Viga de madera Ecuacion Universal Curva Elastica

DATOS INFORMATIVOS
NOMBRE: Tanía Sánchez
CODIGO: 488
MATERIA:
DOCENTE:
TEMA:
FECHA:
V
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
MATERIA:
RESISTENCIA DE MATERIALES 2
Tema:
VERIFICACION DE LA DEFORMACION REAL
RESPECTO A LA CALCULADA EN UNA VIGA DE
MADERA”
AUTORES
 Rafael Quinllin
 Cristian Salazar
 Ayrton Llerena
 Jhoan Flores
 Fabricio Cajamarca

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
U
RESISTENCIA
1. Introducción
n el presente artículo se presenta los criterios
básicos a aplicar en el caso del dimensionamiento
de una viga de madera a flexión.
Para ellos hemos introducido algunas características y
propiedades propias de la madera como material
estructural junto con el uso de la nomenclatura específica,
con el objeto de poder estudiar un caso lo más real
posible, se incide en la evaluación de acciones y el
desarrollo de las distintas combinaciones de hipótesis de
carga a considerar con un ejemplo de aplicación práctica.
Sin embargo considerando la complejidad de este
proyecto se ha tratado de desmenuzar en contenidos muy
básicos para el fácil entendimiento de los lectores de
cómo funciona la resistencia de materiales, sus
aplicaciones y comprobaciones frente a sus límites últimos
del material.
Básicamente en el desarrollo de este artículo se explica
detalladamente los pasos que se debe seguir y los
ensayos que se necesitan para poder observar el
comportamiento de la madera como material estructural a
flexión.
E

U
RESISTENCIA
2. El TITULO
VERIFICACION DE LA DEFORMACION REAL
MADERA”
RESPECTO A LA CALCULADA EN UNA VIGA DE

U
RESISTENCIA
3. EL RESUMEN
El objeto por el cual se va a desarrollar este artículo es
para poder mostrar el proceso de cálculo de la
deformación que sufre la madera al ser sometido a cargas
en el cual se fue desarrollando un dimensionamiento en
función de las cargas y el peso propio de la madera,
logrando así obtener una sección óptima para que la
madera pueda resistir a dicho peso, y así su deformación
este dentro de los parámetros establecidos ya que todo
los datos que se recopilaron algunos ya son propios de la
madera y vienen establecidos y otros se obtuvieron
mediante ensayos realizados para determinar esfuerzos,
limite elástico etc.
Con todos los datos ya descritos se desarrollaron los
cálculos, pero se debe tener muy en cuenta que son
aquellos que están dentro del límite elástico de la madera
de eucalipto. La resistencia de las vigas de madera
solicitadas fue a flexión.

U
RESISTENCIA
4. LAS PALABRAS CLAVES
Propiedades de la madera de eucalipto, su deformación,
Ensayos realizados fue a flexión.
Esfuerzos, Limite Elástico y Dimensionamiento, los

U
RESISTENCIA
5. LOS OBJETIVOS
 Investigar un método para cálculo de
deformaciones en vigas, autores y deducción.
 Elaborar una hoja electrónica para calcular la
deformación en cualquier punto en la longitud de la
viga.
 Determinar experimentalmente las propiedades
mecánicas del material que se requieran para el
cálculo de la deflexión.
 Llevar a cabo la prueba de carga, de carácter no
destructivo sobre el modelo a escala a construir,
para comparar con los resultados teóricos.

U
RESISTENCIA
6. EL METODO
Ecuación Universal de la Curva Elástica
na consecuencia de aplicar un sistema de fuerzas
perpendiculares al eje de una viga, es que
inevitablemente y como todo el mundo sabe se
produce la deflexión de esta.
Pues bien, en este método que nosotros aplicamos vamos
a aprender a calcular una expresión y=f(x) que toma el
nombre de ecuación universal de la elástica y que nos
permite determinar la mencionada deflexión. Una vez
obtenida esta expresión, si la particularizamos para el
punto en el que experimenta el mayor desplazamiento,
obtendremos la flecha máxima.
Es obvio, que el cálculo de esta deflexión o flecha será
muy importante, puesto que algunas estructuras
presentan limitaciones en este aspecto.
Para estudiar este problema, necesitaremos primero
obtener algunas relaciones entre el momento y la tensión
que sufre una sección genérica. Para ello nos apoyaremos
en la siguiente figura:
U

U
RESISTENCIA
Al flexionarse la viga, cada uno de sus puntos realiza dos
movimientos:
a) Se desplaza una cantidad ν según hemos visto.
b) Gira un cierto ángulo.
Llamaremos ángulo de rotación, θ, del eje de la viga al
ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión
en un punto1. Así, nuestro punto m1 tendrá un ángulo de
rotación θ. El punto m2 habrá girado un poco más, en
concreto una cantidad diferencial dθ 2, con lo que su
ángulo de rotación será θ+dθ. Por otro lado, si trazamos
las normales a las tangentes de los dos puntos, dichas
normales formarán un ángulo entre
sí de valor dθ y se cortarán en el punto O’, que se
denomina centro de curvatura. Asimismo, la distancia
desde O’ a la curva es el radio de curvatura ρ.
De esta manera, al ser el arco igual al ángulo por el radio,
podemos escribir:
ρdθ = ds
Donde ds es la distancia que separa los dos puntos,
recorrida a lo largo de la curva. Entonces, la curvatura κ,
que es la inversa del radio de curvatura, se expresa
mediante la ecuación:
Puesto que se trata de pequeñas deformaciones, el
ángulo se confunde con su tangente y podemos aproximar
el arco de la curva ds con el avance en el eje x, dx.
De igual modo, observando la geometría de la viga,
podemos escribir la tangente del ángulo de rotación como.

U
RESISTENCIA
Entonces podemos volver a escribir la ecuación de la
curvatura como:
Hay que recordar que al hacer el estudio en el que
obtuvimos la ley de Navier, habíamos obtenido una
expresión para la curvatura:
Igualando ambas expresiones de la curvatura obtenemos
la ecuación diferencial de la elástica de una viga:
Una vez obtenido este resultado, vamos a ver qué sucede
con una viga de longitud L, cuando esta se comba
formando un ángulo muy pequeño con la horizontal, a
consecuencia de una fuerza P perpendicular a su eje:
Usando la definición de tangente y derivada para obtener
la pendiente de una recta obtenemos:

U
RESISTENCIA
Y así obtenemos la expresión que nos permite determinar tras dos integraciones consecutivas, la ecuación general de la
elástica.
No debe olvidarse determinar las constantes resultantes de cada integral utilizando las condiciones de contorno disponibles.

U
RESISTENCIA
CALCULO DEL PESO DE LA VIGA
3m
FORMULA:
PESO VOLUMEN AREA DATOS:
P=d*M V= L*A A= B*H
B= 0,05 m
H= 0,06 m
P(Kg)= 4,5 V(m^3)= 0,009 A(m^2)= 0,003
d= 500 kg/m^3
L= 3 m

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7. LOS RESULTADOS
Datos Ensayos (Modulo de Elasticidad)

U
RESISTENCIA
GRAFICA
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70 80
PROBETA N°01
PROBETA N°03
PROBETA N°02
PROBETA N°04
PROBETA N°05

U
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CALCULO – CARGA (LIMITE ELASTICO)

U
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GRAFICA [CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES]

U
RESISTENCIA
CALCULO MODULO ELASTICO
1) TLP:
TLP significa el calculo del esfuerzo mediante la carga que se encuentra entre el limite de la zona
elastica y el inicio de la zona proporcional. En la grafica se puede observar que es el inicio la linea
donde se produce un ligera curva en la grafica .
FORMULA:
Datos=
Tlim=
Mmax
Mmax=
Plim*L
w=
b*h^2
TLim= Carga Limite Elasti W 4 6
Mmax= Momento Maximo
W= Propiedad Geome Tlim(Kg/cm^2)= 506,25 Mmax(kg*cm)= 675 W(cm^3)= 1,33333333
2) MOR:
MOR significa calcular el Esfuerzo con la ultima carga donde la viga llega a la roptura y se la
puede obrsevar en la grafica.
FORMULA:
Datos=
Trox=
Mmax
Mmax=
Prox*L
w=
b*h^2
Trox= Carga Roptura W 4 6
Mmax= Momento Maximo Ropt
W= Propiedad Geome Trox(Kg/cm^2)= 1012,5 Mmax(kg*cm)= 1350 W(cm^3)= 1,33333333

U
RESISTENCIA
3) Ef:
Ef significa calcular el Modulo de Elasticidad despejando mediante la formula de la deformacion,
los datos se deben tomar dentro de la Zona Elastica donde los datos son proporcionales.
FORMULA:
Donde:
Smax=
Pmax*L^3
Ef=
P*L^3
I=
b*h^3
Smax= Alargamiento 48*Ef*I 48*Smax*I 12
Ef= Modulo de Elastici
I= Inercia Ef(kg/cm^2)= 137081,4732 W(cm^4)= 1,33333333
Pmax= Carga max en el LE
CARGA(P)(Kg) DEFORMACION(max)(cm) LONGITUD(cm)
30 2,1 90
20 1,4

U
RESISTENCIA
CALCULO – CARGA APLICADA (100 kg)

U
RESISTENCIA

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RESISTENCIA
8. DISCUSION
La madera es muy material apto para la construcción,
sin embargo se debe profundizar y conocer sus
propiedades para su diseño y posterior ejecución en
una obra civil.
Mediante lo propuesto en cuanto a la viga que es de
un material de madera de eucalipto, conocido las
cargas a aplicarse y considerando el peso propio de la
viga se mantuvo muchas consideraciones para el
cálculo de su deformación máxima. Una vez ensayado
las probetas de madera de eucalipto primero se
procede a determinar mediante la gráfica su carga y
deformación máxima para así con esos datos obtener
el Limite Elástico de nuestra madera y este fue
E=137081,4732 (Kg/cm2).
Una vez obtenido ese valor y comparando con otros
valores nos damos cuenta que nuestra madera
ensayada está normal y es aceptada. Nuestro
propósito es poder encontrar nuestra flecha máxima
que flejara nuestra viga mediante el método de
cálculo de la Ecuación Universal de la Curva Elástica,
con la misma que se ha llegado a determinar
mediante doble integral y se obtuvo un valor de
deformación máximo de 4.8cm. Lo cual se ha
comprobado y se anexa y también sus fotografías.

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9. BIBLIOGRAFIA
Libros
Mecánica de Materiales – F. R. Shanley – 1ra Edición - Capítulo 7: Análisis por flexión.
- Capítulo 8: Cortante y flexión.
Resistencia de Materiales – N. Willems, J. Easley, S. Rolfe – 1ra Edición – CAP 4 Deformación,
deformación unitaria y deformación de corte. - CAP 5 Propiedades mecánicas de los materiales;
relaciones entre esfuerzo y deformación unitaria.
Resistencia de Materiales (Schaum) – William A. Nash – 1ra Edición - Capitulo 9. Deformación de
Vigas, Método de la Doble Integración.

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RESISTENCIA
10. ANEXOS

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