1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-III
TRIGONOMETRÍA
“IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
TRIPLES ’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez
ÁNGULOS TRIPLES
Sen3x = 3Senx − 4Sen3
x
Cos3x = 4Cos3
x − 3Cosx
Tan3x =
3Tanx − Tan3
x
1 − 3Tan2x
APLICACIÓN 1
1. Simplificar la expresión:
E =
Cos3
θ − cos3θ
Cosθ
a) 2Sen2
θ b) 3Sen2
θ c) 2Senθ
d) 4 e) Cos2θ
Formulas especiales:
Sen3x = Senx(2Cos2x + 1)
Cos3x = Cosx(2Cos2x − 1)
Tan3x = Tanx (
2Cos2x + 1
2Cos2x − 1
)
APLICACIÓN 2
2. Calcular ‘‘k’’ en:
Sen9°
Sen3°
+
Cos9°
Cos3°
= 2kCos3k°
a)-1 b) √2 c) 2
d)
√2
2
e) ½
Degradación:
4Sen3
x = 3Senx − Sen3x
4Cos3
x = 3Cosx + Cos3x
Propiedades:
4Senx. Sen(60° − x). Sen(60° + x) = Sen3x
4Cosx. Cos(60° − x). Cos(60° + x) = Cos3x
Tanx. Tan(60° − x). Tan(60° + x) = Tan3x
Tanx + Tan(60° − x) + Tan(60° + x) = 3Tan3x
APLICACIÓN 3
3. Calcular el valor de:
E = sen10°sen50°sen70°
a) 1 b) 1/3 c)1/8
d)1/5 e) -1
Observación:
4
15
36Cos
4
15
18Sen




Triángulo Notable de 18º y 72º
Triángulo Notable de 36º y 54º
4
72º
18º
5 – 1
10+ 2 5
4
36º
5 + 1
10 – 2 5
Semana Nº 10

2. Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
2
PROBLEMAS PROPUESTOS
4. Si: senx + cosx = a ,
Calcular P = Cos3x – Sen3x
a)2a-3a2
b) a2
-3a c) 3a5
+2a
d) 3a – 2a3
e) a2
+ 2a
(Segundo examen sumativo 2012 – II)
Examen sumativo
5. Si: cos 40º = 2n, entonces el valor de la
expresión :
4
1
º20cosº20.3 33
 senE
a) n b) 2n c) 3n d) 4n e) 5n
Examen sumativo
6. Si
º300º72
º78
Tg
a
Tg
Tg

Hallar W = tg18º + Tg60º + Tg102º
a) 1 b) 2 c) 2a d) a e) 3ª
Examen sumativo
7. Si:
2
5
tg ,
Determinar el valor de
2
3
Cos
a)
6
5
.
2
1

b)
3
2
.
2
1 c)
6
5
.
3
1

d)
5
5

e)
5
6

Examen sumativo
8. Calcular 𝑆𝑒𝑛
𝜋
10
a)
4
5 b) ¼ c)
4
15  d)
4
15  e)
2
5
9. Calcular la suma de: m + n + p, para para
que la siguiente igualdad sea su identidad:
paCosmCosSenSen n
.cos.3.3 33
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
(Segundo examen sumativo 2013 – I)
Examen sumativo
10. Si 𝑇𝑔𝜃 es una raíz de la ecuación:
2𝑥3
− 3𝑥2
− 6𝑥 + 1 = 0 , entonces el
valor de 𝑇𝑔6𝜃 es:
a)-
4
3
b)
5
4
c)
3
4
d)
4
√3
e)
4
3
11. Si:
3
2
cos3  senxx
Calcular sen 3x
a) 23/27 b) - 23/27 c) 25/27
d) -25/27 e) -2/3
12. Si: ; Calcule: cos3
a)
27
12 b)
27
5 c)
27
22 d)
27
15 e)
27
11
13. Si: Calcule: cos3
a)
27
57 b)
2
57 c)
27
5 d)
27
52 e) 5
14. Calcular el valor de:
E = 2cos20°. cos10° − cos10°
a)2/3 b) √3/2 c) 1/3
d)1/2 e) 1
15. Calcular el valor de:
E = cos85°(1 + 2sen80°)
a) Cos10° b)
√6−√2
4
c) 4
d) -1 e) √3
16. Calcular:
E =
cos3
10° + Sen3
20°
cos10° + Sen20°
a) 3 b) 3/4 c) 4/3
d) 2/3 e) 3/2
17. Simplificar:
W =
sec3
x
sec3x
+
sec2
x
sec2x
−
8tanx
tan2x
a) 1 b) 2 c) -2
d) -1 e) 3
2
cos(60º )
3
 
5
sen(30º )
3
 

3. Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
3
18. Si senx + cosx =
√5
2
Calcular:
M = 16sen6x
a) 10 b) 12 c) 15
d) 11 e) 16
19. Si: 3tan2
+ 6tanx − 1 = 2tan2
x
Calcular: tan6x
a) 4/3 b) 3/4 c) 1/2
d) -1/2 e) 2/3
20. Calcular el valor de:
E = tan20°. tan40°. tan80°
a) 1 b) 1/3 c) √3
d) Tan10° e) -1
21. Calcular el valor de:
E = cos380°cos140°cos260°
a) 1/8 b) 1/2 c) 1/4
d) - 1/8 e) 1/16
22. Calcular ‘‘x’’
x
1
2
2θ
θ
a) 17 b) 10 c) 12
d) 8 e) 9
23. Calcular ‘‘x’’ :
θ
θ
θ
3
4
x
a) 4 b) 7 c) 17
d) 8 e) 2√7
24. Si :
Tan(x − 15°) = 2
Calcular: Tan3x
a) 1/13 b) 2/13 c)9/13
d) 13/9 e) -2/13
25. Si: Senx. Csc3x = m
¿A que es igual?
E = Cosx. Sec3x
a)
𝑚
2𝑚+1
b)
2𝑚+1
𝑚
c)
𝑚
2𝑚−1
d)
2𝑚−1
𝑚
e)
𝑚
1−2𝑚
26. Si: Senx = 𝐚Sen3x , determine:
W = Tan2
x en términos de a.
a)
3𝑎−1
𝑎+1
b)
𝑎−3
𝑎+1
c)
𝑎−1
3𝑎+1
d)
3𝑎+1
𝑎−1
e)
3𝑎
𝑎+1
27. Si:
Cos3
x
Csc3x
+
Sen3
x
Sec3x
=
1
4
Halle:
M = 9Cos8x
a) 5 b) 7 c) 9
d) 11 e) 13
28. Determine una expresión
equivalente:
W =
3Tan4
x − 10Tan2
x + 3
9Tan4x − 6tan2x + 1
a) Tan3x. Cotx b) Tan2x. Cot3x
c) Tanx. Tan3 d) Cot2x. Tan3x
e) Cot3x. Tanx

4. Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
4
29. Reducir la expresión :
E = 4Cos15°Sen3
5° + 4Sen15°Cos3
5°
a) 3Cos20° b) 3Cos15°
c) 3Sen20° d) 3Sen15°
e) 3Sen10°
30. Reducir las siguientes expresion:
E = Cot39°Tan47°Tan73°
a) Tan7° b)Tan13° c) Cot13°
d) Cot7° e) 1/2
31. Calcular: Cos2θ
θ
θ
θ
2
3
a) 1/3 b) 4/5 c) 5/6
d) 3/7 e) 5/7
32. Del gráfico, hallar :
a) b)
c) d) e)
33. Si  23
3
2cos1
6cos1
BAA
x
x



Determinar:
B
A
E
2

a) 






3
2
2
x
Cos b) 






3
4
2
x
Cos c) 






3
2x
Cos
d) 






3
4x
Cos e) 





3
2
2
x
Cos
34. Del gráfico, hallar la longitud de
a) 1,23 b) 2,23 c) 1,36
d) 3,23 e) 2,32
35. Calcular:
a) b) c) d) e) -
36. Del gráfico, hallar la medida del ángulo "
"
a) 39º b) 17º c) 36º d) 51º e) 48º
37. Al simpliflicar la expresion:
E = Csc5°Csc55°Csc65°
a) 4(√6 − √2) b) 4(√6 + √2)
c) √6 − √2 d) √6 + √2
e) 2(√6 + √2)
38. La ecuacion:
2𝑥3
− 3𝑥2
− 6𝑥 + 1 = 0
Tiene como una de sus raices a Tanθ.
Calcular: Tan3θ
a) 1 b) ½ c) 1/3
d) 1/4 e) -1
y
x
A
B
C5º 45º 80º 20º
D Ex y
º5Csc2 º10Csc2
º5Csc
2
2 º10Csc
2
2 º5Csc
4
2
CD
24º 36º
16
A
B
C
D
E
6º
º36Cosº18Sen 33

2
5
8
5
4
5
6
5
4
5


a
4a
43º
17º
13º