Este documento presenta conceptos clave sobre el centro de masa y el equilibrio de sistemas. Explica cómo calcular la posición del centro de masa de objetos y moléculas, así como la velocidad y aceleración del centro de masa. También define el momento de una fuerza y las condiciones de equilibrio, resolviendo ejercicios numéricos sobre estos temas.

1. Facultad de Ingeniería y Arquitectura
2 Condición de Equilibrio
Centro de masaa. Torque de fuerzas. Segunda condición de
equilibrio.
MECÁNICA, OSCILACIONES y ONDAS
Yuri Milachay Vicente
yur@upnorte.edu.pe

2. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 2
Equilibrio en edificios

3. Logros
Calcula el centro de masas y la velocidad del centro de masas de
un cuerpo.
Aplica la primera y segunda condiciones de equilibrio en sistemas
en equilibrio.
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4. • El movimiento de la moneda es parabólico para un punto específico:
el centro de masas.
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5. Centro de masa
cmr

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o Existe un punto que representa el movimiento de todo el
cuerpo, es decir se mueve de la misma manera que se movería una
sola partícula sometida a las mismas fuerzas externas.
n
m
n n n
i i i i i i
1 1 1
cm cm cmi n n i n
i i i
1 1 1
m x m y m z
x y z
m m m
m1
m2
mn
i m
i
i 1
m = M

6. Velocidad y aceleración del centro de masa
n
ii
1
cm
i n
i
1
m r
r
m
cm
cm
dr
v
dt

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o Derivando la expresión de la posición
del centro de masa, se obtiene la
velocidad del centro de masa.
o Derivando la expresión de la
velocidad se obtiene la expresión de
la Segunda ley de Newton para el
centro de masa.
o Es decir, el centro de masa de un
sistema de partículas, se mueve
como si toda la masa del sistema
estuviera concentrada en el centro de
masa y todas las fuerzas externas se
aplicaran en ese punto.
n
icm i
1
Ma m a

extcmMa F


7. Centro de masa de una molécula de agua
cm
1,0u dsen52,5 1,0u dsen52,5 16,0u
y 0
1,0u 1,0u
0
16,0u
cm
1,0u dcos52,5 1,0u dcos52,5 16,0u
x 0,068d
1,0u 1,0u 16,0u
0
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o En la figura se aprecia el modelo
simple de la estructura de una
molécula de agua. La separación
entre los átomos es d = 9,57 x 10-11
m. Cada átomo de hidrógeno tiene
una masa de 1,0 u y el de oxígeno
16,0 u. Determine la posición del
centro de masa.
o Solución
o Se deben calcular las coordenadas
en los ejes x y y.
o Eje x:
o Eje y:

8. Ejercicio 8
• Los objetos de la figura están hechos de alambre uniforme doblado.
Encuentre la posición del centro de masa de cada uno.
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9. Ejercicio
• Una mujer de 45,0 kg está parada en una canoa de 60,0 kg y 5,00 m de
longitud, y comienza a caminar desde un punto a 1,00 m de un extremo
hacia un punto 1,00 m del otro extremo. Si puede despreciarse la
resistencia al movimiento de la canoa por parte del agua, ¿qué distancia se
mueve la canoa?
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10. Centro de masa de autos
o Una camioneta de 1 200 kg avanza
en una autopista recta a 12,0 m/s.
Otro auto, de masa 1 800 kg y
rapidez 20,0 m/s, tiene su centro de
masa 40,0 m adelante del centro de
masa de la camioneta. A) Determine
la posición del centro de masa del
sistema formado por los vehículos. B)
Calcule la rapidez del centro de
masa.
cm
(1200 0 1800 40,0)
x m
1200 1800
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Origen de coordenadas
cm
(1200 12,0 1800 20,0)
v m/s
1200 1800

11. Ejercicios de centro de masa
o Ejercicio. En un instante dado, el
centro de masa de un sistema de dos
partículas está sobre el eje x en x =
2,0 m y tiene una velocidad de (5,0
m/s)i . Una partícula está en el
origen. La otra tiene masa de 0,10 kg
y está en reposo en el eje x en x =
8,0 m . A) ¿Qué masa tiene la
partícula que está en el origen? B)
Calcule al cantidad de movimiento
total del sistema. C) ¿Qué velocidad
tiene la partícula que está en el
origen?
o Ejercicio. la cantidad de movimiento
de un modelo de avión controlado
por radio está dada por
o Determine las componentes x, y y z
de la fuerza neta que actúa sobre el
avión.
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2
0,75t 3,0 i (0,25t) j

12. Momento de una fuerza o torque
o El torque es la medida cuantitativa
de la tendencia de una fuerza a para
causar o alterar la rotación de un
cuerpo.
o Se define torque de una fuerza F
respecto del punto O como
o Cuya magnitud está dada por:
o La dirección del torque se determina
por la regla de la mano derecha.
o La unidad del torque es el “newton-
metro”
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F
O r F
 
F
o rFsen
.N m
La dirección se determina por la regla de la
mano derecha

13. Momento de una fuerza o torque
• Podemos definir el torque como el producto de la fuerza por su
brazo de palanca
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14. Ejercicio
• Calcule el torque en cada uno de los siguientes casos si se sabe que
la longitud del brazo de palanca es de 2,00 m:
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15. Ejercicio
o Una viga metálica uniforme de
longitud L pesa 200 N y sostiene
un objeto de 450 N como se
muestra en la figura.
o Calcule la magnitud de los
torques producidos por el peso
de la viga y por el peso del bloque
suspendido. Suponga que las
longitudes son exactas.
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16. Equilibrio de cuerpos
xF 0
o Por sencillez, limitaremos nuestra
atención a situaciones en las que
podamos tratar a todas las fuerzas
como si actúan en un solo
plano, que llamaremos xy. Para que
un cuerpo esté en equilibrio se
deben cumplir dos condiciones:
o La resultante de las fuerzas que
actúan sobre un cuerpo y el torque
resultante debe ser cero.
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o En el ejercicio anterior, calcule las
fuerzas que actúan sobre los
soportes de la viga de la figura.
z 0

yF 0

17. Ejercicios
o La viga uniforme que se muestra
en la figura pesa 500 N y
sostiene una carga de 700 N.
Calcule la tensión en la cuerda y
la fuerza que ejerce la bisagra
sobre la viga a 35 por debajo de
la horizontal.
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18. Conclusiones
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19. Bibliografía
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