediana del curso?
LA MODA (
Definición: “La Moda es el valor que más se repite de un conjunto de datos estadísticos, que no se en-
cuentran en una tabla o distribución de frecuencias”.
Definición: “La Moda es la máxima frecuencia absoluta, de un conjunto de datos estadísticos, que se
encuentran en una tabla o distribución de frecuencias”.
La Moda en los datos agrupados, como en los datos no agrupados, NO puede existir y se presentara este
caso cuando todos los datos o los intervalos de clase poseen una igual frecuencia.
La Moda también puede existir y puede ser de dos formas a saber: a) UNIMODAL, este caso se presenta
cuando el conjunto de datos o un intervalo de clase poseen una sola moda, b) BIMODAL, este caso se
presenta cuando el conjunto de datos tienen dos modas o cuando en los intervalos de clase de una distri-
bución de frecuencias existen dos intervalos de clase que tienen las máximas frecuencias absolutas.
I DATOS NO AGRUPADOS
La Moda en los datos no agrupados, es el valor que más se repite.
Ejemplo: (Datos no agrupados). Los precios de un producto “ABC”, en diferentes almacenes de la ciu-
dad son los siguientes: $240, $241, $250, $239, $251. ¿Hallar el precio Modal?
.x: Precio Frecuencia absoluta (f)
$239 1
$240 1
$241 1
$250 1
$251 1
Solución: No existe Moda, ya que cada uno de los valores poseen la misma frecuencia absoluta.
Ejemplo: (Datos no agrupados). Hallar la Moda de la siguiente información estadística, que corresponde
al consumo de energía de los 5 primeros meses del año: 238 kw, 348 kw, 300 kw, 348 kw, 239 kw.
.x: Kw Frecuencia absoluta (f)
238 1
300 1
239 1
348 2
Solución: La Moda es 348 kw, ya que es el valor que más se repite (tiene máxima frecuencia absoluta).
Como existe una sopla moda, entonces se llama Unimodal.
Ejemplo: (Datos no agrupados). Hallar la Moda de la siguiente información estadística, que corresponde
al peso de 10 personas: 55 kgr, 58 kgr, 59 kgr, 60 kgr, 61 kgr, 59 kgr, 59 kgr, 55 kgr, 55 kgr, 70 kgr.
.x: Kgr Frecuencia absoluta (f)
55 3
58 1
59 3
60 1
61 1
70 1
Solución: El sistema o conjunto de datos posee dos modas 55 kgr y 59 kgr ya que tienen la máxima fre-
cuencia. Por lo tanto, el conjunto de datos es BIMODAL.
II DATOS AGRUPADOS
Para encontrar la Moda, en datos que se encuentren en una tabla o distribución de frecuencias, se debe
tener en cuenta los siguientes pasos:
1. Paso: Se encuentra el intervalo de clase MODAL, que será aquella que posee la máxima fre-
cuencia absoluta.

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2. Paso: Se aplica la siguiente expresión algebraica:
( ) Dónde:
. Moda
: Limite Real Inferior de la Clase MODAL
: Frecuencia absoluta de la clase Modal
: Frecuencia absoluta de la clase contigua superior
: Frecuencia absoluta de la clase contigua inferior.
.
.
.c: Tamaño o amplitud del intervalo de clase.
Ejemplo: (Datos Agrupados). Dada la siguiente tabla o Distribución de Frecuencias, que hace referencia
a las calificaciones de 40 estudiantes, en la asignatura de matemáticas. Encontrar la calificación Modal.
CALIFICACIONES DE 40 ESTUDIANTES, EN LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS
DE UN CURSO DE LA I.E.M MARÍA GORETTI.
Calificaciones Calificaciones f
Reales
2,5 - 2,8 2,45 - 2,85 7
2,9 - 3,2 2,85 - 3,25 7
Clase Modal 3,3 - 3,6 3,25 - 3,65 9
3,7 - 4,0 3,65 - 4,05 8
4,1 - 4,4 4,05 - 4,45 3
4,5 - 4,8 4,45 - 4,85 6
∑
1 Paso: Determinamos la Clase Modal, que será aquella que tiene la máxima frecuencia absoluta (9). En
este caso la clase modal corresponde al intervalo 3,3 – 3,6.
2 Paso: Aplicamos la ecuación:
( )
= 3,25
=9
=7
=8
= 9 – 7 = 2.
=9–8=1
.c= 0,4
Remplazamos: ( )
TALLER
La siguiente información hace referencia a las alturas medidas en metros de 50 estudiantes, de un curso
de la I.E.M. María Goretti.
1,80 1,75 1,66 1,71 1,55 1,65 1,79 1,64 1,72 1,77
1,66 1,73 1,56 1,63 1,72 1,78 1,56 1,78 1,72 1,63
1,74 1,78 1,68 1,62 1,57 1,69 1,73 1,74 1,57 1,67
1,68 1,61 1,64 1,77 1,77 1,74 1,59 1,58 1,75 1,71
1,76 1,60 1,59 1,79 1,76 1,69 1,60 1,77 1,70 1,55
Encontrar
1. Una tabla o distribución de frecuencias absolutas y relativas.
2. ¿Cuál es la estatura modal del curso?