Desigualdades reales

51 52COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria
OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS:
 Conoce los diferentes axiomas y teoremas
sobre los números reales, respecto a la
relación de orden entre ellos.
 Sabe operar adecuadamente con intervalos.
 Forma una base matemática para el estudio de
las inecuaciones.
COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:
La Resolución de Ecuaciones lineales y
cuadráticas, la congruencia de figuras
geométricas y las relaciones entre las diversas
funciones trigonométricas son temas relacionados
con la igualdad. A medida que avancemos en el
desarrollo de las ideas matemáticas, veremos que
las desigualdades son tan importantes en las
aplicaciones de la matemática como las
ecuaciones. Una desigualdad está involucrada
cuando estamos mas interesados en el tamaño
aproximado de una cantidad que en su valor
exacto; por ejemplo, si decimos que el diámetro
“d” de un planeta es aproximadamente 18 700
millas, queremos decir que:
18 650< d < 18 750.
Si realizamos un análisis nos daremos cuenta que
la medición absolutamente exacta de cualquier
cantidad física; tal como una distancia, un peso,
una velocidad, etc. ... es completamente
imposible, la precisión depende de los
instrumentos de medida y tales instrumentos
pueden usarse sólo para medir dentro de ciertas
tolerancias especificadas, nunca exactamente.
Por todo lo expuesto concluimos que es necesario
un buen entendimiento básico de las
desigualdades.
Nos ocuparemos a continuación de las
desigualdades entre números reales y enseguida
desarrollaremos algunos conceptos y leyes
fundamentales que conciernen a ellos.
CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:
RELACIÓN DE ORDENRELACIÓN DE ORDEN
Es una comparación que se establece entre dos
elementos de un conjunto que pertenece al campo
de los números reales. El campo real es un
CAMPO ORDENADO.
Símbolos de la relación de orden:
>: “mayor que”
< : “menor que”
≥ : “mayor o igual que”
≤ : “menor o igual que”
(estrictos)
(no estrictos)
DESIGUALDADDESIGUALDAD
Es una relación de orden que se establece entre dos
números reales de diferente valor. Existen dos
tipos de desigualdades:
1. Desigualdad Absoluta: Es aquella que se
verifica para todos los valores reales que se
asignen a sus variables.
Ejemplos:
* x + 6 > x + 2; se verifica ∀ x ∈ R
*
2x + 1 > 0; Se verifica ∀ x ∈ R
2. Desigualdad Relativa: Es aquella que se
verifica sólo para cierto conjunto solución de
sus incógnitas.
Ejemplos:
* 2x – 3 > 5; se verifica ⇔ x > 4
* 3x – 2 ≤ x + 4; se verifica ⇔ x ≤ 3
DEFINICIÓN DE < ; >DEFINICIÓN DE < ; >
Dados a, b, c ∈ R se asevera:
1. a b si y sólo si a – b es positivo.
Ejemplos:
 7 < 9 porque 9 – 7 = 2 y 2 es un número real
positivo.
 – 6 < –5 porque –5 – (–6) = 1 y 1 es un
número real positivo.
 – 3 > –9 porque –3 – (–9) = 6 y 6 es un
número real positivo.
De la definición también se concluye:
a > 0 si y sólo si a es positivo.
a < 0 si y sólo si a es negativo.
DEFINICIÓN DE ≤; ≥DEFINICIÓN DE ≤; ≥
Dados a, b ∈ R se asevera:
1. a ≤ b si y sólo si a b ó a = b
Las proposiciones a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b se
denominan desigualdades.
En particular, a b se llaman
desigualdades estrictas, mientras que a ≤ b y
a ≥ b se llaman desigualdades no estrictas.
TEOREMAS:TEOREMAS: Dados a, b, c, d ∈ R
1. Sí a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0
2. Sí a > 0 y b > 0, entonces a .b > 0
3. Sí a 0, entonces a.c < b.c
7. Sí a b.c
LEY DE TRICOTOMIALEY DE TRICOTOMIA
Para cualquier número real “a”, una y solamente
una de las siguientes relaciones se cumple:
0av0av0a >=<
Corolario: Dado dos números reales a y b; sólo se
puede establecer una de las tres relaciones.
bavbavba >=<
Propiedades
1. Si a ambos miembros de una desigualdad se
les suma o resta una misma cantidad,
entonces el sentido de la desigualdad no se
altera.
Sí a > b → a ± n > b ± n
Aplicaciones:
x + 5 < 9 ⇒ x < 9 – 5 ⇒ x < 4
y – 11 > 5 ⇒ y > 5 + 11 ⇒ y > 16
le multiplica o divide por una misma cantidad
positiva, entonces el sentido de la desigualdad
no se altera.
Si: a 0 ⇒




<
<
n
b
n
a
bnan
Aplicaciones:
3 x > 75 ⇒ x >
3
75
⇒ x > 25
8
y
< 2 ⇒ y < 2 (8) ⇒ y < 16
S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
IV
DESIGUAL

les multiplica o divide por una misma
cantidad negativa, entonces el sentido de la
desigualdad se invierte.
Sí a 
>
n
b
n
a
bnan
Aplicaciones:
–2 > 10 ⇒ x <
2
10
−
⇒ x< - 5
5
x
−
< 7 ⇒ x > 7 (-5) ⇒ x > -35
4. Si se suma miembro a miembro
desigualdades del mismo sentido, entonces el
sentido de la desigualdad se conserva.
Si: a < b; c < d ⇒ a + c b; c< d ⇒ a – c > b – d
6. Si se multiplica miembro a miembro
desigualdades del mismo sentido y con todos
sus miembros positivos, entonces se conserva
el sentido de la desigualdad.
Si: 0<a<b; 0 < c < d ⇒ ac < bd
7. Si se divide miembro a miembro
desigualdades de sentidos contrarios y con
todos sus miembros positivos, entonces se
conserva el sentido de la desigualdad que
hizo de dividendo.
Si a > b > 0 ∧ 0 < c < d ⇒
c
a
>
d
b
8. Si se eleva ambos miembros de una expresión
o un mismo exponente impar entonces el
sentido de la desigualdad se conserva.
Si a > b ⇒ 1n2
a +
> 1n2
b +
9. Si se eleva ambos miembros de una
desigualdad a un mismo exponente por
entonces se conserva el sentido de la
desigualdad siempre que ambos miembros
sean positivos.
Si a 0 ∧ b > 0 ⇒ n2n2
ba >
RECTA NUMÉRICA REALRECTA NUMÉRICA REAL
Es una recta geométrica donde se establece una
biyección, es decir a cada número real se hace
corresponder un único punto de la recta y para
cada punto de la recta sólo le corresponde un único
número real.
Números
Negativos
Números
Positivos
x > 0
x < 0
+ ∞- ∞ +
-
0
INTERVALOSINTERVALOS
3. Sea I un subconjunto de IR (I ⊂ IR). Decimos
que I es un intervalo, si y sólo sí es el
conjunto de todos los número reales que están
comprendidos entre dos extremos (que
pueden ser finitos o ideales).
Si I es un intervalo, puede ser: acotado o no
acotado
A. Intervalos Acotados
Son intervalos cuyos extremos son números
reales (finitos) y a su vez serán:
1. Intervalo Cerrado
a b
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ [a; b] ⇒ a ≤ x ≤ b
En dicho intervalo se incluyen los extremos
“a” y “b”.
2. Intervalo Abierto
a b
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <a; b> ⇒ a < x < b
En dicho intervalo no están incluidos los
extremos “a” y “b”.
3. Intervalo Semi – abierto Mixto
Semiabierto por la izquierda
a b
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <a; b] ⇒ a < x ≤ b
En dicho intervalo sólo se incluye el extremo
“b”.
Semi-abierto por la derecha
a b
x
-∞ + ∞
Si x ∈[a; b> ⇒ a ≤ x < b
En dicho intervalo sólo se incluye el extremo
“a”.
B. Intervalos No Acotados
Se denomina así cuando por lo menos uno de
los extremos es el ideal +∞ ó -∞.
Estos son de la forma:
1.
a
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <a; +∞> ⇒ x > a
2.
a
x
-∞ + ∞

Si: x ∈ [a; +∞> ⇒ x ≥ a
3.
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <-∞; a> ⇒ x < a
4.
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <-∞; a] ⇒ x ≤ a
5.
x
-∞ + ∞
Si: x ∈ <-∞; +∞> ⇒ x ∈ R
OBSERVACIONES IMPORTANTES
1. La notación ∞, que se lee infinito no es un
número real, sino un símbolo que se utiliza
para indicar que un intervalo es ilimitado por
la derecha (+∞) o por la izquierda (– ∞)
2. Un intervalo abierto puede simbolizarse de 2
formas: <a; b> =] a; b [
Un intervalo cerrado sólo se simboliza de 1
forma: [a; b]
3. Si el extremo de un intervalo es infinito, este
siempre irá como ABIERTO.
[a; +∞> ; <a; +∞> ; <-∞; a] ; <-∞; -a>
4. Los intervalos son sumamente útiles:
a) Para expresar el conjunto solución de
inecuaciones.
Ejemplo:
El conjunto solución de la inecuación:
2 +3x –
2x ≥ 0 es el intervalo
cerrado: x ∈ [1; 2]
b) Para expresar el dominio y rango de una
relación y de una función de R en R.
Ejemplo:
y
f(x)
4
7 x
El dominio de la función f(x) es:
x ∈ <0; 7]
El rango de f(x) es: y ∈ <0; 4]
c) Para “ACOTAR”
Ejemplo: Sí x ∈ <-2; 3] , ¿entre qué valores
estará (x + 2)?
Si:
x ∈] –2; 3[ ⇒ 0 <
(Infimo)
cota
inferior
(Supremo)
cota
superior
x + 2 < 5
OPERACIONES CON INTERVALOSOPERACIONES CON INTERVALOS
Puesto que los intervalos en IR son conjuntos
especiales de los números reales, podemos operar
con ellos.
Sean A y B intervalos, se definen y se denotan:
A ∪ B = {x ∈ IR / x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩ B = {x ∈ IR / x ∈ A ∧ x ∈ B}
A – B = {x ∈ IR / x ∈ A ∧ x ∉ B}
'AAC C
A == = {X ∈ IR / x ∈ IR ∧ x ∉ A}
Aplicación: Sean los conjuntos (intervalos)
A = {x ∈ IR / x ≤ 5}
B = {x ∈ IR / - 8 ≤ x < 12}.
Hallar:
A ∪ B , A ∩ B , A – B , B – A , A’ , B’
Cota superior, Cota Inferior, Supremo,
Ínfimo, Máximo y Mínimo de un Conjunto
Definición 1:
Un subconjunto S no vacío de números reales está
acotado superiormente si existe un número M,
tal que:
x ≤ M , ∀ x ∈ S
se llama "Cota
Superiores"
Es decir:
M es cota superior S ⇔ x ≤ M, ∀ x ∈ S
Ejemplos:
1) En el intervalo A = <-2, 3> el extremo
superior 3 o cualquier número mayor que 3
es una cota superior del intervalo A.
Ver el siguiente gráfico:
-2 3-∞ + ∞
conjunto de
cotas
superiores
• El número 3 es una cota superior del
intervalo <-2, 3>, porque x < 3,
∀ x ∈ <-2,3>
• El número 3,002 es cota superior del
intervalo <-2, 3>, porque x < 3,002
∀ x ∈ <-2, 3>, etc. Todos los números
mayores o iguales a 3 son cotas
superiores.
2) En el intervalo [-1; 1/2], el extremo superior
1/2 o cualquier número mayor que 1/2 es una
cota superior del intervalo [-1; 1/2]
-1 1/2
conjunto de
cotas
superiores
ACOTACIONES

Definición 2:
Un subconjunto S no vacío de números reales
está ACOTADO INFERIORMENTE, si existe
un número m, tal que:
se llama "Cota
Inferiores"
m ≤ x , ∀ x ∈ S
Es decir:
m es cota inferior de S ⇔ m ≤ x, ∀ x ∈ S
Ejemplos:
1) En un intervalo A = <-3; 2], son cotas
inferiores los números –3, -3,002; -3,5; -4,
etc. Todos los números menores o iguales que
–3 son COTAS INFERIORES.
Pues:
 -3 ≤ x, ∀ x ∈ <-3; 2]
 -3,002 ≤ x ∀ x ∈ <-3; 2]
-3 2
conjunto de
cotas
inferiores
Definición 3:
Un número se llama SUPREMO de un conjunto,
si éste es la menor de las cotas superiores.
Ejemplos:
1) En el intervalo: A = 





− 3;
2
1
, el
supremo es 3.
2) En el intervalo: B = 5;∞− , el
supremo es 5.
Definición 4:
Un número se llama INFIMO de un conjunto, si
éste es el mayor de las cotas inferiores.
Ejemplos:
1) En el intervalo: A = 





− 3;
2
1
, el ínfimo
es –1/2.
2) En el intervalo: B = [5; ∞>, el ínfimo es 5.
OBSERVACIONES:
A. El supremo y el ínfimo representan al
máximo y mínimo valor que toma un
conjunto, respectivamente.
B. Un conjunto de números está ACOTADO si y
sólo si está acotado superior e
inferiormente.
Ejemplos:
• El intervalo: A =<–2;7> es ACOTADO.
• El intervalo: B = < 8; +∞> no es
ACOTADO.
C. El supremo y el ínfimo de un conjunto
pueden ser o no un elemento del conjunto.
TEOREMAS ADICIONALESTEOREMAS ADICIONALES
Sean a, b, c, d, x ∈ IR
1. ∀ a ∈ IR: a2
≥ 0
2. 0 ≤ a 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)
4. ab < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)
5. 0
a
1
0a >⇔>
6. 0
a
1
0a <⇔<
7. Si a y b tiene el mismo signo, entonces:
b
1
x
1
a
1
bxa >>⇔<<
8. bxa <<






<<<<
>∧<<≤
<<<<
⇒
0baSi;axb
0b0aSi;]b;a[maxx0
ba0Si;bxa
222
222
222
9.
+
∈∀≥+ IRa;2
a
1
a
10.
−
∈∀≤+ IRb;2
b
1
b
11. a2
+ b2
≥ 2ab; ∀ a, b ∈ IR
12. a2
+ b2
+ c2
≥ ab+ ac+ bc;∀ a, b, c ∈ R
13.
+
∈∀
+
≥≥
+
IRb,a;
2
b
1
a
1
1
ab
2
ba
+
∈∀
++
≥≥
++
IRc,b,a;
3
c
1
b
1
a
1
1
abc
3
cba 3
14.
+
∈∀≥
+++
IRd,c,b,a;abcd
4
dcba 4
15.
;a...a.a.a
n
a...aaa n
n321
n321
≥
++++
niIRai ;...;3;2;1, =∈∀ +
16.
mmm
2
ba
2
ba





 +
>
+
; 0 < a < b; “m” no
es fracción propia positiva.
PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE
01. Marque verdadero (V) o falso (F):
I. 2 ≤ 3 II. 0 ≥ 0
III. -1 < 0 IV. π ≥ 3,14
a) FFVV b) VVVV c) FFVF
d) VVVF e) FFFF
02. Siendo x >0; y > 0; z > 0, indicar el menor
valor de la expresión:
xyz
)zy)zx)(yx( +++
a) 1 b) 4 c) 6
d) 8 e) 8/3
3. Siendo a > 0, b > 0; c> 0; d >0, indicar la
correcta afirmación acerca de λ siendo:
dcba
abcd4
+++
=λ
a) λ=1/4 b) λ ≥ 4 c) λ ≤ 1/8
d) λ ≥ 1/4 e) λ < 1/2

04. Si:] x; y [ ⊂ ] a; b [, entonces es verdad
que:
a) x ≤ a ∧ y ≤ b d) x ≥ a ∧ y ≥ b
b) x ≥ a ∧ y > b e) x ≤ a ∧ y ≥ b
c) x ≥ a ∧ y ≤ b
05.Hallar el menor número racional “m” donde
∀ x ∈ [2; 4] satisface la desigualdad:
m
5x
3x
≤
−
+
a) -2/3 b) -1/3 c) -5/3
d) -7 e) -6
06.Dar el mayor número entero M que satisface
la desigualdad:
2x2
- 4x +1 > 2M, ∀x ∈ R
(Tal desigualdad la llamaremos absoluta)
a) 3 b) -2 c) 0
d) 1 e) -1
07. Hallar el menor número M con la propiedad
de que para todo x ∈ R se cumpla:
1 +6x - x2
≤ M
a) 11a) 11 b) 9b) 9 c) 12c) 12
d) 10d) 10 e) 0e) 0
08. Si: x2
- 6x + 8 < 0 y demás
consideraremos: λ=x2
- 6x + 8, entonces se
puede afirmar que:
a) λ e cualquier real negativo
b) -1 < λ < 0 c) -1/2 ≤ λ<0
d) -1 ≤ λ < 0 e) -1 < λ ≤ 0
09.Sabiendo que a > 0, indique el intervalo al
que pertenece, conociendo:
axaax +−+ )21(2
∈ R; ∀x
∈ R
a) ]-∞; 2[ b) [1/4; +∞[ c) [2; -3[
d) [1; +∞[ e) ]1/4; +∞[
10. Sea S el área de un triángulo de lados a; b y
c. ¿Qué podemos afirmar de λ si:
?
S.3
cba 222
++
=λ
a) λ ≤ 4 b) λ >4 c) λ < 4
d) λ ≥ 4 e) λ < 1
11. Dado el conjunto:






Ζ∈= +
n
n
A /
1
Determine si existe el supremo y el ínfimo
de A y establecer si pertenecen o no al
conjunto A.
12. Hallar el menor número “m” con la
propiedad
ℜ∈∀≤−+ xmxx ,2127 2
Sea S
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01
01. Sean los intervalos:
C = [-4; 4]; D = ]4; 8[ .Calcular : C ∪ D
a) [-4; 4] b) ]4; 8[ c) ]-4;8]
d) [0;8] e) [-4; 8[
02. Si la unión de los intervalos:
p = [-11; 1[ ; q = ]3; 11]
Es: [p + q; m [ ∪ ] p - q; n]
Calcular: “p + q + m + n”
a) -11 b) 11 c) 1
d) -1 e) 0
A = [-6; 5] B = ]-2; 9[
Calcular la suma de los valores enteros de
A∩B
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
04. Si la intersección de los intervalos:
A = ]-5; -1[ U ]2; 11[ B = [-3; 4]
Es [a; b [ U ]c; d].
Calcula “a + b + c + d”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
05. Para los reales afirmamos:
I. Si a > 0  a2
> 0
II. Si a 0
III. (a + b)2
> 2 ab
Son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) Todas e) N.A.
07. Si: a < 0 < b, afirmamos
I. a2
> ab
II. a – b–1
< 1
III. a–1
< b–1
IV. a2
< b2
¿Cuántas son verdaderas?
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
08. Si: a/b < 0, entonces se cumple que:
a) a < 0 y b > 0 d) ab > 0
b) a > 0 y b < 0 e) ab < 0
c) a > b
09. Hallar los valores de “m” para los cuales
“x” es un número positivo, si x = m - 2
a) m > 2 b) m < 2 c) m > -2
d) m ≤ 2 e) m < -2
10. Resolver: 2x + 4 ≤ x +12
a) ]-∞; -8] b) ]-∞; -16] c) ]-∞; 8]
d) [8; +∞[ e) [-8; +∞[
11. Resolver: (x - 5) (x - 2) ≤ (x + 3) (x + 1)
a) x ≥ 7 b) 7/11 ≤ x c) x ≤ 7/11
d) x ≤ 7 e) N.A.
12. ¿Qué valor deberá tomar m > 0 para que la
desigualdad: 2x+3 <
m
mx 43 −
. Tenga
como solución ]3; ∞[
a) 6/13 b) 5/17 c) 19/14
d) -17/14 e) 9/13
13. Hallar el complemento del conjunto
solución luego de resolver:
(x - 5) (x - 3) ≤ (x - 4) (x - 3)
a) [3; +∞[ b) ]-∞; 3[ c) [4; +∞[
d) ]-∞; 4[ e) ]-∞; -3[
14. Calcule el conjunto solución de la
desigualdad:
17
5432
−>+++ x
xxxx
a) [-60; +∞[ d) ]-60; 0[
b) ]-60; +∞[ e) x ∈ φ
c)]-∞; -60[
15. Resolver: 3x+4 ≤ 2x+10 < 5x+8
a) [2/3; 6] b) φ c) IR
d) ]2/3; 6] e) ]2/3;6[
TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA
01. Si la unión de los intervalos:

E = [-4; 5[
F = ]-2; 5]
Es: [a; b]. Calcular “ab”
a) -20 b) -10 c) 2
d) 8 e) 25
02. Si: a > b > 0 y M = [-2a; 2a] , N = [-2b;
2b]
Indicar M ∩ N
a) [-2a ; 2b] b) [-2b; 2a] c) [-a; b]
d) [-2b; 2b] e) [-2a; 2a]
M = [-15; -9] U [-3; 3] U [10; 17]
N = [-12; -1] U [1; 13]
Luego de calcular la intersección, indique
un intervalo
a) [-12; -3] b) [-3; 10] c) [3; 13]
d) [-3; -1] e) [-9; 10]
A = ]-∞; ∞[
B = [-3; 4[
C = ]-1; 3[ . Calcular: A ∩ B ∩ C
a) ]-1; 4[ b) [-3; 3] c) ]-1;3[
d) ]3; 4[ e) [-3; -1[
05. Para los números reales “a” y “b”. ¿Cuál
de las siguientes afirmaciones es siempre
verdadera?
a) Si: a2
- b2
= 0  a = b
b) Si: a2
- b2
= 0  a = -b
c) Si: a2
- b2
= 0  a = b ∧ a = -b
d) Si: a2
- b2
= 0  a = b = 0
e) Si: a2
- b2
= 0  a = b ∨ a = -b
06. Si se sabe que 0 < x < 1; Cuál de las
siguientes proposiciones es verdadera?
a) 0 < x2
< x3
< 1
b) 0 < x3
< x2
< 1
c) 0 < 1-x < x < 1
d) 0 < x-1 < x < 1
e) 0 < 1-x < x < 1
07. Dados los números racionales U, V y W
que satisfacen:
V
U
> W, entonces se cumple:
a) U > V + W d) U + V > W
b)
V
VU +
> W + 1 e) U + W > V
c) V > U
08. Si: “x” es entero. ¿Qué valor no puede
tomar “x” en:
5
1x
3
1x −
>
+
?
a) 1 b) -3 c) 0
d) -6 e) 11
09. Resolver:
1
1a
a
a
x
>
+
+
, Si a = 1 -
5
a) x > 1 + 5 d) x > 1- 5
b) x < 1 + 5 e) x < 1- 5
c) x ∈ φ
10. Resolver el sistema:
2x+4 ≤ 3x+6 ≤ 5x-10
a) [-2; +∞[ b) [8; +∞[ c) [-8; +∞[
d) φ e) [2; +∞[
11. Resuelve el sistema y marque el intervalo
solución:
2 ≤ 5-3x < 11
2 > -3-3x ≥ -7
a) 





− 1;
3
5
b) 





− 1;
3
5
c) ]-2; 1]
d) 





−−
3
5
;2 e)






−
3
4
;
3
5
12. ¿Cuántos números enteros satisfacen el
sistema:
5x - 6 > 3x-14
2
6x7 +
< x + 12
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
13. Resolver el sistema:
2(2x-3) < 5x-3/4
8x-5 <
2
8x15 −
Y dar como respuesta la suma de todos los
valores enteros de “x”
a) -11 b) -12 c) -13
d) -14 e) -15
14. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el
siguiente sistema?
5x+4 > 10 6x-5 < 12
4x+3 > 8 7x-6 < 14
3x+2 > 6 8x-7 < 16
a) 14 b) 8 c) 4
d) sólo 1 e) Ningún valor

OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS:
 SSaber resolver inecuaciones polinomiales enaber resolver inecuaciones polinomiales en
base a los teoremas sobre desigualdades y albase a los teoremas sobre desigualdades y al
método de los intervalos.método de los intervalos.
 Generar las condiciones para un estudioGenerar las condiciones para un estudio
adecuado del dominio y rango de lasadecuado del dominio y rango de las
funciones.funciones.
 Reconocer y saber resolver inecuacionesReconocer y saber resolver inecuaciones
fraccionarias, irracionales, etc.fraccionarias, irracionales, etc.
Este capítulo nos ayudará a desarrollar aún más la
capacidad de análisis, pues la diversidad de
problemas que se presentan aquí requiere que el
estudiante sea analítico, pues de esa manera
lograremos determinar la solución respectiva al
problema.
En algunos casos las soluciones de las
inecuaciones se dan en gran cantidad, por lo que
serán agrupadas en intervalos.
ESQUEMA
INECUACION POLINOMIAL
DE GRADO SUPERIOR
Es aquella inecuación, que tiene la siguiente
forma general:
P(x) =
>
−
<+++ n
1n
1
n
0 a....xaxa 0 ....
(*)
Donde: {a0, a1,....... an}⊂ R
a0 ≠ 0; n ∈ Z+
; n > 2
Resolución de una ecuación polinomial:
Para resolver esta inecuación se procede de la
siguiente manera:
I. Se factoriza el polinomio P(x) en R.
II. Los factores primos obtenidos que resultan
positivos, luego de factorizar el polinomio, se
pueden omitir (El C.S. de esta inecuación no
se altera).
III. Para luego aplicar el método de los puntos
críticos.
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
En (*) consideramos que P(x) se factoriza de la
siguiente manera:
P(x) =
)c-x)...(bc-x)(bc-x)(bc-x(b nn332211
Para la aplicación del método, se debe tener en
cuenta:
 Los valores que anulan a P(x) son diferentes.
 Los coeficientes de “x” en todos los factores
lineales, deberán ser positivos; si uno de estos
coeficientes en un factor no fuese positivo, se
tendrá que multiplicar por (-1) a dicho factor,
cambiándose el sentido de la desigualdad.
Procedimiento
• Se iguala a cero, cada factor lineal,
obteniéndose así valores diferentes para “x”,
a los cuales se les denomina: puntos críticos.
• Estos valores se ubican en la recta numérica
en forma creciente (de menor a mayor),
dividiendo a la recta numérica en (n+1)
zonas.
• El polinomio va a tomar valores positivos y
negativos de forma intercalada en cada zona,
según la figura.
• El conjunto solución toma en consideración a
la reunión de las zonas positivas o negativas,
dependiendo del sentido de la inecuación.
+- + -
n
n
b
c
3
3
b
c
2
2
b
c
1
1
b
c
n-1
n-1
b
c
Sea:
n
n
3
3
2
2
1
1
b
c
.......
b
c
b
c
b
c
>>>>
Ejemplos:
Resolver:
1. x3
- 6x2
+ 11x - 6 ≥ 0
Resolución:
Factorizando:
(x-1)(x-2)(x-3) ≥ 0
Puntos críticos: {1, 2, 3}
- + +-
1 2 3
+∞−∞
CS = x ∈ [1, 2] U [3, +∞>
2. (x + 2) (x3
- 27) < 0
Factorizando:
(x + 2) (x - 3) (x2
+ 3x + 9) < 0
(+) ∀ x ∈ R
(x + 2)(x - 3) < 0
- ++
-1 2
+∞−∞
3. (x + 1)(x - 4)(x - 5)4
≤ 0
Es equivalente a:
(x + 1)(x - 4) ≤ 0 ⇔ (x - 5)4
≥ 0
∀ x ∈ R
Observación: x = 5 verifica la inecuación:
- ++
-1 4
CS = x ∈ [-1, 4] U {5}
4. (x - 2)(x - 5)(x - 7)6
> 0
Es equivalente a:
(x - 2) (x - 5) > 0 ⇔ x ∈ R - {7}
2 5
- ++
7
CS = x ∈ <-∞, 2> U <5; +∞> - {7}
Teoremas: Dado x ∈ R: , m ∈ N
I. x > 0 ⇔ x2m+1
> 0
II. x ≤ 0 ⇔ x2m+1
≤ 0
Así por ejemplo:
(x - 1)3
> 0 ⇔ (x - 1) > 0
(x + 4)5
≤ 0 ⇔ (x + 4) ≤ 0
Conclusión:
Los polinomios de la forma 1m2
)ax( +
−
; m ∈ N ∧ a ∈ R tienen el mismo signo que
su base (x-a).
5. (x + 4)3
(x - 1) (x - 3)5
≥ 0
Es equivalente a: (x + 4)(x - 1)(x - 3) ≥ 0
−∞ +∞
-4 1 3
- + - +
CS = x ∈ [-4; 1] U [3; +∞>
INECUACIO
InecuacionesInecuaciones FraccionariasFraccionarias
PolinomialesPolinomiales
IrracionalesIrracionales

INECUACIÓN FRACCIONARIA E
IRRACIONAL
Antes de estudiar estas inecuaciones, definiremos
al conjunto de valores admisibles de una expresión
matemática en R.
Conjunto de Valores Admisibles (C.V.A.):
El conjunto de Valores Admisibles de una
expresión matemática en R, es el conjunto de todos
los valores reales que puede tomar la variable de la
expresión, para los cuales dicha expresión está bien
definida en R.
Ejemplos:
1) Sea f(x) =
2x
5
−
→ C.V.A. (f) = R -{2}
2) Sea g(x)= 4
6x2 − → C.V.A. (g) = [3; +∞>
INECUACIÓN FRACCIONARIA
Es aquella inecuación, que tiene la siguiente forma
general.
0
)x(Q
)x(P >
<
Donde P(x) y Q(x) son polinomios y además: Q(x)
de grado n ≥ 1.
Resolución de la inecuación fraccionaria:
e sigue los siguientes pasos:
I. Se factoriza los polinomios P(x) y Q(x) en R.
II. Se halla el C.V.A. de la expresión
)x(Q
)x(P
C.V.A. 





Q
P
= R - {x/Q(x) ≠ 0}
III. Multiplicando a la inecuación por 2
)x(Q , se
obtiene la inecuación equivalente:
P(x). Q(x) >
< 0 la cual será resuelta por el método
de los puntos críticos.
IV. El conjunto solución es la intersección del
C.V.A. con la solución de III.
Ejemplo:
Resolver:
12xx
2xx
2
2
−−
−+
≥ 0
I. Factorizando:
)4x)(3x(
)2x)(1x(
−+
+−
≥ 0
II. C.V.A. = R - {-3, 4}
III. Multiplicando la inecuación por:
(x + 3)2
(x – 4)2
, la inecuación es equivalente
a:
(x - 1)(x + 2)(x + 3)(x - 4) ≥ 0
-3 1 4
+ - +
-2
-+
CS = x ∈ <-∞; -3> U [-2; 1] U <4; +∞>
INECUACIÓN IRRACIONAL
Es toda inecuación que tiene la siguiente forma
general:
0F(x)
>
<
Donde: F(x) es una expresión matemática
irracional.
Resolución:
A continuación presentaremos los casos más
frecuentes, de una inecuación irracional.
)x(h)x(f <
;
)x(h)x(f >
;
)x(g)x(f >
Los cuales se resuelven aplicando los siguientes
criterios:
Sea f(x) y h(x) expresiones no irracionales.
I.
)x(f <h(x) ↔ f(x)≥ 0 ∧ h(x) > 0 ∧ f(x) <
2
)x(h
(1) (2) (3)
CS : S1 ∩ S2 ∩ S3
II.
)x(f >h(x)↔{h(x)<0∧f(x)≥0}v{h(x)≥0∧f(x)>
2
)x(h
(1) (2)
CS = S1 U S2
III.
)x(f > g(x) ↔f(x)≥0 ∧ g(x)≥0∧ f(x)
>g(x)
Ejemplos:
Resolver:
1) 2x5 − ≥ 3
2) 1x3 + > - 2
3) 6x2 + > x + 1
4) 2xx 2
−− < 5 - x
5) 1x2 + - 8x − > 3
01. Resolver:
2x2x
2x
2x
4
2
+−
+
−
−
≥
1x
3
−
si su intervalo solución es:
x∈<-∞; a] U [b, c> U <d,+∞>
Hallar: (a + b + c + d)
a) -2 b) 0 c) 1
d) 2 e) 10
02. Resolver:
372
452392
)3x()3x()1x(
)3x()5x4x()6x()3x(
−+−
−+−++
≤ 0
Indicar su intervalo solución:
a) x ∈ <-∞ ; -6] U <-3; 1> U <1, 3>
b) x ∈ <-∞ ; -3] U <1, 3>
c) x ∈ <-∞ ; -2] U <-1; 1> U <2, +∞>
d) x ∈ ∅
e) x ∈ R
03. Resolver:
153x10x2x5xx 2345
+++++ ≥ 0
Indicar el intervalo solución.
a) x ∈ [-5, +∞> b) x ∈ [5, +∞>
c) x ∈ <-∞, -5] d) x ∈ <-∞, 9]
e) x ∈ R
04. Resolver:
2
1
)3x2)(2x(
3x3x2 2
−>
+−
+−

Indicar su intervalo solución.
a) x ∈ <-∞, -3/2> U <0, 7/6> U <2, +∞>
b) x ∈ <-∞, 2> U <4, +∞>
c) x ∈ <-∞, -1> U <1, 2> U <3, +∞>
d) x ∈ R e) N.A.
05. Resolver:
1
5x
5
1x
2
−<
−
+
+
su conjunto solución es: x ∈ <a, b> U <c, d>
Hallar: E = a + b + c + d.
a) -5 b) -1 c) 2
d) 5 e) 1
06. Resolver:
2
2x
4
2x
x 2
−
+
>
+
a) x ∈ <0, +∞> b) x ∈ <-2, +∞>
c) x ∈ <2, +∞> d) x ∈ <-1, +∞>
e) x ∈ <-4, +∞>
07. Resolver:
A = {x ∈ R /
5x
3x
−
+
≥ 0}
B = {x ∈ R/
4x
2x
+
−
≥ 2 }
Hallar (A ∩ B)
a) <- ∞, -3] U <5; +∞>
b) <-10, +∞>
c) <-∞, 10>
d) [-10, -4>
e) N.A.
08. Hallar F U G.
F = {x ∈ R+
/2x2
- 5x + 7 ≥ 0}
G = {x ∈ R+
/2x2
- 5x + 30 ≥ 0}
a) <0, 1] U [3/2, + ∞> b) R
c) R+
d) R - {1}
e) R - {3/2}
09. Hallar J ∩ K siendo:
J = {x ∈ R-
/x2
- 7 < 0]
G = {x ∈ R /x2
- 5 > 0}
a) 7,7− b) 5,5−
c) 5,7 −− d) 5,−∞−
e) 7,−∞−
10. Resolver: 4816x 2
<−
a) <-8, -4] U [4, 8> b) <- ∞, -4] U [4, +∞]
c) <- ∞, -4] U [8, +∞> d) <-∞, 6>U<8, +∞>
e) <-8, 8>
11. ¿Cuáles son los valores de y para que la ecuación
x2
+ xy + y2
- 4 = 0, defina valores reales de x?
a)







−
3
34
,
3
34
b) 



3
32
,0
c) ∅ d) R
e) [-2, 2]
12. Determine los valores de x que impiden que y tome
valores reales en la ecuación:
xy2
- y2
- x = 0
a) R -{1} b) [1, +∞> c) <-∞, 0]
d) <1, +∞> e) <0, 1>
13. Resolver: 5625x 2
<−
a) <-9, -5] U [5, 9> b) <-9, 9>
c) <-∞, -9> U <9, +∞> d) R
e) <-∞, -5] U [5, +∞>
14. Resolver: 7 235
9x1xx2 −+− ≥ 0
a) <-1, 2] U [3, +∞> b) R
c) <-∞, -3> d) [-1, -3] U <-∞,-3]
e) [-3, -1] U [2, 3]
15. Resolver la siguiente inecuación :
5x21x6x3 +++<+
a) {2} b) R+
c) <-∞, -1>
d) <-1, +∞> e) [-1, +∞>
16.Determine cuántos valores enteros de k satisfacen el
sistema:
x2
- 4x + 2k < 0 ...(1)
x2
+ k x + 0.5 > 0 ... (2)
a) 2 b) 4 c) 5
d) 16 e) Infinitos
17.Si k > 1/4, hallar el conjunto solución en:
x2xx
kxx
23
2
−−
++
≤ 0
a) <0, 1> b) <1/4, 2> c) <1, 2>
d) <-∞, -1> U <0, 2> e) <-∞,0>U<0,1>
18.Si:
7x
6
3x
7
−
+
+
> 2, el conjunto solución
es:
a) [-3, -1/2]U<7, 11> b) <-3, -1/2>U<7, 11>
c) <-3, -1/2] d) <-6, -1>
e) <-∞, -6] U [-1, +∞>
19.Resolver:
x14
4
x1
2
≥
−
a) <-∞, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8)
c) <0, -1/8) d) <-1, ∞>
e) R
20.Resolver:
1x
2x3
+
−
< 4
a) <-∞, 0> U [1/8, 1) b) [0, -1/8)
c) <0, -1/8> d) <-1, +∞>
e) <-∞, -6> U <-1, + ∞)
01. Resolver: x3
- 18x2
+ 77x > 60
a) x ∈ <1; 5> U <12; +∞>
b) x ∈ <1; 4> U <10; +∞>
c) x ∈ <-1; 5> U <12; +∞>
d) x ∈ <0; 5> U <10; +∞>
e) x ∈ <-12; -5> U <-1; +∞>
02. Resolver: x4
- 2x3
- 16x2
+ 2x + 15 < 0
a) x ∈ <-3; -1> U <1; 5>
b) x ∈ <-2; 0> U <1; 4>
c) x ∈ <-1; 1> U <2; 5>
d) x ∈ <3; 5>
e) x ∈ <-3; 0>
03. Resolver:
3xx3x
20xx
23
2
+−−
−−
≤ 0
a) x ∈ <-∞, -4] U <-1; 1> U <3; 5]
b) x ∈ <-∞, 2] U <-1/2; 1> U <4; 7]
c) x ∈ <-4, -1> U <-1; 3>
d) x ∈ <-∞, 4] U <8; 7>
e) x ∈ ∅
04. Resolver:
abx
bax
+
+
> 1, donde: 0 < a < b.
a) x ∈<- ∞; -
b
a
> b) x ∈<- a; 1>
c) x ∈<- b; 1> d) x ∈<-
b
a
; 1>
e) x ∈<a; b>

05. Resolver la inecuación:
ax
a3
ax
x
+
−
−
≥
22
2
ax
a6
−
Considerando que: a < 0.
a) <-3a; a]
b) <-∞ ; 3a] U <a; +∞> - {- a}
c) [-3a; a>
d) <-∞ ; a] U <3a; +∞>
e) R - {-a; a}
06. Resolver:
)1x)(4x(
)4x()9x)(8x(
2
2223
−−
+−−
≤ 0
si su intervalo solución es:
x ∈ <-a; b> U {-c, c}
Hallar: E = a + b + c.
a) 4 b) 2 c) 3
d) 1 e) 6
07. Resolver:
2x
x
2x
2x
2
2
+
<
+
−
a) x∈[-2; +∞> b) x∈<-2; +∞>
c) x∈<-1; +∞> d) x∈[-2; 1]
e) x∈[1; +∞>
08. Resolver:
2x
4x
1x
2x
2
3
2
3
+
−
<
+
−
a) x∈<-∞; -2> b) x∈<-∞; 3>
c) x∈<-∞; 4> d) x∈<-∞; 2>
e) x ∈ ∅
09. Resolver:
( )
5 2
32
3x4x
4x4x
+−
+−
< 0
a) x ∈ <-∞ ; -4> U <2; 3>
b) x ∈ <-∞ ; -3> U <2; 3>
c) x ∈ <-∞ ; -2> U <3; +∞>
d) x ∈ R
e) x ∈ ∅
10. Resolver:
34578 2
x)1x(3x)2x(x4 +−+− ≥ 0
Indicar un intervalo solución:
a) [-2; 2] b) <-∞; -2> c) <3; +∞>
d) [-2; 0] e) [-2; 0] U {2}
11. Resolver: x2x >+
Dar un intervalo solución:
a) x ∈ [-2; 2] b) x ∈ <-2; 2] c) x ∈ [-2; 8]
d) x ∈ <2, 7> e) x ∈ R
12. Resolver:
5x210x2x 2
−<+−
a) x > 3 b) 2 < x < 5 c) x > 1
d) x > 5 e) x ∈ ∅
01. Resolver:
)8x()8x(7x
x812x7x)2x()1x(9x
336
45 247
−−+
−+−+++
≤ 0
a) x ∈ <-7, -2] U <2, 3] U [4, 8> U {-1}
b) x ∈ <-7, -1] U <2, 3] U [4, 8>
c) x ∈ <-4, -1] U <2, 3] U [4, +∞>
d) x ∈ <-1, 1> U <2, +∞>
e) N.A.
02. Resolver: 1x6 + ≥ 2 x - 3
a) x ∈ 





− 4,
6
1
b) x ∈ 





4,
2
1
c) x ∈ 


∞+− ,
6
1
d) x ∈ ∅
e) x ∈ R
03. Resolver: 2x6x5x3x
3 23
−>−+−
a) x ∈ <-∞, 1/3> U <2, +∞>
b) x ∈ <-∞, -1/4> U <1/4, +∞>
c) x ∈ R
d) x ∈ ∅
e) x ∈ <-1/6, +∞>
04. Resolver:
0)6xx(|1x|8 22
<−−−−
a) x ∈ <-2, 3> b) x ∈ <-1, 1> c) x ∈ <-2, 2>
d) x ∈ R e) N.A.
05. Resolver:
4x
|1x|
+
+
< 1
a) <-∞, -4> U <-5/2, +∞>
b) <-∞, -4> U <1, 2>
c) <-4, +∞>
d) <-5/2, +∞>
e) N.A.
06. Resolver:
32
2
4x2
22xx
+−
−−−
≥ x - 4
su intervalo solución es: x ∈ [a, b] U [c, d]
Hallar: (a + b + c + d)
a) -4 b) -2 c) 2
d) 3 e) -1
07. Resolver:
x11x
1
−++
≥ x - 4
a) x ∈ [-4, +∞> b) x ∈ <-∞, -1] U [1, +∞>
c) x ∈ [-1, 1] d) x ∈ ∅ e) x ∈ R
08. Resolver:
8
x4
x
1
x −+− ≥ 0
a) x ∈ [-1,0> U [1, 4] b) x ∈ [-1,4]
c) x ∈ <-1,0> U [1, 7] d) x ∈ R
e) x ∈ ∅
09. Resolver: x20x >+
su intervalo solución es [a, b>. Hallar (a+b).
a) -20 b) 5 c) -15
d) 10 e) N.A.
10. Resolver:
( )
6x2x)3x()5x2()2x3(
xx1x)5x4x(1x)5x(
31367
343245 3
++−++
−+−++
≤ 0
a) x ∈ <-∞, -5] U <-2, -2/3> U <0,3>
b) x ∈ <-∞, -4] U <-2, 1> U <2,3>
c) x ∈ [1, 3> d) x ∈ <-3,3>
e) N.A.
11. Resolver: )2xx(8x 22
−−− ≥ 0
a) x ∈ <-∞, -2 2 ] U [2 2 , +∞>
b) x ∈ <-∞, -2 2 ] U [4, +∞>
c) x ∈ <-1, 1>
d) x ∈ <-∞, -1] U [2, +∞>
e) x ∈ R
12. Resolver; hallar su intervalo solución
3x2x 2
−+ > -2
a) x ∈ <-∞, -3] U [1, +∞>
b) x ∈ <-∞, -2] U [4, +∞>
c) x ∈ <-∞, -1] U [2, +∞>
d) x ∈ <-∞, 0] U [4, +∞>
e) x ∈ R
13. Hallar todos los valores reales “x” que verifican:

)8x)(1x()xx)(1x2)(1x8(
)3x()xx)(xx()1x6x24x64(
332
4422323
−+−−+
++−−−+
≥ 0
a) x∈<-∞;-3]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<2,+∞>
b) x∈<-∞;-2]U<-1;-1/2]U[1/4,1/2>U<3,+∞>
c) x∈<-∞;-1]U<-1;-1/2>U[1/4,1/2]U<2,+∞>
d) x ∈ R
e) N.A.
14. Hallar el conjunto solución en:
3x2x
2|x|
2
−−
−
≤ 0
a) [5/2, 3> b) [2, 5] c) <2, 3/2>
d) [2, 3> e) {2, -2}
15. El conjunto solución en: |x|2
- 4 > |3x - 6|
a) [-6, 3]’ b) [-7, 5/2]’ c) [-5, 2]’
d) <3, +∞> e) <-∞ , -6>
16. Si x ∈ <-2, 1] entonces x2
+ 2x + 2 pertenece al
intervalo:
a) [0,2] b) [0, 2> c) [0, 4>
d) [1, 4> e) [1, 5]
17. Si
1x
1
+
∈ <1/3, 1] entonces x2
+ 2x + 3
pertenece al intervalo:
a) [2, 4> b) [0, 9> c) [3, 11>
d) [3, 9> e) [2, 10>
18. Determinar la verdad o falsedad en:
I. x ∈ [1, 3] ⇒
5x
4x
−
−
∈ 





4
3
,
2
1
II. x ∈ [1, 2] ⇒
1x
7x
+
+
∈ [3, 4]
III. x2
∈ <4, 9> ⇒ x+1 ∈ <-2, -1> U <3, 4>
a) FVV b) FFF c) VVV
d) VVF e) FFV
19. Sea J = {x ∈ R/x ≤ |4x-7| < x+5}, entonces J es
igual a:
a) <2/5, 7/5] U [7/3, 4> b) R
c) [7/3, 4] d) <1/3, 2/5]
e) <0, 1]
 Diferenciar las Relaciones de las funciones.
 Encontrar dominios e imágenes de las
funciones
 Graficar las funciones más importantes
 Hallar el número real (valor numérico) o la
expresión algebraica (cambio de variable) que
resulta de reemplazar una o más variables por
valores numérico o algebraico.
Par ordenado: Un par ordenado es un conjunto
formado por dos elementos en el que se
introduce un orden “natural”.
Notación:
( a; b )
2do. componente
1er. componente
Propiedad:
Producto cartesiano:
Dados dos conjuntos A y B el producto cartesiano
de ambos se denota por A x B y se define como el
conjunto de pares ordenados, cuyo primer
elemento pertenece al primer conjunto y el
segundo elemento al segundo conjunto.
Es decir:
Propiedad:
Si: n representa el número de elementos de un
conjunto determinado. Se cumple que:
RELACIONES BINARIAS:
Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío,
decimos que el conjunto “R es una relación
binaria de A es B”, si R es un subconjunto del
producto cartesiano A x B
Simbólicamente:
R: A → B; R ⊂ A x B con A ≠ φ y B ≠ φ
Donde:
A x B = {(a; b) / a ε A ∧ b ε B}
Gráficamente:
R
A
Dominio de R
Conjunto de partida Conjunto de llegada
Rango de R
B
Dominio:
Es el conjunto formado por los primeros
componentes de los pares ordenados (a: b) que
pertenece a R.
Simbólicamente:
FUNCIO
Si (a; b) = (c; d) ⇒ a = c ∧ b = d
n (A x B) = n (A) x n (B)
A x B = {(a; b)/a ∈ A ∧ b ∈ B }

Dom (R) = {a ε A / ∃ b ∈ B ∧ (a, b) ∈ R}
Rango:
Es el conjunto formado por los segundos
componentes de los pares ordenados (a; b) que
pertenecen a R.
Simbólicamente:
Rango (R) = {b ∈ B / ∃ a ∈ A ∧ (a, b) ∈ R}
Nota importante:
Las siguientes notaciones son equivalentes y se
usan indistintamente. Lo que el estudiante debe
saber es interpretarlos.
a R b ⇔ b = R (a) ⇔ ( a; b ) ∈ R
Equivalente:
x R y ⇔ y = R(x) ⇔ (x; y) ∈ R
Si: R: IR → IR, además
IR x IR = {(x, y) / x ∈ IR ∧ y ∈ IR}
Relación de equivalencia:
Se dice que “R” es una relación de equivalencia
sobre un conjunto A ≠ φ, a toda relación de A en
A que goza de las tres siguientes propiedades:
a) ∀ x ∈ A ⇒ (x, x) ∈ R ⇔ x R x (Reflexiva).
b) Si (x, z) ∈ R ⇒ (z, x) ∈ R (simétrica).
c) Si (x, z)∈R ∧(z, t)∈R ⇒ (x, t)∈R (transitiva)
Ejemplos de relaciones de IR en IR
1. x2
+y2
= 25
2. x2
+ y2
< 9
3. x2
+ y2
> 9
4. x2
+ y2
≤ 9
5. (2, − 1), donde R: 2x − y − 5= 0
6. S ⊂ T, donde S: x2
+ y2
< 4
T: x2
+ y2
< 25
7. L1 // L2, donde L1: x − y=0, L2: y = x + 5
8. L1 ⊥ L2, donde L1: x+y–1=0; L2: y =x–2
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Definición: Dados dos conjuntos no vacíos A y
B llamamos función definida en A y con valores
en B, o simplemente función de A en B a toda
correspondencia f que asocia a cada elemento, x
∈ A un único elemento y ∈ B.
Notación funcional:
f : A → B v A B→
f
Se lee f es función de A en B.
Condición de existencia y unicidad:
Sea: f: A → B
I. Para cada x ∈ A, ∃! y ∈ B / (x; y) ∈ f.
II. Si: (x; y) ∈ f ∧ (x; z) ∈ f ⇒ y = z
Ejemplo:
1
2
3
4
a
b
c
d
A B
f
Conjunto de
Partida
Conjunto de
Llegada
f = {(1; a); (2; b); (3; b); (4; c)}
Cumple la definición ∴ es función.
En cambio:
5
9
13
a
b
c
A B
f
f = {(5, a); (9, b); (9, c); (13, a)}
No se cumple la condición de unicidad ∴ no es
función.
Observación:
No deben existir dos o más pares ordenados
diferentes con el mismo primer elemento; en caso
exista de acuerdo a la definición, las segundas
componentes tendrán que ser iguales si no es así
entonces no es función.
Ejemplo:
F = {(3; a-3); (5; 7); (3; 8); (5; b-1); (2; 9)}
Es función siempre y cuando:
a – 3 = 8 ∧ b – 1 = 7
Es decir: a = 11 ∧ b = 8.
Dominio de una función: Se llama así al
conjunto de todas las primeras componentes
pertenecientes a una función f, y se denota de la
siguiente manera: Df ó Dom f.
Df = {x ∈ A/ ∃! y ∈ B / (x, y) ∈ f}
Rango de una función: Es el conjunto de todas
las segundas componentes de los pares
ordenados que forman la función f y se denota;
Rf ó Rang f.
Rf = {y ∈ B/ x ∈ A ∧ (x; y) ∈ f}
Ejemplo:
Sea: f = {(1; 2); (4; 7); (5; 4); (9; 10)}
⇒ Df = {1; 4; 5; 9}
Rf = {2; 7; 4; 10}
Regla de correspondencia.- Es la relación que
existe entre las primeras y segundas componentes
de una función.
Donde:
x: variable independiente
y: variable dependiente
Sea la siguiente función:
f = {(1; 1); (2; 4); (3; 9); (4; 16)….}
Luego:
f(1) = 1; f(2) = 4; f(3) = 9; f(4) = 16 ..........
En general: f(x) = x2
; x ∈ N
Función real de variable real
Sea f una función de A en B.
(f: A → B), si: A ⊂ R B ⊂ R
Diremos que f es una función real de variable
real.
Gráfica: Si f es una función real de variable real,
la gráfica de f es la representación geométrica de
los pares ordenados que pertenecen a f.
Gráfica. = {(x; y) ∈ R2
/ y = f(x), x ∈ Df}
Teorema.- Si f es una función de R en R ⇔ toda
recta paralela al eje “y” corta la gráfica a lo más
en un punto.
x
y
f
Es función
x
y
f
No es función
x
y
f
No es función
Funciones especiales
1. Función Constante
Regla de Correspondencia: f(x) = C;
Df = R, Rf ={C}

y
C
C > 0
C = 0
C < 0
x
2. Función Identidad
Regla de correspondencia: f(x) = x ó I(x) = x
y
f
x
Df = R
Rf = R
45°
3. Función Valor Absoluto
Regla de correspondencia
y
f
x
45°45°
f(x) = |x| =



<−
≥
0xx ;
0xx ;
Df = R
Rf = +
0
R
4. Función Lineal
f(x) = ax + b; a ≠ 0
Df = R
Rf = R
y
b
x-b/a
a > 0
b > 0
5. Función cuadrática
f(x) = ax2
+ bx + c; a ≠ 0, {a, b, c}⊂ R
Df = R
Toda función cuadrática se puede llevar a la
forma:
f(x) = a(x-h)2
+ k
Donde: V = (h; k) vértice.
x
y > 0
v
v
a<0
a>0
x
y = 0
v
a<0
a>0
∆∆
x
y
< 0
v
a<0
a>0
v
∆= discriminante
∆
2
= b - 4ac
∆Donde:
6. Función Raíz Cuadrada
Regla de correspondencia: f(x) = x
y
F
x
Df = R
Rf = R
+
0
+
0
7. Función Signo





<−
=
>
==
0xsi1
0xsi0
0xsi1
Sgn(x)F(x)
:,
:,
:,
Dom F = R; Rang F = {-1; 0; 1}
y
x
-1
1
Álgebra de funciones
1. Igualdad de Funciones:
Las funciones f y g son iguales si se
cumple:
a. Df = Dg (igual dominio)
b. f(x) = g(x), ∀ x ∈ Df = Dg
A continuación vamos a definir las diferentes
operaciones que se pueden establecer con las
funciones.
Sean las funciones f, g con dominios Df y Dg
respectivamente.
i. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
D(f + g) = Df ∩ Dg
ii. (f – g)(x) = f(x) – g(x)
D(f – g) = Df ∩ Dg
iii. (f.g) (x) = f(x). g(x)
D(f. g) = Df ∩ Dg
iv. (f/g)(x) =
)(
)(
xg
xf
; g(x) ≠ 0
D(f/g) = Df ∩ Dg ∧ g(x) ≠ 0
Observación:
Si:
(f. f. f. f. . . . . . f)(x) = f(x) . f(x) . . . . . f(x)
n veces n veces
Entonces:
n
xf )( = Df;][f nn
(x) = Df : n ∈
N
Ejemplo:
Dadas las funciones:
F = {(-3;4); (-1;0); (2;0); (3;1); (4;1); (5;3);
(6;6)}
G= {(-4;3); (-3;0); (1;0); (2;3); (3;3); (4;6);
(6;6); (7;5)}
Determinar:
a) f ± g
b) f . g
c) f/g
d) g/f
e) f2
- 2g

01.Sean A = {1, 2, 3} B = {4, 5}
Cuáles de los siguientes conjuntos son
relaciones de A en B.
I.- {(1, 4) (2, 4)}
II.- {(1, 5) (2, 4) (4, 3)}
III.- {(3, 5) (2, 5)}
a) Sólo I b) sólo I y II c) sólo I y III
d) III y II e) N.A.
02. Dado el número U = {1, 2, 3, 4} y las
relaciones:
R1 = {(x, y) / x = y}
R2 = {(x, y) / y = 4}
R3 = {(x, y) / x > y}
El número de elementos de R3 – (R1 U R2) es:
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
03.Si R es una relación en A = {2, 3, 9} tal que
R ={(x, y) ∈ A x A/ y + 1 <x2
} entonces:
I) Dom(R) = {2, 3}
III) Dom(R)=Ran(R)
II) Ran(R)= {9}
IV) R tiene 7 elementos
a) Sólo I y II b) sólo II y IV c) I, II y III
d) sólo III y IV e) N.A.
04.Dada la relación R definida con los números
reales: R = {(x, y) / |x-y| < 5}
Cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas:
I) R es reflexiva
II) R es simétrica
III) R es transitiva
IV) R no es de equivalencia
a) Sólo I b) sólo II y III c) I, III y II
d) sólo I, II y IV e) N.A.
05.Si R = {(x, y) / 2x – y = 5} ⊂ M x M, donde:
M = {1, 2, 3, 4, ......, 9} y si “m” es la suma
de todos los elementos del dominio de R y
“n” es la suma de todos los elementos del
rango de R, entonces:
Hallar el valor de m.n.
a) 620 b) 625 c) 630
d) 635 e) N.A.
06.De un conjunto A a un conjunto B se pueden
formar 1024 relaciones, si el conjunto A tiene
dos elementos. Cuántos elementos tiene el
conjunto B.
a) 10 b) 6 c) 8
d) 5 e) 7
07.Sean las relaciones:
R ={(1;3) (2;4)(3;5)(1;1)(2;2)(4;2)(3;1)}
T = {(x, y) / (y, x) e R}. Entonces ¿Cuáles de
las afirmaciones siguientes son falsas?
I) R es transitiva pero no simétrica
II) R ∩ T = {(1; 1) , (2; 2)}
III) Dom (R) - Dom (T) ≠ ∅
a) Sólo I b) sólo II c) sólo III
d) sólo I y II e) todas
08.Hallar el dominio (Df) y el rango (Rf) de la
siguiente función:
f={(2,5);(-1,-3);(2,2a-b);(-1,b-a);(a+b2
, a)}
Luego indicar: Df ∩ Rf
a) {3} b) {-1} c) {2}
d) {5} e) {φ}
09. Hallar a + b, si el dominio de la función:
F(x) = 1x4
x87x3
1x 2
2
2
−+
−−
−
Es x ∈ [-a; -b] U [b; a]
a) 1/2 b) 1 c) 3/2
d) 2/3 e) 1/6
10.Calcular el rango de:
f(x) = 1x4x2
++
Sabiendo que: x ∈ <2, 4>
a) <-15; 35> b) < 35;15 >
c) <13;33> d) < 33;13 >
e) < 21;10 >
11. Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) = 2x2
+ 3x + 2; x ∈ R
a) [1/8; +∞> b) [7/8; +∞> c) [-1; 2]
d) <-∞; 7/8> e) N.A.
12.Hallar el rango de la función:
F(x) =
64x5
x
2
2
+
a) [0; 1/5> b) <-∞; 1/5] c) [0; 5>
d) [1/5; +∞> e) N.A.
13.Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) =
4x2x
4x2x
2
2
++
+−
a) [-1/3; 0] b) [1/3; 3] c) [1; 6]
d) [1/3; 4] e) [-3; 1]
14.Hallar el rango de:
F(x) =
3|3x|x
|3x|x
−−−
−+
a) {0} b) [3; +∞> c) <-∞; 3]
d) {3; -3} e) <-∞; 0>
15.Hallar el rango de la función:
G(x) = x2
- 6x + 3; si x ∈ <-2; 5>
a) <-6; 19> b) [-5; 10> c) [-6; 19> d)
<-6; 6> e) [-7; 10>
16. Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) =
10x3x6x
)8x6x)(x5x4x(
23
223
++−
+−−−
a) <-2; 5> U <5; +∞>
b) <-4; 3> U <3; +∞>
c) <-4; 6>
d) <-4; 5> U <5; +∞>
e) <-3; 5>
17. Determinar el rango de:
F = {(x; y) ∈ R2
/y = 25x4x 2
++− }
a) R b) [3; +∞> c) <2; +∞> d)
[2; +∞> e) <3; +∞>
18. Si: F(x) = 3x2x −−
G(x) = )3x)(2x( −−
Indicar lo correcto:
a) F = G b) F = 2G c) F = 3G
d) F + G = 0 e) F ≠ G
19. Sean las funciones:
F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1), (4,3)}
G = {(2,0); (3,4); (4,7); (6,2)}
Hallar la suma de valores extremos de:
(F + G).
a) 6 b) 10 c) 3
d) 13 e) N.A.
20. Hallar la gráfica de la siguiente función:
F(x) = (x + 2)2
– 4

e) N.A.
a)
x
y b)
x
y
d)
x
yc)
x
y
21. Hallar la gráfica de: F(x) = 23x −−
e) N.A.
a)
x
b)
d)c)
y
-2
3
y
3
y
3
y
2
x x
x
01. Si F(x) = 4 |x|3−
G = {(-4,1); (-3,0); (-1,5); (2,-1); (7,4)}
Indicar el número de elementos de G/F.
a) 3 b) 1 c) 2
d) 4 e) 5
02.Dado el conjunto A = {a, b, c, d} y las
relaciones:
R1 = {(a, a), (d, d), (a, d), (d, a)}
R2 = {(c, c), (b, b)}
R3 = {(a, a), (b, b), (c, b), (d, a)}, son
transitivas:
a) R1, R2 b) R1, R3 c) R2, R3
d) N.A. e) Todas
03.Sea R una relación definida en el conjunto
{x/x=2n , n e Z+
,5 < x < 25} y sea n(R) el
número de elementos de R. Cuáles de las
siguientes proposiciones son verdaderas.
I) n(R) = 10 ⇒ R no es reflexiva
II) n(R) = 10 ⇒ R es reflexiva
III) R es transitiva ⇒ n(R) > 3
Son verdaderas:
a) Sólo I b) sólo II c) sólo III
d) sólo I y II e) Todas
04.En el conjunto [1,8] ∩ Z se define la relación
R cómo. a R b ⇔ a es divisor de b. Hallar
n(R)
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
05.Si el conjunto M tiene 2 elementos, entonces
el número de relaciones binarias en MxM es:
a) 22
b) 24
c) 28
d) 216
e) N.A.
06.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y la siguiente relación
en A:
R = {(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3,z), (x,y) ,
(x,z) , (2,3) , (z,y) , (3,1)} Si R es una
relación de equivalencia.
Hallar el valor de: 3x + 2y – z
a) 2 b) 4 c) 0
d) 7 e) N.A.
07.Sea R una relación en: A={1,2,3,4,5,6}
definida por “x es divisor de y”, entonces:
1. R es reflexiva
2. R es simétrica
3. R es Transitiva
Son ciertas solamente:
a) Todas b) 1,2 c) 1,3
d) 2,3 e) N.A.
08.Son funciones:
a
b
c
1
2
3
4
A B
a
b
c
1
2
A B
(1) (2)
a
b
1
2
A B
3
a
b
1
2
A B
(3) (4)
a) Todas b) 1; 2 y 3 c) 2; 3 y 4
d) 3 y 4 e) N.A.
09.Se tiene los siguientes conjuntos de pares
ordenados:
1.- {(1,2), (2,3), (3,4), (4,3)}
2.- {(2,1), (3,2), (4,3), (3,4)}
3.- {(3,4), (2,3), (4,1), (2,3)}
4.- {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}
Son funciones solamente:
a) Todas b) 1,2 y 3 c) 1,3 y 4
d) 1,3 y 5 e) N.A.
10.Sea f: A → R definida por f (x) = 4x
– 4.
Hallar el rango de f si:
A = {-1/2; -1; 0; 1; ½}
a) {0, -1, -2, -3, -4}
b) {-2, -3, 0, 3, 2}
c) {7/2, 15/4, 2, 3, 0}
d) {-15/4, -7/2, 0}
e) {–7/2, –15/4, –3, –2, 0}
11.Los siguientes gráficos representan funciones:
y
x
y
x
(1) (2)
y
x
(3)
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) N.A.
12.Sean los conjuntos:
A = {2, 3, 4} y B = {3, 4, 5} y las siguientes
relaciones de A en B.
1.- {(2, 3), (3, 4), (4, 5)}
2.- {(3, 2), (4, 3), (5,4)}

3.- {(3, 3), (4, 4)}
Son funciones de A en B:
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) N.A.
13.¿Cuáles de los siguientes conjuntos describen
a una función A x A:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
1.- {(x, y) ∈ A2
/ x = 4}
2.- {(x, y) ∈ A2
/ y = 4}
3.- {(x, y) ∈ A2
/ x + y = 6}
4.- {(x, y) ∈ A2
/ x2
+ y2
= 25
5.- {(x, y) ∈ A2
/ x < y}
a) Todas b) 1,2 y 5 c) 2,3 y 4
d) 1,3 y 4 e) 3,4 y 5
14.Sea A = {x ∈ N / 0 < x < 5}
¿Cuántos de los siguientes conjuntos son
funciones de A en A?
R1 = {(x, y) ∈ A x A / x = 2}
R2 = {(x, y) ∈ A x A / y = 2}
R3 = {(x, y) ∈ A x A / x + y = 5}
R4 = {(x, y) ∈ A x A / x = y2
}
a) R1 ∧ R2 b) R2 ∧ R3 ∧ R4 c) sólo R3
d) todas e) R1 y R4
15.Para A = {1, 2, 3} , B = {3, 4, 5}
Sean f y g dos aplicaciones de A en B tales
que:
f = {(1, 3), (2, 4), (a, b)} y
g = {(3, 3), (2, 4), (c, d)}
Si: ∀x ∈ A, f(x) ≠ x,
Rango (f) ≠ B y g(1) = 3
Hallar el valor de: (b – a) – (c – d)
a) 2 b) 4 c) –2
d) –1 e) N.A.
16.Si f es una función. ¿Cuáles son verdaderas?
I) Si a = b ⇒ f(a) = f(b)
II) Si a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b)
III) Si f(a) = f(b) ⇒ a = b
a) I b) II c) III
d) todas e) I y III
17.Sean:
A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {a, b, c, d, e}
¿Cuáles de las siguientes relaciones definen
aplicaciones de A en B?
R1 = {(2, a), (4, c), (10, c), (8, e), (6, e)}
R2 = {(10, a), (6, b), (2, a), (6, e), (4, d)}
R3 = {(6, a), (4, b), (8, c), (10, e)}
R4 = {(a, b), (4, e), (6, a)}
R5 = {(10, b), (8, b), (4, b), (2, b), (6, b)}
a) R1 ∧ R3 b) R1 ∧ R5 c) R3, R4; R5
d) todas e) N.A.
18.¿Cuál de los siguientes conjuntos es función?
I) {(1, 3), (2, -2), (-1, 7), (2, -4)}
II) {(1, 0), (0, 0), (2, 0), (3, 0)}
III) {(1/2,3), (1/3,2), (1/5,1)
IV) {(3,4), (5,2), (6,2), (3,4)}
a) I y II b) I, II y III c) II, III, IV
d) I e) todas
19.Si el siguiente conjunto es una función
{(3,-2), (4,2a - b), (8,1), (3,a + b), (4,-4)}, el
valor de a2
+ b2
es:
a) 1 b) 3 c) 0
d) 4 e) 5
F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1); (4,3)}
G = {(2,0); (3,4); (4,7); (5,2)}
Hallar la suma de elementos del rango de:
(F2
+ 3 G)
a) 16 b) 13 c) 30
d) 59 e) N.A.
01.Dado el conjunto: A = {2; 4; 6} y las
relaciones en A:
R1 = {(2; 2), (2; 4), (4; 4 ), (6; 6), (4; 2)}
R2 = {(x, y) / y – x = 0}
R3 = {(x; y) / y – 2 = x};
¿Cuáles son relaciones de equivalencia?
a) R1 b) R2 c) R1 y R3
d) R2 y R3 e) R1 y R2
02.Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las
relaciones en A:
I) R1={(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;4)}
II) R2 = {(x; y) /x2
+ y2
= 5} ∪ {(1; 1)}
III) R3 = {(1; 1), (2; 2), (2; 3)}
Indicar las relaciones transitivas.
a) II b) I ∧ II c) II ∧ III
d) I, II ∧ III e) I ∧ III
03.Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las
relaciones en A:
R1={(1;2), (2 ;3), (2;1), (3;4), (3;2), (4; 3),
(3;3)}
R2 = {(x; y) / x2
+ y2
= 5}
R3 = {(x; y) / y = x – 2};
¿Cuáles son simétricas?
a) R1 ∧ R3 b) R1 c) R1 ∧ R2
d) R2 e) R3
04.Dado el conjunto: A = {-2; -1; 3; 4} y las
relaciones en A:
R1 = {(-2,-1), (-2;-2), (-1; 2), (-1;-1), (3;3),
(4; 4)} …........... ( )
R2 = {(x; y) / | x | = | y | ............... ( )
R3 = {(x; y) / y = x – 2} ............... ( )
Indicar con una V si es reflexiva y con una F
si no lo es.
a) VVF b) VFF c) FVF
d) VVV e) VFV
05.Dados los conjuntos:
A = {x ∈ R / 3 < x < 6}
B = {x ∈ R / x ∈ [-1; 4]}. Calcular el área
que determina la gráfica de A x B
a) 22µ2
b) 6µ2
c) 15µ2
d) 12µ2
e)
8µ2
06. Son funciones inyectivas:
a
b
c
1
2
3
A B
a
b
1
2
A B
3
(1) (2)
a
b
c
1
2
A B
(3)
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) N.A.
07.Son funciones sobreyectivas:
a
b
c
1
2
3
A B
a
b
1
2
3
A B
(1) (2)
a
b
c
1
2
3
A B
(3)
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) 3
08.Son funciones biyectivas:
a
b
c
1
2
3
A B
a
b
1
2
3
A B
(1) (2)

a
b
c
1
2
A B
(3)
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) 1
09. Graficar la función: F(x) = ||x-2| - 2|
a)
x
b)y y
2
x
c) y
4
x
d) y
x
e) y
x
10. Graficar: F(x) = | 1x2 −− |
e) N.A.
a) b)
d)c)
x
y
2
y
-2
x
x
y
2
x
y
2
-1
1
F = {(0, 2 ); (1, 52 + ); (2, 0)}
G = {(0, 8 ); (2, 1/2); (4; 3 )}
Hallar M = (F.G)(2)
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e) N.A.
12. Graficar la función: F(x) = Sgn 





+
−
2x
1x
e)N.A.
a)
x
y
-1
1-2
1
c)
x
y
-1
1
-2 1
b)
x
y
-1
1
d)
x
y
-1
1
13. Dadas las funciones:
F(x) = 3x - 5; x ∈ [0, 6]
G(x) =




∈<
−∈−
],;
],[;
42xx
21xx2x 2
Hallar: (F + G)
a)(F+G)(x)=




∈<−+
∈−+
]4,2xSi;5xx3
]2,0[xSi;5xx2
b) (F+G)(x) =




∈<+−
∈++
]4,2xSi;5xx3
]2,0[xSi;5xx2
c) (F+G)(x) =




∈<−+
∈−+
]5,4xSi;5xx3
]3,0[xSi;5xx2
d) (F+G)(x) =




∈<++
∈+−
]4,2xSi;5xx3
]2,0[xSi;5xx2
e) N.A.
14. Hallar el rango de la función:
F = ( )






≥−





−
04xx/
4x
x
,x 2
a) <-∞; 1]
b) <-∞; 1] U <1, +∞] U {0}
c) <1; +∞>
d) [-1; 1>
e) <-∞; 0> U <1; +∞>
F(x) = x2
- 2|x| - 3
a) [-4; +∞> b) [-2; +∞> c) [-1; +∞>
d) [-6; +∞> e) [1; +∞>
F(x) =
|1x|
1xxx 23
+
+++
a) <-∞; -1> U [2; +∞>
b) <-∞; -3> [2; +∞>
c) <-∞; -2> [1; +∞>
d) <-∞; -2] U <2; 4>
e) R - {-1}
17. Determinar el rango de:
F(x) = |x + 8| - |x – 8|
a) [-4; 4] b) [-8; 8] c) [-16; 16]
d) [8; +∞> e) <-∞; 8]
18. Graficar F(x) = x|x|.
e) N.A.
a)
x
y
c)
x
y
b)
x
y
d)
x
y
19. Sean las funciones en R:
h(x) = x2
- 4x + 7
g(x) = x2
- 10x - 27
Si: h(xO) ≤ h(x); ∀ x ∈ Dom h
y g(x1) ≥ g(x); ∀ x ∈ Dom g.

Hallar: x-x 10 .
a) -3 b) 3 c) 7
d) -7 e) N.A.
20. Si las gráficas de F(x) y G(x) son:
x
y
b
F
a
x
y
G
Hallar la gráfica de:
H(x) =
2
|)x(G)x(F|)x(G)x(F −++
x
ya)
x
yb)
y
x
c)
x
yd)
e) N.A.
I. Definición
Se denomina logaritmo de un número real
“N”, al exponente a que debe elevarse una
base positiva y distinta de la unidad, para
obtener una potencia igual al número
propuesta o sea “N”:
Notación
Loga N = b
Se lee: “logaritmo de N en base a es igual a
b”.
Ejemplo:
Hallar el logaritmo de 3
48 en base 5
2
Resolución
Sea “x” el logaritmo buscado:
x48log 3
25 =
Por definición:
( ) 3x5
482 =
3/135
x
4.22 =

3/235
x
2.22 =
3/115/x
22 =
Cuando las bases son iguales, entonces los
exponentes son iguales.
3
11
5
x
=
De donde: x = 55/3
II. Propiedades generales de los logaritmos
1) Solamente existen sistemas de logaritmo cuya
base es una cantidad positiva diferente de 1.
a ∈ < 0; 1 > ∪ < 1; +∞ >
2) En el campo de los números reales no
existen logaritmos de cantidades
negativas.
3) El logaritmo de la base es la unidad.
1aloga =
4) El logaritmo de la unidad es cero
01loga =
5) Logaritmo de un producto
Es igual a la suma de los logaritmos de sus
factores.
NlogMlog)N.M(log aaa +=
6) Logaritmo de un cociente
Es igual al logaritmo del numerador menos el
logaritmo del denominador.
NlogMlog
N
M
log aaa −=





7) Logaritmo de una Potencia
Es igual al producto del exponente por el
logaritmo dado con su respectiva base.
MlogNMlog a
N
a =
8) Logaritmo de una Raíz
LOGARITM

Es igual al cociente del logaritmo del
radicando entre el índice de la raíz.
N
Mlog
Mlog aN
a =
9) En todo sistema de logaritmos, si se eleva la
base a un número “n”, para que no varía,
también debe elevarse el número. Igual
sucede cuando se le extrae la raíz “n”.
Esta propiedad sólo se basa en Potenciación y
Radicación.
n
a
n
aa MlogMlogMlog nn ==
III. Cambio de base
Permite escribir el logaritmo de un número
con su base conocida, en otro logaritmo del
mismo número pero en otra base.
Sea la base original “a” y el número N, se
desea cambiar a una base “b” del mismo
número N.
Esta transformación se realiza de la siguiente;
manera:
alog
Nlog
Nlog
b
b
a =
* PROPIEDAD EN EL CAMBIO DE BASE
blogclog aa cb =
* CONSECUENCIAS DE LA FORMA DE
CAMBIO DE BASE
1)
alog
1
Nlog
N
a =
2) Regla de la Cadena
1alog.Nlog Na =
3) Extensión de la regla de la cadena
elogelog.dlog.clog.blog adcba =
IV. Cologaritmo
De un número en una base “a” es el logaritmo
de la inversa del número en la misma base.
También es equivalente al logaritmo del
número en la base, precedido del signo
menos.
Nlog
N
1
logNlogCo aaa −=





=
V. Antilogaritmo
Se denomina antilogaritmo en una base “a” al
número que dio origen al logaritmo.
x
a axlogAnti =
Por definición, el antilogaritmo y logaritmo,
expresados en la misma base son funciones
inversas, por tanto:
( ) xxloglogAnti aa =
VI. Sistemas de logaritmos
Sistemas de logaritmo neperiano o
natural
Es aquel sistema de logaritmo, en el cual la
base a emplear es el número “e”, donde:
2 < e < 3.
(e ≅ 2,7182) siendo sus notaciones:
NlnNloge =
Logaritmo decimales vulgares o de
Brigss
Definición: Recibe este nombre, el sistema
de logaritmos, cuya base es 10. La base no se
escribe y su representación es:
NlogNlog10 =
Características: Es la parte entera del
logaritmo decimal de un número. Puede ser
positiva o negativa.
Determinación de la característica de log
N
Cuando N>1: La característica es positiva
igual al número de cifras que hay en su parte
entera menos uno.
Ejemplos:
log 657⇒ la característica es: 3 – 1 = 2
log 3287,17⇒la característica es: 4 – 1= 3
Cuando: 0<N<1: la característica es
negativa; siendo en valor absoluto igual al
número de lugares que se debe desplazar la
coma decimal para que el número resulte con
una cifra entera.
Ejemplo:
log 0,0023: la característica es: - 3= 3
log 0,0000426: la característica es: –5= 5
log 0,00050007: la característica es:– 4= 4
Mantisa
Es la parte decimal del logaritmo vulgar.
Observaciones
- La Mantisa en los logaritmos decimales, se
halla mediante tablas.
- La Mantisa es siempre positiva
Cuando se trata de calcular el Nº cifras
enteras, se tiene:
• log E = 24.56786 ⇒ 24 + 1 = 25 cifras
enteras
• log E = 2.32723 ⇒ 2+1 = 3 cifras enteras
• log E = 6.42345 ⇒ 6 + 1 = 7 cifras enteras.
01.Calcular el valor de “E”
3loglogloglogE 389/464=
a) 2/3 b) – 1/6 c) 3/2
d) –6 e) 1
02.Calcular el valor de:
logloglog36logloglogE
4
6 100
2
1624/1 +=
a) 4 b) –3 c) ¼
d) –1/2 e) –2
03.Calcular “x” en la expresión:
3xlog.xlog,xlog x
x
x
x
x
x
xxx =
a) 1/3 b) 3 c) 1
d) - 3 e) 3/3
04.Calcular “x” a partir de las igualdades
( ) 146135,0Nlog 1x =+ ......................
.. (I)
( ) 292270,0Nlog 1x =− ......................
. (II)
a) 0 b) 2 c) 3
d) a + c e) – 1/3
05.Calcular “x” en:
( )
27log2x 3
2xlog3
2
x
=
+

a) 2 b) 3 c) 1
d) 5 e) 6
clog.xlog.xlog)alog1(clog.xlog acbcba =+
a) 1 b) a c) c
d) ac e) a/b
2log
16log5log27log4log2 9423
42549.4E =
a) 4 b) 6 c) 12
d) log 2 e) 2
08.Calcular:
2log
5.0log 7log7log
7
7 22 5.07E 





=
a) 49 b) 14 c) 172
d) log2 7 e) log 0,5
09.Calcular:
5log
blog1
alog1
alog1
blog1
a
a
b
5blog
b
a
baE








+
+








+
+
+=
a) 5 b) 10 c) a
d) b e) logb a
10.Si:
16blog.clogblog.alogclog.alog abacbc =++
Calcular:
2
a
2
c
2
b clogblogalogE ++=
a) 8 b) 16 c) log abc
d) 8 e) 32
antilog125 antilog3 colog25 antilog5 log7 49
a) 7 b) 5 c) 2
d) 3 e) 25
6253logantilogantiloganti 22x 4 =
a) 2 b) 3 c) 2
d) 8 e) 5








−





+





+= 38621
8
27
loglogantiloglogantilogcoE 82397
a) –2 b) 7 c) 3
d) 2 e) – 3
14.Si:
( ) ( ) ( ) 9432 2x4log4x3log3x2log 432 =++ −−−
Calcular “x”:
a) 10 b) 3 c) 2
d) 12 e) 7
625log.loganti.log.log.loganti.logcoE 2,05,02224=
a) – 3 b) –1 c) 2
d) 4 e) ½
16.Calcular el número de cifras que tendrá el
desarrollo de:
202928
5x3x2E =
Si: log 2 = 0,30103, log 3 = 0,47712
a) 25 b) 28 c) 32
d) 37 e) 36
17.Calcular el valor de.
8
25.781logE = , si log 2 = 0,30103
a) 0.3615 b) 0.8737 c) 0.3737
d) 0.69897 e) 1.7257
5log
20log25logE −= ,si log
2=0.30103
a) 0,69897 b) 0,3615 c) 0,7257
d) 0,2117 e) 0,8436
19.Calcular el valor de “x” en:
( ) 8e 71229xxln 24
=−+
a) 4 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
20. Resolver la ecuación:
e
1
ln
exln
exln
log
xlog
x =





+
−
. Hallar
“x”.
a) e9e/11
b) e3e/7
c) e5e/7
d) e11e/9
e) N.A.
4log32log33log26log3xlog 55555 −+−=
a) 1 b) 2 c) 3
d) – 2 e) – 4
x log 2 + log log 2 = log log 16
a) 4 b) 1 c) ¼
d) 2 e) –2/3
27logxlog5
3
x
log3
2
x
log4 7777 −=





+





a) 2 b) 3 c) 5
d) 4 e) 1
2/15xlogxlogxlogxlog 242/12 =+++
a) 15/2 b) ½ c) 2
d) 15 e) 8
x
9
3log
274
1227
log
8 =




+
a) –2/3 b) (1/4)-1/3
c) 4
d) 1 e) 3
06.Si se cumple que:
1cloglogblog.log aaaa =−
Calcular “x” en:
xlog
xlog
a
c
balogx =
a) 2a b) 1/a c) bc
d) ab/c e) 1
( ) ( ) 343x572 7logxlog aa =+
a) 1/a b) 2a c) a2
d) log 7 e) 7
08.Calcular:

2log
14log5log2
7
77
5
52
E
+
=
+
a) 3 b) 5/3 c) 1/3
d) ½ log7 5 e) 9
09.Al reducir:
Nlog
1
........
Nlog
1
Nlog
1
Nlog
1
1999432
++++
; Donde: N = 1999! , se obtiene:
a) 1997 b) 0 c) 1998
d) 1 e) F.d.
10.¿Qué valor asume la expresión:
5logxlog aa x65E += .Si x =
alog57
a) 5 b) 3 c) 7
d) 6 e) 4
11. Resolver:
b
xlog
x
b
alog
1
a
=







a) ab
b) ba
c) a
d) b e) -ab
12. Al resolver la ecuación: ( ) 25x
2
x 4xlog
=+
podemos afirmar:
a) Admite como solución a la unidad
b) Se verifica para x = -9
c) Conjunto solución = {-9; 1}
d) Es inconsistente
e) Es indeterminado
13. Hallar “x” en: xLog 2+Log Log 2= Log Log 16
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 8
14.Calcular:
3
8
16Log 5
a) 20 b) 9 c) 15/4
d) 20/9 e) 9/20
15.Calcular:
43Log
7
4
Log
7 5Log
3
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 7
16.Calcular:
( )81LogLog)25,0( 35,0
9Log16 +−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a
17.Calcular:






+





−





=
243
32
Log
9
5
Log2
16
75
LogP
a) Log 3 b) Log 2 c) Log 5
d) Log 6 e) N.a
18.Resolver:
Log (2 – x) + Log (3 – x) = Log 20
a) 7 b) – 7 c) – 2
d) 2 e) 14
19.Si: Log x – 3 Log 2 = 1
hallar “x”:
a) 2 b) 8 c) 80
d) 40 e) 1
20.Halle de:
2010 )xx(Log 2
=+
a) 4 b) 3 c) 6
d) 7 e) 4 y – 5
01. Calcular: 27Log2Log 364 +
a) 73/6 b) 73/12 c) 6/73
d) 12/73 e) 1/2
02. Calcular: 2LogLogLog 2816
a) 1/2 b) – 1/2 c) 1/4
d) – 1/4 e) 1
03. Hallar “x” en:
4)3x2(LogLog 524 =−
a) 10 b) 14 c) 6
d) 2 e) 4
04. Calcular:
43Log74Log
7 5Log
3
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 7
05. Calcular:
3Log
4Log
5Log
3Log
4Log
2Log
a
c
c
b
b
a
5
























a) 2 b) 25 c) 5
d) 1/5 e) 125
06. Calcular: 3LogxLog aa x73 +
si se sabe que: aLog32x =
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. Reducir:
cLog1
1
bLog1
1
aLog1
1
abacbc +
+
+
+
+
a) 1/2 b) abc c) a + b + c
d) ab + ac + bc e) 2
08. Señalar la menor raíz de la ecuación:
17
10
103.100
xLog
10LogxLog
=
+
a) 2/3 b) 2/5 c) 3/2
d) 5/2 e) 5
09. Si: F(x + logx) = x – logx; hallar: F (11)
a) 2 b) 3 c) 7
d) 9 e) 11
10. Si: 2a4Logy3bLog ba == ,
indicar el valor de “b”
a) 5
82 b) 5
22 c) 3
24
d) 2 e) 3
22
11. Resolver: Loga64 Logxa = 3
a) 2 b) 8 c) 6
d) 4 e) 5
12.Si: 5b
b1
b
=
−
. Simplificar:
( ) b2b bxlogb
b
b
bxlogb
−
=
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
13. Resolver:
a
x
a
log
a
x
logaxlogaxlog 4
x
4
a
4
x
4
a =+++
a) a b) a
a c) 2a
a
d) a e) a
a
14. Simplificar la expresión:
34log
3 8log
2
a) 2 b) 2 2 c) 3 2
d) 3 e) 8
15. Si: a y b son las raíces de la ecuación:
x2
– 3x + n4
= 0
Calcular:
b
nnn
a
n blogblogaalogbalog +++

a) – 12 b) – 6 c) 6
d) 9 e) 12
14. Resolver:
1nloglog)
10
x4
(log1 x −=
−
+
¿Cuántas raíces tiene esta ecuación para un
valor determinado de “n”?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. Resolver la siguiente ecuación:
27)xlog(log ))xlog((loglog
)x(loglog3
=−
a) 102
b) 103
c) 104
d) 10 e) 105
16. Hallar el valor de:
( )
04,0
125,03
log
2 3log
93 25log135log −
a) x b) 3 c) 0
d) 4 e) 5
17. Resolver:
......)b.(log)b.(log)b(log
32
xlogxlogxlog
a) 200 b) 100 c) 400
d) 20 e) 150
18. Qué valor de “x” verifica la igualdad:
)]3log3(logco[logantixloganti 3624 =
a) -1 b) 1 c) 3
d) 4 e) -2
19. Calcular E si x = 10
3





 ++=
xlogxlogxlog
x
623
643logE
a) 11 b) 3 c) 10
d) 9 e)12
20. Resolver el sistema. Hallar “x”:
8
y
x
logxylog 22
=− . . . . . . . . . (1)
ylogxlog
42 = ……. . . . . (2)
a) 100 b) 1/ 100 c) 2/ 50
d) 1 e) 300
 Diferenciar los términos: Progresión
Aritmética y Progresión Geométrica.
 Interpolar Medios Aritmética y Medios
Geométrica.
En muchas ocasiones los conjuntos de elementos
cualesquiera se ordenan de igual manera que
están ordenados los números naturales.
Siempre que los elementos de un conjunto estén
en correspondencia con los números naturales 1;
2; 3; … , de forma que a cada elemento le
asignamos un número natural correspondiente, el
conjunto se convierte en una SUCESION.
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Es una función definida de N a R en la forma
siguiente:
S: N R
S: n an
N R
S
n
an
n an
1 a1
2 a2
3 a3
4 a4
: :
: :
n an
Sucesión: a1; a2; a3;…; an
Ejemplos:
1; 4; 9; 16; 25; 36; 49
1; -x;
2
x2
; –
3
x3
;
4
x4
; –
5
x5
;
6
x6
;
….
Cuando el número de términos es limitado, se
dice que la sucesión es finita. Cuando el número
de términos es ilimitado, la sucesión es infinita.
El término general o término enésimo es una
expresión que indica la ley de formación de los
términos de la sucesión.
Ejemplo: El término general de la sucesión:
1; 4; 9; 16; 25; 36; 49 es n2
∀ n ∈ N
Dentro de las sucesiones tenemos las
PROGRESIONES.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Es aquella, en la cual un término cualquiera,
excepto el primero, es igual al anterior aumentado
en una cantidad constante llamada razón
aritmética. A la progresión aritmética también se
le denomina progresión por diferencia.
Representación
÷ a1. a2 . a3 ..................… an
÷ a1. (a1 + r). (a1 + 2r). … [a1 + (n – 1) r]
Elementos de una progresión aritmética
÷ = Inicio de la progresión aritmética.
a1= primer término
an= término enésimo
r = razón de la progresión aritmética
Sn= Suma de los “n” primeros términos
Clases de progresión aritmética:
De acuerdo a la razón:
* Si: r > 0 Progresión Aritmética Creciente
PROGRESI

* Si: r < 0 Progresión Aritmética Decreciente
Propiedades:
Sea la P.A: ÷ a1. a2. a3..... ak... ax… ay... an
I. Razón: r = a2 – a1 = a3 – a2 .... = ak – ak – 1
1kk aar −−= ; 1 ≤ k ≤ n
II. Término General
r)yx(aa yx −+=
r)1n(aa 1n −+=
III. Términos equidistantes de los extremos
Sean ellos: aP; aq
÷a1............ aP............. aq............ an
p términos p términos
n1qp aaaa +=+
IV. Término Central: Cuando “n” es impar.
2
aa
a n1
c
+
=
* Corolario:
2
aa
a 1x1x
x
+− +
=
V. Suma:
n
2
aa
S n1
n 




 +
= cn anS =
[ ]r)1n(a2
2
n
S 1n −+=
Medios Aritméticos: Son los términos
comprendidos entre dos extremos. Ejemplo:
4.7. 10. 13. 16. 19. 22
extremo extremo
anterior posterior
Interpolación de Medios Aritméticos:
b............................a
cosaritmétimediosm
  ÷
Dados: a, b, m
De (II) r)1n(aa 1n −+=
[ ] r1)2m(ab −++= →
1m
ab
ri
+
−
=
ri: Razón de interpolación aritmética
PROGRESION GEOMETRICA
Es aquella sucesión numérica, en la cual el primer
término y la razón son diferentes de cero y
además un término cualquiera, excepto el
primero, es igual al anterior multiplicado por una
misma cantidad llamada razón geométrica, a una
progresión geométrica también se le denomina
progresión por cociente.
Representación.
÷÷ t1 : t2 : t3 : t4 : .........: tn
÷÷ t1 : t1q : t1q2
: t1q3
: ......... : t1qn-1
Elementos de la progresión geométrica.
÷÷ = Inicio de la progresión geométrica.
t1 = Primer término [t1 ≠ 0]
: = Separación de términos
q = Razón [q ≠ 0]
tn = Término enésimo
Sn = Suma de “n” primeros términos
Pn = Producto de “n” primeros términos
Clases de P.G.
* Si: q > 1 P.G. Creciente
* Si: 0<q<1 P.G. Decreciente
* Si: q < 0 P.G. Oscilante
Propiedades:
Sea la P.G. ÷÷ t1 : t2 : t3 ........ tk : .......... tn
I. Razón:
1k
k
2
3
1
2
t
t
...
t
t
t
t
q
−
====
1k
k
t
t
q
−
= ; 1 ≤ k ≤ n
II. Término General
yx
yx q.tt −
=
1n
1n q.tt −
=
III. Siendo: ta, tb, dos términos equidistantes de
los extremos: t1 , tn , se cumple:
÷÷ t1 .......... ta ............ tb ............. tn
a términos a términos
n1ba t.tt.t =
IV. Términos Central: (tc)
n1
2
c t.t)t( =
Cuando el número de término es impar
V. Producto: n
n1
2
n )t.t()P( =
VI. Suma:
1q
tqt
S 1n
n
−
−
=








−
−
=
1q
1q
tS
n
1n
VII. Suma límite: Suma de todos los términos
de una progresión geométrica ilimitada y
decreciente.
q1
t
S 1
lim
−
= Si: -1 < q < 1
Medios Geométricos: Son los términos
comprendidos entre dos extremos. Ejemplo:
÷÷3 . 9. 27. 81. 243. 729
extremo extremo
anterior posterior
Interpolación de Medios Geométricos
÷÷
b............................a
cosgeométrimediosm
  
Dados: a, b, m
De (II): 1n
1n q.tt −
= ,
1)2m
aqb −+(
=
1m
1
a
b
q +=
q1 = Razón de interpolación geométrica
Si “n” es impar
5 mediosaritméticos
4 mediosgeométricos

01.Hallar la suma de los 30 primeros múltiplos
de 4.
a) 1680 b) 1800 c) 1600
d) 1860 e) 1620
02.En una P.A. se conoce que t1 = a – 2; r = 2 - a
y S=10 − 5a. ¿Cuántos términos tiene la
progresión?
a) 1 b) 7 c) 4
d) 3 e) 5
03.¿Cuántos medios aritméticos se pueden
interpolar entre 8 y 48 de tal manera que se
forme una P.A. cuya suma de términos sea
588?
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) N.A.
04.Siendo (x + y), (4x – 3y), (5y + 3x), los tres
términos consecutivos de una P.A. Hallar x/y.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 2/3 e) 3/2
05.¿Cuántos números bases consecutivos
después de 12 suman 378 ?
a) 18 b) 16 c) 14
d) 12 e) 10
06.Expresar en función del número de términos
la suma de los términos de la progresión
aritmética ÷4. 10. 16. . .
a) n (2n + 1) d) n (n + 1)
b) n (3n + 1) e) N.A.
c) n (4n + 1)
07.La suma del cuarto y décimo término de una
Progresión Aritmética es 60 y la relación del
segundo al décimo es 1/3. Hallar el primer
término.
a) 10 b) 4 c) 6
d) 7 e) 8
08.Determinar “q” para que las raíces de la
ecuación:
0q
2
x5
x
2
4
=+−
Formen una P.A.
a) 9/4 b) 4/9 c) 1/4
d) 4 e) 9/16
09.A las nueve de la noche término una de las
clases en una academia y en el tiempo que
duró la sesión dio el reloj 48 campanadas. ¿A
qué hora empezó la sesión, si el reloj de
control da las horas y medias horas?
a) 1 pm b) 2 pm c) 3 pm
d) 4 pm e) 8 pm
10.Determinar la razón de una P.G. de 7
términos, sabiendo que la suma de los 3
primeros es 26 y la suma de los 3 últimos
2106.
a) 1 b) 3 c) 6
d) 9 e) 27
11.La suma de los términos de una P.G.
decreciente y prolongada indefinidamente es
“m” veces la suma de sus “n” primeros
términos. Hallar la razón.
a) m
n
1n −
b) n
m
1m −
c)
m
n
nm −
d) m − n e) N.A.
12.En un cuadrado de lado “l” se unen los puntos
medios de los 4 lados y se forman otro
cuadrado cuyos puntos medios de sus lados se
unen también para formar un nuevo cuadrado
y así sucesivamente. Hallar el límite de la
suma de las áreas de todos los cuadrados así
formados?
a) 4 l2
b) 2 l2
c) 144l2
d) l2
e) N.A.
13.La suma del sétimo y quinceavo término de
una P.A. es 106 y la relación del término 19
al término 13 es 31/21. Calcular el valor del
término 31.
a) 158 b) 148 c) 153
d) 168 e) N.A.
14.En una P.A. con un número impar de
términos el término central vale 31 y el
producto de los extremos es 520. La
diferencia de los cuadrados del término final
y del término inicial es:
a) 42 b) 2604 c) 62
d) 1302 e) N.A.
15.Sea la P.A. ÷ a, b, c, d de razón “r”.
Calcular:
2
2222
r
cbda
k
−−+
=
a) 2 b) 1 c) 0
d) 1/2 e) 4
16.Halle la siguiente suma:
.......
7
2
7
1
7
2
7
1
S 432
++++=
a) 1/5 b) 1/24 c) 1/16
d) 5/48 e) N.A.
17.Hallar la suma de los “p” primeros términos
de una progresión aritmética, sabiendo que el
enésimo término es 2n+1.
a) p (p + 2) b) p (2p + 2) c) p + 3
d) 2 (p + 5) e) N.A.
18.Hallar los valores reales de “x” e “y” tales
que los números x, 2x − y, 2x + y forman una
P.A. y los números
y
x
, xy, 3( x − y )2
representen una P.G. Dar como respuesta xy
.
a) 64 b) 32 c) 6
d) 36 e) N.A.
19.Si las raíces de la ecuación:
x3
– 13mx2
+ 13 mx − 3m = 0
Están en progresión geométrica, hallar la
suma de los cuadrados de las raíces de dicha
ecuación.
a) 71/9 b) 81/9 c) 91/9
d) 61/9 e) 51/9
20.Dada la progresión: 5. 10. 5.......
¿Cuántos términos de esta progresión hay que
tomar a partir de la posición 14 para que
sumen tanto como los 9 primeros?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
01.Una compañía comercial decide poner 20
avisos separados por intervalos iguales a
partir del kilómetro 50 hasta el kilómetro 164
de la Panamericana Norte. ¿En qué kilómetro
estará ubicado el doceavo aviso?
a) 106 b) 112 c) 116
d) 120 e) 124
02.Si a1, a2, a3,.... están en progresión aritmética.
Calcula la suma:
1nn433221 aa
1
...
aa
1
aa
1
aa
1
S
+
++++=
a)
n1aa
1
b)
1n1aa
n
+
c)
n1aa
n

d)
1n1aa
1
+
e)
n1aa
1n +
03.Dada 2 progresiones, una geométrica y la otra
aritmética cuyo primer término es el mismo e
igual a 1/3 la razón común. Sabiendo que los
5 primeros términos de la aritmética son
iguales a la suma de los infinitos términos de
la geométrica. Hallar el 1er. término.
a) – 15/7 b) – 2/3 c) 13/14
d) – 20/21 e) N.A.
04.Se tiene una P.A. creciente en la 6324 excede
al término de lugar 797 en el término de lugar
19. Si la progresión tiene 815 términos.
Hallar la suma de los términos de la
progresión. Dar como respuesta la suma de
las cifras de dicha suma.
a) 19 b) 24 c) 31
d) 28 e) N.A.
05.Sean a1 y a2 las raíces de la ecuación a2
− 15ª
+ m = 0, y a3 y a4 las raíces de la ecuación a2
− 60 a + n = 0. Se sabe que a1, a2, a3, a4 (en
este orden) forman una P.G. creciente. el
valor de n/m es:
a) 8 b) 16 c) 25
d) 81 e) N.A.
06.Calcule el valor de “E” :
........
16
7
8
5
4
3
2
1
S ++++=
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07.El producto de los términos de lugar par de
una P.G. de número impar de términos
positivos es 387420489 y el producto de los
de lugar impar es 31381059609. Calcular el
valor del cuadrado del término central de
dicha progresión:
Datos: log3 387420489 = 18
log3 31381059609 = 22
a) 729 b) 2187 c) 6561
d) 1963 e) N.A.
08.Hallar: S = 1 + 2x + 3x2
+ 4x3
+....
0 < x < 1
a) (1–x)−2
b) (1–x)−1
c) (1–x)−3
d) (1–x)−4
e) N.A.
09.En una P.G. de razón 2, la suma de los
términos es 93 y la suma de sus cuadrados es
3069. El valor del término central es:
a) 6 b) 24 c) 12
d) 8 e) N.A.
10.Si a, b y c son tres números positivos en P.A.
(en ese orden). Diga usted que tipo de
progresión forman los siguientes números:
cb
1
y
ca
1
,
ba
1
+++
a) Progresión aritmética
b) Progresión geométrica
c) Progresión armónica
d) Progresión trivial
e) No forman ninguna progresión
11.La suma de los “n” primeros términos de una
progresión es:
Sn = n2
–n +3
Halle usted el décimo término.
a) 20 b) 16 c) 15
d) 17 e) 18
12.Un alpinista escala una montaña de 5700 m.
de altura. En el transcurso de la primera hora
alcanzó una altura de 800 m; mientras que
durante cada hora siguiente subió a una altura
de 25 m. menor que en la precedente.
¿Cuántos metros ascendió durante la última
hora, en que alcanzó la cima?
a) 600 b) 625 c) 630
d) 640 e) 650
13.Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación x2
− 6x
+ p = 0, x3 y x4 las raíces de la ecuación: x2
−
54x + q = 0. Se sabe que los números x1, x2,
x3, x4 (en la sucesión dada) forman un P.G.
creciente. El valor 8p + 4q es:
a) 2241 b) 2187 c) 2214
d) 2160 e) N.A.
14.Si x, y, z, w son cuatro números en P.A.
Entonces xyzw + (y + x)4
; es:
a) Cero
b) Un cuadrado perfecto
c) Un cubo perfecto
d) Divisible entre xyzw
e) No se puede afirmar nada
15.En una progresión aritmética con un número
impar de términos, el término central vale 27
y el producto de los extremos es 329. La
diferencia del término mayor menos el
término menor es:
a) 30 b) 40 c) 16
d) 27 e) N.A.
16.Formar una ecuación bicuadrada, sabiendo
que sus raíces forman una P.A. donde el valor
máximo de un término es 15.
a) z4
+ 25z2
– 225 = 0
b) z4
− z2
+250 = 0
c) z4
− 250z2
+ 5625 = 0
d) z4
+ 225z2
– 5625 = 0
e) N.A.
17.Se tiene “n” montones de granos con un
número de granos en P.A. creciente. Si del
primer montón se quita un grano, del segundo
2, y así sucesivamente, queda en el último
doble número de granos que en el primero. Se
sabe además que existen en total 460 granos.
Y finalmente, que si del primero se quitan 2,
del segundo 4, del tercero 6 y así
sucesivamente, en el último quedan 18 granos
más que en el primero. Calcule el último
montón.
a) 60 b) 62 c) 68
d) 64 e) 70
18.En una P.G. de razón 3, la suma de los
términos es 120 y la suma de sus cuadrados
7380. Las suma de los términos extremos es :
a) 243 b) 84 c) 85
d) 106 e) N.A.
19.Evaluar la siguiente serie:
...
81
15
27
7
9
3
3
1
1W +++++=
a) 7/2 b) 5/2 c) 9/2
d) 11/2 e) N.A.
20.Si: S1 , S2 , S3 , ....... Sp ; son las sumas de
“n” términos de “p” progresiones aritméticas,
cuyos primeros términos son: 1, 3, 5, 7, ... etc.
Hallar la suma :
Σ = S1 + S2 + S3 + ....... + Sp
a) np d) )1np(
2
np
+
b) np (p + 1) e) )1np(
2
np
−
c) )2np(
2
np
+
01.Hallar el término 12 de la progresión
aritmética cuyo primer término es 5 y la razón
2.
a) 29 b) 27 c) 25
d) 23 e) 21
02.Hallar la suma de los 20 primeros términos de
la progresión: ÷, 2, 7, 12, .........
a) 980 b) 990 c) 1020
d) 960 e) N.A.

03.El cuarto término de una progresión
aritmética es 9 y el noveno término es –6, la
razón “r” vale:
a) 3 b) − 3 c) 2
d) − 2 e) − 1
04.La suma de los tres números que están en
P.A. creciente es 27 y su producto 243.
Hallar la razón.
a) 2 6 b) 3 6 c) 4 6
d) 5 6 e) N.A.
05.Hallar la razón de una P.A. si la suma de “n”
términos es n( 5n − 3 ).
a) 8 b) 10 c) 7
d) 5 e) N.A.
06. En la P.A. siguiente: ÷ . . . 5. . . 47. . . 159
El número de términos que hay entre 47 y
159 es el triple del número de términos que
hay entre 5 y 47, Hallar la razón de la P.A.
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) N.A.
07. Dada la progresión: ÷ a1. a2. a3. … .an −7
Calcular el cociente que resulta de dividir la
sumatoria de todos sus términos entre el
término medio.
a) 




 −
2
7n
b) ( n − 6 )
c) 




 +
2
7n
d) n − 7 e)
3
2
( n − 7 )
08. La suma del cuarto y noveno término de una
P.A. es 32 y la relación del sexto al octavo
término,
15
19
. El término doceavo es:
a) 27 b) 16 c) 8
d) 29 e) N.A.
09.Si:
xa
5
,
x
4
,
xa
3
+−
están en P.A.
Señale la afirmación correcta.
a) 3 x = 2 a b) 3 x = a c) 3x=
3
a
d) 3 x = 4 a e) 3 x =
4
a
10.Si se sabe que:
(x – 4); (x); (x + 2); (y + 1); (3y); (9y – 6) es
una progresión geométrica. Además que x, y,
z es una progresión aritmética. Halle z.
a) 6 b) 4 c) 8
d) 2 e) 5
SOLUCIONARIO
N°
Ejercicios Propuestos
01 02 03 04 05
01. E A C C C
02. C A E D B
03. E A B D D
04. B D C E B
05. D B B E B
06. D E E B C
07. C B C C C
08. E A C A A
09. A A C D C
10. C D E C A
11. B A B A E
12. E D B D B
13. A C B A
14. B B B B
15. D B D B
16. A A C
17. B B D
18. C C B
19. D C B
20. D E B
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
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